Современные методы анализа механизмов манипулятора Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 62(07) Р.В. Фалалеева

СОВРЕМЕННЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА МЕХАНИЗМОВ МАНИПУЛЯТОРА

В статье рассматриваются основные вопросы кинематического анализа и синтеза механизмов манипулятора, которые находят широкое применение в сельскохозяйственном производстве.

1. Постановка задачи и методы исследования. Кинематика манипуляторов занимается изучением движения звеньев и отдельных их точек вне зависимости от сил, действующих на эти звенья. При этом решаются две задачи:

1. Определение движения объекта манипулирования по заданным законам движения звеньев манипулятора. В этом случае определяется перемещение схвата из одной точки пространства в другую, причем траектория не задается.

2. Воспроизведение заданной траектории, решение которой позволяет найти законы движения звеньев. Зная законы, по которым должны перемещаться звенья манипулятора, мы будем знать командные импульсы, которые следует передавать на проводы исполнительных органов.

Широко известны графические и графоаналитические методы кинематического исследования, такие, как метод мгновенных центров, метод планов, метод кинематических диаграмм и др. Эти методы отличаются своей простотой и наглядностью. Однако они не дают достаточной для инженерной практики точности и требуют много времени для своего решения.

В практике исследования кинематики манипуляторов ПР преимущественное применение получили аналитические методы, такие, как метод замкнутых контуров и метод преобразования координат (метод Морошкина Ю.Ф.). Применение вычислительной техники позволяет выбрать наиболее оптимальный вариант решения и провести вычисления с наперед заданной точностью.

Любые достаточно сложные аналитические расчеты ведутся с определенными упрощениями и допущениями, например, не учитывают люфты и зазоры в кинематических парах. Правильность принятых допущений может быть проверена экспериментальными методами, при которых на изготовленном механизме с помощью приборов измеряются фактические значения кинематических параметров.

2. Преобразование координат с помощью матриц. Применение ЭВМ для кинематического анализа механизмов связано с разработкой соответствующих алгоритмов, т.е. с четким и однозначным описанием предписаний, определяющих содержание и последовательность операции, выполняемых при расчетах. Такое описание наиболее просто выполняется с использованием уравнений преобразования координат с матричной формой записи необходимых операций вычисления.

Рассмотрим общий случай преобразования координат матричным методом. Пусть в системе S^ (Ог Хг Уг 7л) задан вектор п. Требуется найти его координаты в системе Бк (Ок Хк Ук 7ж), определяемые вектором пс (рис.).

Координаты вектора Гк выражаются через координаты вектора гк:

Гк = Мякзі ■ г*,

(1)

где МзТсз! - матрица перехода из старой системы Бг в новую систему Бк.

Для преобразования пространственных координат используют матрицу 4-го порядка

Мї/СїI -

о" а12 3 О" 14 О"

а22 а23 4 2

е<^ а32 азз 4 3

а42 а43 а44

(2)

Из этой матрицы выделим матрицу 3-го порядка 1якзг1, расположенную в верхнем левом углу матри-

цы Msksi:

Оц °12 °13

О21 О22 О23

О31 О32 °33

cos (Xk'Xi) cos (Yk'Yi) cos (Xk"X^ cos (Yk'Xk) cos (Yk'Yi) cos (Yk"Z^ cos (Zk'Xk) cos (Zk"Y^ cos (Zk"Z^

(3)

Элементами матрицы Lsksi являются косинусы углов между осями новой системы Sk и старой системы Si, при этом оси X присвоен индекс 1, оси Y-2, а оси Z-3, например, а2з= cos (Yk^ ).

с

Столбец из 3-х элементов ai4, а24, ам в правой части матрицы Msksi представляет собой координаты в новой системе Sk начала Ог старой системы St

Нижняя четвертая строка матрицы Msksi представляет собой тождество 1=1 и записывается в виде 0 0 0 1. Это позволяет учитывать не только поворот осей, но и смещение начала координат.

Умножая по правилу «строка на столбец», получим координаты вектора гк в новой системе Sk через координаты в старой системе St

Хк & (N О" О" X^

Yk = (N Q (N Q (N (N Q Y^

Zk 3 Q 3 3 Q 2 3 Q Z^

1 (N 1

или

Хк= allX^+ al2Y^+ alзZ^+ а14;

Ук= a2lX^+ a22Y^+ a2зZ^+ а24;

Zк= aзlX^+ aз2Y^+ aззZ^+ аз4; (5)

^ 0^ + 0^ + 0^ + 1.

Определение скоростей и ускорений. Определение любой точки звеньев ПР, например, центра захвата С, определяется радиус-вектором гс.

Гс= Гс (Я1, Я2^Яп), (6)

где д1, д2...дп - обобщенные координаты; п - число степеней подвижности.

Скорость точки С можно получить путем дифференцирования сложной вектор-функции по времени Г.

и =-^=• qk, (7)

где Ск - обобщенная скорость.

Дифференцируя выражение скорость по времени ^ получим ускорение.

a = —- = Уn —-qk + Уn Уn --------------------------— qkq3 (8)

с dt ^k=1 dq, ^k=lZj dqk dq3 (8)

drc

где —^ - аналоги скоростей;

dqk

d2rc

---c-----аналогия ускорения;

dqk dq3

qkq3 - обобщенные скорости;

qk - обобщенные ускорения.

3. Выбор законов движения звеньев. При решении задачи об определении кинематических параметров манипулятора будем считать, что заданы размеры и законы движения подвижных звеньев, то есть их перемещение, скорости и ускорения. При выборе законов движения необходимо стремиться к тому, чтобы обеспечивались наилучшие условия работы механизмов.

Надежность и долговечность работы манипулятора во многом определяется динамическими процессами, протекающими в кинематических парах. Плавность движения, а следовательно, и возможность возникновения ударов в кинематических парах зависит от закона изменения ускорения звена. При работе законов движения звена обычно задаются законом изменения ускорения. Закон изменения скорости и перемещения получают путем интегрирования функции ускорения.

Пример. Определить функцию перемещения звена, если закон изменения ускорения на участках разгона и торможения описывается уравнением

q = A sin pt. (9)

Интегрируя уравнение ускорения, получим выражение скорости и перемещение звена:

q = J A sin ptdt = A cos pt J = P (l - cos pt);

0

A

P

(10)

q = A J (1 - cos pt) dt =

A

P

( 1 ■ 4t

t------sin t

V P ,0

t

J=

A ( 1 . ^

— t-------sin pt

PV P J

(11)

Постоянные А и Р найдем из начальных условий: при t=t*, q = 0 и q = H,

где t* - суммарное время разгона и торможения;

t*=tp+tr, где tp= tr.

За время t* скорость звена достигает максимального значения, затем уменьшается до нуля, а звено переместится на расстояние H.

A , ч A ( 1

-Л- I - * \ ^ % А . %

t------sin pt

P

Тогда O = j (1 — cos pt*), H = ^

P 2n; A 2nH_

отсюда находим P = ~Т~; A t \2 •

t

(t "Г

После подставления значения Р и А получим аналитическое выражение движения звена:

.. 2пН .

qi

Л

sin

2п

(12)

. H

q = — t

1 — cos

2п

(13)

q = H

t* 2n

sin

2n

v

t

J

(14)

Аналогично могут быть получены функции для других законов движения звена. На практике наибольшее распространение получили косинусоидальные, синусоидальные, параболические и некоторые другие законы.

Следует отметить, что q, #, # - обобщенные перемещения скорости и ускорения, которые могут

характеризовать как линейные перемещения, скорости и ускорения I, I, I, так и угловые перемещения, угловые скорости и угловые ускорения р,р, р. Эти параметры можно также обозначить как или ф,Ю,8.

t

t

0

0

t

*

t

*

t

1

t

t

Если значение времени отсчитывается на всех участках движения (разгон, установившееся движение, торможение от начала разгона), то чтобы получить выражения звена в период торможения, необходимо от текущего времени вычесть время установившегося движения.

Суммарное время разгона и торможения может быть определено через величину перемещения звена

в период разгона и торможения г* и среднее значение обобщенной скорости звена С[ср

*

/ • =«-.

г

сР

Литература

1. Фалалеева, Р.В. Механика машин и манипуляторов / Р.В. Фалалеева, И.А. Канунник. - Красноярск, 1991.

2. Канунник, И.А. Механика роботов и манипуляторов / И.А. Канунник, Р.В. Фалалеева. - Красноярск, 1996.