Прямой вариационный алгоритм усвоения данных атмосферной химии Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 504.064.36

ПРЯМОЙ ВАРИАЦИОННЫЙ АЛГОРИТМ УСВОЕНИЯ ДАННЫХ АТМОСФЕРНОЙ ХИМИИ

Алексей Владимирович Пененко

Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, 630090, Россия, г. Новосибирск, пр. Академика Лаврентьева, 6, кандидат физико-математических наук, младший научный сотрудник, тел. (383)330-61-52, e-mail: a.penenko@yandex.ru

В работе представлен алгоритм усвоения данных контактных измерений концентрации атмосферной химии моделью транспорта и трансформации примесей в атмосфере. Алгоритм основан на вариационном подходе и схеме расщепления, что позволяет избежать итераций решения прямой задач транспорта и трансформации примесей, т. е. алгоритм становится «алгоритмом реального времени».

Ключевые слова: усвоение данных, атмосферная химия, схема расщепления, вариационный подход, модель адвекции-диффузии-реакции.

DIRECT VARIATIONAL DATA ASSIMILATION ALGORITHM FOR ATMOSPHERIC CHEMISTRY DATA

Alexey V. Penenko

Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics SB RAS, 630090, Russia, Novosibirsk, 6 prospect Akademika Lavrentjeva, Ph. D., Junior researcher, tel. (383)330-61-52, e-mail: a.penenko@yandex.ru

An algorithm for chemical data assimilation for in situ concentration measurements has been presented. The algorithm is based on the variational approach and splitting scheme. This allows avoiding iterative direct problems solution for transport and transformation model and the algorithm becomes a «real-time algorithm».

Key words: data assimilation, atmospheric chemistry, splitting method, variational approach, advection-diffusion-reaction model.

Алгоритмы усвоения данных позволяют улучшать прогноз состояния системы на основе совместного использования математических моделей и поступающих данных наблюдений. Обзор методов усвоения данных можно найти в [1,2]. Обобщая его, отметим, что в отличие от усвоения данных в метеорологии, при усвоении химических данных влияние начального состояния системы на её дальнейшее поведение со временем убывает, тогда как влияние источников и параметров модели трансформации оказывают существенное влияние. В нашей работе мы используем неопределенность в источниках примесей в качестве управляющей переменной для усвоения данных. Целью работы является создание алгоритма усвоения данных, способного работать в реальном времени, то есть без итераций, включающих решение прямых задач транспорта и трансформации примесей.

Рассмотрим прямоугольную пространственно - временную область:

г = (у„х2) е й = [0,/1]х[0,/2], < е [0,Г], Пт := Ох [О, Г] е М3,

ограниченную д£1т = сЮх[0,7']. В ней рассмотрим модель транспорта и трансформации системы химических веществ в атмосфере:

от

/ ,д(Р, / ,д(Р, (п,и)-(п,й)

¡и + ¡и 2со$,(п2,х2)—^ +---(х,0еЭОг, (2)

дх1 дх2 2

/ = 0, (3)

где ф е - вектор-функция состояния, различные элементы которой = \,...,Ис соответствуют рассматриваемым химическим веществам, Мс -количество рассматриваемых веществ Р,(ф) > О,/ = \,...,Ыс - коэффициенты деструкции рассматриваемых веществ, П/(ф)>0,1 = 1 ,...,Ыс - операторы продукции, и = (щ(х^),и2(х^)) - вектор скоростей ветра, // = {^{х^Х^х^)) - диагональ диагонального тензора диффузии, Я направление внешней нормали на

О

границе дО., , ср, - априорные значения источников и начальных данных г -управляющая функция (неопределенность), которая добавляется в жесткую структур модели для усвоения данных. Прямая задача состоит в том, чтобы определить ф из (1)-(3) по известным ]), $, г. Введем оператор Н, соединяющий функцию состояния модели с данными измерений. Предположим, что нам доступны результаты контактных измерений концентраций №пХп=ь...м в заданные моменты времени {*т}т=\,...м в точках \хт\т=]......мдля заданных веществ

{1т}т=1 м. Измерения могут содержать погрешности

ю

Чт=<р1я{хт,0 + Г1т9 т = 1,...,М. (4)

Ошибка измерений -г]т предполагается ограниченной во (взвешенной) Эвклидовой норме в пространстве измерений < 8Г]. Мы предполагаем, что все функции и модельные параметры достаточно гладкие, чтобы решения существовали и преобразования имели смысл. Задачу определения ф для / > /* по (1)-(3) и (4) при заданных функциях ]), ср] и результатах измерений

I т>т=\,...м таких, что 0 < 1т < г1 назовем задачей усвоения данных.

Для решения многомерных задач применяется метод расщепления. Мы будем использовать аддитивно усредненные схемы расщепления (аналогично [3]). Основная идея подхода состоит в том, чтобы усваивать данные локально на отдельных шагах расщепления. Вводя временную сетку со1 = 0 <tl<...<tJ<...<tNt = T . На каждом временном интервале при-

близим общую модель конвекции-диффузии-реакции (1)-(3) схемой расщепле-

ния по физическим процессам и пространственным переменным, порожденной разбиением ух + у2 + уъ = 1, ук > 0.

Рассмотрим шаги расщепления, соответствующие одномерным по пространству моделям процессов транспорта

П

д(р\к) , %цМк)) д д(р\к)

Н-к

дхк дхк' " дхк

при £ = 1,2 с соответствующими краевыми условиями. Введем в пространственной области сетку с узлами сох= (х^х^ \ г = = \,...,Ых2 . Будем считать, что точки измерений также взяты на сетке й)ххсо(. Рассмотрим при к=1 и некотором заданном ^ аппроксимацию модели трехдиагональной неявной схемой:

а,(р>м + Ь.р' (р^ + Я + А* г/ ,1 = 1 (6)

+/'/Л' = <Р',1 + ./,'' +Л//;', 1 = 2,...,Ыхк-1 (7)

- = </>£ + Я + А* Гг , ' = Щ (8)

где $ =(р<гк)(х1,х^),// =Гк/(хг,х^), г? =гкг}к\х1,хя,ф. В качестве решения задачи усвоения данных рассмотрим минимум целевого функционала

Ыхк Ыхк

Ф{(р\г' ) = ^иР,' ~ *+7)М/ + а^г/,

7=1 7=1

на ограничениях (6)-(8). Здесь а - параметр усвоения, М/ = 1, если в узле с координатами есть измерение вещества 1, иначе М' =0. Аналогично, Ч*/ равно результату измерения, если в узле с координатами (х,,Г) есть измерение вещества 1, иначе оно равно 0. Решение задачи оптимизации для £ = 1,2 будет даваться матричным уравнением [4,5], которое можно решить прямым методом матричной прогонки

(9) (10) (11)

-ДФ/+1 = Р/, I = 1,

"4Ф/+1 +57Ф/ ■

т

где

А

аг 0

о

"¿+1

м

-сгФи=р/,1=щ -аГ

Ъг

М/А?

а

о

о

6/

7-1

<Рг

^ *

Фг

К]

<ри

М/ Дг

а

Аналогично решаются задачи на других этапах расщепления по пространству. Модель процессов трансформации

Jl I P «,(*) - rr 7~¿k) . ? . ,.(*) ,»(*)

аппроксимируем схемой типа QSSR [6,7] для каждой i е сох

\-е~р> „ (12)

+- П, +Гк/1+г1к)

Р1 АГ 7

В этом случае рассмотрим целевой функционал

Л/с Л/с

Ф(р<*> , г <*>) = £><*> (13)

где Мг = 1, если в узле с координатами (хг, ^, ) есть измерение вещества 1,

иначе М/ =0, аналогично, равно результату измерения, если в узле с координатами (х, х, ) есть измерение вещества 1, иначе оно равно 0. Минимум (13) на ограничениях (12) дается выражением

1 _ Л/

1 + Z а

1 + Z

/ - \ 2

( v^Jj-i)Aí i

J Ai

В качестве оценки решения задачи усвоения данных на шаге ^ рассмотрим усреднение

3

<Рг{х^) = ^укф\к\х^) (14)

к=1

На рис. приведен пример решения задачи усвоения данных для одного из рассматриваемых химических веществ (в данном примере их 21), когда в модели, генерирующей «точное распределение концентраций» задан дополнительный источник, «неизвестный» для системы усвоения данных. Измерения 4х субстанций проводятся в 9ти точках пространственной области в каждый момент времени и поступают в алгоритм усвоения данных. Скорость ветра предполагается нулевой.

Таким образом, можно заключить, что задачи усвоения данных решаются с неполными данными. Недостаток информации компенсируется математической моделью. Совмещая схему расщепления и задачу усвоения данных можно построить вычислительно эффективный алгоритм для усвоения данных контактных измерений для моделей конвекции-диффузии-реакции, не требующий для своей реализации итераций.

Н02 exact t=8hrs H02 DA t=8hrs

Рис. Сопоставление «точного решения» (слева) и решения задачи усвоения данных (справа) для одного из рассматриваемых веществ в заданный момент времени в пространственной области с 9 измерительными постами, фиксирующим значения концентраций 4х из 21 рассматриваемого вещества в каждый момент времени. Скорость ветра равна 0

Благодарности: Работа выполнена при частичной поддержке грантов РФФИ 14-01-31482, 14-01-00125 и программы Президиума РАН №43.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Baklanov A. et. al. Online coupled regional meteorology chemistry models in europe: current status and prospects // Atmos. Chem. Phys. - 2014 - (14) - C.317-398.

2. Sandu and C. Tianfeng. Chemical data assimilation - an overview // Atmosphere - 2011-(2)- C. 426-463.

3. Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Вычислительная теплопередача. - М.: Едитори-ал УРСС, 2003. - 785 c.

4. V. V. Penenko Variational methods of data assimilation and inverse problems for studying the atmosphere, ocean, and environment // Num. Anal. and Appl. - 2009 - No 4 (2) - C. 341351.

5. А.В. Пененко, В.В. Пененко Прямой метод вариационного усвоения данных для моделей конвекции-диффузии на основе схемы расщепления // Вычислительные технологии

- 2014 - №4(19) - C. 69-83.

6. Quasi-steady-state-approximation in air pollution modelling: comparison of two numerical schemes for oxidant prediction/ E. Hesstvedt, O. Hov, I. Isaacsen // Int. J. Chem. Kinet. - 1978

- (10) - C. 971-994.

7. V. V. Penenko and E. A. Tsvetova. Variational methods for construction of monotone appoximations for atmospheric chemistry models // Num. Anal. Appl -2013-6(3) - C. 210-220.

© А. В. Пененко, 2015