Численное исследование алгоритмов оценки источников для модели трансформации примесей в атмосфере Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 504.064.37

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ АЛГОРИТМОВ ОЦЕНКИ ИСТОЧНИКОВ ДЛЯ МОДЕЛИ ТРАНСФОРМАЦИИ ПРИМЕСЕЙ В АТМОСФЕРЕ

Алексей Владимирович Пененко

Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, 630090, Россия, г. Новосибирск, пр. Академика Лаврентьева, 6, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, тел. (383)330-61-52, e-mail: a.penenko@yandex.ru

Анастасия Александровна Гришина

Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, 630090, Россия, г. Новосибирск, пр. Академика Лаврентьева, 6, студент, инженер, тел. (383)330-61-52, e-mail: a.a.grishina17@gmail.com

В работе представлены результаты численного исследования эффективности вариационного алгоритма оценки источников для модели трансформации атмосферных примесей. Подобные задачи возникают при усвоении данных наблюдений. Сложностью при работе с такими задачами является неединственность их решений. Численно исследуются способы учета априорной информации, как на уровне целевого функционала, так и на уровне проекции градиента при решении задачи оптимизации.

Ключевые слова: усвоение данных, атмосферная химия, вариационный подход, модель трансформации, идентификация источников, априорная информация.

NUMERICAL STUDY OF SOURCE RECONSTRUCTION ALGORITHMS IN AN ATMOSPHERIC CHEMISTRY TRANSFORMATIONS MODEL

Alexey V. Penenko

Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics SB RAS, 630090, Russia, Novosibirsk, 6 Аkademik Lavrentiev Prospect, Ph. D., Senior Researcher, tel. (383)330-61-52, e-mail: a.penenko@yandex.ru

Anastasia A. Grishina

Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics SB RAS, 630090, Russia, Novosibirsk, 6 Аkademik Lavrentiev Prospect, Bc. S., Engineer, tel. (383)330-61-52, e-mail: a.a.grishina17@gmail.com

The paper presents the results of a numerical study of the variational algorithm for the inverse source problem for a model of atmospheric composition dynamics. Such problems arise in data assimilation procedures. One of the difficulties of solving such problems is the nonuniqueness of the solution. Several methods of a priori information accounting are compared: at the level of the target functional, and at the level of the projection of the gradient.

Key words: data assimilation, atmospheric chemistry, variational approach, transformation model, sources identification, a priori information.

В работах [1, 2] задача усвоения данных химии атмосферы рассматривается как динамическая последовательность связанных обратных задач восстановления источников на основе поступающих данных измерений. В изучаемом ал-

горитме применение схемы расщепления приводит к решению серии обратных задач на отдельных стадиях схемы расщепления и, в частности, на стадии трансформации. Из-за жесткости системы уравнений модели трансформации, она рассматривается на более тонкой сетке, нежели модель для процессов переноса. В результате возникает обратная задача об оценке постоянных источников на основе средних значений концентраций по интервалу, когда источники на интервале имеют постоянную мощность. Подобные обратные задачи, в которых разыскивалось начальное состояние, рассматривались, например в [3]. Основной сложностью при решении подобных задач является неединственность решения, так как в моделях трансформации учитываются десятки или даже сотни веществ, а измерению доступны единицы.

Целью данной работы является численное изучение эффективности применения оптимизационного алгоритма для решения обратной задачи поиска источников, в частности, способы учета априорной информации для регуляризации решения обратной задачи.

На интервале г е [0, Т] рассмотрим модель трансформации:

й ф1 Ж

+ ^,ф)ф/ = П/(г,ф) + // + г/, *е[0,Г], / = \,...,ЫС.

(1)

ф7 = ф0, ^ = о, I = 1,...,ыс.

(2)

Здесь Ыс - количество рассматриваемых веществ, ср/ (V) обозначает концентрацию вещества / в момент времени ф обозначает вектор с элементами ф1, / - функция источника, заданная априори, г - функция управления, которая разыскивается при решении обратной задачи, операторы деструкции и продукции Р,П: [0,Г]хи м+с — трансформации [4, 5]:

мг

определяются из системы уравнений

N0 + НУ^ N0 + Ор НСНО + Ну СО + 2И20

О+ор ^ 03 ор+о ^ О+ор

НО + N0 ^ N0 + ОН N0 + Я02 ^ НСНО + НО + N02 НС + ОН ^ Н20 + Я02 N0 + ОН ^ Ш0Ъ

Н20+2 НО ^ Н20+Н2О+О2

2Я02 ^ Рг ой

Ну + О ^ Ор + 02 НСНО + Ну ^ СО + Н2

N + ор ^ N + ор

НО + ор ^ 20Н N0 + О ^ N0 + 02 СО + ОН ^ СО + Н02 НСНО + ОН ^ СО + НО + НО2 2Н0 ^ Н20 + о2

НО+ко ^ О+коон

ОН + Б02 ^ НО + Яы!/

Введем на [0,Т] равномерную сетку ю,={0 <^ <... <^ <... <^ = Т| с N

точками и длиной интервала Аг. Для решения системы используется монотонная схема, аналогичная части схемы QSSA [6]. Для I = 1,...,Ыс:

ФГ1 = ф/ ехрС-^ф'Ж) + + /1+г1\ (3)

g (Р ) = \А ехр(-Р(А? % =

1 - ехр(-РА) РАг :

у = 1,..., N -1

(4)

Ф1 = Ф/ (г1)-

(5)

Данные измерений поступают в систему усвоения в виде средних значений I концентраций за временной интервал. Численно изучим эффективность оценки функции источников по данным I с помощью решения задачи минимизации функционала

лг

т=у

I=1

Л2

N

1 М,

N}=1 I I=1

(6)

где ф ' - решение (3)-(5), М1 равно 1, если имеются измерения вещества / на интервале, иначе оно равно 0, I - данные измерений вещества I (если Ы1 = 1 и ноль иначе). С помощью сопряженных уравнений можно вычислить градиент (6):

N-1

V,7(г) = 2а X ^ ^ + 2 еИа8 ) г,

7=1 1=1.,МС

где \|/- решение сопряженной задачи

N,-1 _ Г ЛГ,

W•/ = ехр(-/;(/ЛФ^А/) + \

(ф, (-ехр(-/^,Ф)АОА0 + (¿>(',ф))(П/(',ф) + г1))ур1 (г,ф),

I-.Л 1 к >>' N N^1

Здесь diagAc обозначает диагональную матрицу с Ac на диагонали, }

Nc l=1

обозначает матрицу со строками , Д > 0 заданные весовые множители в регу-

ляризаторе (обобщенный параметр регуляризации). Задача оптимизации решается методом сопряженных градиентов.

Предположим, что априори известно, какое вещество выбрасывается источником. Рассмотрим несколько способов учета этой априорной информации. Во-первых, это можно сделать через задание весового слагаемого в регуляризаторе целевого функционала (6), положив равным нулю вес Д, для вещества, которое выбрасывается источником. Во-вторых, можно использовать проекцию градиента, положив равными нулю все компоненты градиента кроме выбранных.

Численно сравним указанные способы. Пусть сетка имеет параметры: Т = 3600 Бее, N = 1000. Источник постоянной мощности действует для элемента N0, а измерения даны для элементов N0 и 03. Начальное приближение к источнику - нулевое.

Рис. 1. Восстановление источника (Exact) в зависимости от параметра

регуляризации R

l=1,.., Nc

На рис. 1 представлен результат восстановления источника при различных значениях периметра регуляризации (Яж = 0, а остальные веса Д = Д,). Можно отметить, что оптимальный результат достигнут при некотором промежуточном значении Д = 105. При меньших значениях возникают дополнительные источники, а при больших - все источники стремятся к нулю, даже тот, для которого вес в регуляризаторе равен нулю. Следовательно, такой способ требует дополнительно подбирать параметр регуляризации, а предельные значения могут давать худшее решение.

Далее рассмотрим регуляризацию на основе проекции градиента. Если, например, положить нулю все компоненты градиента кроме тех, что соответствуют NO, NO2, CO, HNO, то источник восстанавливается точно (рис. 2). Если же спроецировать градиент на NO, NO2, CO, HNO, OH то результат будет хуже. Таким образом, в этом случае требуется подбирать подпространство для проектирования.

Рис. 2. Восстановление источника (Exact) в зависимости от подпространства проецирования градиента

Работа выполнена при частичной поддержке грантов МК-8214.2016.1, РФФИ 17-01-00137 и Программ Президиума РАН 133П и II.2P/I.3-3.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Пененко А. В., Пененко В. В., Цветова Е. А. Последовательные алгоритмы усвоения данных в моделях мониторинга качества атмосферы на базе вариационного принципа со слабыми ограничениями // Сиб. журн. вычисл. матем. - 2016 - № 4 (19). - C. 401-418.

2. Penenko A., Antokhin P. Numerical study of variational data assimilation algorithms based on decomposition methods in atmospheric chemistry models // IOP Conference Series: Earth and Environmental Science, IOP Publishing. - 2016 - (48) - P. 012021.

3. Elbern H., Schmidt H., Ebel A. Variational data assimilation for tropospheric chemistry modeling // Journal of Geophysical Research: Atmospheres, Wiley-Blackwell. - 1997. - № D13 (102) - P. 15967-15985.

4. Stockwell W. R. Comment on "Simulation of a reacting pollutant puff using an adaptive grid algorithm" by R. K. Srivastava et al. // Journal of Geophysical Research, Wiley-Blackwell. -2002. - № D22 (107). - P. 4643-4650.

5. Byun D., Schere K. L. Review of the Governing Equations, Computational Algorithms, and Other Components of the Models-3 Community Multiscale Air Quality (CMAQ) Modeling System // Applied Mechanics Reviews, ASME International. - 2006. - № 2 (59). - P. 51-57.

6. Hesstvedt E., Hov O., Isaksen I. S. Quasi-steady-state approximations in air pollution modeling: Comparison of two numerical schemes for oxidant prediction // International Journal of Chemical Kinetics, Wiley-Blackwell. - 1978. - № 9 (10). - P. 971-994.

© А. В. Пененко, А. А. Гришина, 2017