Метрические свойства ломаных Понселе Текст научной статьи по специальности «Математика»

5. Hallin M., Puri M.L. Optimal rank-based procedures for time series analysis: testing an ARMA model against other ARMA models // Ann. Statist. 1988. 16. 402-432.

6. Hallin M, Puri M.L. Time series analysis via rank order theory: signed-rank tests for ARMA models //J. Multiv. Anal. 1991. 39. 1-29.

7. Hallin M, Puri M.L. Aligned rank test for linear models with autocorrelated error terms //J. Multiv. Anal. 1994. 50. 175-237.

8. Boldin M.V. Local robustness of sign tests in AR(1) against outliers // Math. Methods Statist. 2011. 20. 1-14.

9. Martin R.D., Yohai V.J. Influence functionals for time series // Ann. Statist. 1986. 14. 781-818.

10. Rieder H. Qualitative robustness of rank tests // Ann. Statist. 1982. 10. 205-211.

11. Hampel F.R. A general qualitative definition of robustness // Ann. Math. Statist. 1971. 42. 1887-1896.

12. Hampel F.R., Ronchetti E.M., Rousseeuw P.J., Stahel W.A. Robust statistics. The approach based on influence functions. N.Y.: Wiley, 1985.

Поступила в редакцию 19.05.2010

УДК 514

МЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЛОМАНЫХ ПОНСЕЛЕ

Е. А. Авксентьев1

В работе получено обобщение теоремы Радича-Калимана о метрических соотношениях в ломаных Понселе, из которого выводится общий принцип нахождения условия замыкания ломаной Понселе для двух окружностей. В частности, получены явные формулы для вписано-описанных n-угольников при n = 5, 6, 8 и алгоритм отыскания таких формул для любого n.

Ключевые слова: теорема Понселе, вписано-описанный многоугольник, пучок окружностей, теоремы о замыкании, условия замыкания.

A generalization of the Radic-Kaliman theorem on metric relations in Poncelet polygonal curves is obtained in the papaer. A general principle for determination of condition for a closure of a Poncelet polygonal curve for two circles is derived from this result. In particular, explicit formulas for the inscribed-circumscribed n-gon for n = 5, 6, 8 and an algorithm for finding such formulas for all n are obtained.

Key words: Poncelet theorem, inscribed-circumscribed n-gon, pencil of circles, closure theorems, closure conditions.

1. Введение. Теорема, открытая Ж.-В. Понселе в 1814 г. [1], представляет собой альтернативу, согласно которой вписано-описанная ломаная двух коник либо замыкается для любой, либо не замыкается ни для какой начальной точки, причем в случае замыкания число звеньев всегда одинаковое. Если некоторым проективным преобразованием можно перевести эти коники в концентрические окружности, то утверждение теоремы становится очевидным, однако такого преобразования в общем случае не существует. Например, две неконцентрические окружности нельзя перевести в концентрические, ибо все окружности в однородных координатах проходят через точки (1, ±i, 0) бесконечно удаленной комплексной прямой (см. [2, гл. XXII, § 2]), а концентрические окружности, и только они, касаются в этих точках друг друга. Есть множество обобщений и следствий этой замечательной теоремы, которые нашли применения в классической геометрии, теории алгебраических кривых, дифференциальных уравнениях и т.д. (см. работы [3-5] и библиографию в них). Еще одна задача, которую называют поризмом Понселе, звучит так: каким должно быть соотношение между параметрами, характеризующими две коники, чтобы для них существовала вписано-описанная n-звенная ломаная? А. Кэли нашел явное условие на уравнения двух коник c таким свойством [6, 7]. Однако попытки применить его формулы в простейшем случае для двух окружностей приводят к очень громоздким вычислениям уже для n = 4.

1 Авксентьев Евгений Александрович — студ. каф. общих проблем управления мех.-мат. ф-та. МГУ, e-mail: avksentjev@mail.ru.

В настоящей работе формулируется и доказывается теорема, обобщающая результат Радича и Ка-лимана [8] о метрических соотношениях в ломаных Понселе (теорема 1). Затем устанавливается общий принцип отыскания формул, задающих условие замыкания ломаной Понселе для двух окружностей (теорема 2), с помощью которого находится связь формул для п и 2п (теорема 3) и описывается алгоритм вывода формул для всех натуральных п (теорема 4). Попутно выведем формулы Эйлера и Фусса, а также условие существования п-угольника Понселе для двух окружностей при п = 5, 6, 8.

Везде далее а и в — окружности радиусов Я, г, расстояние между центрами которых равно !. Для определенности будем считать, что в лежит внутри а; О — множество пар (а, в) с таким свойством. Под ломаной Понселе этих окружностей будем понимать ломаную ... уп, у которой все вершины Л\,Л2,..., Ап+1 лежат на окружности а, а звенья ,У2,...,Уп касаются в. Если ломаная замкнута, т.е. Ап+1 = Л\, и не имеет самопересечений, то будем ее называть многоугольником Понселе. Через И(а, в) обозначим пучок окружностей, проходящий через а и в. Напомним, что пучок окружностей — это множество окружностей, ортогональных двум фиксированным окружностям плоскости (здесь и далее прямые также считаются окружностями). Множество окружностей, ортогональных каждой окружности некоторого пучка, образует ортогональный пучок. Если окружности пучка не пересекаются, то окружности ортогонального пучка пересекаются в двух точках на линии центров первого пучка. Эти две точки являются его вырожденными окружностями и называются предельными точками пучка. Инверсия с центром в любой из них переводит окружности пучка в концентрические окружности [9]. Степенью точки А относительно окружности а радиуса Я с центром в точке О называется величина аа(А) = |ОА|2 — Я2.

2. Обобщение теоремы Радича—Калимана. Радич и Калиман установили следующий интересный факт [8].

Теорема А. Пусть ломаная XZY вписана в а так, что XZ и 2У касаются в в точках X'и У' соответственно. Тогда величина х постоянна и равна •

Доказательство, представленное в [8], вычислительное и довольно громоздкое. Мы дадим геометрическое доказательство следующего обобщения этой теоремы на ломаные с произвольным числом звеньев.

Теорема 1. Пусть п ^ 2 и ... ип — ломаная Понселе а и ¡3 с началом X и концом У (см. рис.1), а звенья VI и уп касаются в в

точках X' и У' соответственно. Тогда для всех таких ломаных ХУ

величина постоянная.

XX'+YY'

Для каждого n Е N эту величину обозначим через kn(а, в). Для доказательства нам понадобится одно следствие большой теоремы Понселе [10], а именно

Теорема B. Пусть A\... An+i — ломаная Понселе а и в. Тогда AiAn+i касается фиксированной окружности jn Е F(a, в).

В [11] элементарно доказана обобщенная теорема Эмха, из которой напрямую следует теорема B. В [12] приводится элементарное доказательство теоремы Понселе для двух окружностей, которое подходит и для доказательства теоремы B.

Известно [12], что пучок окружностей параметризуется точками действительной прямой. Рис. 1 Лемма 1. Любая окружность y е F(a, в) — это геометри-

ческое место точек плоскости,, отношение степеней которых относительно а и в постоянно. Обозначим эту константу окружности 7 £ ¡3) через и-у(^).

Доказательство теоремы 1. Из теоремы B следует, что все прямые XY касаются некоторой окружности Yn из пучка F(a, в), проходящего через а и в. Пусть W — точка касания XY с Yn. Тогда по лемме 1 существует число k = у/'и«(-|г), такое, что XW= к(-\/а^(Х)), YW= k(\fa^(Y)), т.е.

XY = к(уЩХ) + УМЛ) = k(XX> + YY'). ►

Теорема 1 дает возможность легко вычислить к2(а, в), поскольку достаточно найти эту величину у какой-нибудь одной ломаной. Рассмотрим двухзвенную ломаную XZY (см. рис. 2), у которой средняя вершина Z лежит на линии центров а и в. Пусть центр I окружности в лежит на отрезке ZO, где О — центр a, W — середина XY, t = ZXZO. Тогда sini = |XW| = |XZ|sini = 2Д sini cos i;

\ХХ'\ = \XZ\ - \X'Z\ = 2 R cos t — (R — d) cos t = (R + d) cos t; = Щ = fff^f = ^ =

gi^rfi • Значит, k2(a, fi) = jprrj.г- Если 72 = [3, то k2(a,fi) = 1 и получаем известную формулу Эйлера для

треугольника

1

+

1

R — d R + d

3. Условия замыкания. Теперь, пользуясь теоремой 1, мы получим общий принцип вывода формул, задающих условия замыкания.

Лемма 2. Окружности а, в, 7 соосны; Я,г,р — их 'радиусы,

й и И — расстояния между 'центрами а и /3, а и 7; к := .

Если в, 7 лежат внутри а, то

/Т

/ Л. У N / ]\ y\

w \

a/

Рис. 2

D = kd, р = л/R2 + D2- k(R2 - г2 + d2).

Доказательство. Рассмотрим декартовы координаты Oxy, у которых начало координат O совпадает с центром окружности а, ось Ox направлена по линии центров а, ß, 7 так, что центры ß и y имеют положительные абсциссы d и D. Рассмотрим точку A(x; y) £ а. Тогда имеем x2 + y2 = R2, а условие а7(A) = kaß(A) запишется так: (x — D)2+y2 — р2 = k((x — d)2+y2 — r2), откуда 2(kd-D)x+R2(1-k)+D2 — p2+k(r2 — d2) = 0. Так как это верно для любого x £ [—R; R], то kd — D = 0, R2(1 — k)+ D2 — p2 + k(r2 — d2) =0. ►

Поскольку ua(-^-) = k2(a,ß), с помощью леммы 2, зная kn(a,ß), можно находить радиус р окружности Yn и расстояние d от ее центра до центра а. Если Ai... An+i — многоугольник Понселе, то Yn = ß, а kn(а, ß) = 1. Обратно, пусть kn(а, ß) = 1. Тогда Ai = An+i. Рассмотрим окружность b, касающуюся смежных с A\An+\ сторон. Когда окружность b меняется так, что ее центр движется в некоторой окрестности центра окружности ß в одном направлении по биссектрисе прямых, содержащих эти стороны, величина v(b), равная сумме длин касательных к b из точек Ai и An+i, меняется монотонно и значение A\An+\ может принимать не более чем для одной такой окружности. Но когда b касается A\An+\, имеем v(b) = AiAn+i. Поэтому если kn(а, ß) = 1, то ß касается A\An+\.

Обозначим Fn(R,r,d) := kn-i(o.,^) — 1. Таким образом, соотношение Fn(R,r,d) = 0 задает необходимое и достаточное условие замыкания n-звенной (возможно, самопересекающейся) ломаной Понселе окружностей а и ß. Поскольку соответствие (а, ß) ^ (R, r, d) задает биекцию множеств Q и П = {(R,r,d) £ R+ : R > r + d}, правило (u,ß) ^ (а^%) определяет для каждого i £ N отображения

Gi : П —>■ П следующим образом: Gi(R,r,d.) = (R, р(7i),D{li)) = (R, \JR2 + k2d2 — ki(R2 — r2 + d2), kid),

где ki = UaCf),li = li(a,ß).

Пусть Bi... Bn — многоугольник Понселе. Из теоремы B следует, что для каждого целого k прямые BiBi+k Vi = 1,...,N (индексы берутся по модулю N) касаются фиксированной окружности Yk £ F(а, ß). При этом Yo = а^1 = ß, Yk = Yn-k. Если N = nl, то Ai... Ai, где Ai = Bin, тоже многоугольник Понселе, но уже для пары окружностей а^п. Таким образом, получаем следующую теорему.

Теорема 2. Если у окружностей а и ß существует n-угольник Понселе и n = ni.. .nr, то [Fni о

СП2 о ... о г, й) = 0, где Сщ = Ощ{а, 7^), ЕП1 = ЕП1{а, 7^), и = П г = 1, г - 1, £г = 1.

3=г+1

Замечание. Поскольку множители щ могут быть в любом порядке, для любой подстановки а

](Я,г,0) = 0, где Спа(1) = Спа(1) (а,7и),

множества {1,...,r} выполняется о Gn^^2) о ... о

F = F

Fn Fn

Mi)

>М 1) («. 7*1), и = П па(Л> { = 1,г~ 1, и = 1.

3 =г+1

Если А\... А2П — 2п-угольник Понселе а и в, то А2А4 ... А2П — п-угольник Понселе а и 72. Найдем радиус р окружности 72 и расстояние И от ее центра до центра окружности а. По лемме 2 имеем И = к(1,

р = \/Е2 + V2 — к(Я2 — г2 + с?2), где к = к'^а,^), а по теореме А имеем ^(а, Р) = • Отсюда Б =

' ТогДа

m2r2d V Ш2т2 ,„2 2 ,2ч

(R - г2 + d2) =

р2 = R2 +

(R2 — d2)2 ) (R2 — d2)2

R2

(R2 — d2)4

((R2 — d2)4 — 4r (R — d2)2(R2 + d2)+ 4r4(R2 + d2)2 — 4r4(R2 + d2)2 + 16R2r4d2 + 4r2(R2 — d2)2) =

п2

к (2 г2{П2 + й2)-{П2-й2)2)2,

(К2 - й2)4

2г2(Д2+^2) _ (Д2-^2)2 Х

т.е. р = К

Заметим, что Л^Лг+п пересекаются в предельной точке пучка И(а, в). В самом деле, по теореме В прямые ЛгЛг+п касаютя 7п Е И(а, в). Пусть, например, ломаная Л^Лг+1 ... Л^+п и окружность 7п лежат по разные стороны относительно прямой ЛгЛг+п. Тогда это свойство будет сохраняться при вращении точки Л1 по окружности а в силу непрерывности траекторий. Поэтому у многоугольника Понселе Л1... Л^п, где Л[ = Лп+1, ломаная ... Л'^+п = Л^+п ... Л^+2п лежит по другую сторону от прямой Л[Л[+п = Л^Л+п,

нежели окружность 7п. Если 7п не вырождается в точку, то получаем, что весь многоугольник Л1... Л2п лежит с одной стороны от прямой Л^Л^+п, чего быть не может, так как он выпуклый. Значит, 7п всегда точка, а следовательно, предельная точка пучка И(а, в).

Для четырехугольника Понселе это означает, что 72 — точка пересечения диагоналей, т.е. ее радиус р = 0. Из найденных нами формул для В и р получаем

Следствие. Для 4-угольника Понселе верны формулы

1 1 1 ,тт ^ Л г, 2К2й

+ ,п , м = -5 (Н■ фУсс)> В =

(К - й)2 (К + й)2 г2 у ' У " К2 + й2

где В — расстояние между центром описанной окружности и точкой пересечения диагоналей.

Для 2п-угольника Понселе радиус р окружности 72 выражается через параметры {К, г, й} его опи-

. У 4-угольника Понселе с той же

санной и вписанной окружностей а и в так: р = К

описанной окружностью будет не больше г. Тогда

2г2(Я2+с12) _ (Д2-^2)2 1

описанной окружностью а и тем же центром вписанной окружности радиус Г вписанной окружности

2г2(В2 + (I2) 2(г')2(В2 + (I2)

{В2 - с12)2 ^ (К2- в2)2 Из этого наблюдения и теоремы 2 следует

Теорема 3. Для п ^ 3 имеем г; й) = Рп ) - Щ ) •

Из формул Эйлера, Фусса и этой теоремы легко следуют необходимые условия замыкания для 6-угольника Понселе:

1 1 1

+

(К2 - й2)2 - 4Кг2й (К2 - й2)2 + 4Кг2й 2г2(К2 + й2)2 - (К2 - й2)2 и для 8-угольника Понселе:

1

+

((К2 - й2)2 - 4Кг2й)2 ((К2 - й2)2 + 4Кг2й)2 (2г2(К2 + й2)2 - (К2 - й2)2)2 '

Заметим, что (а, в) = (а, 72) • к2(а, в), а радиус р окружности 72 и расстояние В между центрами а и 72 мы уже знаем. Поэтому по индукции можно находить k2i(а, в). Пусть т нечетно, а 5 — минимальное натуральное число, для которого 25 = 1(mod т) или 25 = -1 (mod т). Если у окружностей а и в существует т-угольник Понселе, то = в. Поэтому +1 (К,г,й) = (К,г,й) - 1 = 0. Отсюда и из теоремы 2 следует

Теорема 4. Пусть у окружностей а и в существует и-угольник Понселе, где п = 21 • т, т нечетно, 5 — минимальное натуральное число, для которого 25 = ±1(шоё т). Тогда [^+1 о С21 ](К, г, й) = 0. Например, если 5-звенная ломаная Понселе замкнута, то Ад(а, в) = 1. А так как

и, т и, \ ь ( Й\ 2КР 2Кг I ~ 1 2 Кг

В2_В2В2_(12 / ^ ^2 К2_(12

4ДГ(2Г2(Д4 — с?4) — (В2 — с?2)3) {В2 - с12)4 - 1Ш2гЧ2

то 4Rr(2r2(R4 — d4) — (R2 — d2)3) — (R2 — d2)4 + l6R2r4d2 = 0. Левая часть этого выражения раскладывается на множители (R2 — d2 + 2Rr)(4R2r2(R2 — d2) — 2Rr(R2 — d2)2 — (R2 — d2)3 + 8Rr3d2), первый из которых положительный, так как в лежит внутри а, а второй приводится к виду (2Rr — R2 + d2)(2Rr + R2 — d2)2 — 8Rr3(R2 — d2). Таким образом, необходимое условие существования 5-угольника Понселе запишется так:

(2Rr — R2 + d2)(2Rr + R2 — d2)2 = 8Rr3(R2 — d2) .

В заключение упомянем, что есть общие формулы для любого n, связывающие R,r и d, однако довольно громоздкие даже при малых n (см.: http://mathworld.wolfram.com/PonceletsPorism.html). Возможно, подходящий выбор переменных может упростить итоговые формулы. Например, положим х = ^ и y = 5, где 5 — инверсное расстояние, определяемое как модуль натурального логарифма отношения радиусов концентрических окружностей, в которые переводятся окружности а и в инверсией с центром в предельной точке пучка (3). Если одна окружность лежит внутри другой, то chá = R \rR~d • Тогда для n = 3 и n = 4 формулы примут совсем простой вид: chy = 1+ x иshy = x соответственно (см. [9]).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Poncelet J.- V. Traité des propriétés projectives des figures. Paris: Gauthier-Villars, 1822.

2. Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии. М.: Наука, 1968.

3. Протасов В.Ю. Об одном обобщении теоремы Понселе // Успехи матем. наук. 2006. 61. 187-188.

4. Hrascó А. Poncelet-type problems, an elementary approach // Elem. Math. 2000. 55. 45-62.

5. Barth W, Bauer Th.. Poncelet theorems // Expos. Math. 1996. 14. 125-144.

6. Lebesgue H. Les Coniques. Paris: Gauthier-Villars, 1942.

7. Griffiths Ph., Harris J. On Cayley's explicit solution to Poncelet's porism // Enseign. Math. 1978. 31-40.

8. Radió M., Kaliman Z. About one relation concerning two circles, where one is inside of the other // Math. Maced. 2005. N 3. 45-50.

9. Коксетер Г.С.М., Грейцер С.Л. Новые встречи с геометрией. М.: Наука, 1978.

10. Берже М. Геометрия. М.: Мир, 1984.

11. Protasov V.Yu. Generalized closing theorems // Elem. Math. 2011. 66. 98-117.

12. Шарыгин И.Ф. Геометрия. Планиметрия. М.: Дрофа, 2001.

Поступила в редакцию 07.06.2010

УДК 517.538.5

О РАВНОМЕРНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ МНОГОЧЛЕНАМИ НА КОМПАКТАХ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА

И. В. Белошапка1

Получена оценка снизу наименьших уклонений и найдены многочлены наилучшего равномерного приближения некоторых функций, заданных на компактах комплексной плоскости, содержащих полные прообразы Q-1(vj) нескольких точек Vj G C для некоторого многочлена Q(z) комплексного переменного.

Ключевые слова: равномерное приближение многочленами, полные прообразы.

A lower estimate of the least deviations is obtained and polynomials of the best uniform approximation are found for some functions given on compact sets of the complex plane containing full preimages Q-1(vj) of several points Vj G C for some polynomial Q(z) of a complex variable.

Key words: uniform approximation by polynomials, full preimages.

В последнее время появился ряд работ, в которых исследуются равномерные приближения на компактах комплексной плоскости, содержащих полные прообразы Q-1(vj) нескольких точек Vj G C для

1 Белошапка Иулия Валериевна — студ. каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail:

i-beloshapka@yandex. ru.