CC BY
15
УДК 504.064.37
ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ ПРЯМЫХ АЛГОРИТМОВ УСВОЕНИЯ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ДАННЫХ В МОДЕЛЯХ ТРАНСПОРТА АТМОСФЕРНОЙ ХИМИИ
Алексей Владимирович Пененко
Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, 630090, Россия, г. Новосибирск, пр. Академика Лаврентьева, 6, кандидат физико-математических наук, научный сотрудник, тел. (383)330-61-52, e-mail: a.penenko@yandex.ru
В работе представлено численное сравнение эффективности двух безытерационных (прямых) алгоритмов усвоения данных распределенных измерений концентрации химических веществ в атмосфере. Первый алгоритм основан на вариационном подходе и схеме расщепления. Второй алгоритм основан на непосредственном учете результатов измерений в решении. Он проще в реализации, однако, в представленных условиях, время работы алгоритмов схоже. Вариационный алгоритм показал более высокую точность восстановления.
Ключевые слова: усвоение данных, атмосферная химия, схема расщепления, вариационный подход, модель адвекции-диффузии, распределенные измерения.
NUMERICAL STUDY OF DIRECT DATA ASSIMILATION ALGORITHMS FOR DISTRIBUTED MEASUREMENTS IN ATMOSPHERIC CHEMISTRY TRANSPORT MODELS
Alexey V. Penenko
Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics SB RAS, 630090, Russia, Novosibirsk, prospect Akademika Lavrentjeva, 6, Ph. D., Researcher, tel. (383)330-61-52, e-mail: a.penenko@yandex.ru
A numerical comparison of two direct data assimilation algorithms for distributed measurements has been presented. The first algorithm is based on the variational approach and splitting scheme. The second one is based on the direct insertion of measurement data to the solution. The second algorithm is easier to implement but in the numerical experiments computation time of both algorithms turned out to be almost the same while the variational algorithm has shown better accuracy.
Key words: data assimilation, atmospheric chemistry, splitting method, variational approach, advection-diffusion model, distributed measurements.
Усвоение данных атмосферной химии накладывает существенные требования на вычислительную эффективность алгоритмов в силу высоких размерностей рассматриваемых численных моделей [1, 2]. В этой связи особый интерес представляют алгоритмы усвоения данных, которые не требуют итерации.
В последнее время становятся доступны спутниковые изображения полей концентраций химических и аэрозольных компонентов атмосферы. С математической точки зрения такие изображения содержат информацию о значениях концентраций на некоторых регулярных сетках. В силу этого естественно использовать прямой алгоритм усвоения, в которых данные непосредственно
включаются в соответствующие элементы функций состояния моделей. Как альтернативу рассмотрим алгоритм вариационного усвоения данных, в котором усвоение производится на отдельных стадиях расщепления [3,4]. Целью работы является сравнение указанных алгоритмов на численном примере.
Рассмотрим прямоугольную пространственно - временную область:
Зс = (л1,х2)еП = [0,/1]х[0,/2], Пг :=Пх[0,Г|еи 2,
с границей дС1т = сОх[0, У]. В нашей работе для усвоения данных мы используем в качестве управляющей переменной функцию неопределенности в источниках примесей. Рассмотрим следующую модель транспорта химических веществ в атмосфере:
дер
dt
+ div(u ср - /и grad (р) - f + г, (x,t)eQT. (1)
¿и j cos(«1, x1 ) + ju 2 cos(«2, jc2 ) + [5(p = g, (x, t) g dQ.T, (2) дх^ dx2
ç = ç\xeQ, t = 0, (3)
где <p(x,t) - функция состояния, соответствующая концентрации рассматриваемого химического вещества в точке (x,t)e£ir, и = (ul(x,t),u2(x,t)) - вектор скоростей ветра, p, = (juv(x,t),fj2(x,t)) - диагональный тензор диффузии, Я - направление внешней нормали на границе сЮ, /, g, (р - априорные значения источников и начальных данных г - управляющая функция (неопределенность). Прямая задача состоит в том, чтобы определить ср из (1)-(3) по известным
т О
f,g,<P ,г.
Введем оператор H, определяющий связь функции состояния модели с данными измерений. Предположим, что нам доступны значения концентраций на некоторой сетке {xm}m=l M со значениями {xî/m}m=l м в заданные моменты
времени {tm}m=l^M . Измерения могут содержать погрешности{77m}m=1M .
+ т = \...М. (4)
Предположим, что все функции и модельные параметры достаточно гладкие, чтобы решения существовали и преобразования имели смысл. Задачу определения (р для t>t* по (1)-(3) и (4) при заданных функциях f,g,(p° и резуль-
*
татах измерений }m=1 м таких, что 0 <tm<t назовем задачей усвоения данных.
Для решения многомерных задач применяется метод расщепления. Мы будем использовать аддитивно усредненные схемы расщепления из [5]. Вводя
временную сетку щ= 0 <tl<...<tj <...<tNt=T .На каждом временном интервале аппроксимируем общую модель конвекции-диффузии (1)-(3) схемой расщепления по пространственным переменным, порожденной разбиением
г1+г2=1гк>°-
Рассмотрим шаги расщепления, соответствующие одномерным по пространству моделям процессов транспорта:
д<р(к) д{ик(р(к)) д д<р(к) 7 (к) (к), ч , сЛ дхк дхк охк
при к = 1,2 с соответствующими краевыми условиями. Введем в пространственной области сетку с узлами сох = (х^х^ = \,...,ШХ,8 = \,...,Ш2 . Будем считать, что точки измерений также взяты на некоторой регулярной подсетке с'оххо)г Рассмотрим при к-1 и некотором заданном аппроксимацию модели трехдиагональной неявной схемой:
+Ъ1(Р1 = (р£ + к// +г/),1= 1; (6)
-ЯгР^+Ь^-с^ + + г/\ /=2,...,Л^-1; (7)
-с,<ри=(р£ +&(// +г/\ 1=Ыхк; (8)
где <р. г. =r{l)(xi,xsJj). В качестве решения
задачи усвоения данных рассмотрим точку минимума целевого функционала
Мхк Мхк 2
3{ср], г]) = а^ (<*>/ - ^ ■ )2М{ + £ г; , 1=1 2=1
при ограничениях (6)-(8). Здесь а - параметр усвоения, М/ - характеристическая функция измерений, равная 1, если в узле в (х, х, ^) есть измерение, иначе она равна 0. Аналогично равно результату измерения, если в узле с координатами (х1, х8, tj) есть измерение, иначе оно равно 0. Решение задачи оптимизации для £ = 1,2 будет даваться матричным уравнением [4,5], которое можно решить прямым методом матричной прогонки
/ = 1; (9)
-дф;|+яф-сф; ,=/•;, , = 2,...,л^-1; (ю)
яф;-СФ/,=/•;-, / = (11)
где
Г а. 0 1 Г Ьг -At~ \сг 0 1
4 = 1 , Д = 1 > Q = 1
_0 с!+1_ aM'Sl bt _ _0 а
(Рг 9г
EJ
(pi 1 + Atr/ aM;4J;\t
A t = t,-t,_1
Аналогично решаются задачи на других этапах расщепления по пространству. Оценкой состояния на шаге tj будет
2
<j).
к=1
Также рассмотрим алгоритм прямого учета данных измерений. Для шагов, на которых доступны измерения, в качестве оценки состояния системы будем рассматривать
tp(x, tj) = (1 - М(х, tj ))ф(х, tj) + Mix, tj tj X
где - решение прямой задачи (1)-(3) при г = 0. Алгоритм прямого учета
данных проще в реализации, чем алгоритм вариационного усвоения: требуется только решение прямой задачи. Сравним эффективность алгоритмов численно.
На рис.1 приведен пример решения задачи усвоения данных, когда в модели, генерирующей «точное распределение концентраций» задан дополнительный источник в центре области (квадратной формы), «неизвестный» для системы усвоения данных. Расчетный интервал по времени 3 часа (2001 точка по времени), по пространству 30 км в каждом направлении (по 50 точек по пространству). Измерения даны на пространственной сетке, которая в 5 раз грубее, чем расчетная сетка модели. Данные измерений доступны через каждые 7 мин (то есть каждые 80 шагов временной сетки). Погрешности измерений отсутст-
Л
вуют. Коэффициент диффузии 2000 м /сек, скорость переноса 10 м/сек.
В данном численном эксперименте можно отметить хорошее качественное соответствие между точным решением и решением с усвоением обоими методами. При этом вариационный алгоритм имеет большую область влияния измерений, что более соответствует диффузионному характеру решения. Это отражается в ошибках решения на рис. 2. Среднее время на шаг алгоритма по времени: у вариационного алгоритма - 0.033сек, у алгоритма прямого учета данных - 0.031сек.
Таким образом, можно заключить, что в рассмотренном примере для процессов транспорта, оба алгоритма показывают сходные результаты по скорости вычислений. Вариационный алгоритм сложнее в реализации, однако его точность оказалась выше.
Рис. 1. Сопоставление «точного решения» (слева), решения задачи вариационного усвоения данных (центр) и решения, полученного прямым учетом данных измерений(справа). В верхней строке представлено решение на шаге, на котором имеются данные измерений, на нижней - решение на последующем шаге по времени уже без данных измерений
Рис. 2. Относительная ошибка решения задачи усвоения данных
в зависимости от времени
Благодарности. Работа выполнена при частичной поддержке грантов МК-8214.2016.1, РФФИ 14-01-31482, 14-01-00125 и Программы Президиума РАН 1.33П.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. M. Bocquet et. al. Data assimilation in atmospheric chemistry models: current status and future prospects for coupled chemistry meteorology models // Atmos. Chem. Phys. - 2015 - (15) -C. 5325-5358.
2. A. Sandu and T. Chai. Chemical DataAssimilation-An Overview // Atmosphere - 2011-(2)- C. 426-463.
3. V. V. Penenko Variational methods of data assimilation and inverse problems for studying the atmosphere, ocean, and environment // Num. Anal. and Appl. - 2009 - No 4 (2) - C. 341-351.
4. А.В. Пененко, В.В. Пененко Прямой метод вариационного усвоения данных для моделей конвекции-диффузии на основе схемы расщепления, // Вычислительные технологии - 2014 - №4(19) - C. 69-83.
5. А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич Вычислительная теплопередача - М.: Едиториал УРСС, 2003. - 785 c.
© А. В. Пененко, 2016
