Формула суммирования для полиномов Чебышева и ее применение Текст научной статьи по специальности «Математика»

2009

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Математика и механика

№ 2(6)

МАТЕМАТИКА

УДК 517.54

И.А. Александров, Г.А. Юферова

ФОРМУЛА СУММИРОВАНИЯ ДЛЯ ПОЛИНОМОВ ЧЕБЫШЕВА И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ

Дается вывод формулы суммирования для полиномов Чебышева второго рода и ее применение к исследованию экспоненциальных полиномов Бранжа.

Ключевые слова: экстремальные многочлены Бранжа, полиномы Чебышева второго рода.

В [1] установлено, что экспоненциальный полином Бранжа

(т) = 11-1)1 (2” " 2ГТ 2” )е-*"-'" .

п - Г \ Б - г Д г -1 )

r-

(m\ m(m -1)...(m -n +1) ^ ,

где I I = —111 - биномиальныи коэффициент, имеет производ-

I n ) n!

ную

/ \ -(n-s )т

^ n-s )=- нет(2m >* 3F

2m + k,-k, m - -2 -

i 2;e m + -i ,2 m -1

m = n - s +1, k = s -1, принимающую отрицательные значения при те (0, да). Здесь (a )k =

a, b, c

= a(a +1)...(a + k-1) - символ Похгаммера, 3F2

. x = f (a) j (b) j(c) j ,£j. d, e ’ J j=0 (d)j (e)j J!

- гипергеометрический ряд Г аусса.

В данной работе получим этот результат, то есть что Y'sn (т, s/(n - s)) < 0 , используя элементарные конформные отображения и теорему сложения для одного класса ортогональных многочленов. При этом выясняется место и роль степеней решения уравнения Левнера с постоянной управляющей функцией.

1. Функция

H (z) =, 2 z + 2 О)

1 - 2cos y-z + z

отображает круг E = {z е С;|z\ < 1} на плоскость, разрезанную по вещественной

1 1

оси от точки-----------до -ж и от точки--------------до +да .

2 Y 2 Y

4cos — 4sin —

2 2

Функция

(1 -41 + 4К (2)е-т )2

С = С(т2) =-------------------------, 0 <т<+«,

4К (2)е-т

где К (г) =----------—, отображает тот же круг на единичный круг с разрезом по ве-

(1 - г)

щественной оси от точки -1 до точки -ет (l -V1 - e

Образуем семейство функций H0 (Z (т, z)), полагая в (1)

cos у = (1 - e-T) + e-T cos 0.

Лемма 1. Справедливо функциональное соотношение

И0 (Z (т, z)) = е-тИу (z), 0 <х<+да , z е E .

Доказательство. Функция e-T#y (z) отображает круг E на плоскость, разре-

занную по двум лучам:

4cos2 —

e-T ^

--------,

4sin2X

, лежащим на веществен-

2

ной оси.

Функция Hq (Z (т, -1)) переводит точку z =-1 в точку

H (Z (т, -1)) =------------------1-------------

Z (т,—1) +—-------- - 2cos 9

( ) Z (т, — 1)

Поскольку

Z (т, —1) +-------------------1-= 2 (l - 2eT) и sin2 — = e т sin2

’ г т -U \ ) і

sin

Z (т, — 1) V ' 2 2

1 e-T

то H0 ( (Т-!))=-

2 (l - 2eT)-2^1 - 2 sin2 4 cos2 2

Точке z = 1 соответствует Hq (Z(t,1)) =

e

Видим, что функции Ив (^ (т, z)) и е-т#у (z) отображают круг Е на одну и ту же область. Так как И6 ((т,±1)) = е~тИу (±1) и И6 ((т,0)) = е-тИу (0) = 0, то согласно теореме Римана И0 ( (т, z)) = е-тИу (z). Лемма доказана.

2. Разложим функцию #у (z) в ряд по косинусам кратных дуг. Следуя [2], образуем последовательность {т (т, z)}ат=0, определенную в [0, +да)х Е, полагая

еТ С (тz)

1 -С2 (т,Z)

W0 (Т’ z ) = , „2/-------: > Wm+1 ( Т z ) = Z ( Т z )Wm ( Т z ) > m = 0,1,...

2

Лемма 2. Имеет место формула

ГО

Hу (z) = W0 (т, z) + 2 £ Wm (т, z )• cos m0 .

m=1

Доказательство. Действительно,

и i \ ^ in w eTz 1 -z2 eTz D i+A

HY (z) = e He (z (t, z)) =------2-------------------------------------------2-- =-2_. Re-—

Y 1 -z2 1 -2cos0.Z + Z2 1 -z2 1 -e z

Если |Z| < 1, то

1 -I- cfi К ^

Re-------jg- = 1 + 2 ^ Zm (t, z) • cos m0,

1 — e С m=1

причем ряд равномерно сходится внутри E. Значит, в E

го

H (z) = W0 (т, z) + 2£ Wm (т, z)• cos m0 .

m '

m=1

Лемма доказана.

3. Разложим функцию Hy (z) в ряд по степеням z. Поскольку функция Wm (т, z) голоморфна относительно z в круге E, то согласно теореме Тейлора ее можно представить степенным рядом

го

Wm К z)= £ Ql,m (т)z 1 ,

I=m+1

и поэтому

го го го

HY (z) = Z Ql,0 (T) Z‘ + 2Z Z Ql,m (T) Z • C0S m0 .

1=1 m= 11=m+1

Меняя порядок суммирования и объединяя члены с одинаковыми степенями z , получаем

го т—1

HY (z) = £ Qm,0 (т) + 2Z Qm,1 (т) ' c0s 10

m=1 _ /=1 _

4. Функция

1 - 2tz + z2

является производящей функцией для полиномов Чебышева второго рода

ТТ ,ч sin((m +1)arccost)

Um (t) = —-----------------------------r-t--¿, m = 0,1,...,

Sin t

т0 есть , „ 2 X- m ’

1 - 2tz + z m=0

и поэтому HY (z) = £ Um-1 (cosу)z"

m=1

Она же является производящей функцией для полиномов Гегенбауэра Cm (cosу) [3, с. 406], то есть

1

1

~ 2 / > m

1 - 2tZ + Z m=0

= z cm (t) zm

и поэтому Hy (z) = £ cm, (cosу)

Y '

m=1

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях z в указанных разложениях функции Hy (z) в ряд, получаем

т-1

CL-1 (C0S У) = Uт-1 (C0S У) = Qm, 0 (т) + 2 £ Qm,1 (Т) C0S /9 , m = I,2,... (2)

l=1

Нашей целью является доказательство неравенства Qml (т) > 0 при

0 < т <+да, n е N\ {1}, I = 1,...,m -1. Будем использовать полиномы Лежандра Pm (t), определяемые как коэффициенты разложения по степеням z производящей функции [3, с. 396, форм. 6.821]

1

1 = X P (t )zm ,

2

- 212 + z т=0

и полиномы Гегенбауэра СР (), определяемые как коэффициенты разложения по степеням z производящей функции [3, с. 406]

1

-—^ - Т С (' * ■ • р >0.

11 - 2/г + г ) ■=о

Полиномы Лежандра Рт (г) можно представить формулой

1 г-

Рт ( ) =-----Г(2 -1)”

т!2” Жт ^ '

(ее часто принимают как определение Рт (г)). Они обладают свойствами ортогональности

1

J Pm (t) Рп (t) dt = 0, т ± п .

-1

1

Поскольку J Pn2 (t) dt

2

_1 2 п +1

то ортонормированной системой полиномов Лежандра является система полиномов

¡2т +1 „ , ч

^—^Рш (I), т = 1,2>-Лемма 3. Имеет место функциональное соотношение

ип (ху+ л/Г-^/Г-/С) = СП (ху+ л/ь-^/!-7С) =

п } }

= £ Ъ,п (1 - х2 )2 (1 -72 )2СП-‘У (х)СП- (у)р (с), (3)

}=о

где постоянная

п = 4 4 (п - } )'-0'!)2 (2У+1)

4> (п + j■ +1)! .

Доказательство. Представим функцию

ип (ху+ 4\-х24\-у1^) = С (ху + л/Г-Л/Г-уЧ) = Е Ап,„ (х,У)Рт (С) (4)

т=0

в виде разложения по полиномам Лежандра. Здесь коэффициенты даются формулами

А],п (х,У) = ^ !(ип (ХУ + лЯ-Л/КуЧ)р (С) С С .

Преобразуем их, воспользовавшись тем [3, с. 276, форм. 4.63], что если Г (х)

- произвольная функция с непрерывными производными до (п + 1)-го порядка включительно, то

1 р-1 р_

|(1 -х2) 2 Г(х)С? (х)йх =

-1

1, Р (Р + 1)-■■■ ■ (Р + ^ - 1) Г (-„ 2 У+~Р2~ " - у» у ^

j'! ((? + ^Ср + 3)■■■ ■ (р + 2/-1)_^ ; йх]

Положив в этой формуле

X = ;, ^ (С) = ип (ху+>/1-771-7^), Р = 1,

получим

17+1 А-(’’ У)' {(■42) ^ и’ (ч' +) <1 с.

Поскольку [3, с. 407, форм. 6.931]

а1 ср О) = 21 г (^ + ^) ср+1 (г) а с1 ” г (р) (),

то при к = } , р = 1 имеем

^ С (О = ип (0 = 2'7!' (г).

^ «V, ^ ^ ^ ^

Поэтому

ип (ху + л/1-Л/1-7С) = 22 7! (1 - х2 )2 (1 - у2 )2 С^ (ху + л/п2 пПП

и для Ади (X, у) имеем формулу

2 11 ~2~~[ А1,п (х’ у) = (- х2 )2 (- у2 )2 У1 ,п (х,У),

где КЛя (х,у) = )(1 - С2 ) С£) (ХУ + С) ^с (5)

- симметричный полином степени (п - ]) относительно переменных х и у, то есть

V, п (х у ) = У],п (у,х).

Покажем, что функция У],п (х,у) и функция Б]>п (х,у) = С1п+}] (х)СП-'/ (у) удовлетворяют гипергеометрическому дифференциальному уравнению Гаусса

(1 - х2) ю"(х) - (2 у + 3) х • ю' (х) + (п - у )(п + у + 2) ю (х) = 0. (6)

Относительно Sj п (х, у) это свойство легко проверяется, поскольку СП (г) -решение дифференциального уравнения [3, с. 408, форм. 6.96]

>,+(2^у+п&+п!>.. о. (7)

12 -1 12 -1

Обратимся к функции у, п (х, у). Подставим в левую часть уравнения (6) вместо ш функцию У,п (х, у). Проведем необходимые предварительные действия. Пусть

П (х) = ху + >11 - X2 41 - у2 ^ .

Поскольку

п (х^ = у -Л/~~т х^, п'(х) = -Л/^г7^г,

VI - х2 VI - х2 1 - х

то

хц’(х) = п(х)-^1—^- С , л'2 (х)(1-х2) = (1-П2 (х))-(1-у2)(1 -С2).

VI - х2

Пусть

Т(х) = (1 -х2^СП'+) (п(х))-(2./ + 3)х-уС£) (л(х)) +

у,с1х ¿х

+(п-/)(П + 7 + 2)СП-‘ (П(х)).

^ (п (X )) = ^(-) -

ах а -

а2 а2с]п+\(п(х)) 2 асп'+|(п(х))

^7. (п(х)) = п- (( ))п'2 (х) + п-а(1 ( ))п'(х),

ах2 ¿п «п

то

2 2 й2сп+(л(х)) г 2 -¡ас!— (л(х))

Т(*)=(I-х К (х)-------—2----+[(1-х )п"(х)-(27+3)хп'(х)]------------- -+

йл2 йл

, 2 ,й2—1 (п(х)) й— (л(х))

+(«-7X«+7+2)—(л(х))=(1-л (х))---------—2-----------------(2]+3)л(х)- -+

4 ’ йл2 йл

. , / 9ч/ й2— (л(х)) Л-у2 й— (л(х))

+(«-7)(«+7+2)С—, (л(х))-(1-у2)(2)-----------П-лг^+(2.7+2))~г=='С — ( •

йл л/1—X йл

Так как ~сП+/ (п (х )) = —п~г_— - (х),

Сумма первых трех слагаемых в правой части равенства равна нулю, поскольку С£+1 (п) является решением уравнения (7). Имеем

T (х) =

л/ї-

л/і-;

dC^41 (n (x)) (2j+2)Z- 7

л/ї-Л/ї-7 (i-z2)

d 2(n(x ))

ап ' ' 4 ' ап

Вернемся к функции Vj п (х, у). В результате её подстановки в левую часть уравнения (6) получим

л/1-

i

j (1 -с2 )' T (x у Z-^=Zj *

-і vl - x

", , / 2\d dcn'+і (n(x)) I-----2 /---!( 1\' d21 (n(x))

(2j + 2)Z(l-Z2) —я -v1 -x2V 1 -y (l-Z2) — - V

x ' dn x ' dn

dZ.

Применив к интегралу от второго слагаемого формулу интегрирования по частям, получим

fin J+1

j^/i-vVi-y (i _z2 )+1 d~4- j(2n (x dz= j (i-z2)j+1 d

j+i dC]n+_) (n (x))

d n

i

d Z

dCn- ( (+))'

d n

d n

-1 -i

V / 2\ j dCn—(r|(x ))

J (2y+2)(i-z2 ) Z —n—r dZ

и в итоге убеждаемся в том, что

j (x, у )= j (1 -Z2 ) j (n (x )) Z

- решение уравнения (6).

Функция Vj п (х, у) в силу свойств решений уравнения (6) и отличается от

Sj п (х, у) только постоянным множителем, то есть

ум (х,у) = В],пС-1, (х)С1:_У (у). Найдем вид Вп у . Полагая в (5) у = 1, имеем

1

кЛя (х,1) = I (1^2 )'с£) (X )а С,

-1

что вместе с (8) при у = 1 приводит к равенству

^ ,я с1:_) (1) = ) (1 - с2) ) С = 2|(1 - £2) а С.

(8)

Подсчитаем интеграл

Q = 2|(1-Z2 ) dZ .

Положив Z = cos ф , имеем Qj = І2 j+i , где

2

0

12 j+1 = J sin 2j+1 ф d ф .

0

Дважды применим правило интегрирования по частям. Приходим к формуле приведения (2 j +1) I2j+1 = 2 jl2 j_1. Пользуясь ею, находим

4 j! j!

Q ¡ = .

j (2 j +1)!

Иначе Qj можно найти, представляя (l -Z) по формуле бинома Ньютона и

затем выполняя почленное интегрирование полученного полинома.

Итак, учитывая, что [3, с. 408, форм. 6.95]

j (i)=г +'1=.2("+',;1) !. ,,

I П - J ) (2j +1) !(n - j) ,

находим

D = 2QJ = 2 ■ 4J(j!)2 (n - j) !

j’" J (1) (n + j +1) !

и, согласно (8),

Vj,n (x,l) = 222+1 ((!)^ (n~j), ! C+j (x)cn-j (y).

(n + j +1) !

Для коэффициентов Aj,n (x, y) в формуле (4) имеем

AЛ„ (X,, ) = 4 j (J - j 1.!(2 2 +11 (1 - x2 )- (1 - ,2 )j c;f, (x )C« (y).

(n + j +1) ! 4 ' 4 '

Лемма доказана.

Приведенное доказательство выполнено после ознакомления с работой [4]. Лемму 3 можно доказать иначе, воспользовавшись формулой [3, с. 407, форм.

6.923]

Г( 2 \________1)

C„x (eos у cos0+sin у sin 0cos9)=---------—х

[Г(Х)]2

хЕ2 (wo'?[r('nk)] (2X+2k_1)inkуsink0C«+(cosy)C«:'í(cos0)C¿2(cosv)>

k=0 Г(2Х+и+k)

где ф, y, 0 - действительные, X ф I, доказанной в [5].

5. Теорема Коэффициенты Qm ¡ (т) в разложении (2) функции Um (cos у) неотрицательны.

Доказательство. Положим в (3) x = y = V1 - e-T , Z = cos 0 . Учитывая, что cos Y = (l - e-T) + e-T cos 0, получим

Un (cosY) = ¿ Dj,ne-j \C™ (лЯ-Т7)] Pj (cos0), (9)

j=0

где коэффициенты при Pj (cos 0), очевидно, неотрицательны. Для завершения доказательства воспользуемся формулой [3, с. 394, форм. 6.8.12 (4)]

подстановка которой в (9) позволяет увидеть, что Um (cosу) представляется многочленом от cos 0 с неотрицательными коэффициентами. Вместе с (2) это показывает, что Qml (т) > 0 при 0 < т < +да. Теорема доказана.

Следствие 1. Имеет место неравенство Y's n (т, s/ (n - s)) < 0 , 0 < т <+да , n е N \ {1}, s = 1,2,..., n .

Действительно, из статьи [2] известно, что Qn n-s (т) = -YSn (т, s/(n - s)). Так как Qn,n-s (т) > 0, то Y's (т, s/(n - s)) < 0 . Следствие доказано.

Следствие 2. Экспоненциальный многочлен Бранжа Ys n (т) на (0, +да) положительно определен.

Действительно, в силу следствия 1 и Ys,n (+да, s/(n - s)) = 0 имеем

Ys,n (т, s / (n - s)) > 0 . Следствие доказано.

Опираясь на доказанную теорему и ее следствия, можно доказать - первым это сделал Бранж - что известный функционал Милина на классе S не принимает отрицательных значений. Поэтому в силу леммы Лебедева - Милина модуль n-го коэффициента функций класса S удовлетворяют неравенству \cn\ < n, справедливость которого предполагалась Бибербахом (гипотеза Бибербаха, 1916 г.).

1. Александров И.А. Методы геометрической теории аналитических функций. Томск: Томский госуниверситет, 2001. 220 с.

2. Александров И.А., Юферова Г.А. К доказательству неравенства Бибербаха // Вестник ТГУ. 2007. № 297 (апрель). С. 141 - 145.

3. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов сумм, рядов и произведений. М.: Изд-во физико-математической литературы, 1951. 446 с.

4. Wolfram Koef. Dieter Schmersau Weinstain’s functions and the Askey - Gasper identity [http://www.opus.kobv.de/]. UPL: http://www.opus.kobY.de/zib/volltexte/1996/ 217/ps/SC-96-06.ps. Дата обращения 28.02.96.

5. Уиттекер Е.Т., Ватсон Г.Н. Курс современного анализа. М.-Л.: ГТТИ, 1934. Ч. 2.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ:

АЛЕКСАНДРОВ Игорь Александрович - чл.-корр. РАО, доктор физико-математических

наук, профессор кафедры математического анализа механико-математического факультета

Томского государственного университета. E-mail: ma@math.tsu.ru.

ЮФЕРОВА Галина Александровна - аспирант механико-математического факультета

ТГУ. E-mail: galaOk@mail.ru.

cos(j - 21)0,

ЛИТЕРАТУРА

Статья принята в печать 20.04.2009 г.