CC BY
211
УДК 519.6
ПРИМЕНЕНИЕ ДИСКРЕТНО АНАЛИТИЧЕСКИХ СХЕМ ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ КОАГУЛЯЦИОННОГО УРАВНЕНИЯ СМОЛУХОВСКОГО
Алексей Владимирович Пененко
Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, 630090, Россия, г. Новосибирск, пр. Академика Лаврентьева, 6, кандидат физико-математических наук, младший научный сотрудник, тел. (383)330-61-52, e-mail: a.penenko@yandex.ru
Алексей Александрович Сороковой
Новосибирский государственный университет, 630090, Россия, г. Новосибирск, ул. Пирого-ва, 2, аспирант, тел. (953)878-92-79, e-mail: AASorokovoy@mail.ru
В данной работе рассматривается применением метода дискретно-аналитических схем [1] для решения коагуляционного уравнения Смолуховского:
дп(х, t) = 1 xjK(х_ y, y)n(x _ y, t)n(y, t(x, y)n(x, t)n(y, t)dy.
™ 2 0 0
Проводится сравнение известных точных решений этого уравнения с решениями, полученными разными вариантами метода дискретно-аналитических схем, а также с другими известными методами численного решения уравнения Смолуховского.
Ключевые слова: динамика аэрозолей, уравнение Смолуховского, дискретно-аналитические схемы.
APPLICATION OF DISCRETE ANALYTICAL APPROACH TO THE SOLUTION OF SMOLUCHOWSKI EQUATION
Alexey V. Penenko
Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics SB RAS, 630090, Russia, Novosibirsk, 6 prospect Akademika Lavrentjeva, Ph. D., Junior researcher, tel. (383)330-61-52, e-mail: a.penenko@yandex.ru
Alexey A. Sorokovoy
Novosibirsk State University, 630090, Russia, Novosibirsk, 2 Pirogova Str., Ph. D., student, tel. (953)878-92-79, e-mail: AASorokovoy@mail.ru
In this paper considered the method of discrete analytic schemes [1] for solving the Smolu-chowski equation of coagulation:
dn{x, t) = 1 xjK(x _ y, y)n(x- y, t)n(y, t)dy- (x, y)n(x, t)n(y, t)dy.
™ 2 0 0
Numerical solution obtained by discrete analytic schemes method compared with known exact solutions, and other known methods of numerical solution of the Smoluchowski equation.
Key words: aerosol dynamics, Smoluchowski equation, discrete analytic schemes.
На сегодняшний день уравнение Смолуховского является базовой моделью, которая описывает процесс бинарной коагуляции [2]. Модификации этого
уравнения нашли применение при описаниях самых различных явлений, таких как бактериальный рост, размеры особей стайных рыб, астрономические явления, эволюция аэрозольных составов, метеорологические явления. Известно лишь несколько аналитических решений данного уравнения, что не может покрыть все возникающие задачи. Поэтому разрабатываются численные методы решения уравнения Смолуховского, такие как: метод конечных элементов, метод конечных объёмов, метод последовательных приближений, метод моментов и методы Монте-Карло. Более подробный обзор имеется в работах Ватта [3] и Алдоса [4]. Сравнение численных методов подробно приводится в работе [5].
В данной статье мы реализуем идею, предложенную профессором В.В. Пененко - применим дискретно-аналитический метод получения численных схем, предложенный в работах [1,6,7,8]. Этот метод разработан для решений обыкновенных дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений и, в частности, коагуляционного уравнения Смолуховского. Известны результаты применения подобного подхода к решению других задач. В частности, методы типа QSSR для решения задач атмосферной химии и методы экспоненциального Рунге-Кутта, применяющиеся преимущественно для решения параболических уравнений.
Для проверки корректности работы и получения фактического порядка сходимости мы будем сравнивать полученное численное решение с известными точными решениями. Приведем их здесь.
1.1 Если К(х,у) = 1, п(х,0) — ехр(-х), ТО п(х,{) = Ж2(»ехр(-Ж(7» , где АГ(0 = 2/(2 + 0
/ (2x7°5)
1.2 Если К{х,у) = ху, п(х,0) = ехр(-х)/ х, ТО п{х, () = ехр(-А^)х) 7 п. ,
х 2г05
где = 1х(х) = - Iехр(хсоъ(вУ)соъ(в)с1 в
(27 ' > 1 71 I
бхоГ—х / 2)
1.3Если К{х,у) = х + у, п(х,0) = — 3/2 ехр(-х) , ТО
2 ях
п(х, 7) = ехр(-ехр(-27)х/2)
2лх
Для решения будем использовать численные схемы, построенные по методу построения дискретно аналитических схем из [1]. Основная идея метода заключается в том, чтобы использовать сопряженные интегрирующие множители, что позволяет «перенести сложность» из исходной системы на сопряженную функцию и, затем, пользуясь свободой ее выбора, упростить схему. В рамках данного подхода, уравнение Смолуховского может быть представлено в интегральной форме
у/(х,г) = ехр (-1
г о
т ^ х
п(х,Т) = п(х,0)1//(х,0) + (х,^)— ^К(х- у,у)п(х- у ^)п(у
о 2 о
Далее, различные вариации дискретно аналитических схем, строятся, в основном, как различные аппроксимации интегралов по времени в функциях
Для построения дискретных схем, введем сетку дискретизации для данного уравнения, на области х е [ХЬе^п, ху е [О, Г] в виде равномерной сетки с шагом Дх
по координате х всего N и шагом & по Т. Далее Приведем ниже (без вывода) используемые нами схемы:
2.1 Схема первого порядка. В исходной системе заменим интегралы их дискретными аналогами, получим:
N
ц/^х^О) = ехр(~У]К(х,х .)//, (х . ,0)Лл"Л/ )
1 г_1
! (х1, А/ ) = //, (хг. ,0)у/х (хг. ,0) + у/х (хг. ,0) —К(х1 - xj, xj)//, (хг. - xj ,0)//, {xj ,0)AxAt
]=1
2.2 Схема типа ОББЛ первого порядка.
п2{хг,ДО = и2(хг,0)ехр(-/21(хг)Г) + ^/22(хг)1"еХр("^1(Х')А0 ,
2 ЛА)
Л? г-1
ГДе /21(хг) = ^(хг,ху>2(ху,0)Дх ,/22(хг) = ^А"(х, -х;,х; )/72(х, -х;,0)/72(х;,0)А\-
7=0
7=1
2.3 Схема второго порядка. Идея улучшения заключается в том, чтобы, вычислив по формулам 2.1 значение п (х, Т) при помощи него вычислить численное значение интеграла по формуле трапеции. Соответственно формулы 2.1 принимают вид:
" п3 (х ,0) + и, (х ,0)
]= о
2
ЫМ )
1 г
2 м
пъ {xi, ДО = пъ {xi ,0)^з (хг. ,0) +
пъ (хг. - х ,о)п3 (х ,0) п (хг. - х ,о)п (х ,о)
2
АхАг
2.4 Схема типа РББЛ второго порядка. Суть улучшения такая же, как и в 2.1-2.3 вычисляем по формуле 2.2. Значение п2 (х, Т) и используем его для аппроксимации исходного интеграла по формуле трапеции.
¥а (х,0) = ехр(-(/41 (x> /4Г (x)At / 2) п4 (х,, At) = п4 (х, ,0)ц/4 (х, ,0) + i (/£ (х, ) + у 4 (х, ,0)/42 (х, )) At '
Л? г-1
где /41 (хг) - £ К(.Х1,Xj )n(Xj,0)Ах , /42(*.) - £ AÏX - х,,Xj )n(xt - ху ,0)/7(x; ,0)Ах
j=0 M
N г-1
/« Ог ) ~ Е К(х< ' К , , /« <Л ) - X - >>2 - XJ, Al/)»2 О, ,
j=0 M
Для проверки описанные выше методики вычисления были реализованы на языке С++ и доступны в репозитории git [Репозиторий GIT]. URL: https://bitbucket.org/sorokovoy/aerosolsolver.git. (дата обращения: 12.03.2015). Полученные результаты приведены в следующих таблицах:
Таблица 1
Методы первого порядка
At 2.1-1.1 2.2-1.1 2.1-1.2 2.2-1.2 2.1-1.3 2.2-1.3
106 105 105 10~10 ю-10 105 105
ю-5 10"4 10"4 10"9 10"9 10"4 10"4
10"4 10-3 10"3 10"6 10"6 10-3 10"3
103 102 102 105 105 102 102
10"2 10"2 10"2 10"4 10"4 10"1 10"1
10-1 10-1 101 103 103 101 10-1
Таблица 2
Методы второго порядка
At 2.3-1.1 2.4-1.1 2.3-1.2 2.4-1.2 2.3-1.3 2.4-1.3
10"6 10"5 10-5 10"10 10-10 10"5 10"5
105 104 104 109 109 104 104
10"4 10"3 10"3 10"6 10"6 10"3 10"3
10"3 10"2 10"2 10"5 10"5 10-3 10"3
102 102 102 104 104 102 102
10"1 10"2 10"2 10"3 10-3 10"2 10"2
В строках табл. 1 и 2 указаны различные шаги по времени, используемые в эксперименте (из значения в колонке А/). Во всех остальных колонках указаны результаты эксперимента, а именно ||{Точное решение} - {Численное реше-ние}||/||{Точное решение}|| для результата полученного после 100 шагов по
времени. В заголовке указанно, какая схема применяется к какому условию по правилу {номер схемы}-{номер формулы известного точного решения}. В таблицах приводится только порядок полученной ошибки.
Заметим, что для методов второго порядка, фактический порядок сходимости, как видно из Таблицы 2, получается первым, что вероятнее всего говорит о проблемах с аппроксимацией интегралов внутри интегрального выражения по параметру t (Дополнительно ставился эксперимент, в котором разработанный алгоритм применялся к решению ОДУ. В данном случае для методов второго порядка, фактический порядок сходимости получился вторым) хотя, как видно из Таблицы 1 методы первого порядка, работают достаточно хорошо.
Благодарности: Работа выполнена при частичной поддержке грантов РФФИ 14-01-31482, 14-01-00125 и программы Президиума РАН №43.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. V.Penenko, E.Tsvetova. Discrete-analytical methods for the implementation of variational principles in environmental applications // Journal of Computational and Applied Mathematics 226 (2009) 319-330.
2. В.М. Волощук, Ю.С. Седунов Процессы коагуляции в дисперсных системах. // Л.: Гидрометеоиздат,- 1975. -C. 435.
3. J. A. D. Wattis. An introduction to mathematical models of coagulation-fragmentation processes // A discrete deterministic mean-field approach. Phys. D Nonlinear Phenom., 222(1-2):1-20, Oct. 2006.
4. D. J. Aldous. Deterministic and Stochastic Models for Coalescence (Aggregation, Coagulation) // A Review of the Mean-Field Theory for Probabilists. Bernoulli, 5(1):3-48, 1999.
5. M. H. Lee. A survey of numerical solutions to the coagulation equation // J. Phys. A. Math. Gen., 34(47):10219-10241, Nov. 2001.
6. А. В. Пененко, "Дискретно-аналитические схемы для решения обратной коэффициентной задачи теплопроводности слоистых сред градиентными методами" // Сиб. журн. вы-числ. матем., 15:4 (2012), 393-408
7. В. В. Пененко, Е. А. Цветова, "Вариационные методы построения монотонных аппроксимаций для моделей химии атмосферы" // Сиб. журн. вычисл. матем., 16:3 (2013), 243-256.
8. Penenko, V.V., E.A. Tsvetova, A.V. Penenko, "Variational approach and Euler's integrating factors for environmental studie" // CAMWA, 67, Issue 12, 2240-2256
© А. В. Пененко, А. A. Сороковой, 2015
