CC BY
19
УДК 517.54
ТВ. Касаткина
ОБ ОЦЕНКЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ НА КЛАССЕ С НЕКОТОРОЙ СТРУКТУРНОЙ ФОРМУЛОЙ
Даны оценки коэффициентов на классе функций более общем, чем ограниченные однолистные в единичном круге функции с симметрией вращения. Обобщается теорема Братска, дающая положительный ответ относительно гипотезы Бибербаха о коэффициентах.
Пусть М, М> 1, - некоторое фиксированное число или бесконечность и р - натуральное число. Множество всех голоморфных однозначных в круге E={r. I z I < 1}
функций /(z) = ^jCl^}z¥+} ,CI<P) = 1, с/нсратнойсим-
1 = 0
метрией вращения вокруг начала и ограниченных в нем, J/(z) |<М, обозначают через Sp(M).
to
Пусть Q(w)=2 X Qk wk - фиксированная голоморф-
i=i
ная в точке w = 0 функция. Рассмотрим множество TP(Q, М) всех голоморфных функций со структурной
формулой g(z) = Лг)е?^Р^\ zeE. Множество TP(Q, М) получается, когдаfiz) пробегаетSP(M). При Q-0 множество Tp(Q, М) совпадает с классом SP(M). Функция g(z)eTp(Q, М) имеет следующее разложение в окрестности точкиz = 0: g(z)= Xg^z'*’*' ,g\p) = 1.
п = 0
Нами найдена оценка сверху для функционала /(g)= = |g^\ | на множестве TP(Q, М) при произвольно фиксированном neN. Поскольку Г](0, ос) = S(x) = S, то решенная задача более общая, чем задача о коэффициентах, с которой была связана гипотеза Бибербаха [1]. Теорема. Пусть даны число М>1 и голоморфная в точке
се
w = 0 функция Q(w) = 2^Qkwk. Тогда для коэффици-
1 = 1
ентов , neN любой функции
g(z) = z + ts(^zv+^Tp(Q,M)
П -1
имеют место оценки
<(n + l)exp{--iTt(l-*21Q„ |2 )М2П„_*+1, (lnM)l, L n+l*=i я + l J
f";"2)'*1"1"''.'-1..........
Доказательство. Обозначим через S' (M)czS (M)
подмножество функций, каждая из которых отображает Е на круг GM = {w: I w \ < Щ с разрезами по p попарно непересекающимся простым дугам Lh Lp, которые не проходят через точку w = 0 и оканчиваются на границе круга Gm. Множество S'p(M) всюду плотно в 5ДМ) в топологии
равномерной сходимости внутри Е. Поэтому для доказательства теоремы достаточно доказать ее для функций g(z) =
=Az)e&fP®\ f(z) е S'p(M).
Пусть /(z) € Sp(M). Простую дугу LK (к=1, ...,/>) за-
дадим уравнением
w=e^p(/), (0й1< InM), e„=eM*~,yp.
Началу дуги LK соответствует t = 0, а концу этой дуги, принадлежащему окружности {w: |w|<M}, соответствует t -InM Можно считать, что области GJt) = {w : weGj^t)}, где
Р
!(/) = 1JA(0> А(0= {w:w = <p(T),0<T</,0<f<lnM},o6-
t=i
разуют стандартное семейство областей Левнера. Очевидно, GfJtijfcGdJi), если 0 <tt< t2< InM Обозначим через v|/(z, t) функцию, однолистно и конформно отображающую круг Е
mG^t), v|/(0, l) = 0, ц/, (0,/) = e'. По теореме Каратеодо-ри о ядре семейства областей vp(0, t) =f(z\ vp(z, InM) = Mz.
Функция v|/(z, t) дифференцируема no t равномерно относительно z внутри E и удовлетворяет уравнению Левнера
= 2X"V~T’ где (к = 1...............Р) ~ прообраз
at dz ц' -zp
точки w = срХО при отображении функцией vy(z, t) круга Е на область GJif). Следовательно, | ц(/) | = 1 (0</< InM). Введем функцию
Ф(Z,О = X 1п ———(z,0)-2 е z 2
Разложением по степеням z функции ^ In-- — — =
2 e'z
-Xy^'O)** определяются логарифмические коэффи-
циенты функции е"'ф(г>0 е ^(М), а при t = 0 - логарифмические коэффициенты у^(0) функции /(z)e eS'p (М). Легко видеть, что у^ (1пМ) = 0(Л = 1,...). Коэффициенты разложения в ряд по степеням z функции
— Q(yip(z,t)) = связаны с коэффициентами
2 i=i
функцииQ(yv)формулами (InM) = QiMkp . Функция Ф(г,1) в окрестности z = 0 имеет разложение
Ф(г,0 = ХФ^)(021р,
*=1
где ^\t) = y(p){t) + q^(ty,
в частности Ф^ОпМ^&М*
Используя уравнение Левнера, получим дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция Ф(г, /):
дФ }__ dt +2~
Hp + zp
ЭФ 1 dz 2jnp-zp
Отсюда, переходя к разложениям левой и правой частей по степеням г, получим
1
2
к = I
=[ Ър®¥ (о^+^1[ b^j^+bzp)^ 1.
1.1=1 2 J|_*=o 1 = 1 J
19
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях z, находим
/*|
/=|
Пусть р*(0 = ^- + £/>/Ф^У\ Ро = Отсюда еле-
2 /*i 2
дует, что
и Ф^'р* (/) = Р* (О + Р*-, (О,(* = 1,2,...).
Таким образом, имеем систему дифференциальных уравнений с заданным управлением ц(1) для коэффициентов Ф^(/) в разложении функции Ф(г, /) при
каждом фиксированном ЛбМ Введем в рассмотрение систему Уо = О,
у', = -р(п-1)у, ,
У>2р1Х-1У*'*1 (n~j)y{-P(»~s)y,
(5 = 2 Л-1)
линейных уравнений с постоянными коэффициентами.
Обозначим через Y£i) = {Го,„(О..я(0,.... Г„_,,„(/)} ее
решение, удовлетворяющее начальному условию
М0)=
j л — 1
Л-5 Л-(Л-1)
Очевидно, Г0, »(0 = 0 на [0; оо). Остальные компоненты общего решения находим обычным образом. В силу формулы суммирования обобщенной гипергеометрической функции в точке z = 1
( 1 „ t л
"■ ‘ (* + 1)!
4^3
-к, т-1,т--, 2т + к,\
т,т + -,2т-\ 2
(2т)*’
следующей из формулы (33) [2. С. 556], получаем представление:
r„(.)-t^(2;:,2'XV:.r>-..........'
(5 = 0,...,Л-1).
Укажем на свойства функций Г,, „(г)- Два из них выражаются равенствами
p{k + \)Y„.k.,n{t)-kPYn.kn{t) =
<-*-1.ЛО+С*.ЛО,*=1,...,и-1;
г, Л*)=0(5 = 0,...,л-1),
которые легко проверяются. Кроме того, имеет место неравенство Y‘s „ <0 0, оо), j = 1.п-1. Доказательст-
во этого неравенства проведено с использованием обобщенных гипергеометрических функций [3]. Неравенство Г,' л (/)^0 указывает на монотонное убывание функции
Ys, Ж) от s / (л-s) до 0 при возрастании for 0 до «.
Введем функцию
«ло=2(1-*,1ф¥)(,)|,К.*.ло.
к =I
В граничных точках промежутка 0 <t<, InМ функция BJif) имеет значения
М0)=1^(1-*2|ф1р')(0)|2),
к >1 л
в. (1пА/) = 2М2\Qk I2 м2» )г„_* „ (1пМ).
Производная В'„ (0 = “V Z |Ф^)’ (0|* С*, (О Р *■ 1
неположительна при любом допустимом управлении последовательно, с ростом t функция B^t) монотонно убывает от значения В£0) до значения BJ)nM).
Для завершения доказательства теоремы применим к коэффициентам функции g(z) неравенство типа Лебеде-ва-Милина [4], которое устанавливает связь между тейлоровскими и логарифмическими коэффициентами функции g(z)e TflQ, М). Имеем:
g^ < (л +1)ехр |- -ly —х
xfi-^ly^Uoj+^'l2)}
ИЛИ г^+)1<(л + 1)ехр|--1-уВв+1 (0)J.
Чтобы получить в правой части этого неравенства величину, не зависящую от выбора /(z) е S'p(M), используем неравенство - В„+ ^0) < - £„+ 1(1пЛ/) и получим к^.Лл + О*
хехр{-^гт£(1-*г 12* I2 м'¥ <1пЛ/>-
I л+11=)
Теорема доказана.
Следствие 1. Если
g(z) = z + CjSz'*1 +... + C^z"* +... 6 SP(M), то
С^^л+1)ехр|-^|;Гя+1.*>п+11п(А/)|(л=1,2,...).
Из следствия 1 при М=оо имеем Следствие 2. Если
g(z) = z + C^z'* +... + ^ +... 6 sp, то |С^,)|<(л + 1)(л = 1,2„..).
Прир = I это неравенство анонсировалось в [1]. Следствие 3. Если
g(z) = z+CjZ2 +...+C„z" +... е S, то |с„Ы л(л = 2,3,...).
ЛИТЕРАТУРА
1. Branges L. A proof of the Bieberbach conjecture // Acta Math. 1985. V. 154. P. 137-152.
2. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Дополнительные главы. М.: Наука, 1986.
3. Александров И.А. Доказательство Л. де Бранжа гипотезы И.М. Милина и гипотезы Бибербаха // Сиб. мат. ж. 1987. Т. 28, № 2. С. 7-20.
4. Касаткина Т.В. О функциях с симметрией вращения // Исследования по математическому анализу и алгебре. Томск: Изд-во ТГУ, 1998. С. 23-24.
Статья представлена кафедрой математического анализа механико-математического факультета Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Математика» 20 декабря 1999 г.
20
