Распределение значений обобщенной суммы делителей в классах вычетов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Труды Петрозаводского государственного университета

Серия “Математика” Выпуск 3, 1996

УДК 511

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ОБОБЩЕННОЙ СУММЫ ДЕЛИТЕЛЕЙ В КЛАССАХ ВЫЧЕТОВ

Б. М. Широков

В статье для функции <т(п, %) = устанавлива-

ются необходимые и достаточные условия слабо равномерного распределения в классах вычетов и асимптотическая формула распределения значений по составному модулю N.

§ 1. Введение

Основные обозначения. Пусть /, £, N. ш, п, г, к, г — натуральные числа, р ид — простые числа, х — фиксированный вещественный неглавный примитивный характер Дирихле модуля ш,1и Хо — соответственно произвольный и главный характеры Дирихле модуля ТУ,

<т(п,х) =

с?| п

К = [ТУ, т] —наименьшее общее кратное чисел т и ТУ, (ТУ, ш) — наибольший общий делитель чисел N и п, Н и /го — произвольный и главный характеры Дирихле модуля 1^, — мультипликатив-

ная группа вычетов по модулю ТУ, о;(п) — число различных простых делителей п (за исключением названия работы [3], где так обозначен вещественный характер Дирихле),

Я3(АГ) = {ае С(АГ) | Зр((р,К) = 1 & а(р^Х) = а (тос1 -/V))},

© Б. М. Широков, 1996

М = min{j I Rj ф 0}, Лм — подгруппа G(N), порожденная множеством Rm{N), S(x,N,a) — количество натуральных чисел п, для которых сг(п,х) = a (mod N).

Будем называть мультипликативную функцию /(п) конгруентно подобной, если существует такое натуральное число I, что для любого L, кратного I,

Полиномоподобные мультипликативные функции, то есть функции, значения которых на степенях простых чисел суть значения полиномов на этих простых числах, не зависящих от выбора простого числа, являются и конгруентно подобными. Однако не всякая конгруентно подобная функция является полиномоподобной. Примерами таких функций являются функции Г2(п), б1(п,х) (см- [1,3]) и рассматриваемая здесь сг(п,х).

Для полиномоподобных функций критерий слабо равномерного распределения в классах вычетов доказан Наркевичсем в работе [2]. В статье [1] критерий перенесен на конруентно подобные функции и изложен метод получения асимптотических формул для распределения значений в классах вычетов. Для дальнейшего нам понадобится этот критерий, и имеет смысл привести его здесь.

ТЕОРЕМА А. Для того чтобы конгруентно подобная функция /(п) была слабо равномерно распределена по модулю N необходимо и достаточно, чтобы существовало такое простое число р, что для любого неглавного характера X модуля ТУ, равного 1 на Ам, было справедливо равенство

В настоящей работе метод работы [1] применяется к функции сг(п,х). В статье [4] доказан критерий слабо равномерного распределения сг(п). Приведенное там доказательство можно с незначительными изменениями перенести и на функцию сг(п,х). Но здесь будет приведено несколько видоизмененное доказательство аналогичного результата.

В этой работе будут доказаны следующие теоремы.

Теорема 1. Для того чтобы сг(п,х) была слабо равномерно распределена по модулю N необходимо и достаточно, чтобы N не делилось

'ipiq'ijijp = q (mod L) => f(p>) = f(q3) (mod L)).

OO

(1)

на 6.

Обозначим через Ъ\ количество тех простых делителей q числа б? = (ТУ, т), для которых q = — 1 (тос1 4), и — оо(с1), к — количество простых делителей q числа с? с условием q = 1 (то(1 3), а через &2

количество простых делителей q числа б? с условием

д = 7 (то(1 12),

и положим

/дг\ _ / 1, если 61 нечетно и д|т =>

301 | 0, если либо существует д\т & д /ТУ, либо Ъ\ четно.

{1, если 62 нечетно и q\m => (g|^V & q = 1 (mod 3)),

О, если либо 3q((q\m & q /TV) V (g|<i & q = 2 (mod 3)), либо 62 четно.

а=П

Обозначим еще

<7-2 / yj <7 — 2 (-lrae^AQ

ш ^_ 1 I .Л; \1 •••?«)

q\N \q\(N,m)

g/ra

£ = max А. Х(1 + х(ж)ж),

ш(К) ^ v ; 7

' xeG(K)

(

/л =

П

q\N,q)(m q=1 (mod 3)

Q- 3

3-1

П

g|(AT,m)

\ g=l (mod 3)

g — 3 | (—2)fcae2(jV) g-1 <p(qi---qk)

r) = max

lp(K)

^2 X(l + x{x)x + X2).

x£G(K)

Теорема 2. Для любого a E G(N) при x —> 00

ж _ ( x

S(x,N,a) =

(1пж)1-л

\fx

(1пж)1-^

+ 0

+ 0

(1пж)1_£ /

X

(1пж)1_г?

(2)

(3)

если]У нечетно;

, если N четно, 3 К N.

§ 2. Доказательство теоремы 1

Из теоремы А следует, что если если Rm{N) порождает G(N), то сг(п,х) слабо равномерно распределена по модулю N. Мы докажем, что

1) если N нечетно, то Ri(N) порождает G(N);

2) если N четно, но не кратно 3, то М = 2 и R2(N) порождает G(N);

3) если 6|7V, то М = 2, но R2(N) порождает собственную подгруппу G(N), и не существует простого числа, удовлетворяющего теореме А, то есть в этом случае нет слабо равномерного распределения обобщенной суммы делителей.

1) Итак, N нечетно. Существует простое р = 1 (mod К), поэтому сг(р,х) = 2 (mod TV) и 2 Е Ri(N). Равенство Ai(TV) = G(N) в этом случае доказывается так же, как в [4].

2) Пусть N четно, но не делится на 6. Тогда Ri(N) = 0, так как

Vp (р, К) = 1 => 1 +рх(р) = 0 (mod 2). Но если р = 1 (mod К), то

^(РтХ) = 1+ р + р2 = 3 (mod TV),

то есть R2 (TV) / 0.

Пусть N = 2Г. Тогда G(N) состоит из всех нечетных х , 1 < х < 2Г, так что R2(2r) = G(2r).

Пусть N = q, q > 3. Пусть р = х (mod g) и х(р) — ~ 1- Тогда существует такое простое число р', что р1 = р (mod g), х(р') = 1.

Следовательно,

р2 - р + 1 = р'2 + р' + 1 (mod g) = сг(р/2, х) (mod g).

Поэтому можно считать, что х(р) = 1 Для всех р взаимно простых с К.

Вычеты х,у G G(N), для которых многочлен 1 + ж + ж2 принимает одно значение, удовлетворяют условию

(ж - у)(х + у + 1) = 0 (mod g),

то есть либо они совпадают, либо ж = q — (у + 1) (mod g), что

дает (<7 Ч- 1)/2 различных значений, соответствующих вычетам х =

Если q = 2 (mod 3), то среди этих значений нет нуля и поэтому они порождают G(q).

Если N = qr и q = 2 (mod 3), то R2{qr) содержит не меньше

1 + (f(qr)/2 элементов. Действительно, так как при х ф (q — 1)/2

(1 + х + х2у ф 0 (mod q),

то сравнение

х2 + х + 1 = b (mod q)r разрешимо при любом b = a (mod q), если разрешимо сравнение

х2 + х + 1 = a (mod q),

что дает (f(qr)/2 различных в G{qr) значений Ь.

Если q = 1 (mod 3), то многочлен х2 + х +1 имеет два различных

корня в G(q). Если один из них хо (mod q), то второй--------хо — 1

(mod q). Поэтому carding) = (q — 1)/2.

Пусть g — первообразный корень по модулю q. Докажем, что R2 {я) содержит элемент вида д2к~х.

Квадратичная форма х2 +ху+у2 представляет 0 в поле вычетов по модулю q при х = хо и у = 1. Следовательно она представляет любой элемент этого поля. Поэтому существуют такие х\ и у\ не равные О, что

х\ +жт +yl=g (mod q).

Тогда для и = у±2 (mod q) и v = х\у^1 (mod q) получим:

v2 + v + 1 = gu (mod q).

Ho u — квадратичный вычет, поэтому существует такое к, что

Таким образом, Я,2(я) содержит нечетные степени д и не может быть подгруппой индекса 2. Следовательно А2^) =

Равенство А2(Ы) = б'(ТУ) для N = дг и для произвольного ТУ, не делящегося на б, доказывается так же, как ив [4].

3) Пусть 6|7У\ Тогда для любого х Е (ТУ)

X2 +.£ + 1 = 1 (пк^ 6).

Но сравнение х = 5 (mod 6) разрешимо в ^(А^). Следовательно Л2(А^) есть собственная подгруппа ^(А^). Нам необходимо доказать,

что не существует числа р, для которого справедливо равенство (1) теоремы А.

Пусть рф 2. Тогда для любого j > 1

2j —1

XI xip'W = 0 (mod 2).

k=О

Поэтому для любого характера X модуля N X(cr(p2j_1, х)) = 0. Следовательно,

X(a(p2j,x))

i=1 vi/2 U *

так как

X(a(p2j,x))

pJ

3=1 F

1 1

< --- <

~ p-1“2

Пусть p = 2. Если m (модуль характера x) четно, то *^2 = 2. Пусть т нечетно. Если х(2) = 1, то

j

a(22j~\x) = 3 + ^(22fe“2 +22k~1) = 0 (mod 3).

k=2

Следовательно, X(cr(22j_1, x)) = 0, если j > 0. Ho cr(22j, x) = 1, если cr(22j, x) взаимно просто с iV, и равно 0 в противном случае. Следовательно, S2 > 1. Если же х(2) = —1, то Х(сг(22,х)) = 0 и £2 > 1/2.

Итак, простого числа р, для которого Sp = 0 для любого неглавного характера, равного 1 на A2(N), не существует.

§ 3. Доказательство теоремы 2

Введем дополнительные обозначения: Т = ехр(л/1п ж), сто = 1 + 2/In ж,

^ sio+iT

F(s,X) = '£X{a{n;x)), J(*,F) = J_ f F(s,X)— ds.

ns ZTTl J s

Ті-1 тр

CTQ—lJ

Для положительных постоянных а и /3 обозначим через О (а, (3) область s-плоскости:

Р

S = СГ + it (7 > G\t) — a —

ln(2+ 1*1) ■

Используем следующую лемму из работы [3].

Лемма Для любого a Е G(N) при х —>• оо

S{x,N,a) = -j1-rJ{x,XQ) + -^- У" XJ(x,X) + 0(x1/Me~c'A^). сp{N) (p{N)

Из этой леммы видно, что доказательство асимптотических формул сводится к асимптотической оценке интегралов J(x, X), которая, в свою очередь, получается при помощи леммы на с. 180 работы [1], приведенная в статье [3] как теорема Б. Для применения этой леммы нужно изучить F(s,X).

1) N нечетно. Тогда М — 1 и при a > 1 имеем:

^.*> = n(i-^rn(£w,x))

Обозначим через

ч ps) \ PJS

p\m р J(m \J>0

ps) V ps ) pJS

p\m p /га j>0

Эта функция регулярна при a > 1/2, для любого £ > 0 ограничена при сг>1/2 + гине равна 0 при s = 1. Функция F(s,X) может быть записана в виде:

F(o, X) = Ф<«, X) П (i - Х(1+Р,х(р)р>) ■

р\т

Последнее произведение может быть выражено через L-функции Дирихле характеров h модуля К. Для этого рассмотрим

1„Г(,,Х) = 1пФ + £Х(1 + *М) + V Х"(1+,Х(Р)). (4)

pj(m р)(т

к> 2

Последняя сумма регулярна при а > 1/2 и для любого £ > 0 ограничена при а > 1/2 + £. Первую сумму в формуле (4) представим в виде:

^(1 + х(р)) _ Х(1 + х(х)х)

jjs jjs ' ^ '

р )(т xEG(K) р=х (mod К)

Используя свойства характеров, получим:

Е^±*м> = Е 1 Е Я(1)Х(1+х(1)1)Еад

р /га hmodK xEG(K) Р

Обозначим через

Z^X,h^ = ~fK) ^ Цх)Х(1 + х(х)х) (6)

^ ’ xeG(K)

и через

*<»,*) = -5>(*,Л> £ <7>

h p,k> 2 У

Последняя функция также регулярна при а > 1/2 и ограничена при сг > 1/2 + г. Из формул (4)-(7) заключаем:

F(s,X) = Ф1(5,Х)П(Ь(5,/1)Г(х’,1), (8)

где функция Ф1 обладает такими же свойствами, как и Ф. Формула (8) показывает, что существует постоянная /3 > 0 и такая регулярная и не обращающаяся в ноль в области 0(1,(3) функция 0(в,Х), что

Р(в,Х) = С(в,Х)(в - 1)-2(х’^

На основание выше приведенной леммы, а также леммы работы [1] (или теоремы Б работы [3]) получаем: для любого а £ (ТУ) при х —У 00

ГУ/ ЛТ \ Х у' \ Х

^х,М,а) = С-——^-1- + 0

(Ыху-^оМ у^пж)1 ^ )

Для завершения доказательства в этом случае осталось вычислить г(Хо,ко) Обозначим эту величину через Л.

Представим К в виде произведения трех попарно взаимно простых чисел Р, и й так, чтобы Р содержало простые числа, не делящие ш, (3 состоит из простых, общих для ш и ]У, а й составлено из простых делителей ш, не делящих N. Тогда

в (К) =<?(Р) хС(О) хС(Д),

а соответствующие проекции ж Е (К) обозначим жр, жд и жд. Тогда

А = -т^у X *<>(1 + х(Фр) X Хо(1 + Х(®)ж<э) X + Х(ж)жл)-

' ' Жр Х(Э ж я

В первой из трех сумм знак вещественного характера не меняется. При любом его значении получаем

1 хг / ч ч ТТР~2

XХ0(1 + х(фр) = П -—у

(f(p) ' -1-1 р -

J хр р\ру

Далее предстоит рассмотреть два варивнта: R = 1 и R / 1. Если R ф 1, каково бы ни было число q, делящее Q, для любого вычета xq = — 1 (mod g) найдется ip(R)/2 таких вычетов жд, что для соответствующего х Е G{K) будем иметь х{х) — 1- Также и для xq = 1 (mod g) найдется столько же вычетов xr, что х(ж) = —1 для соответствующего х. Поэтому, если R ф 1, то

л= п

Q ~ 1

9I-PQ

Пусть теперь Д = 1. Нам нужно вычислить вторую из трех сумм в выражении для Л при условии, что третья сумма отсутствует. Так как значение этой суммы не зависит от того, будет ли Р = 1 или нет, для удобства будем считать, что Р = 1 и xq = х. Обозначим эту сумму через V и разобьем ее на две части — на У+, содержащую слагаемые с х{х) — 1? и V~, содержащую слагаемые с х{х) — ~ 1-Обозначим через щ показатель, с которым простое число qi входит в Q. Чтобы вычислить V+ нужно из ip{Q)/2 элементов подгруппы G(Q) индекса 2 вычесть количество тех ее элементов, для которых

хотя бы для одного значения %. Это количество равно

1 у{Я)

2 ^ - 1 ’

*=1 41

При этом те вычеты, для которых сравнение (9) имеет место для двух различных индексов i и j, будут учтены дважды, и количество таких элементов, равное

1

2 ^ ¥>((/«&) ’

необходимо вернуть, и так далее. Если при этом Ь]_, количество ^ = — 1 (тос1 4), четно, то среди вычетов х Е (?((5) с условием х(х) — 1 имеется такие, для которых сравнение (9) выполняется для всех делителей ^ числа С}. Количество их равно д“1-1 • • • Йи-1. Если же Ъ\ нечетно, то таких вычетов нет. Поэтому, используя определенную на с. 177 величину зе^ТУ), будем иметь

д _ тт Ч ~ 2 _ (~1)И«1(А0 ^9-1 ¥>(91 •••<*«)

Из всего сказанного следует, что в общем случае показатель Л определяется формулой (2) на с. 177. Таким образом, доказательство теоремы 2 в случае нечетного N завершено.

2) N четно, но не кратно 3. Нам уже известно, что в этом случае М — 2. Показатель z(X,h) имеет вид

= X Цх)Х(х2+х(х)х + 1).

^К) Х^К)

Обозначим через /1 = = г(Хо,Но). Рассуждая аналогично пер-

вому случаю, выведем, что существуют /3 > 0 и регулярная и не обращающаяся в 0 в области 0(|,/5) функция (?($,X), что

/ 1 \ г(Х,Н0)

Р(8,Х)=С(8,Х){8--)

Применяя лемму работы (1) (теорему Б работы [3]) получим утверждение теоремы и в этом случае. Для завершения теоремы осталось убедиться, что показатель /а вычисляется по формуле (3).

Заметим, что сравнение

х2 + х(х)х + 1 = 0 (mod q)

разрешимо тогда и только тогда, когда

q = 1 (mod 3). (10)

Как и в первом случае, представим К в виде К = PQR с той разницей, что в Q возьмем степени лишь тех простых делителей (7V, ш), для которых справедливо сравнение (10). Степени же остальных простых делителей этого числа отнесем к R. Обозначим через /+(ж) = х2+х+1 и/“ (х) = х2 — ж+1. Учитывая, что знак х(х) полностью определяется компонентой XpQ, получим

// = -?^тЕ+хо(/+(^я)) Е Mf+(*p))+

^ ' xPeG(P)

x0(f-(xQR)) ыг(*р)).

(xp EG(P)

Повидимому, понятно, что сумма с плюсом означает суммирование по тем элементам группы G(QR), на которых х(х) — 1? а сумма с минусом — по тем, для которых х(х) — — 1- Внутренние суммы уже не зависят от характера и легко просчитываются. Их значения одинаковы и мы их обозначим через /ip, причем

ТТ ч — ?>

»р= П

_я\Р

q=lmod3

Обозначая внешние суммы вместе с коэффициентом 1 /ip(QR), как и раньше, через V+ и V~, имеем:

v = Mv++ v~).

Если q\Q, то каждое из сравнений

х2 +ж + 1 = 0 (mod q) (11)

и

имеет два решения. Если а — максимальная степень, с которой qa делит (3, то существует qa~1 вычетов по модулю qa, удовлетворяющих сравнению (11), и столько же для сравнения (12).

Пусть #1,..., Як — все простые делители (2, и «1,..., аи — соответствующие степени, с которыми ОНИ ВХОДЯТ В (2- Если Д / 1, то

„OLi-l

2\T~\arx

Ш

к

Qi

21=1 41 ~1

Аналогично вычисляется и дает то же значение и У~. Таким образом, если (ТУ, т) содержит простые делители, либо не удовлетворяющие сравнению (10), либо не делящие N (т. е. Д / 1), то

ТТ Ч — ?>

11 = П

_д| N д=1 тос1 3

Рассмотрим теперь случай Д = 1, т. е. все простые делители т делят N и удовлетворяют сравнению (10). В этом случае в в (С}) существует 2kq^1~1 вычетов х с условием х(х) = 1? так как,

если х удовлетворяет сравнению (11), то он является квадратичным вычетом по модулю д. А в виду того, что он является квадратичным вычетом по всем простым делителям числа ш, то х(х) — 1- Следовательно

у+^-(г-У^+ +у(_1)*-1ТТ 1 1 +

<p(Q)

Для вычисления V~ рассмотрим вычеты ж, удовлетворяющие сравнению (12) для всех q\Q. Такие вычеты удовлетворяют сравнению

Следовательно х будет квадратичным невычетом по модулю д в том и только в том случае, если д = 3 (тос1 4). Поэтому х(х) = — 1 лишь в том случае, если количество таких д нечетно. Так как эти д еще удовлетворяют сравнению (10), то для них справедливо сравнение

д = 7 (тос1 12)

Количество таких простых делителей (ТУ, ш) на с. 177 было обозначено через

Итак, если четно, то вычетов х с условием х(х) = — 1 и удовлетворяющих сравнению (12) для всех д|(3 нет. Следовательно,

1 / к Ппа{-1 к 1

у' = 5(1-£*^т+-+£<-1,"1П;^)

Складывая это с У+, получим

ТТ ^ — з *

что соответствует формуле (3) для случая ^(ТУ) = 0.

Если же &2 нечетно, то количество вычетов, о которых говорилось в предыдущем абзаце, равно 2кдс^1~1 • • • ^Аг_1/^(С)« Поэтому = У~ и

д-3 1 (~2)к

)|в9-1

что соответствует формуле (3) в случае ае2(ТУ) = 1. Этим и завершается доказательство теоремы 2.

Resume

The necessary and sufficient condition of weak uniformly distribution in residue classes for generalized function of a sum of divisors a(n,X) are obtained. The assimptotic formulaes for values distribution of a(njX) are proved too.

Литература

[1] Широков Б. М. Распределение значений арифметических функций в классах вычетов//Зап. науч. семинаров ЛОМИ. 1983. Т.121. С.176-186.

[2] Narkievicz W. On Distribution of Velues of multiplicative Functions in Residue Classes// Acta Arithm. 1967. V.12 No3. P.269-279.

[3] Широков Б. М. Распределение d(n,w) в классах вычетов// Труды ПГУ, серия “математика”. 1995. Вып.2. С.136-144.

[4] Sliva J. On Distribution of Values of a(n) in Residue Classes// Coll. Math. 1973. V.XXVII. Fasc.2. P.283-291.