Ветвящиеся процессы с конкуренцией частиц Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.21

ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ С КОНКУРЕНЦИЕЙ ЧАСТИЦ

А. В. Лебедев

Ветвящиеся процессы Гальтона-Ватсона имеют многочисленные приложения в биологии и демографии [1, гл. 1], когда под "частицами" имеются в виду некоторые живые организмы. Ветвящийся процесс может описывать рост их популяции. В случаях, когда численность популяции велика, имеет смысл перейти от дискретного пространства состояний процесса к непрерывному. Таким образом, приходим к процессам Иржины [2], которые могут быть описаны стохастически рекуррентной формулой [3]

2>п = £n(Zn-1), П > 1,

где Cn(t), t > 0, п > 1, — вероятностные копии некоторого неотрицательного безгранично делимого процесса ¿¡(t), t > 0.

Заметим, что процессы Иржины, как и процессы Гальтона-Ватсона, исключают взаимодействие между частицами. Для учета такой возможности разработаны более общие модели [4, 5]. Здесь мы рассмотрим иной подход — на основе ветвящихся процессов с обобщенными операциями суммирования [6, 7].

Понятие "ветвящийся процесс" применительно к марковскому процессу с непрерывным пространством состояний, дискретным временем и обобщенной операцией суммирования ф может быть введено следующим образом: пусть случайные величины щ, 1 < к < т, независимы и распределены как значения процесса Хп при условиях Хп_\ = хк соответственно, тогда Хп распределено как ■ -ф?ут при условии Xra_i = Х\ +... +хт для любых Хк > 0, т > 2. Очевидно, это определение верно по отношению к обычным ветвящимся процессам с простым суммированием частиц.

В качестве примера введем операцию

х\ ф Х2 = х\ + Х2 — SX\X2, Х\,Х2^0, е > 0.

Член — ех\х2 описывает взаимодействие частиц (организмов) типа конкуренции (за территорию, ресурсы и т.п.), благодаря чему их суммарная численность сокращается. Заметим, что взаимодействие здесть происходит только между частицами одного поколения; такая модель наиболее адекватна случаю "однолетних" организмов, чей жизненный цикл укладывается в период от весны до осени. Чтобы операция ф давала всегда неотрицательные значения, необходимо потребовать, чтобы Х\,Х2 £ [0, А], где А = 1 /е, тогда и Х\ фЖ2 £ [0, А]. Величина А здесь играет роль максимально возможной численности популяции.

Легко показать, что введенная операция представима в виде

Х!фх2 = /СГ Vi) + Г\х2)), f(x) = А(1 - е~х/А).

Очевидно, операция ф является коммутативной и ассоциативной и может быть отнесена к обобщенным операциям суммирования [8, с. 95]. Как показано в [7], соответствующий ветвящийся процесс допускает представление стохастически рекуррентной формулой

Хп = f(UXn-i)), 1. (1)

Рассмотрим нормированный процесс Х^ — Хп/А, тогда,

K = n&(K-i)),

где f*(x) = 1 — е~х и = £n(At)/A. Заметим, что = £(At)/А также представляет собой неотрицательный безгранично делимый процесс (с тем же математическим ожиданием, если оно существует). Таким образом, без ограничения общности можно полагать А = 1 (как и будем поступать далее), рассматривая нормированный ветвящийся процесс и меняя лишь параметры процесса t > 0.

Как следует из представления (1), каждый шаг процесса может быть разделен на две стадии: размножение частиц и сокращение их численности за счет конкуренции, описываемое функциональным преобразованием. Последнее может быть легко выведено из следующей дискретной схемы. Пусть имеется N ячеек, по которым равновероятно размещается К частиц. Если в одну ячейку попадет более одной

частицы, то выживает только одна из них. Обозначим число выживших в результате через L, тогда в

Р

качестве следствия из теоремы 1 [9, § 1.1] в пределе при K/N —х, N —оо получаем L/N —> 1 — е~х, х > 0.

Как и процессы Иржины, рассматриваемый процесс может вырождаться различным образом. Если Ро = Р(£(1) = 0) > 0, то для любого х G [0,1] получаем Р(Хга = 0|Xra_i = х) > ро, поэтому процесс Хп обращается в нуль почти наверное (п.н.) начиная с некоторого шага. Если ро = 0, процесс может сходиться к нулю при Ti —> оо.

Теорема. Если р = — lnMe-^1) < 1, то Хп —0, п оо п.н. Доказательство. Для любого х > 0 верно

М(Хга|Хга_1 = х) = 1 - Me"í(1) = 1 - е~рх.

(2)

Обозначим ¡лп = МХга. Из неравенства Йен-сена получаем ¡лп < 1 — , откуда в слу-

чае р < 1 следует ¡лп —0, п —оо, при любом цо ^ 0. Процесс Хп ограничен и, согласно (2), является супермартингалом, так что Хп —0, п оо п.н.

С помощью пакета STATISTICA 6.0 проводилось компьютерное моделирование процесса Хп по формуле (1) на протяжении N = 100 шагов. В качестве положительного безгранично делимого процесса t > 0, был выбран гамма-процесс, характеризуемый распределением величины £(1) = j(a, Л). Здесь р = aln(l + 1/Л).

На рис. 1 представлен случай Хо = 1, а = 99, Л = 100 и р < 1. Видно, что популяция в конце концов вымирает. На рис. 2 представлен случай Хо = 0,01, а = 150, Л = 100 и р > 1. Видно, что сначала происходит экспоненциальный рост, а затем наблюдаются колебания в окрестности некоторого "равновесного" уровня. Такое поведение на качественном уровне согласуется с поведением реальных популяций (см. [1, с. 21]).

Разумеется, при построении подобных моделей, кроме введенной, можно использовать и другие обобщенные операции суммирования. Например, можно предположить, что имеются ячейки более привлекательные и менее привлекательные для частиц, что приводит к полиномиальной схеме размещений. Пусть на отрезке [0,1] задано распределение с плотностью (р(х). Разобьем отрезок на N последовательных равных частей и поставим им в соответствие N ячеек (в смысле вероятностей попадания). Тогда с помощью теоремы 3 [9, § 3.1] в пределе при N —> оо получаем

0,8

0,6

0.4

0,2

0,0

Рис. 1

20

40

Рис. 2

ео

80

100 п

f(x) = 1 - f1 e~xvi-u) du. Jo

Например, при (р(х) = 2х, х £ [0,1], имеем /(ж) = 1 — (1 — е~2х)/(2х).

Автор приносит благодарность М.В. Козлову и Е. Б. Яровой за внимание к работе. Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 03-01-00724 и гранта НШ-1758.2003.1.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Харрис Т. Теория ветвящихся случайных процессов. М.: Мир, 1966.

2. Jirina М. Stochastic branching processes with continuous state space // Czech. Math. J. 1958. 8, N 2. 292-313.

3. Vatutin V.A., Zubkov A.M. Branching processes. II // J. Sov. Math. 1993. 67, N 6. 3407-3485.

4. Калинкин А.В. Марковские ветвящиеся процессы с взаимодействием // Успехи матем. наук. 2002. 57, № 2. 23-84.

5. Lambert A. The branching process with logistic growth // Ann. Appl. Probab. 2005. 15, N 2. 1506-1535.

6. Лебедев А.В. Ветвящиеся процессы с обобщенной операцией суммирования. Случай умножения // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2002. № 2. 65-68.

7. Лебедев А.В. Случайные процессы с обобщенными операциями суммирования // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2005. № 4. 3-5.

8. Золотарев В.М. Современная теория суммирования независимых случайных величин. М.: Наука, 1986.

9. Колчин В.Ф., Севастьянов Б.А., Чистяков В.П. Случайные размещения. М.: Наука, 1976.

Поступила в редакцию 23.05.2005

УДК 517.53

О МНОГОЧЛЕНАХ, НАИМЕНЕЕ УКЛОНЯЮЩИХСЯ ОТ НУЛЯ

НА ДУГАХ ОКРУЖНОСТИ

Г. А. Хакимова

Пусть /С — компакт в комплексной плоскости С.

Определение. Многочленом Чебышева степени п (п = 0,1, 2,...) для компакта /С называется такой многочлен Тп(г) = Тп(г, /С) = гп + ..., что выполнено условие

||Тга|| := тах \Тп(г)\ = тт{тах\Р(г)\ : Р(г) = гп + ...}.

хЕ1С хЕ1С

Эти многочлены впервые были рассмотрены Г. Фабером [1] в случае замкнутых областей, ограниченных простыми аналитическими кривыми. В частности, из его результатов следует, что для единичной окружности С при каждом п многочлен Чебышева совпадает с гп.

Цель данной работы состоит в нахождении условий на компактные подмножества /С окружности С специального вида, при которых сохраняется экстремальность многочлена гп.

Отметим ряд фактов, необходимых для дальнейшего рассуждения.

Лемма А. Для каждого компакт,а /С и каждого натурального п многочлен Чебышева Тп(г, /С) единствен.

Единственность для многочленов Чебышева на отрезке действительной оси была доказана самим П. Л. Чебышевым. В комплексном случае единственность вытекает из результатов А. Н. Колмогорова [2].

Лемма Б. Для единичной окружности С := {г € С : \г\ = 1} многочленом Чебышева степени п является хп.

Очевидно, что многочлены Чебышева степени п (п = 0,1, 2,...) для единичного круга и окружности С совпадают (в силу принципа максимума модуля). Г. Фабер [1] установил, что для лемнискатных областей С = {г : |Р(х) = гк + ... | < с} при любом натуральном п справедливо равенство Тпк(г, С) = Рп(г). Лемма Б является прямым следствием этого результата. Ниже приведено несколько отличное доказательство.

Доказательство. Имеем ||<гга||е = 1- Предположим, что существует такой многочлен Р(г) = хп +..., что ||-Р(<г)||е < 1- Тогда |-Р(<г)| < 1 = \хп\ для всех г € С. Следовательно, по теореме Руше количество нулей внутри круга у многочлена С,)(г) = гп — Р(г) степени не большей, чем п — 1, совпадает с количеством нулей внутри круга у многочлена гп. Получили противоречие, т.е. хп является многочленом Чебышева для С. Лемма доказана.

Лемма В (А.Н. Колмогоров [2]). Многочлен Тп(г) является многочленом Чебышева степени п для ком,пакт,а /С тогда и только тогда, когда не существует такого многочлена Р(г) степени не выше п—1, что для любого ( е М(Тп) := {( £ К. : |ТП(£)| = ||Тп||/с} выполняется неравенство 11е(Р(0Тга(0) > 0.