Уравнения Левнера и функции Бранжа Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2009 Математика и механика № 2(6)

УДК 517.54

Г.А. Юферова

УРАВНЕНИЯ ЛЕВНЕРА И ФУНКЦИИ БРАНЖА

Доказана теорема о разложении композиции сходящегося ряда с р-симмет-ричной функцией Кебе. Получено дифференциальное соотношение между степенями решения уравнения Левнера с постоянной управляющей функцией. Установлена связь экспоненциальных многочленов Бранжа с функцией Кебе.

Ключевые слова: однолистные отображения, уравнение Левнера, проблема коэффициентов.

Сформулирована и доказана теорема о подстановке ряда обобщенной функции Кебе в произвольный ряд

( 2 \

ГО Р

вР (») = £2

к=0

то есть о представлении такой композиции в виде ряда по степеням х, г е Е , Е = {г е С;|г\ < 1} . Полученная теорема применяется для разложения целой положительной степени решения <2р (и) уравнения Левнера

= С(°’2) = 2 , 2 е Е ,

а т ц (т)-ц

по степеням г в случае, когда управляющая функция г . Установлена связь между производными по т функций £т (т, г), £”+1 (т, г). Как следствие получена система дифференциальных уравнений для коэффициентов разложений функций

г dС” (т, г )

------ ------1---1 по степеням 2.

(1 - г)2 dт

Показано совпадение этой системы с системой дифференциальных уравнений для нахождения экспоненциальных многочленов Бранжа, используемых в доказательстве справедливости гипотезы Бибербаха о коэффициентах. Это позволило провести исследование указанных многочленов с позиции теории конформных отображений.

1. Теорема о композиции степенных рядов.

Теорема 1. Пусть функция <2р (и) голоморфна в области Б, 0 е В, и имеет разложение в ряд вида

ГО

Qp (и) = IЪ$ик , р = 1,2,... (1)

к=0

Тогда при фиксированном х е (0,1) разложение функции

( 2 \ 2 р хг

I1 - гр )

(2)

по степеням г имеет вид

где коэффициент

ГО

фр (*) - £ г!'1 (х)^,

(*)=£ ьр (-1)* <р*"(;)*

к=0 ( 2 ^ (1)к

представляет собой многочлен степени т, если Ф 0.

В частности, при р = 1 и фиксированном х е (0,1) разложение функции

ф (г) =— е

1 - г

4 хг '(1-^

, где д (и) = £ ък ик, к=0

по степеням г имеет вид

(-т)к (т +1)^ Ък

т=0 к=0 ( 2 )к (1)к

Доказательство. Подставив разложение (1) функции Qp (и) в (2), будем иметь

го

Фр (*) = I Ь%) (-1)кр 4к х*** (1 - *Р)

-(2к+1)

Применим к (1 - 2р) ( ) биномиальную формулу Ньютона

ГО го

ф р (2)=(-1)

-2 к -1

4к х кр 2 (к+] )р

к=0 у=0 V J

и соберем в двойной сумме слагаемые, для которых к + у = т , т = 0,1,..., получим

т=0

т

£ (-1)

кр+т-к

.к=0

-2 к -1 т - к

4к хкр

рт

Пользуясь символом Похгаммера, запишем

(_1)к(р-1)+ш | 2к М 4* _ (_1)кР___________

I т _ к ^ (1),

Применим легко проверяемые формулы

(1)2* (2к + 1)т-к = (1)т+к ,

( 2к + ^т-* 4к .

т-к

дк _ (1)2к

(1),

т+к

(1)* й), (‘)к (2к + >)т-к Ш/

т=0

го

т=0

и после выполнения простых операций будем иметь

кр

(-1)к(р-1)+т \-2к -^ 4к = (-1)* . (1)т+к

Учитывая, что

т - к ) (1)к ()к (1)т-к "

(т - к + 1)2* = (-1)к (-т)* (т + 1)к ,

т-к

получим

т=0

V ь(р) ( — )к(^+1) ( т)к (т +1)к „кр Е кр ( 1) (1) (1) х

к=0 ( 2 )к (1)к

рт

Терема доказана.

В случае p = 1 эта теорема была доказана в [1].

2. Применение теоремы 1 к решению уравнения Левнера с постоянным управлением

Функция

(1 -V1 + 4К(г)е-т )2 2

^ (т, г ) = --------------------^ ^ _т-—, К (г) = --— - функция Кебе,

4К(г)е Т

является решением уравнения Левнера

(1 - г)2

= _д 1-С , о ,х<+да , йт 1+ С

(3)

с начальным условием ^ (0, г) = г, 2 е Е , и осуществляет однолистное конформное отображение круга E на единичный круг с разрезом вдоль вещественной оси

от точки -1 до точки -ет (1 -л/1 -е-т) . Этому разрезу соответствует на окруж-

ности E дуга с концами в точках

Г I—_ -т ^

VI-е т ± 1е 2

, содержащая точку 2 = -1.

Теорема 2. Решение ^ = С (т,2) уравнения Левнера (3) с начальным условием С, (0, г) = г, возведенное в степень m, т е N, имеет разложение в ряд по степеням z следующего вида:

т +1, т -1

I

2т -1

гт ( \ -тт ^ (1 + т 1 | т-,

С (х, г) = е ^ 1 | 2^

1=т

2т +1

;е

1

г .

Доказательство. Возведем решение ^ уравнения Левнера (3) в степень m:

С” (Т, г) =

(1 -V1 + 4е-т К (г) )2”

(е-тК ( г ))

Пользуясь формулой бинома Ньютона и полагая и = -4е-тК {г), представим в виде

2т , I2тI к

ст=иг«-тЕ(-1)к| к Л(1 -«)2 .

к

Заменяя здесь (1 - и)г разложением в ряд по степеням u и меняя порядок суммирования, будем иметь

го 2т (2т\(к\

ст = (-1)т «-т Ц (-1)к+я ( |(21 «”.

и=0к=0 V П /VП)

Применим к коэффициенту при un формулу [2, с. 619, 54]:

ЕН)к IПII21=ИГ 2я

2 п - 2т - 1| (2 п - 2т -1 п-1 ) I п

)[ * I

к=0 \кАт)

Заменим индекс суммирования p на п по формуле р = п - т , получим

с-=(-1)" £ 2-2р 17 ^ПГ2»-1

р=т 1Л.Р + т - У \Р + т

Преобразуем разность в скобках, вынося за скобки общий член

(-1)Р+т-1 (1 - 2Р)р+т_1 (р + т -1)!

и складывая затем два оставшихся слагаемых. Получим

и .

-2 р

(р + т)!

В силу теоремы 1, запишем

ГО

С” = (1 -2)ХЯ/(е-Т)У,

1=

где

* ()= £4

Поскольку (у )к = 2

к=т (т )к (1)к 22к- (к + т)!

2к (2к)!

к к!

к-1 .

то С” (т, 2 ) = (1 - 2 )ХЕ

I=тк=т

^ (-1Г 2т (-1 )к (/ + 1)к (1 - 2к)Мт-1 е-кТ

(2к )!(к + т)! Преобразуем правую часть с учетом формул

(-т)т (т +1)„ = ИГ (2т)!,

(-1 )* (1 + !)к - (-1 + % (1 )* = -2к (-1 )* (1 +1)*-, (-1)И-1 2т (-т)и (т + 1)и (1 - 2т)2т_!

(2т )!(2 т)!

получим

го

Ст (Т г ) = е^тт гт + У У ( !) 2т ( 2к )к+т ( 1 )к (1 + 1)к-1

^У,,~ 1Гт+1 Ут (2 к )!(к + т)!

Заменим к нар по формуле р = к - т. С учетом формул

( -/ )р+т = ( -/ )ш (1 + т )р ,

(1 + 1)т-1+р = (/ + 1)т-1 (/ + т )р ’

(^ + 2т)! = (2т +1) (2т)! (-/)т (1 + 1)т-1 = (-1)т (1 + т - 1

(2т-1)! ^ 2т-1

-кт /

е г

и равенств

(-2к )к+т_ (-1)

к+т

имеем

(2 к)!! (к - т)!’

І-! (1 + т -П (-1 + т)р (1 + т)

ут ( \ -тт , Х-' Х-'

С (Тг) = е + ^ ^

/=т+1 р= 0 I 2т -1 ; р\{2.т + 1)р

Теорема доказана.

Следствие Решение С, (т, г) уравнения Левнера

^ = -С —, 0 <х<+® , йт 1+ С

с начальным условием ^ (0, г) = г имеет разложение в ряд по степеням г вида

-т +1, т +1

С (Т, г) = е-т X12 *1

т=1

3

; е

Ранее разложение функции ^ (т, г) по степеням z было получено Г.Д. Садрит-диновой [3]. Связь этих коэффициентов с гипергеометрической функцией Гаусса ранее не отмечалась.

3. Соотношение между (т, 2) и ^т+1 (т, 2)

ЛСТ (т, 7)

Рассмотрим последовательность

(І т

Представим разложение об-

т=0

щего элемента этой последовательности по степеням г в виде

dС (т>2) Vі Г(т) / \ у т-, , г,

■ = т ^ Г У '(т) , 2 є Е , т = 1,2,...

d т

У =т

Ранее такое разложение встречалось и использовалось в работе [4]. Коэффициенты Г(т) (т) принимают при т = 0 значения

г<"> (0) Л-1, 1 = ”•

3 У ’ I I л \т+3+1о ■ ^ ■ ,1

К-1) 2, 1 ф т, 1 = т +1,...

сти

Следующая теорема устанавливает связь между элементами последовательно-1С (т, 7)

(І т

т=0

Теорема 3 При т = 1,2,... имеет место равенство

£_ d т

т +1 d т

т d т

d т

d т

(5)

Доказательство. Умножая уравнение Левнера (3) на ш^т и на (т + 1)^т , получим

і а с =,т 1-е _±_ =_г ж+1 і-і

^ „> ., , ^ і+ ^

т dт = 1 + ^' т +1 dт

Складывая почленно, будем иметь

1 Л Ст+1 (х, г) +1 d Ст (т, г) = т 1-£ ( + *) = гт+1 - Гт т +1 Л т т Л т 1 + ^

Дифференцируя обе части этого уравнения по т, получим (5). Теорема доказана. Следствие При т = 1,2,... имеет место равенство

—Г(;”+1) (т) + —Г^ (т) = (т + 1)Г(7и+1) (т) - тГ(т) (т). d т d т

Действительно, после подстановки (4) в (5) имеем

А

(І т

X г(м+1) (т)zі + X г(т) (т)

= (т +1) ^ Г(т+ 1 (т) г1 - т ^ Г(т) (т) г1 .

_ у=т у =т J у=т у=т

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, в силу единственности разложения функции в ряд, получим указанное соотношение. Следствие доказано.

4. Производящая функция для многочленов Бранжа

Образуем определенную в [0, +да)х Е последовательность {т (т, 2)}}=0, полагая

(т, *) -К (,,*) = _ВД<!1Ы), т = 1,2,....

d т т d т

Легко видеть, что

(6)

^ш (Т> 2) = С” (Т> 2)^0 (Т> 2) , т = 1,2>-и имеет место следующее соотношение:

7"(Т2)+^^ш+1 (т>2) =(т +1)^«+1 (Т2)-т^ш (Т2). дт дт

Действительно, умножая (5) на функцию Кебе К(г) и дифференцируя (6) по т, будем иметь

к(2) аЧ”+1 к(2) а2с” 1Г. лас”+1 с

---------2-+-----2~ = к (2 )------к (2 )--.

т+1 а т т а т а т а т

К(г) а(т х)

Учитывая, что Жт (т, г) =-----------------—, получим (6).

т а т

Начальный элемент Ж0 (т, г) этой последовательности представляет собой отображение круга Е на плоскость с тремя разрезами, два из которых лежат на мнимой оси, не проходят через нуль, симметричны и имеют концы в точках

Т

, .е

±1—, а третий разрез лежит на вещественной оси и соединяет точку

е-2т (1 -V1 - е-т)2

-------------, — с -да . Функция Шт (т, г) голоморфна относительно г в

1 - е2т (1 -V1 - е-т )4 круге Е и, согласно теореме Тейлора, раскладывается в степенной ряд

ГО

Щт (Т 2) = Е б/,т (Ф1 ,

/=0

равномерно сходящийся внутри Е. Подставляя его в (6), получим

Е 4~(т) + -ГQl,ш+l (т) ^ = (т + 1)Е0/,ш+1 (т)* -тЕ0/,ш (Т)Е .

а х а х J /=о /=0

1=0

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях г в левой и правой частях равенства, получим

-^б/,т (т) +-^б/,т+1 (т) = (т +1) <2Кт+1 (т)- тд, (т). а т а т

Поскольку

(т, 2) = е--П+Х)Х2т+1 + ..., то при I = 0,1 ,...т коэффициенты <21 ,т (т) равны нулю.

Фиксируем п е N\ {1}. Полагая т = п - я , 5 = п, п -1,...,1, получим дифференциальные уравнения для коэффициентов разложения функции

ГО

(Т 2) = Е в1,т (тУ :

1=ш+1

-^бя,я-* (т) + -^бя,я-*+1(т) = (« - * +1)бя,я-*+1(т)- (« - *)бя,я-* (т),

а т а т

5 = 2,..., п -1; (7)

(т) = -(«- 1)бя,я-1 (т), я = 1,

а т

с начальными условиями

Г0,при 1 < т и при 1 = т + 2,т + 4,...,

Г 0, при 1 < т и при 1 = т-

0/,т (0) = | л 1 * о

[1, при 1 = т +1, т + 3,...,

полученными с учетом разложения

_ т+1 го

ттл /а Ч т+1+2/ т+1 . т+3 .

^т (0,г)^----------2 = ^2 = г + г +....

1- 2 /=0

Запишем систему (7) в нормальной форме:

-dQn,n-1 (т) = -(n - 1)Qn,n-1 (т) , s = 1 ,

d т

а s-i

~rQn,n-s (т ) = 2Z (-1)S+1+1 (n - J )Qn,n- j (т) - (n - s )Qn,ns (т ), aт j=i

s = 2,...,n -1, n є N\ {1}.

5. Связь функций Бранжа с функцией Кебе

Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

^1

= -{п - 1)yu d т

dyL = 2^ {-1)s+j+1 {n - j )yj - {n - s )ys, s = 2,..., n -1, n є N\{1},

dT j=i

и начальными условиями ys (0) = y0 , s = 1,2,..., n -1.

Пусть

Yn (т) = {Y,n {т—{ { Y,n {т —{jj , -, Yn-1,n (T - - 1)}

(8)

f l + (-l)"+1 Л

т,-------

,...,Y

J •••? ±n-1,}

f l+(-l)nn т,-----

s+1

- решения системы (8) с начальными условиями

Л (0) =— и У (0) = -1 + (,1) п - s 2

соответственно.

В [1, с. 179] показано, что ^-й компонентой решения Уп (т) системы (8) является функция

Ys,n It,

(2m)

2m + k, m - -1, -k, m -1 m + -2,2m - 1,m

n -s J (m -1 )kI

Функцию Y,n I т,—-—І называют (s, n) -функцией Бранжа или экспоненци-

’ V n - s )

альным многочленом Бранжа.

Дифференцируя экспоненциальный многочлен Бранжа по т, получим

Y,n U—} V - - s J

-(n-s)t

k I

-(2m)k 3F2

2m + k,-k, m - ■1 _T

і 2; eT

m +1,2m -1

Заметим, что

Y' I 0,

n - s

= -Y

и

Поскольку функции

-Y' „ It,

n - s

Y

’ ±s,l

т, -

1+(-1)

удовлетворяют одной и той же системе дифференциальных уравнений (8) с одинаковыми начальными условиями, то в силу теоремы единственности решения получим

(

т, -

1+(-1)

s+1 Л

= —Y' j т

Js.n

, s = 1,2,..., n -1.

Вернемся теперь к системе (7) с начальными условиями Qn n-s (0) =

1 + (-1)

s+1

Заметим, что функции

Qn,n-s (т) и Ys,,

т, -

1 + (-1)

s+1 Л

удовлетворяют одной и той же системе дифференциальных уравнений и

0, -

Qn,n-s (0) = Ys

венности реш

Qn,n-s (т) = Ys,nj т -

1+(-1)

Тогда по теореме единственности решения будем иметь

1+(-1)s+1 ^

Получаем, таким образом, следующую теорему. Теорема 4. Производная функции Бранжа У, п | т,

^т+1

n - s

и коэффициент

Qn,n-s (т)разложения функции Wm (т, z) = 2

1 -Z l=m+1

= Е Qim (т)z равны, то есть

Qn,n-s (т) = Ys,

т, -

1 + (-1)

s+1 Л

, 0 < т < +да •

ЛИТЕРАТУРА

1. Александров И.А. Методы геометрической теории аналитических функций. Томск: Томский государственный университет, 2001. 220 с.

2. Прудников А.П., БрычковЮ.А., Марычев О.И. Интегралы и ряды. М.: Наука, 1981, 800 с.

3. Сатритдинова Г.Д. Об одном случае интегрирования уравнения Левнера с симметрией вращения // Докл. РАН. 1999. Т. 368. С. 462 - 463.

4. Александров И.А., Александров А.И., Касаткина Т.В. Функционал Милина и полиномы де Бранжа // Актуальные проблемы современной математики. Т. 3: Сб. научных трудов. Новосибирск: Изд-во НИИ МИДО, 1997. С. 13 - 18.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ:

ЮФЕРОВА Галина Александровна - аспирантка кафедры математического анализа механико-математического факультета ТГУ. E-mail: galaOk@mail.ru.

2

Статья принята в печать 24.04.2009 г.