Алгоритмы обратных задач продолжения в приложениях к проблемам окружающей среды Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.6:551.588.74

АЛГОРИТМЫ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ПРОДОЛЖЕНИЯ В ПРИЛОЖЕНИЯХ К ПРОБЛЕМАМ ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДЫ

Владимир Викторович Пененко

Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, 630090, Россия, г. Новосибирск, ул. Академика Лаврентьева, 6, доктор физико-математических наук, профессор, зав. лабораторией, тел. (383)330-61-52, e-mail: penenko@sscc.ru

Представлен новый подход к решению условно-корректных и обратных задач, возникающих при моделировании процессов в Земной системе. Здесь этот подход применяется к одному классу задач, так называемым задачам продолжения. Такие задачи возникают, например, при решении задач распространения тепла, влаги и других субстанций в почве. Математически они описываются уравнениями конвекции-диффузии -реакции. Их специфика такова, что имеются два краевых условия и данные наблюдений на верхней вертикальной границе и отсутствуют условия на нижней границе. Предложены корректные алгоритмы для решения задач продолжения с использованием вариационных принципов со слабыми ограничениями и концепции сопряженных интегрирующих множителей в сочетании с методами декомпозиции и расщепления.

Ключевые слова: условно-корректные и обратные задачи, задачи продолжения, корректные алгоритмы, вариационный принцип, сопряженные интегрирующие множители.

ALGORITHMS OF CONTINUATION INVERSE PROBLEMS IN APPLICATIONS TO ENVIRONMENTAL PROBLEMS

Vladimir V. Penenko

Institute of the Computational Mathematics and Mathematical Geophysics SB RAS, 6, Prospect Аkademik Lavrentiev St., Novosibirsk, 630090, Russia, D. Sc., Professor, Head of Laboratory, phone: (383)330-61-52, e-mail: penenko@sscc.ru

A new approach to solving the conditionally correct and inverse problems arising in the modeling of processes in the Earth's system is presented. Here, this approach is applied to one class of problems, the so-called continuation problems. Such problems arise, for example, in solving the problems of heat, moisture and other substances in the soil. Mathematically, they are described by the equations of convection-diffusion-reaction. Their specificity is such that there are two boundary conditions and observational data at the upper boundary and there are no conditions on the lower boundary. We propose correct algorithms for solving continuation problems using variational principles with weak constraints and the concept of adjoint integrating factors in combination with decomposition and splitting methods.

Key words: conditionally correct and inverse problems, continuation problems, correct algorithms, variational principle, adjoint integrating factors.

Здесь мы рассматриваем некоторые аспекты решения задач динамики климата и качества окружающей среды в системе Земля при учете совместных воздействий природных и техногенных факторов. Для решения задач природоохранного прогнозирования используются математические модели геофизической гидротермодинамики и процессов переноса и трансформации различных

субстанций в жидком и газо-аэрозольном состояниях. Фундаментальные элементы в этих моделях исследуемых процессов представляют уравнения конвекции-диффузии-реакции в 4Б пространственно-временных областях [1-3].

В задачах такого класса приходится работать в условиях неопределенности в моделях процессов, во внутренних и внешних источниках воздействий, в оценках текущего состояния природной среды и в доступных данных наблюдений. Для объединения всех этих объектов в технологии математического моделирования мы используем вариационные принципы со слабыми ограничениями.

Задачи продолжения сформулированы, например, в [4-6]. Они широко используются в различных формулировках для решения фундаментальных и прикладных задач. Здесь представлен новый подход к решению условно-корректных и обратных задач, возникающих при моделировании процессов в Земной системе. Такие задачи возникают, например, при исследовании процессов распространения тепла, влаги и других субстанций в почве.

В рамках развиваемого нами вариационного подхода естественно объединяются основные и сопряженные задачи и задачи продолжения, позволяющие построить условно-корректные прямые и обратные задачи и методы их решения по заданным целевым критериям в условиях недостатка информации.

Для наглядности, продемонстрируем системную организацию вариационных методов последовательного продолжения с использованием концепции сопряженных интегрирующих множителей и техники конечных элементов на примере типичной постановки одномерных задач рассматриваемого класса.

Сформулируем следующую задачу продолжения на примере уравнения конвекции-диффузии-реакции:

Ьф =——¿и— + и — + йф = /(х) + г(х), 0 < х < 1 (1)

дх дх дх

с начальными условиями типа Коши при х = 0:

ф(0) = Чо, (2)

дф

дх

Ч1 . (3)

Здесь ф(х) е Q(О) с Ь2(О)- функции состояния исследуемого процесса. Обозначим через У = и, й, f, ч0, ч1} совокупность функциональных параметров модели процессов (1)-(3) в области О = {0 < х < 1}: /л(х) > 0 - коэффициент диффузии, и(х) -скорость конвективного переноса. f (х) -функция источников, Ч0, ч1-заданные значения функций на границе области х = 0; г (х) - функция неопределенности, подлежащая определению при анализе данных измерений.

Для построения численных схем для задачи (1)-(3) и алгоритмов для их реализации будем исходить из определения обобщенного решения

1

I(ф,V) = \(Ьф- /)йх = 0,

(4)

где v( х)- произвольная достаточно гладкая функция, определенная в области В: {(х) е 0*(В) с Ь2(В)}.

Далее, на основе уравнений (1)-(4) сформулируем вариационный принцип и воспользуемся концепцией сопряженных интегрирующих множителей. Опишем кратко основные положения этого подхода применительно к задачам продолжения:

I I I

0 = \(Ьф- / )йх = \(^ф)(!х /Vйх + (Лф^ )|0 = 0, 0< I < 1. (5)

Здесь I некоторая текущая точка области В , £ оператор, сопряженный по отношению к оператору £ в (1), (Лф, V) билинейная относительно ф, V

форма, которая получается в результате интегрирования по частям в (4), (5) с учетом условий (2), (3).

Определим в области В конечно-элементную структуру вида:

сох

= {[-1, х ], х = х-1 + Ахг, / = 1, п, х0 = 0, х = 1} .

(6)

Относительно функций ф(х) предположим, что на границах конечных элементов в (6) выполняются условия непрерывности:

Ф-0 =Ф+0;

М

дф дх

1-0

М

дф дх

Л = 1, п -1

(7)

/+0

Выбор внутренней структуры области сокх в нашем распоряжении, в частности, точки I в определении (5) могут совпадать с точками х. в (6). Будем считать, что интервалы Ахг. = [х1 - х1 -1 ], / = 1, п достаточно малые, чтобы в случае переменных параметров {м, и, й, /} их можно было аппроксимировать с достаточной точностью в пределах интервалов А. объектами {м, и, й, /} / = 1, п c выполнением условий (7). Для удобства записи в пределах интервалов Ах. будем опускать обозначения индексов / +1/2.

Сначала определим конечно-элементный аналог соотношений (5), (6) в соответствии со структурой области сокх и схемой декомпозиции функционалов (4):

1 П

0 = \(Ьф-f )уйх = £ | (Ьф-f )уйх = 0.

0 г=1 х. ,

Так как уравнение (1) выполняется в каждой точке области О , то из (10) получаем систему уравнений в интервалах [хг-1, хг ]<сюкх, г = 1, п:

0 = \(Ьф- f )уйх = |(Ьуф)йх - | >йх + (Аф,))-1 = 0. (11)

Если в (10), (11) функции V выбрать из пространства решений сопряженных уравнений

ЬЬу = 0, хг-1 < х < х1, г = 1, п, то из (11) получим совокупность соотношений баланса

(12)

(Аф,V))-1 - \ Мх = 0

(13)

типа законов сохранения в каждой ячейке сеточной области юнх и в целом на интервале0 < х < 1. Здесь, в (11), (13)

(ф v^-1 = ^-1/2(-|^ + ффх + (а / м\-у2 фУ

= 0

(14)

г -1

билинейная форма, которая определяется в результате интегрирования в (11).

Для удобства дальнейшего изложения представим системы уравнений (12), (13) в виде:

* д 2у „Фу ~ . -—

Ьу = —- + а--йу = 0, хг-1 < х < , г = 1, п ,

дх дх

дф

-V--+ Мф

V дх

Л

( дф Л -V--+ мф

V дх

+ Рг-1/2./г-1/2 , г = 1,П .

(15)

(16)

Л-1

Здесь приняты следующие обозначения:

{а = а / ц, й = й / ц} ; = — + аау, г = 1,п

( ^ '¿-1/2 дх

р(а) = 1 г-1/2 _

ц-

_

| V(а)(х)йх, а = 1,3.

г-1/2 хг-1

х

г -1

Опишем метод последовательного решения задачи продолжения в области (6). Предположим, что на интервалах Ах/ =[хг - хг-1 ], / = 1, п, начиная с условий (2), (3), известны условия при х = х/-1. Требуется найти значения функций

ф

г'

дф V дх у

/++1/2 ^, г = 1, п. В этой постановке нужно решить три сопряженные за-

дачи с заданными краевыми условиями:

I.

^ = 0; ^ = 0, <1 = 1

II. rvK2) = 0; Vе2? = 1, ^ = 0.

г 'г-1 'г

III. Ь^ = 0; vг(3) = 1, <3/ = 1.

(3) _

,(3) _

Это корректные задачи с кусочно-постоянным параметрами в пределах каждого интервала. Они решаются аналитически. Метод решения таких задач описан в [3].

После решения этих сопряженных задач получаем систему трех уравнений

гдфЛ т 1 . — (диЛ

, /г+1/2 >, г = 1, п при заданных и0,

с искомыми функциями \ ф,

дх

V ил У

Vдx У0

^(1)( х)

ф = v

(1)

дф

дх Уг-1

(1)

+ф-1+/-юп-

1/2

гдф\ (дф

-V,

(2)

Кдх

Г д^Л

дх У 1-Х

+ф2lw51+

(2) 1/2

,(2)

гдф

V дх ;г

+ ^(3)ф

,(3)

гдф V дх у

+ ф

+ / г(3)

^ Л-1/21 г-1/2

г-1

г = 1, п

Выводы. Разработаны корректные алгоритмы для решения некорректных задач переноса тепла, влаги и других субстанций в почве для различных категорий землепользования. Алгоритм в одномерном варианте легко распространяется на многомерный случай при использовании схем расщепления.

Работа выполняется в рамках темы государственного задания ИВМиМГ СО РАН № 0315-2016-0004 и гранта РФФИ №17-01-00137-а.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Пененко В. В., Цветова Е. А., Пененко А. В. Развитие вариационного подхода для прямых и обратных задач гидротермодинамики и химии атмосферы // Известия РАН. Физика атмосферы и океана.- 2015. -Том 51. - № 3. - С. 358-367.

2. Пененко В. В., Цветова Е. А., Пененко А. В. Методы совместного использования моделей и данных наблюдений в рамках вариационного подхода для прогнозирования погоды и качества состава атмосферы // Метеорология и гидрология 2015, №6, 13-24.

3. Penenko V.V., Tsvetova E.A., Penenko A.V. Variational approach and Euler's integrating factors for environmental studies// Computers and Mathematics with Applications.-2014.- Vol.67.-Issue 12.- P. 2240-2256.

4. Douglas J. A numerical Method for Analytic Continuation. Boundary Problems Differential Equations. Madison: Univ. Wisconsin Press. 1960.

5. Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи. - Новосибирск: Сибирское научное издательство, 2009. -456 с.

6. A. Ismail-Zadeh, A. Korotkii, I. Tsepelev. Data-Griven Numerical Modelling in Geogynamics: Methods and Applications. Springer, 2016. - 105 P.

© В. В. Пененко, 2018