Двусторонние оценки числа неподвижных точек дискретного логарифма Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика

УДК 511

ДВУСТОРОННИЕ ОЦЕНКИ ЧИСЛА НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК ДИСКРЕТНОГО ЛОГАРИФМА

Е. А. Гречников1

Выводятся оценки сверху и снизу для среднего числа решений сравнения gx = x (mod p) в целых неотрицательных числах x ^ p — 1, где g — первообразный корень по модулю p.

Ключевые слова: дискретный логарифм, проблема Бризолиса.

Lower and upper bounds are obtained for an average number of solutions of the congruence gx = x (mod p) in nonnegative integer numbers x ^ p — 1, where g is a primitive root modulo p.

Key words: discrete logarithm, Brizolis problem.

Пусть p — простое нечетное число, g — произвольный первообразный корень по модулю p. Рассмотрим сравнение

gx = x (mod p), x G{0,...,p — 1}. (1)

Вопрос о существовании решений сравнения (1) — это известная проблема (см., например, [1]): Проблема (Бризолис). Для каких простых p существуют примитивный корень g mod p и целое число h G [1,p — 1], такие, что gh = h (mod p)?

Эта проблема была решена в 2003 г. в [2], а именно было доказано, что такие g и h существуют при всех простых p = 3.

Будем оценивать число решений (1), усредненное по первообразным g:

N(p) = ^ —^ — 1 : дх = х (mod р)} |.

При a ^ 1 через f (a) обозначим единственный корень уравнения xx = a, не меньший 1. Асимптотически при а оо справедлива эквивалентность /(а) ~ in°nа' Основной результат статьи — следующая теорема.

Теорема. Число решений N(p) представляется в виде N(p) = 1 + S(p), где для функции S(p) при произвольном, е > 0 имеют место нижняя оценка S(p) ^ —С(е)р~ где константа С(е) >0 зависит,

/ / е In In In In р \ \

только ome, и верхняя оценка S(p) ^ exp (C'Li ( (lnp) ьыпр J J npU достаточно больших p. Пуст,ъ seN,s^7. Если, число p — 1 не имеет делителей из отрезка [f(p/2),p^\, то

S(p) = Os,£ (p

i + s(s-l)+£

Заметим, что при достаточно больших р выражение с'"„"„"дрР меньше любого наперед заданного £ > 0, а Ы (х) < х, так что даже при отсутствии дополнительных ограничений на делители числа р — 1 верхняя оценка растет медленнее любой функции вида ехр((1п р)£). Тем не менее она растет с ростом р.

Под обозначением / ^ д будем понимать существование константы С, такой, что \/\ ^ Сд. Нижние индексы у символа (например, / д) будут обозначать зависимость С от индексов (в примере С(£)). Введем функции

I Р — 1 Р — 1 I

= |{1 ^у ^р-1 : (тёдоу,р- 1) = —¡—,(у,р- 1) = —}|>

р

Гречников Евгений Александрович — асп. каф. теории чисел мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: grechnik@mccme.ru.

2 ВМУ, математика, механика, №3

Утверждение 1. Функцию S(p) из теоремы можно представить в виде

Ч (p,d) _ 1 <p(d) р

d\p-i

Доказательство. Заметим, что x = 0 не может быть корнем уравнения (1) ни при каком p, и поэтому можно сделать замену у = gx mod p.

Зафиксируем какой-нибудь первообразный корень go. Тогда

N^ = 1) К1 'md9V = у}| =

1 J p - 1

= I] u(v _ 1) I] К1 ^ У ^ P ~ 1 : ([nd90y,P - 1) = —indgy = y}\.

Зафиксируем у с (indgoy,p— 1) = и пусть g пробегает все первообразные корни mod р. Выясним, какие значения принимает при этом indfly. Ясно, что всегда (ind gy,p — 1) = поскольку независимо от g это означает свойство y быть точным вычетом степени d.

Пусть число CG [0,р — 2] таково, что (с,р — 1) = Выберем с' так, чтобы с = ^рс' (mod р — 1) и

(с',р — 1) = 1. Равенство indgy = с эквивалентно каждому из равенств дс = у и (дс')Е~<г = у• Поскольку возведение в степень а1 задает некоторую перестановку множества первообразных корней, то число g, таких, что ind gy = а, не зависит от а. Так как множество из ^(p — 1) первообразных корней при соответствии

д ь-indfly переходит во множество из <p(d) чисел, то в каждое число переходит по первообразных

корней. Следовательно,

»to = Е щШ < V < Р - 1 : №Ky,P ~ 1) = (у,Р ~ 1) = ^(1 = £ ^

d\p- i dip— 1 '

Представление для Б(р) следует из этой формулы и представления N1^, й) = 3\(р, (1) + ^ ^. Утверждение доказано. Из определений очевидно, что

<?!(?,£*) (3)

Р

Кроме того, согласно [2, теорема 5.1], справедлива оценка

\Si(p,d)\ <ерЗ+е. (4)

Положим Wi(p,d) = {1 ^ у ^ d, : (indfl0 f-yj ,p — 1) = 2z^,{y,d) = 1}. Ясно, что \Ni(p,d)\ = Ni(p, d).

Утверждение 2. При d < p2/3 и произвольном e > 0 имеет место оценка

Ni(p,d) d3/4p£. (5)

Доказательство. Будем исходить из результатов работы [3, гл. 7].

Обозначим вслед за [3] через V подгруппу F* порядка d, через Nd(h) — число решений в тройках (u,x,у) сравнения

ux = у (mod p), 0 < \x\, \у\ ^ h,u £ V. (6)

Каждая пара чисел из Ni(p, d) дает решение (6) с h = d, так что N2(p, d) ^ Nd(d). В соответствии с теоремами 7.2 и 7.4 работы [3] выполняются неравенства

Nd(hih2) »е Nd(hi)Nd(h2)p-s, (7)

h2

Nd{h)^—{d + Nd{[p/2h})). (8)

p

Очевидно, что 4h2 ^ Nd(h) ^ 2h и Nd(h) не убывает (как функция h).

Подставим в (7) h\ = d, ¡12 =

Nd(d)

-р <

pE <

Nd{h2) " - МЛ([£.Г - 2Щ

p.

Для оценки числителя используем (8):

Nd

p

ld + Nd

p

ldVdJ

p

^ p + < p. d

Окончательно получаем

JL

p

dVd

Nd(d) <£ = d3/y, d) < VW) <£ d3/V-

Утверждение доказано.

Утверждение 3. Существуют такие абсолютные константы а > 0, что при й > в\, р > С2

In In In р

справедливы следующие оценки: при d^ р 1п1п?

In In In р

а при d ^ р 1п1пр

Ni(p,d) ^ d 3^p

„ ln ln ln d

Кроме того, для любого е > 0 и натурального з при d ^ р<> выполнена оценка

Если 2dd < p, то

Ni(p,d) <£)S d~s+£. Ni(p,d) = 0.

(9)

(10)

(11) (12)

p

Доказательство. Пусть k ^ 2 натуральное. Введем множества

A=<{l^x<d: ( Р 1х ) = 1 (mod р)\ , Ak = {ai... ak : сц G A}.

d

По определению N\(p, 1) = 0 (мы работаем только с p ^ 3). Пусть d ^ 2. Тогда d G Mi(p,d), так что

М\(р, d) С А. Если х G А, то р \ (j-^-x^ — 1, следовательно, р \ ((р — l)x)d — ddnp\ {—x)d — dd. Поскольку

при этом x < d, то существование x G A влечет неравенство p < 2dd. Поэтому если 2dd < p, то A = 0 и Ni(p, d) = 0, что доказывает последнюю часть утверждения.

Обозначим m = |A|. Согласно доказанному выше, Ni(p, d) ^ m. Далее нам понадобятся две следующие леммы. Лемма 1. Если IAk | > d, то p < dk.

Доказательство. Пусть IAk | > d. Поскольку d | p — 1, то в Fp существует примитивный корень ( степени d из единицы. По определению множества A для любого элемента a G A найдется число v = v(a), такое, что

V-^a = C{a) (mod p).

Для каждого элемента Ak возьмем какое-нибудь его представление в виде произведения ai ...ak и сопоставим элементу число v(ai) + ... + v(ak). Получим Ak| > d чисел, по принципу Дирихле среди них существуют хотя бы два совпадающих по модулю d. Таким образом, существуют такие элементы ai,...,ak ,a'i,...,a'k G A, что ai ...ak = ai .. .a'k и

v(ai) + ... + v(ak) = v(ai) + ... + v(a'k) (mod d).

»d = ' Р — 1

Поскольку Zd = 1 (mod p), то

к /,„ 1 \ к

al

а1...ак = = = й! ... а'к (mod р).

Следовательно, р | (а\. ..ак — ■■■ а!к). Поскольку все а1 < й по определению множества А, то правая часть по модулю меньше йк и не равна нулю. Таким образом, р < йк. Лемма доказана.

Обозначим через Тк(п) число представлений п в виде произведения к натуральных сомножителей. При отображении А х ... х А — Ак, задаваемом формулой (а1,..., ак) — а1... ак, множество мощности тк отображается на Ак, причем у элемента х £ Ак не более Тк(х) прообразов. Учитывая, что все элементы Ак меньше йк, получаем

к

\Ак\ ^ Ш

таХх<^ тк(х)'

Лемма 2. Для любого е > 0 при всех х ^ хо(е) и 2 ^ к ^ 1п1пх справедлива оценка

т&хтк(п) ^ ехр ( (1 + е) 1пк

и^х \ 1п1п х

Доказательство. Пусть п ^ х и п = Л[=1 Р^ — разложение на простые числа. Тогда Тк(п) = П!=1 Ск~+к-Г Рассмотрим отношение

r sik— 1

шж п - п • п -П1П2.

2/ 1п1ш ■ 1 т Н 2/Ыпа; ,/ - ч ,/ - ч

П 1=1 Рг р^(1пж)1/(1+в) р4>(1пж)1/(1+5)

Индукцией по в легко доказать, что Скк+-к_1 ^ к. Следовательно, каждый сомножитель П2 не превосходит = 1.

I,_-< _ ( Л I £ Л 1п к (в'А-к_^ _С (1 I £ ^ ^

Каждый сомножитель Щ не превосходит С3.+к_12 з'ыш ^ 1 (к-1)1—^ 2'|п|ю. Легко

проверить, что максимум правой части, рассматриваемой как функция от действительной переменной Sí ^ 1 — к, достигается в точке — — !)• Подставляя это значение для 8г и учитывая, что

число сомножителей в Щ не превосходит (1пж)1/(1+2)) а к ^ 1п1пж, после несложных выкладок получаем

Гк(п) < (1пЖ)1-/(1+§) 1п1пЖ((1+|)1^^+1о§2 = о(гЬ^)

lnfc 2) In Ina;

£ In к

При достаточно больших х правая часть меньше, чем Лемма доказана.

Оценка (11) сразу следует из леммы 1 и вышеприведенных оценок, если выбрать k = s: по условию в этом случае p ^ dk, следовательно, d ^ \Ak\ mkd-£ при d, больших некоторого числа, зависящего от s; при меньших d добиться выполнения (11) можно за счет выбора достаточно большой константы в символе

Возьмем в лемме 2 е =1; при достаточно больших d имеем dk ^ d ^ xo (1) и при k ^ lnln d можно применить утверждение леммы 2. Если dk ^ p, то \Ak \ ^ d по лемме 1, следовательно,

k k ln d

m ^ d max тк (n) ^ d exp 2ln к

n<dk \ ln ln d

ln d ln d ln к

lnm<< — + lM- (13)

ln ln ln

£

Пусть d ^ p 1п1пр . Возьмем к = . Нетрудно проверить, что при достаточно больших d и р

выполнено неравенство k ln k < 2lnlnd, в правой части оценки (13) второе слагаемое меньше удвоенного первого и

^ Ind In2 d

ln p/ ln d ln p '

что доказывает оценку (9).

Также нетрудно проверить, что при достаточно

т т т р 1

Пусть (1 ^ р 1п1пр . Возьмем к = тт{^, 1п1пс?}

больших й и р для обоих слагаемых в правой части (13) имеют место оценки, из которых вытекает неравенство

1п й 1п 1п 1п й

тт <-——:—,

1п 1п й

что доказывает оценку (10). Утверждение доказано.

Доказательство теоремы. Будем оценивать слагаемые в сумме (2).

Нижняя оценка. Оценим снизу выражение отдельно для d ^ р3/4 и с! > р3/4. При d ^ р3/4,

используя оценку (3), получаем

ф(й) ^ р ^ р ^ При й > р3/4, используя оценку (4) и замечая, что й1-е/3 = й ■ й-е/3 > р3/4р-е/3, получаем

Si(p, d)

<p(d)

Si(p, d)

d-/3

p1/2+e/3 рЗ/4—е/З - P

Поскольку т(р — 1) ре/3, то, суммируя эти оценки по всем й \ р — 1, находим

ЗД + - ^ -С(ф"1/4+£, ЗД ^ -С"(ф"1/4+£, р

что и требовалось доказать.

2

Верхняя оценка. Пусть е > 0 — величина, значение которой мы выберем позднее. Для й

2 1

используем оценку (4), для рз > d ^ рз — оценку (5). В обоих случаях

ЗЛР, д) „ 1/8+£'/2 ¥>(<0 £' Р

Поскольку число слагаемых с d ^ р? не превосходит т(р — 1) <Се' сумма по й^ ръ есть Ое'(р-1/8+е').

Докажем первую часть теоремы. Выберем е' = Из доказанного выше следует, что

Е 1=0(1).

Для р1/2 > р2с$, где Сз — константа из оценки (9), используем оценку (11) с = 2:

У ' 7 <е/ —5— = (Г1/2+£ < р 4сз+ = о(1). (р(й) й

1 1п 1п 1п р

Для р2сз > с1 ^ р 1п1п^ используем оценку (9):

ДГ-i ( Г) (j\ ln d 1 , Z' ln d A ln d ln ln ln p ■ / ш ш ш p \ ■__

; <C dC3Kp~ lnlnrf = p \lnp) ^lnlnd^p Ыпр +СЧ bbp J + inp

^(d)

Число элементов в сумме, как и раньше, оцениваем величиной т(р — 1), но теперь берем более точную оценку т(п) ^ ехр (С-хЫп

ln lnп) '

111 111 111 р . I 111 111111 р *

^ Ш) 1 Л)'

1 lnlnlnp Г\/

й\р-1,р^>й'^р 1п1пР

1п 1п 1п р

Осталось оценить сумму по й <р 1п1пр . Согласно (12), при d ^ /{р/2) всегда ^{р, d) = 0, так что следует рассматривать только й > /(р/2). В частности, число й можно сделать достаточно большим при выборе достаточно больших р. Воспользовавшись неравенством (10), имеем

„ Ып1п<г 1 , ьььа .„/ 1п1п1п<г / ььыпр -,

--' ^ (I 4 1п 1п (I--1Н кГ" ^ ¿ 4 1п 1п (I--1 ^ ¿ 4 Ь1п1пр 1

Р(й)

Для оценки суммы по диапазону используем оценку суммы степеней делителей из [4, формула (381)]. Получаем

Е ^ < Е < ехр (С1Л ((1п.

(1\Р-1,(1<Р 1п1пр

Суммируя результаты для всех диапазонов, находим верхнюю оценку первой части теоремы.

Докажем теперь вторую часть теоремы. Возьмем е' = е. Согласно (12), сумма по й ^ f (р/2) не

превосходит нуля, так что по условию остается рассмотреть сумму по р? > й> р~ё. Разобьем этот диапазон

1

на несколько диапазонов вида рк > с! ^ рк+1, где к пробегает все натуральные значения от 2 до — 1 включительно. Внутри каждого диапазона выполняется оценка

что с учетом оценки числа слагаемых т(р — 1) р£ доказывает вторую часть теоремы. Теорема доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Guy R.K. Unsolved problems in number theory. 2nd ed. N.Y.; Berlin: Springer-Verlag, 1994.

2. Campbell M.E. On fixed points for discrete logarithms // Master's thesis, University of California at Berkeley, 2003. http://math.berkeley.edu/~campbell/marithesis.pdf.

3. Konyagin S. V., Shparlinski I.E. Character sums with exponential functions and their applications. Cambridge: Cambridge University Press, 1999.

4. Ramanujan S. Highly composite numbers. Annotated and with a foreword by Nicolas J.-L. and Robin G. // Ramanujan J. 1997. 1, N 2. 119-153.

Поступила в редакцию 11.08.2010

УДК 519.218.2

МАКСИМАЛЬНЫЕ ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ С НЕСКОЛЬКИМИ ТИПАМИ ЧАСТИЦ

А. В. Лебедев1

В работе введены максимальные ветвящиеся процессы с несколькими типами частиц и их обобщения. Представлены примеры их явного построения. Доказана эргодическая теорема для случая двух типов частиц.

Ключевые слова: максимальный ветвящийся процесс, типы частиц, цепь Маркова, эргодическая теорема.

The paper introduces multitype maximal branching processes and their generalizations. Some examples of their explicit construction are given. The ergodic theorem is proved for the case of two types of particles.

Key words: maximal branching process, types of particles, Markov chain, ergodic theorem.

1. Введение. Максимальные ветвящиеся процессы (МВП) представляют собой "экстремальные" аналоги ветвящихся процессов Гальтона-Ватсона, а именно цепи Маркова со значениями в Z+, заданные стохастически рекуррентными формулами вида

Zn+i = \/ С,

_m,ni

m=i

1 Лебедев Алексей Викторович — канд. физ.-мат наук, доцент каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: avlebed@yandex.ru.