CC BY
30
Г.А. Юферова
УРАВНЕНИЕ ЛЕВНЕРА И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ
С использованием уравнения Левнера выводятся формулы для коэффициентов функции, отображающей круг на круг с радиальным разрезом, а также указывается связь между этой функцией и производящими функциями для классических ортогональных многочленов.
Функция
K (z) =
■ = z + 2z" +... + nz" +...
(1)
осуществляет однолистное конформное отображение единичного круга Е = \г е С; < 1} на область О ,
О е Б, представляющую собой плоскость С с разрезом разложение функции дт (т, г;-1) при т е N по
Семейство А м - простейшее семейство, сходящееся при М ^ +<» к области Б как к ядру. Представляет интерес вопрос о том, как приближается к пределу п-й коэффициент разложения функции е д (т, z;-1) по степеням г при т ^ +да . В доказанной в данной статье теореме он решается полностью, поскольку в ней дано
т е N по степе-
от точки ю = —1 до бесконечности вдоль веществен-4
ной оси. Она является экстремальной в задаче Бибер-баха о коэффициентах.
В данной работе рассматривается семейство Ам
ням г . Теореме предшествует лемма о разложении в ряд композиции произвольного сходящегося в Е ряда и ряда Тейлора с суммой 4хК (г). Эта же лемма оказалась применимой для нахождения производящих функций для многочленов Лежандра, Гегенбауэра, Че-
ограниченных областей, получающихся исключением бышева, Якоби и выяснения их связи с отображением
из круга Ем = { е С; < М}, М = е , 0 < т < т0 < +да К(z), возможно, отмечаемой впервые. Дано разложе-
разреза по отрезку радиуса, лежащему на отрицатель- ние по степеням 2 логарифмических производных
ной части вещественной оси. Такое семейство строится функции д (т, г;-1).
с использованием решения д = д (т, г; ц) уравнения Левнера
И(т) + д
Лемма. Если ряд Q(u )=
ak и сходится в еди-
, 0 < т < т < +<х>,
(2)
ничном круге, то
ф(г) = g(4 хК (z)) = (l- z )Х qm (х)z
для конкретно выбранной управляющей функции ц (т) : ц (т) = -1. Функция
где
S,
(- l)k (- m)k (m + l}
g (т, z;-1) =
1-УІ1 + 4 e'K (z) 4 e^K (z)
? (0, z;-1) = z
k k ax
(4)
(5)
(3)
отображает круг Е на единичный круг с разрезом по вещественной оси от точки -1 до точки
-в (і -V1 - в' ) . Этому разрезу на границе круга Е соответствует содержащая точку г = -1 дуга с концами в точках
Семейство областей
Дм = е д (т, Е; -1), М = е , 1 < М < М0 < +<»
1 - е т ± ie 2 ) .
и (а) - символ Похгаммера
(а). = а(а +1)...(а + j-1), j є N .
Доказательство. Пусть в q(m) = ^
k=0
u = 4 xK (z). Тогда 1
1 - z
Q
r 4 xz Л
(1 - z )2
1 <»
Г7 Ъ ak
1 — z k=0
= Z ak (4 xzT z
j=0
сходится как к ядру относительно нуля при т —— 0 и при т ^ +да, соответственно, к E и D .
Согласно теореме Каратеодори о ядре
lim eд (т, z;-1) = K (z) равномерно внутри E . По теореме Вейерштрасса
~ lim ^-^7q(т, z;-l) = n , n = 2,3,.... n! dz
- 2 k -1 - 2 k-1
ґ 4 xz *
= ЁЕ(-1)«кI-'2--1)4кXкzк' .
к=0 ]=0 V ^ )
Собирая в двойной сумме члены, для которых к + у = т, т = 0,1,..., получим
1
1 - z
Q
(1 -^
= X
т=0
т / ч
X (-1)
т~к f — 2k — 1 ^ к к
m— k 14 x
Убедимся в справедливости формулы
z
m=ü
к=0
k
а,м
k
от
т
z
(_ і)”-* f- 1к - ^4к = і)к (- т)к (т + 4
і — к
(6)
Так как
1' к!= М
4 к
то проверке подлежит формула
- 2к -IV (-1)"-* (- т)* (т +1)*
т - к
(2 к)!
или, поскольку
- 2к -1^ л*-к- (2к +1)
= (-1)*
формула
т - к І ' ’ () ’
У У-/т-к
(- т)к (т + 4 = (- і)к (т +1 - к)ік ,
(_ ху-к (2к + \)т_к = (_ 1)„+і (т +1 - к)2
(2к)!
СОм-к
Записав ее в виде
(1)2к ( + 1 )т-к = (1 )ж-к (т + 1 - ^\к ,
убеждаемся, что она представляет собой следствие равенства (т + к) = (т + к). Проводя рассуждения в обратном порядке, приходим к (6) и, значит, к (4), (5). Лемма доказана. При ее доказательстве следовали работе [1. С. 150].
Следствие 1. При z е Е
1 — 2 ^ ( 1
-----т------ч-----г= ^^1 — т,т + 1; —;х \г
1 — 2(1 — 2х) + 22 т=0 I 2
|4хК(г) < 1.
(7)
Здесь и дальше
(а Ь ••••• (а \ ^
«(с>X••••• (с\ к!
есть обобщенная гипергеометрическая функция,
С,с * 0,-1, -2, •••.
Действительно, применяя лемму к функции 1
<2(и)=-— = Ё (- 1)’и ’, \и\ <і,
1 + и у=0
получаем
1 - z
1 - 2(1 - 2х) +
-2 = I
г т=0
Следствие 1 доказано.
Применяя формулу [2. С. 1050]:
(-1) г (п +1 + р)
сп (а,в,X)=-
*!Г (1 + р)
I п + а + в +1, -п; 1 + в;
1 + х
к правой части (7), получим 1 - 2
= ъ
т=0
1 - 2(1 - 2х) + 22 ”!П [-2!'1 - 2* 1 ^
где Gм (а, в, х) - многочлен Якоби. Следствие 2. При 2 е Е
1 - 2 2
1
-----■:-----г-------= 1 + 2 V ГI - т, т; — ; х 1
1 - 2(1 - 2х) + 22 ^=0 I 2
|4хК (г) < 1. (8)
Действительно, умножив обе части равенства (7) на (1 + г), получим
, ч ■= 'У ГI— т, т + 1^; х \г,т +
1 — 2(1 — 2х) + 22 т=0 { 2 1
1
1
+ ^ГI - т + 1, ш\—\ х
т=1 \ 2
(9)
Учитывая формулы
(-т^ (т +1^ = (-1 ^(т - к +1^ (т +1^ , (-т +1)(т ^ = (-1)(т - к)(т ^ ,
(т - к +1),, (т)к = т(т - к + \)1к^ ,
(т - к + \)1к- = (- \)к (- т)к ,
получим (8). Следствие 2 доказано.
Из формул (8) и (9) заключаем, что
2 • - т, га; —; х | =
I 2’ )
= - т, т + 1;-2;х^ + ^^— т + 1, х
Заметим, что функции
1 - z2
1 - 2(1 - 2х) + 1 - 2(1 - 2х) + 22
являются, соответственно, производящими функциями многочленов Чебышева первого рода Тк (1 - 2х) и второго рода ик (1 - 2х). Поэтому
1 - 2(1 - 2 х) + .
і»
= 1 + 2! тк (1 - 2х)к
= и0 (1 - 2х)+ их (1 - 2х) +
1 - 2(1 - 2 х) + .
+ I (и* (1 - 2х)-ик_2 (1 - 2х)к .
к=0
Отсюда с использованием формул (8) многочлены Чебышева первого и второго родов представляются через гипергеометрические обобщенные ряды
Т (1 -2х) = Р[ -га,т;-2;х|, т = 1,2,...,
<ю
<ю
эо
и
1
к=0
и
т
г
или
2Тк(1 - 2х) = Г^— т,т +1;-2;х] + Г^— т +1,т;-2;х ], а также
^ 1 1 и* (1 - 2 X)-и - (1 - 2 х) 23
г\ -т, т; —;х 1=-------1----------------------, т = 2,3,....
Следствие 3. При 2 е Е 1
VI - 2(1 - 2 х)
= ^ Г(— т, т +1;1; х)п
Положив и =
) + 2 “=°
|4хК{2) < 1.
4 х%
в формуле
(10)
1 да 12
е(„)=-^ = X(-1)" ^»"
VI + и "=0 п-
и применив лемму, получим
^ * '\
1 - z
в
4x2
= ЕЕ
т=0к=0
Следствие 3 доказано. Поскольку функция
(1 - 2)2 J V1 - 2(1 - 2х) + .
(- т)к (т + 4
(1)к к!
д/1 - 2(1 - 2 х).
является производящей для многочленов Лежандра Р т (1 - 2х) , то из (10) следует, что
Р т (1 - 2х) = Р(- т, т +1;1; х).
Следствие 4. При 2 е Е 1
(1 - 2(1 - 2X) + 22)
^— т + к, т —, |4хК{2) < 1.
= £ £ ( 1к ^[ — т + к, т — к +1, V,1;—х ^ ,
т=0к=0 к! V 2
Применяя лемму к формуле
1 Л V)
б(м ) =
= У —
(1 - и ) ]=0 у!
получаем
(1 - г)' 1 - ^ ^ ( - г) J (1 - 2(1 - 2x)z + г2)' _ 1 ^(-\)к(-т )(т +
Раскладывая
,„=о*=о I 2 | к!
к!
1
(1 - г)
ремножая ряды, получим
(1 - 2(1 - 2X) + 22)
: V V--— ^{-т + к,т - к +1, V;—,1; -х |г” =
к! ^ 2 Р
= V ^| —т + к, т — к +1, v,2v -1;—,1,1; -х |г” .
& I 2 1
Заметим, что
Б
у;0;
V
и поскольку
4 xz
(—¡У
= ^ Б | —т,т +1, у;^, 1; — х I z‘"
(1 - 2 (1 - 2 х )г + z2 )
есть производящая функция многочленов Гегенбауэра С (1 - 2 х), то
С (1 - 2х) = ^^ (-п + к, п - к +1, V;—,1; -х 1 =
к-а к! V 2 )
= Е|^-и + к,и - к +1, v,2v -1;-2,1,1; -х^ .
Разложим в ряд по степеням г логарифмические производные функции д (т, г; -1).
Дифференцируя решение уравнения Левнера д (т, г; -1) (2) по г и по т , получим 1 + г 1
? г ^1 - 2 (1 - 2е 1 + г2
_ 1 -^_______________1-2_______
? 1 + ? ^1 - 2 (1 - 2е" ) + ;
Поскольку
1
^ - 2 (1 - 2е т)
Г +
1 в ряд по степеням г и пе-
есть производящая функция многочленов Лежандра Р (1 - 2е ~т), то логарифмические производные функции
д (т, г; -1) примут вид, в котором коэффициенты разложения есть комбинация функций многочленов Лежандра.
. I+1 ((, (, - *-■)+р (. - *-■ ,
тЩ-'-*(1 - 2^’)-
-Ё ( (- 2^т)+р-< (! - 2^Т )У.
п= 1
Теорема. Пусть д = д(т, г;-1) - решение уравнения Левнера (2). Тогда
дт =дт ( т, г;-1) =
= ^"Е^ 2 1 ^(т + т- 1;2т +1;е_т^z/, т е N .
Доказательство. Запишем решение 5(т,г;-1) уравнение Левнера (2) в виде
1
1
1
1
1
1
? = ? (тг;-1)
(і -Л+й )2
где и = 4вхК (z). Тогда т -я степень решения 5(т, г;-1) уравнения Левнера (2) примет вид
/ ,-----\ 2/и
(1 -уП + Ы )
(Т, г;-1) = -
(11)
Применив к (11) формулу бинома Ньютона, получим
, ( 2т
^ (т,г;-1) = и-X(-1П ,
4=0 ^ к ,
да 2т
= и -т Ц(-1)
(1 + г
п=0 к=0
Л і 2т і п и
п
(12)
Так как [3. С. 619], имеет место равенство
( к ^
Е (- і)к (к
2
= (- 1) 2п
2т - п -1 | - Г 2т - п -1 т -1 II т
то, применив его к (12), получим
Преобразовав разность в скобках, вынося общий член (-1 )р-1 (1 - ^
( + т -1)
дт г;-1) = - £
и складывая оставшееся, получим
-2 р +1) ,
* / п+т-] п
где
22р~'(р + т)\
Применяя лемму к последней формуле, запишем
(г;-1) = (1 - 2)Е&(е 1У , (13)
1=т
Н)*Н )(1 +
&
) = I
-1)т (-2к +1)
<( + м)Г
і 1 *'
Л
Поскольку
-I = 2 -
то
Тогда
(2к) к!
(-Г 2т(-+ 1)(-2к +1)
(2к )!(к + т)!
?” (т, г;-1) = (1 - г)х
<ЕЕ-
-іГ’ 2т(-/+ \\{~2к +1)
/=»*=» (2к )!■ (к + т)!
Приведя подобные члены с учетом того, что
(- т)ш (т + 1)т = (- !)" (2т)! ,
и
(- 1 ) (1 + 1)^ - (-1 + 1)^ (1 ) = -2 к (- 1 ) ( + 1)*, получим
$т ( т, г;-1) = е'тт +
-1) 2т(-/+ 1^Д-2к)
ее-
е"*У . (14)
/=«и=. (2к )!■ (к + т)!
Поскольку имеет место формула
(- 2к )+т = (- 1)^+И
(2к)! ( - т) ’
и, делая замену переменного р = к - т , с учетом формул
(-1 и = (-1 ) (-1 + т)р ,
( + !)т-1+р = ( + !)т-1 ( + т)р ,
( + 2т) = (2 т + 1), (2 т)
и равенства
(- 1 )т + ^т-ї
(т -1)!
= (-1)'
1 + т — 1 2т — 1
имеем
(т, г;-1) =
I + т -1 2 т -1
1 IЕ(т +1,т-/;2т +1;е Т) .
Теорема доказана.
В частности
5 = 5(т,z;-1) = ^шЕ(-т +1,т +1;3;^z” .
т=\
Следовательно, первые коэффициенты разложения функции ед(т,z;-1) = z + ^еп (^:)z" даются следующими
п=2
формулами:
с (т) = 2 - 2е^ ,
С (т) = 3 - 8е_т + 5^т,
С (т) = 4 - 20е 1 + 30^т - 14^т,
С (т) = 5 - 40е Т + \05е 2т - 112^т + 42^т, с6 (т) = 6 - 70е т + 2805е 2т - 504е 31 +
+ 420е-4т - 132е-5т,
^ ( т) = 7 - 112е"т + 630^1 - 1680^т +
+2310^т - 1584^т + 429е~,т,
С (т) = 8 -168^ + 1260е 21 - 4620^т +
+9240^т - 10296е~5т + 6006^т - 1430^т,
С (т) = 9 - 240е 1 + 2310^т - 11088^т +
+30030е ' - 48048е + 45045е ' - 22880е +4862е
ЛИТЕРАТУРА
1. Александров И.А. Методы геометрической теории аналитических функций. Томск: Томский государственный университет, 2001.
2. Градштейн И.С., РыжикИ.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Государственное издание физико-математической литературы, 1962.
3. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Марычев О.И. Интегралы и ряды. М.: Наука, 1981.
Статья представлена кафедрой математического анализа механико-математического факультета Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Математика» 22 декабря 2006 г.
и
и
к
2
к
