Современные подходы в обратном моделировании на основе вариационных методов и теории чувствительности для решения задач природоохранной тематики Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические модели физики атмосферы, океана и окружающей среды

93

ниями обеспечивают согласование всех объектов технологии моделирования процессов геофизической гидротемодинамики, переноса и трансформации газо-аэрозольных субстанций.

Такая методика может быть применима к решению различных задач не только природоохранного плана, но и в других областях науки и техники, где требуется принятие решений в реальном времени, например в медицине, биологии, технике и т. д.

Работа выполнена в рамках бюджетного проекта ИВМиМГ СО РАН (№ 0315-2019-0004) в части создания базовых моделей и при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 2001-00560) в части разработки вариационных методов последовательного продолжения.

Современные подходы в обратном моделировании на основе вариационных методов и теории чувствительности для решения задач природоохранной тематики

В. В. Пененко, А. В. Пененко

Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН Email: penenko@sscc.ru, a.penenko@yandex.com DOI: 10.24411/9999-017A-2020-10382

В постановках задач обратного моделирования учитываются не только предполагаемая модель изучаемого (управляемого) процесса, но и те данные измерений, которые реально доступны в связи с этим процессом. Обратное моделирование в современной формулировке допускает использование различных подходов при решении широкого класса прикладных задач, в частности, относящихся к природоохранной тематике.

Вариационный принцип, который, по сути, опирается на обобщенную формулировку системы уравнений математической модели, предоставляет возможность выполнения законов сохранения и построения согласованных численных схем для прямых и обратных задач. Вариационный подход сводит задачи обратного моделирования к минимизации целевого функционала [1].

Вместе с оптимизационным мы развиваем подход с использованием операторов чувствительности и ансамблей решений сопряженных уравнений [2]. Подход с использованием ансамблей решений сопряженных уравнений кажется альтернативой вариационному, тем не менее он расширяет возможности последнего. В основе обоих подходов лежит соотношение чувствительности. Оба подхода используют формулировки со слабыми ограничениями, когда в постановках задач в том или ином виде учитываются всевозможные неопределенности, начиная от недостатка знаний о "точном" описании изучаемых процессов и заканчивая возможными ошибками компьютерной реализации. Это обеспечивает согласование всех объектов технологии прямого и обратного моделирования с исследованием чувствительности выбранных целевых функционалов к изменению параметров моделей и ошибок наблюдений.

Среди самых распространенных задач обратного моделирования в нашей тематике присутствуют задачи усвоения данных, оценки чувствительности и информативности данных, классические обратные задачи: идентификации источников, оценки параметров и т. д. Мы разрабатываем и исследуем алгоритмы решения задач на основе уравнений конвекции - диффузии - реакции, и численных схем, построенных в рамках вариационного подхода, с использованием метода расщепления, методов конечных элементов/объемов и концепции сопряженных интегрирующих множителей [3].

Работа выполняется в рамках бюджетного проекта ИВМиМГ СО РАН № 0315-2019-0004 в части создания базовых моделей и при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований в части разработки вариационных методов продолжения (проект № 20-01-00560), в части развития ансамблевого подхода (проект № 19-07-01135) и в части применения алгоритмов к условиям города Новосибирска (проект № 19-47540011).

Список литературы

1. Penenko, V. V.; Tsvetova, E. A. & Penenko, A. V Development of variational approach for direct and inverse problems of atmospheric hydrodynamics and chemistry // Izvestiya, Atmospheric and Oceanic Physics, Pleiades Publishing Ltd, 2015, 51, 311-319.

2. Penenko, A. Convergence analysis of the adjoint ensemble method in inverse source problems for advection-diffusion-reaction models with image-type measurements // Inverse Problems & Imaging, American Institute of Mathematical Sciences (AIMS), 2020, 14, 757-782.

3. Penenko, V.; Tsvetova, E. & Penenko, A. Variational approach and Euler's integrating factors for environmental studies // Computers & Mathematics with Applications, Elsevier BV, 2014, 67, 2240-2256.