Современные подходы к проблемам построения математических моделей тепловой работы ванных стекловаренных печей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 62-531

СОВРЕМЕННЫЕ ПОДХОДЫ К ПРОБЛЕМАМ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ТЕПЛОВОЙ РАБОТЫ ВАННЫХ СТЕКЛОВАРЕННЫХ ПЕЧЕЙ

© А.А. Ешенко1

Иркутский государственный технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

Стекловаренные печи представляют собой объекты управления со многими параметрами. Основные трудности при разработке систем автоматизации теплотехнологических процессов связаны с получением достаточно универсальных и пригодных для практического использования математических моделей объекта управления. На базе предложенных эквивалентных моделей элементов контуров регулирования составлены уравнения, описывающие динамические свойства контуров участка регенеративной печи. Для установления общих структурных свойств и законов построения рациональных управляющих устройств целесообразно использовать схемы эквивалентные реальной системе. Ил. 3. Библиогр. 2 назв.

Ключевые слова: математическая модель; структурные и эквивалентные схемы замещения.

MODERN APPROACHES TO PROBLEMS OF BUILDING MATHEMATICAL MODELS OF BATH GLASSMELTER THERMAL OPERATION A.A. Eshenko

Irkutsk State Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, Russia, 664074.

Glassmelters are the objects of control with many parameters. The main difficulties in developing automation systems for heat technological processes are associated with receiving of quite universal and practicable mathematical models of the controlled object. The equations describing dynamic properties of the contours of the regenerative furnace section are made on the basis of the proposed equivalent models of regulation contour elements. The use of the circuits that are equivalent to the real system is reasonable for the identification of general structural properties and laws of building rational controlling devices. 3 figures. 2 sources.

Key words: mathematical model; structural and equivalent circuits.

Стекловаренные регенеративные печи представляют собой объекты управления со многими взаимосвязанными параметрами, несколькими входами и выходами. Особенности протекания тепловых газо - и гидравлических процессов в рабочем пространстве печи предъявляют специфические требования к организации факельного сжигания топлива, к контролю за его качеством.

Непрерывность протекания теплотехнических и технологических процессов, сложность настройки рабочего режима, высокие температуры, распределенность параметров существенно ограничивают возможности экспериментального исследования стекловаренных печей.

Сложные превращения веществ, ведущие к получению стекломассы, протекают в результате воздействия тепла, выделяющегося при сжигании топлива. В факельных горелках печей 1 струя воздуха 2 направляется над струей газа 3 (рис. 1,а). В результате смешивания воздуха и газа образуется светящийся факел 4, сгорающий в печи при малом избытке воздуха. Движение газов происходит принудительно под влиянием кинетической энергии струй, поступающих в пламенное пространство, и разности давлений в начале и конце печного объема. Воздух и горючий газ поступают в печь под давлением, создаваемым нагнетательными устройствами 5, и геометрическим напором, создающимся в регенераторах 6 и горелках. На пути через горелочные каналы, регенераторы и рекуператоры дымовым газам приходится преодолевать местные сопротивления и сопротивления трения по длине, а также противодействующий напор. Попеременная подача газа и воздуха в печь и отведение из печи отходящих газов осуществляется с помощью переводных клапанов K. При соединении генератора с дымовой трубой 7 газы 8 отводятся из печи, а при соединении генератора с газопроводом горючего газа в печь поступает газ или воздух.

Режим давления в пространстве печи зависит от количества дымовых газов, тяги регенераторов и дымовой трубы, давления, создаваемого вентиляторами и дымососами, сопротивлений печной системы. Давление на пути от вентиляторов, шиберов 9, переводных клапанов к регенераторам или рекуператорам падает (рис. 1, б). У основания регенераторов поддерживается разряжение, уменьшающееся кверху. В пламенном пространстве у зеркала стекломассы 10 в горизонтальном сечении давление устанавливается близким к нулю. Поле давлений в

1Ешенко Анатолий Андреевич, кандидат технических наук, профессор кафедры электропривода и электрического транспорта, тел.: (3952) 405128, (3952) 427196, e-mail: [email protected]

Eshenko Anatoly, Candidate of technical sciences, Professor of the Department of Electric Drive and Electric Transport, tel.: (3952) 405128, (3952) 427196, e-mail: [email protected]

печной плоскости стабилизируется в результате взаимодействия подводящих и отводящих газы устройств и геометрического напора.

в)

Рис. 1. Ванная печь: а - схема движения газа; б - график распределения давления; в - эквивалентная схема

замещения

Для исследования автоматических систем управления печью на этапе создания необходимо располагать их математическим описанием. Основные трудности при разработке систем автоматизации теплотехнологических процессов связаны с получением достаточно универсальных и в тоже время пригодных для практического использования математических моделей объекта управления.

Для аналитического описания в общем виде контуров, по которым протекают газ, воздух и продукты сгорания, воспользуемся ранее предложенными моделями элементов контуров регулирования расхода и давления [1, 2]. Процедура получения моделей опирается на метод эквивалентных схем замещения.

Аналитическими методами составим математическое описание, в уравнения которого введем конструктивные параметры объекта и характеристики рабочих веществ.

При выводе уравнений, описывающих динамические свойства элементов газо - и воздуховодов, принимается во внимание сжимаемость рабочего тела в связи с её влиянием на аккумулируемую системой среду. Участок со сжимаемой средой в первом приближении замещается схемой с одним аккумулирующим элементов и одним сосредоточенным сопротивлением. Тракт протекания воздуха и газа в пространстве печи разбивается на ряд элементарных отрезков.

По методике, подробно освещенной в приведенных публикациях, составлены эквивалентные схемы замещения движения газов и воздуха, приведенные на рис. 1,в. По схеме замещения записаны системы уравнений динамики отдельных элементов, баланса масс, состояния давления в относительных единицах и отклонениях от средних значений.

Для участка между сечениями Р0 - Р4, включающего регулирующие органы, воздуховод и регенератор система уравнений имеет вид:

АРВ, = АР, - АР0 = Кш,Аш, - К„,АВвХ; АР,, = АР, - АР2 = К,,АВ,;

АВ, - АВ2 = Т,

- ар,

АР«-, = АР-, - АР, = К«-, АОп - КиЛБ,

(1)

Аккумулирующий объем печи, сопротивления пламенного пространства, газовые регенераторы, шибер и дымосос (сечения Р4 - Р9) описываются следующими уравнениями:

Аб2-Аб3=Т2аАрг;

АР,2 = АР3 -АР2 = К,2Ай3 ; АВ4 = АВ3 + АВГ АРК4 = АРГ - АРГ, = КК4АВГ - КК4АЁ4; АВТ-АВТ ,=Т, ; АР,Я = АРл - АР4 = &.1ПАД

АВ, - АВк = Т

- А Р4 _ аЬ '

АР,3 = АР, - АР5 = К,3АВ5;

-ар5

АВ. - АВ. = Т.

АР,4 = АР, - АР6 = К,4АВ6;

- АР„

пАВ6 - АВ7 = Т5 ■

аt

АР,5 = АР6 - АР7 = К,5АВ7-; ( 1-п) АВ6 - АВв = Т6 ;

АР,6 = АР6 - АР7 = К,6АВв; АВ9 = АВ7 + АВ в; АРК2 = АРв - АР9 = Кк2 АВ,0 - КК2 А52; АВ9 - АВ,0 = Т7 ■

АР,7 = АР7 - АРв = К^АВ,0; _ АРВ4 = АР9 - АР,0 = К^Аш2 -(1- ш)К02АВ,0;

-А Р7 аЬ

(1 - ш) АВ,0 - АВ,, = Т

- АРи

(2)

Уравнения равновесия для выходного кольца Р9 - Рвш, газового клапана и газопровода Рг - Р4 имеют вид:

АР,в = АР,0 - АР0 = К,вАВ,,; АРКЗ = АР9 - АР,, = Кк3шАВ,0 - Кк3АЁ3;

-АР,, _

шАВ,

■АВ„ = Т

АР,9 = АР,, - АР0 = К^АВ,2; АРКГ = АРГ - АРГ, = -ККА4 + ККАВГ; АВТ-АВТ ,=Т,

АР,,п =АРГ

АР4 = К,,пАВг

(3)

В уравнениях (1)—(3):

Л П ЬрВ , П ЬР, . ^ АРК А О . _ Аш . = ДХ

АРВ = —; АР, = —; АРК = —; АВ = —; Аш = —; А5 = — в относи тельных единицах соответственно отклонено Р0 Р0 °0 а0 ¡0

ния давления, развиваемого вентиляторами, потерь напора в воздуховодах, клапанах, общего расхода на участках, частота вращения вентиляторов, сечений клапанов; В0; Р0; ш0; 50 - базовые значения расхода, давления,

частоты вращения и сечения клапанов; Т = м,=—; АКК=К^; АКВ=К^; АКй>=К^; АК„=К^ -

£>о ро ро ро ро ро

соответственно постоянные времени и характеристические коэффициенты воздуховодов, клапанов, вентиляторов; шс - масса рабочего вещества в объеме.

Исключая переменные, производные от которых не фигурируют в описании системы, уравнения (1)-(3) запишем в нормальной форме, удобной для структурного регулирования с помощью ЦВМ (4): Структурная модель движения газов в рабочем пространстве и давления в печной системе, построенная по

У

/

у

р ар1 = 1(—АР0 -Вф^Щьр .

1 \кВ1 0 кВ1 (кЬ1+кК1) 1

.-Л—ЬР+Ьи^--^-

КЦ+КК1 * КВ1 1 КЦ+КК1

абб1

Р АР3 = - (-1— АР, - Бф-Щьр + -

* Т + 1 I?- (I?- Л * I?- 4

КК1

Т2\КЦ+КК1 -1 К12(Кц+КК1)

Р 4=^3-

К12

Рара = - (—АР3 - Vк}з+Кь9АР4 + —АР5 + —арг1

ТКК,? * V- V- V- 4 V. 5 V. 1 1

з КЬ 9

Р4

КК1+Кы 1

К,

АБ

5 Т \К,.3 4 5 " 6

^ЬА^Ь 5

Кь з кьа

Р АР~6 = 1(щ- АР5 - п§ФА АР~, + ^АР-7) =

Т 5 V к , а

= ± (1Ш АР - йт^м+ЕьА АР, + -1- АР7

уравнениям (4), приведена на рис. 2.

РАР-,

= 4

ъ V

К1АК16

кЬ6 + Кь5 Ар [КК2+ Ц. 1+( 1 - т)Кр2№5 + Кьб)+КЬбК17 р _

Кь5 К, 6

-АР1П--

Кк2+Кы+(1-т)КВ2 10 Кк2+К11+(1-т)К0:

Р АРг о=Ц 1 - т

10 г8 V

¡<161<11[1<К2+ Кь 1+( 1 - т) К02 ] Км 2 л - , _КК2

\Кк2+К, 1+(1 - т) К„2 (1 - т) КШ2

ар7 -

аш2

(1 - т)[Кк2+Кц+(1-т)Кт+К1е] д „

Кк2+Кц+(1 - т) КВ2

АБ,

К,Л[КК2+К11+(1 - т)Кв2 ]

АРщ -

-- - , АЙ2 + - (1 -т)"К2,- АБ~2 - ±АР0

Кк2+Кы+(1-т)Кв2 2 Кк2+Кы+(1-т)Кв2 2 К,в 0

Р АР,

т9 (

_т_\в тКь9 + [Ккз т+(1 - т) Кв2] л п . 1

- -— АРл о--^—г^-;-т^—АРл 1 + —— АРо -

,тКкз+(1-т)Кв2 10 Кь9[Ккзт+(1-т)Кв2] 11 К^ 0

тКкз+(1-т) К в 2

-А Ш,

-АБ,

Р АРп = и- АР, + -1АРТ - АРп

Т1 О Ь9 КЬА ККАКЬ9

■АБЛ

Введя при записи уравнений (4) в форме пространства состояний обозначения Х1 = АРг, Х2 = АР3, X* = АР4,

Х4 = АР5, Х5 = АР6, Хь = АР7, Х7 = АРХ 0, Хв = АРХХ9 = АРГ1 , получим систему уравнений (5):

1 К/, ) 1

Х2 + Ащ - - к\-. АБ,

11 - Кь 1 + КК1 + Ко 1 '1 \К о 1 ^ о 1 1 + К Ы

Кг. 1 + Кк

1

Х,=-

1

^ 1 + 2 + Кк1 у I ^ 2^11 + Кк1)

Ко1 1

Кг ■} * К к

Кг. 1 + Кк

КV

Т2 \КЬ 1 + К к

1(1 Кь 2 + Кь * + Кт 1 1 Х* = — \^—Х2 - ь2- - *- Х* + Х4 + Х

- АБ,

Т4 \Кь* *КЫ

1

■Х4+^Х5 щ4

- , п пК, 5 + К,4 Х5 = — \—Х4--_ _ Х5

Т5 \К,4 КЫК,5

= —(—х4 - (1-п)6 + КмХь + —Х6

ТбР\ К,4 КМК,6 К,6

у_1(К^+Кы,у [¡<к2 + К, 7 + (1- т) Ко 2 ](К, 5 + К, 6) + К, 6КЬ 7 v

Х 6 = 1 ,7 т?-Х 5--,7 ,7 П7-Пт-ТТл-.„ч ,7 1-Х Ь -

КглКг,

1

х7-

К,7[Кк2 + К,7 + (1- т)Ко2] Кш 2 . - , щ2

Х7 =

\7 + (1- т)Ко2 11 1 - т

КК2 + ^ 7 + (1- т)Ко2

Аш-,

Кк2 + Ки + (1- т) Ко 2

Хь-

(1-т) [К к

+ (1- т)Ко2 + К,в]

Та\Кк2 + Кь 7 + ( 1-т) Ко 2'' 6

( 1 - т)Кш2

К,в№к2 + К,7 + (1- т)Ко2]

Х7-

Хя =

Кк2 + ^ 7 + (1- т)Ко2

1

Аш-,

(1 - т)Кк2

Кк2 + Кц + (1- т) Ко 2

1 _ АБу - ■=— АР,

Т9 \тКк* + (1- т)Ко2

тК,9 + [Кют + (1- т)Ко2] 7 Км[Кк*т + ( 1-т) Ко 2 ] в Кк2

'1ТАРо-

щ9

тКк* + (1- т)Ко2

—Аш 2 + —=

- , _ =—АБ3 тКк* + (1- т)Ко2 *

1(1 1 - Ккл + Кш

110 \1Ч9 К14 1щк41щ,9

■ АБ г

Уравнениям (5) соответствует нормированная детализированная структурная схема (рис. 3), являющаяся наборной схемой модели, удобной при структурном моделировании.

Система уравнений (5) позволяет ввести в рассмотрение использование понятий векторов и матриц и может быть записана в общем виде: Х = Ах + Ви; у = Сх, где А(пхп) - матрица коэффициентов; В(пхт) - матрица управления; С(тхп) - матрица выходного сигнала.

Рис. 2. Общая структурная модель контуров

и

иел д о м а ам

§

я

яан нур

урткур

т с я аян

н а в о

ори

м р

с и Р

В векторно-матричной форме записи уравнения состояния выглядят следующим образом:

где:

Л" аи %2 0 0 0 0 0 0 0 Ai 0 bis 0 Аш 1 AS,

«21 «22 «23 0 0 0 0 0 0 0 0 Ь23 0 0 AS,

0 «32 «33 «34 0 0 0 0 «39 0 0 0 0 0 0

0 0 «43 «44 «45 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

= 0 0 0 «54 «55 «56 0 0 0 * + 0 0 0 0 * 0 0

0 0 0 0 «65 «66 «67 0 0 0 Ь62 Ь63 0 Аш* as2

У. 0 0 0 0 0 «76 «77 0 0 0 Ь72 Ь73 0 аШ2 as2

-- ОЭ С] : >< >О 0 0 0 0 0 0 «87 «88 0 0 bg 2 0 V Аш* AS3

. 0 0 «93 0 0 0 0 0 а дд. -Хд. . 0 0 0 b д4. . 0 AS, .

С = [10 10 100 10],

ü-, -i —

Kl i+KKI+Kd 1

; а12 = ■

-;а21 =■

-;а22 =■

-;«23 =■

Kdi4Kli+Kki ) Ti 1* 4KL1+ Kki) Ti * 1 4KL1 + %1 ) T2 * * Klz (K L1 + Kki) T2 "* 3 KlzTz"

_ KL2+ ¡<L3 +KL9 . _ 1 . _ 1 «32 ~~ ¡7 - I «33 — ¡7 ¡7 i? T '' «34 ~~ ¡7 - I «39 — '

к L 3T3

K_L2 t3_ K L2K L 3K L9T3

_ 1 ш _ — 1 . — n

cla? — - i а aa — - - i clac — - i cle а — -

43 KL3T4 44 KL3KL4T4 45 KL4T4 54 KL4TS

_ KL6+Kls . _ [KK2+ Klv + ( 1 -m)KD2WLS+ Kl6)+KL6KL7 . _

"65 C7._C7.T'a66 77, _77._,77.,_ . _ . f 1 . lT_

к L 9T3

. _ nKL$+ К L4 . „ _ 1 ' "55 _ v v т ' "56 _

KL4KL5T5

К L &

kL^Leh' 00 kl6kl7[kk2+ klt + (1 -m)kD2]t7 ' 7 [kK2+ klt + (1 -m)kD2]t7'

___1_-m__ __(1-m)[KK2+KL7 + (1 -m) KD2 ]

«76 — rü , о , ,, iT > «77 — '

[KK2+ KL7 + ( 1 -m)KD2]T8'

m

Kl«[K_K2+ kL7 + (1 -m)KD2]T8 ' mKL9 + [К к 3 m+(1 - m) Kd 2 ]

ав7 [KK3m+( 1 -m)KD2]T9' авв KL9[KK3m+(1 -m)К D2]T9 ' _ 1 _ KK4 + KL9

"93 _ ¡7 _ > "99 _ '

KL 9 T10

bn = b62 = Ь72 = -

Ью. =

КИ 1

TiK d 1

; ь13 =

KK1

(KL1+KK1) T1

K K4 + K L 9 T10 ; b23 = -

%1

(к L1+ К к 1) T2 '

( 1 - m) Kq 2 ■ h _ KK2

[KK2+ KL7 + (1 - m) KD2 ]T8 [KK2+ KL7 + (1 -m) KD2 ]T8

(1 - m) Kq 2 ■ h (1 -m) KK2

[KK2+ KL7 + (1 - m) KD2 ]T8 ' DTi [KK2+ KL7 + (1 -m) KD2 ]T8

_ KQ 2 . h _ KK2 .

[mKK3 + ( 1 -m)Kd2]T9 ' ü83 " [mKK3 + ( 1 -m)KD2]T9 '

bqq =

Kk4 + Kb9

К К 4^L 9T10

Для линейной стационарной системы, описываемой уравнением (6) можно проверить факты управляемости и наблюдаемости, составив матрицы управляемости Р = (В,АВ, А*В,..,,An-1В) и наблюдаемости Q = [Ст, ATCT,( AT)*СТ, (AT)3СТ], имеющие блочную структуру.

Структура многомерной системы является стержневым элементом, определяющим требуемые показатели качества.

Поскольку динамические свойства системы регулирования зависят от её структуры, возникает задача создания наиболее целесообразного вида взаимного соединения составляющих элементов. Для того чтобы установить общие структурные свойства и найти законы построения рациональных управляющих устройств, целесообразно использовать эквивалентные реальной системе схемы, где показатели отдельных участков предоставляются определенными элементами с известными статическими и динамическими свойствами.

Полученное на базе эквивалентных схем замещения математическое описание может быть представлено в виде дифференциальных уравнений, записываемых в той или иной форме; структурных схем, являющихся графической интерпретацией дифференциальных уравнений; матричных структурных схем.

Уравнения (4), (5) позволяют ввести в рассмотрение векторы и матрицы, что целесообразно при исследовании сложных систем с помощью ЦВМ.

Библиографический список

1. Ешенко А.А. Вопросы управляемости и наблюдаемости параметров тепловых режимов стекловаренных печей // Вестник ИрГТУ. 2011. № 2 (49). С. 186-190.

2. Ешенко А.А., Ешенко И.А. Структурные модели регенеративной печи с поперечным направлением пламени как объекта автоматического управления // Вестник ИрГТУ. 2011. № 7 (54). С. 120-125.