Максимальные ветвящиеся процессы с несколькими типами частиц Текст научной статьи по специальности «Математика»

Для оценки суммы по диапазону используем оценку суммы степеней делителей из [4, формула (381)]. Получаем

Е ^ < Е < ехр (си ((1п.

(1\Р-1,(1<Р 1п1пр

Суммируя результаты для всех диапазонов, находим верхнюю оценку первой части теоремы.

Докажем теперь вторую часть теоремы. Возьмем е' = е. Согласно (12), сумма по Л ^ f (р/2) не

превосходит нуля, так что по условию остается рассмотреть сумму по р? > с! > р^. Разобьем этот диапазон

1

на несколько диапазонов вида рк > <1 ^ рк+г, где к пробегает все натуральные значения от 2 до — 1 включительно. Внутри каждого диапазона выполняется оценка

что с учетом оценки числа слагаемых т{р — 1) р£ доказывает вторую часть теоремы. Теорема доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Guy R.K. Unsolved problems in number theory. 2nd ed. N.Y.; Berlin: Springer-Verlag, 1994.

2. Campbell M.E. On fixed points for discrete logarithms // Master's thesis, University of California at Berkeley, 2003. http://math.berkeley.edu/~campbell/marithesis.pdf.

3. Konyagin S. V., Shparlinski I.E. Character sums with exponential functions and their applications. Cambridge: Cambridge University Press, 1999.

4. Ramanujan S. Highly composite numbers. Annotated and with a foreword by Nicolas J.-L. and Robin G. // Ramanujan J. 1997. 1, N 2. 119-153.

Поступила в редакцию 11.08.2010

УДК 519.218.2

МАКСИМАЛЬНЫЕ ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ С НЕСКОЛЬКИМИ ТИПАМИ ЧАСТИЦ

А. В. Лебедев1

В работе введены максимальные ветвящиеся процессы с несколькими типами частиц и их обобщения. Представлены примеры их явного построения. Доказана эргодическая теорема для случая двух типов частиц.

Ключевые слова: максимальный ветвящийся процесс, типы частиц, цепь Маркова, эргодическая теорема.

The paper introduces multitype maximal branching processes and their generalizations. Some examples of their explicit construction are given. The ergodic theorem is proved for the case of two types of particles.

Key words: maximal branching process, types of particles, Markov chain, ergodic theorem.

1. Введение. Максимальные ветвящиеся процессы (МВП) представляют собой "экстремальные" аналоги ветвящихся процессов Гальтона-Ватсона, а именно цепи Маркова со значениями в Z+, заданные стохастически рекуррентными формулами вида

Zn+1 = \/ С,

_m,m

m=1

1 Лебедев Алексей Викторович — канд. физ.-мат наук, доцент каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: avlebed@yandex.ru.

где через \J обозначена операция взятия максимума и £m,n, m ^ 1, n ^ 0, — независимые случайные величины со значениями в Z+ и общей функцией распределения F. Полагаем (как и в случае суммирования), что результат взятия максимума "нуль раз" (при Zn = 0) равен нулю.

Можно сказать, что в максимальном ветвящемся процессе в каждом поколении выживают потомки только одной частицы, а именно той, у которой их больше всего.

МВП были введены в [1] (в связи с моделями дальнодействующей перколяции), и там же был получен критерий их возвратности: в предположении F(0) = 0 и при выполнении условия

lim sup x(1 — F(x)) < e-Y,

где y = 0, 577... — константа Эйлера, цепь {Zn} положительно возвратна и, напротив, при

liminf x(1 — F(x)) > e-Y

х^+ж

имеет место Zn ^ n почти наверное (п.н.).

Автором в [2] было проведено обобщение МВП с Z+ на произвольные измеримые множества T С R+. А именно рассматривалась цепь Маркова на T с переходными вероятностями

P(Zn+i < y\Zn = x) = F(y)x, x,y e T,

где F — функция распределения, сосредоточенного на T.

Различным свойствам МВП посвящен цикл работ автора [3-6]. Итоговый обзор представлен в [7], где отмечены приложения в теории массового обслуживания (для вентильных бесконечнолинейных систем).

До сих пор речь шла об МВП с однотипными частицами. Далее мы введем понятие МВП с d ^ 2 типами частиц.

Пусть заданы случайные векторы £(k) = (^[k\ ... ), 1 ^ k ^ d, со значениями в Z+. Определим МПВ с d типами частиц как многомерную цепь Маркова Z(n) = (Zi(n),..., Zd(n)), n ^ 0, со значениями в Z+, заданную следующей рекуррентной формулой:

d Zj (n-1)

Zk (n) = V V jn), (1)

3 ■,k1

j=1 i=1

где случайные векторы ((\п) = ((^(п),... ,((<,(п)), п ^ 1, независимы и ((/\п) = ((/), 1 ^ ] ^ й.

Содержательный смысл заключается в следующем: каждая частица может порождать потомков разных типов, распределение численностей которых зависит от типа частицы. Далее по численностям потомков каждого типа берется максимум. Таким образом, предполагается, что частицы разных типов не взаимодействуют между собой.

Обозначим функции многомерного распределения векторов ((к) через ^, 1 ^ к ^ й, тогда из (1) следует формула для переходных вероятностей:

Р^г (п) < п,..., Zd (п) < и^п - 1) = II,..., - 1) = г<) =

г (2)

= (Зг,..., 3<)... Кл (л,..., 3<), %к ,3к е Z+.

Вводя произвольные распределения векторов ( (к) уже не в Z+, а в И,+ , обобщаем формулу (2) до следующей:

(п) < уг,..., Zd(n) < yd\Zl (п - 1) = хг,..., Zd(n - 1) = х<) =

(3)

1 I УН- УН И г**, УН, 1-1 .

(I

= FX1 (yi,...,yd) ...FXd (yi,...,yd), Xk ,yk e R+.

Естественным представляется определить МВП с й типами частиц и значениями в И,+ как многомерную цепь Маркова с помощью (3).

Однако здесь возникает одна проблема, связанная с многомерностью. В одномерном случае если Е(у) — функция распределения, то Ея(у) тоже функция распределения при любом в > 0. В многомерном случае если Е(уг,..., у<) — функция распределения, то Е3(уг,... у<) совсем не обязательно является таковой.

Пусть распределения векторов ( (к) имеют носители Т% С К+. Обозначим через проекции Т% на ось Ох\. Тогда множеством возможных значений компоненты Zk(п) будет = и<=г Т/% С И,+ .

Сделаем дополнительно следующее предположение:

FS(yi,..., yd) — функция распределения, У в Е T*, 1 ^ к ^ d. (4)

С учетом (4) формула (3) действительно определяет случайный процесс, который можно назвать МВП с d типами частиц и значениями в R+.

По аналогии со свойством 1 из работы [2] для МВП с одним типом частиц можно доказать следующее свойство.

Свойство 1. Если процесс Z(n) = (Zi(n),..., Zd(n)) является МВП, то для набора чисел Ai,...,Ad > 0 процесс Z*(n) = (AiZi(n),..., AdZ¿(n)) также является МВП с функциями

F*k(yi,..., yd) = F (yi/Ai,.. .,yd/Ad)i/Xk, 1 < к < d,

если эти функции суть функции распределения.

2. Примеры явного построения. Как показано в [2], МВП с одним типом частиц и значениями в R+ всегда допускает явное построение. Для МВП с несколькими типами частиц это верно не всегда. Тем не менее можно указать некоторые примеры.

Пример 1. Пусть компоненты векторов k) независимы, тогда их функции распределения допускают представление

Fk (yi, ...,yd) = Fk i(yi)... Fkd(yd), 1 ^ к ^ d,

и МВП может быть задан стохастически рекуррентной формулой

Zk(n) = V Fk j'-") ,

j=i

где случайные величины Ujk,n независимы и равномерно распределены на [0,1].

Если же, кроме того, существуют такие функции Gk(y), 1 ^ к ^ d, что Fki(y) = G<¡'kl (y) для некоторых чисел aki > 0, то МВП может быть задан и другой формулой:

(п) = С-1 (и^ -

где случайные величины и»,п независимы и равномерно распределены на [0,1].

В обоих случаях (4) заведомо выполняется, а (3) проверяется непосредственно.

Пример 2. Пусть Е», 1 ^ к ^ Л, Л ^ 2, представляют собой многомерные максимум-устойчивые функции распределения (функции распределения экстремальных значений) [8, §5.2; 9, §7.5]. Поскольку все происходит в И,+, то из трех экстремальных типов это могут быть только многомерные распределения Фреше. Используем представление Скляра

Ек (У1, ...,уа) = Ск(Ек\(у1),.. .,Ека(уд)), 1 ^ к ^ Л,

где одномерные функции распределения имеют вид

Ек1(У) = — Ьк1)~ак },у > ^ ак, Ск1 > 0, Ъкг > 0

а копулы Ск являются максимум-устойчивыми (копулами экстремальных значений) [9, §7.5; 10, §3.3.4], так что удовлетворяют общему условию

С 3(и1, ...,иа) = С (п\,... ,и3а), У в > 0. Для многомерных распределений Фреше получаем следующие соотношения:

ЕХ (У1, ...у) = Ек (х-1/ак (уг — Ьк1)+Ьк1,.. .,х-1/ак (у а — Ьы) + Ьы), Ух > 0. Отсюда следует, что МВП может быть задан рекуррентной формулой

а

''Ч (п)(^к

Zk(n) = \¡j(n)(Íj)(n) - bjk) + bjk),

j=i

где случайные векторы ((/)(п) = (({^(п),... ,(< \п)), п ^ 1, независимы и имеют многомерные функции распределения Е/, 1 ^ и ^ й.

3. Эргодическая теорема в случае й = 2. Перед тем как доказывать эргодическую теорему для МВП с двумя типами частиц, сделаем ряд дополнительных предположений. Прежде всего пусть

шт{ш!Тк, МТ2,} ^ х0 > 0. (5)

Тем самым мы автоматически исключаем возможность вырождения процесса (его обращения в нуль или сходимости к нулю), а также чередование типов (когда в одном поколении присутствуют частицы только одного типа, в следующем — другого и т.д.) и иные особенности поведения. Вместо (4) тогда достаточно предположить, что

Ех(уг,у2), ЕГ(уг,у2) — функции распределения. (6)

Для обоснования этого факта используем следующую лемму.

Лемма. Пусть Е(х,у) — функция распределения, тогда Ег(х,у) — функция распределения при всех г ^ 1.

Доказательство. Получение нужных пределов функции (единица при х,у — +с, нуль при х — -с и при у — -с) не составляет труда. Основная проблема заключается в проверке необходимого свойства любой функции двумерного распределения:

Е (х2,у2) - Е (х г,у2) - Е (х2 ,у г) +Е (х г,у г) ^ 0, Ух г ^ х2,у г ^ у2.

Задача сводится к следующей: для любых чисел а ^ й ^ 0, Ь,с е [й,а], таких, что а - Ь - с + й ^ 0, требуется доказать, что аг-Ьг-С+йг ^ 0 при всех г ^ 1. Поскольку с ^ а+й-Ь, то Ьг+сг ^ Ьг + (а+й-Ь)г. Функция /(Ь) = Ьг + (а+й-Ь)г, Ь е [й, а], является выпуклой при г ^ 1, поэтому не превосходит взвешенную сумму своих значений /(а) и /(й), которые оба равны аг + йг. Таким образом, Ьг + сг ^ аг + йг, что и доказывает лемму.

Теперь если ЕХ0(уг,у2) — функция распределения, то по лемме таковой является и Ех(уг,у2) = (ЕХ0(уг,у2))х/х0 при всех х ^ хо, а значит, выполняется предположение (4).

(з)

Обозначим через Т{ ) носители распределений, заданных функциями распределения Е|, в ^ хо. Сделаем еще одно предположение:

Т(з) = Тк, У в е Т*к и {хо}, к = 1,2. (7)

Таким образом, множество возможных численностей потомков от частиц каждого типа не зависит от числа этих частиц.

За множество состояний цепи Маркова Z(п) можно принять

5 = {(шах{хи,х2г},шах{хг2,х22}) : (хгг,хп) е Тг, (х2г,х22) е Т2},

поскольку при любом допустимом начальном условии Z(0) е Я+\{0} (таком, что (3) дает функцию распределения для Z(1)) верно Z(п) е 5 для всех п ^ 2 п.н. Будем предполагать, что 5 состоит более чем из одной точки (в противном случае стационарное распределение сосредоточено в этой точке и эргодичность тривиальна).

Обозначим х0 = (хо,хо). Предположим существование такой точки а = (аг,а2), что для множеств А = [аг, +с) х [а2, +с) и Ак = [0,аг] х [0,а2]

P(Z(п) е А^(п - 1) = хо) > 0, P(Z(п) е Aк\Z(п - 1) = хо) > 0. (8)

Например, если Б имеет внутренние или изолированные точки, то в качестве а можно взять любую из них.

Введем норму в И<: ||(хг,... ,х<)|| = шах{\хг\,..., \х<\}. Определим величины

Рк = ИшвирпР(Ц((к) || >и), 1 < к < й.

и—

Теорема. Если выполнены условия (5)—(8) и рг + р2 < е-1, то процесс Z(п) эргодический.

Доказательство. Рассмотрим функцию распределения

С(и) = Р|(1) || < и)Р(№{2) II < и) = Е^щиШщи),

тогда для р = Нш вир^^^ пО(и) верна оценка р ^ р1 + р2 < е-1. Значит, для некоторого числа 0 < т < е-1 существует такое число М > ||а||, что С(и) ^ е-т/и при всех и ^ М. Из формулы (3) получаем

Р(||Я(п)Ц < и\г(п — 1) = ж) = ^(и,и)Г*2(и,и) ^ Сы(и).

Введем пробную функцию Ляпунова д(х) = шах{1п(||х||/М), 0} и обозначим ¡л(х) = М(д(г(п))\г(п — 1) = х) — д(х), тогда

г, , г

!А.(х) ^ (1 — СМе9(х)(Мее)) йу — д(х) ^ (1 — ехр{—тед(х)е-}) йу — д(х) = 7 + 1пт — Е\(—тед(х)), ./0 ]о

где через Е1 обозначена интегральная показательная функция:

— сМ, х < 0,

-х ^

причем Е1(х) ^ 0, х ^ — то. Поскольку 7 + 1пт < 0, это означает, что существуют такие числа е > 0, N ^ М, что ц(х) < —е при ||х|| > N. При ||х|| ^ N величина М(д(г(п))\г(п — 1) = х) ограничена. Таким образом, условия Ляпунова [11, §4.2] выполнены.

Проверим условие перемешивания [11, §2]. Обозначим 5 = ,02)Р2(о,1,0,2) > 0. Заметим, что для любых независимых случайных величин щ,...,цп с функцией распределения Н и множества О С К с ш! О ^ А верно неравенство

P V Пг е ^ ^ P П1 е D,\J^ < Д ^ е D)Hn-1(A).

п1

Чг ^ А I ^ Р (П1 е О)Н \г=1 / \ г=2 )

Обобщая эту идею, получаем, что для всех точек х е V = [хо,Щ2 П 5 и борелевских множеств В С Б верно неравенство

Р(г(п) е в(п — 1) = х) ^ Р(г(п) е в п А\г(п — 1) = х0)5м. Определим на множестве 5 вероятностную меру

Р(г(п) е в п А\г(п — 1) = х0)

<p(B) =

P(Z(n) е A\Z(n - 1) = x0)

и число 0 <p< P(Z (n) е A\Z (n - 1) = x0)SN, тогда P(Z (n) е B\Z (n - 1) = x) > pp(B).

Кроме того, в силу сделанных предположений цепь Маркова Z(n) является неприводимой и аперио-дичной (из любого состояния можно перейти в V за один шаг).

Из проверенных условий следует эргодичность процесса Z (n) [11].

Следствие. Если выполнены условия (5)—(8) и M||£(1)|| < то, M||£(2) || < то, то процесс Z(n) эргоди-ческий.

Утверждение следует из асимптотики P(||£(fc)|| > u) = o(1/u), u ^ то, k = 1, 2.

Другие результаты автора о максимальных ветвящихся процессах с несколькими типами частиц представлены в работах [12, 13].

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 11-01-00050.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Lamperti J. Maximal branching processes and long-range percolation //J. Appl. Probab. 1970. 7, N 1. 89-96.

2. Лебедев А.В. Максимальные ветвящиеся процессы с неотрицательными значениями // Теория вероятн. и ее примен. 2005. 50, № 3. 564-570.

3. Лебедев А.В. Двойной показательный закон для максимальных ветвящихся процессов // Дискретная математика. 2002. 14, № 3. 143-148.

4. Лебедев А.В. Обобщенные максимальные ветвящиеся процессы на ограниченных множествах // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2002. № 6. 55-57.

5. Лебедев А.В. Обобщенные максимальные ветвящиеся процессы в случае степенных хвостов // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2005. № 2. 47-49.

6. Лебедев А.В. Асимптотика хвостов стационарных распределений максимальных ветвящихся процессов // Теория вероятн. и ее примен. 2009. 54, № 4. 515-520.

7. Лебедев А.В. Максимальные ветвящиеся процессы // Современные проблемы математики и механики. Т. 4, № 1. М.: Изд-во ЦПИ при мех.-мат. ф-те МГУ, 2009. 93-106 (http://mech.math.msu.su/probab/svodny2.pdf).

8. Галамбош Я.И. Асимптотическая теория экстремальных порядковых статистик. М.: Наука, 1984.

9. McNeil A.J, Frey R., Embrechts P. Quantitative risk management. Princeton: Princeton University Press, 2005.

10. Nelsen R. An introduction to copulas // Lect. Notes in Statist. Vol. 139. N.Y.: Springer, 1999.

11. Боровков А.А. Эргодичность и устойчивость случайных процессов. М.: УРСС, 1999.

12. Лебедев А.В. Предельные теоремы для стационарных распределений максимальных ветвящихся процессов с двумя типами частиц // Современные проблемы математики и механики. Т. 7, № 1. М.: Изд-во ЦПИ при мех.-мат. ф-те МГУ, 2011. 29-38 (http://mech.math.msu.su/probab/cheb190.pdf).

13. Лебедев А.В. Многотипные максимальные ветвящиеся процессы с копулами экстремальных значений // Современные проблемы математики и механики. Т. 7, № 1. М.: Изд-во ЦПИ при мех.-мат. ф-те МГУ, 2011. 39-49 (http://mech.math.msu.su/probab/cheb190.pdf).

Поступила в редакцию 17.01.2011

УДК 515.12

РАСЩЕПЛЕННЫЙ ВЕС И ИНДЕКС ДЕЛИМОСТИ В ТОПОЛОГИЧЕСКИХ

ПРОИЗВЕДЕНИЯХ

А. Н. Якивчик1

Рассматриваются введенные А. В. Архангельским свойства расщепляемости и делимости, а также определенные на их базе кардинальные инварианты. Исследуется рост расщепленного веса и индекса делимости при переходе к топологическим произведениям.

Ключевые слова: топологическое произведение, расщепляемое пространство, индекс делимости, псевдовес, г-вес, строгая т-дискретность.

The properties of splittability and divisibility introduced by A. V. Arhangel'skii and cardinal functions defined on their basis are considered. The growth of split weight and of divisibility degree when taking topological products is examined.

Key words: topological product, splittable space, divisibility degree, pseudoweight, г-weight, strict т-discreteness.

1. Определения и основные свойства. Основные термины и обозначения следуют книге [1]. Каждый ординал отождествляется с множеством всех меньших ординалов, а каждый кардинал — с наименьшим ординалом соответствующей мощности. Множество всех подмножеств множества A обозначается P(A), а его мощность обозначается 2х или exp Л, где Л = |A|. Натуральный ряд и его мощность обозначаются через ш и c = 2Ш. Кроме того, мы обозначаем log2 т = шш{Л : 2х ^ т}. Вещественная прямая, ее отрезок [0; 1] и двухточечное дискретное пространство {0,1} обозначаются соответственно через R, I и D. Символом В обозначается функция (элемент R^ или Rr), тождественно равная нулю.

Топологическое пространство называется строго т-дискретным (где т — бесконечный кардинал; вместо т = ш пишется а), если оно является объединением не более чем т своих замкнутых дискретных

1 Якивчик Андрей Николаевич — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. общей топологии и геометрии мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: yakivchik@yandex.ru.