CC BY
124
ПАВЛОВ Борис Изосимович (МГТУ им. Н.Э. Баумана)
PAVLOV Boris Izosimovich
(Moscow, Russian Federation, Bauman Moscow State Technical University)
УДК 621.833.7
Кинематический и динамический анализ пространственных рычажных механизмов с замкнутой кинематической структурой
Б.И. Павлов
Предлагаемое исследование является дальнейшим развитием матричного метода применительно к задачам кинематики и динамики многоконтурных пространственных механизмов. Рассмотрено формирование математической модели многоконтурного пространственного механизма с несколькими степенями свободы с применением матриц преобразования систем координат. Введены два вида матриц — постоянные матрицы звена и переменные матрицы кинематических пар. Приведена методология решения уравнений замкнутости, отражающих положение механизма. Разработка на базе этой методологии предлагаемого вычислительного эксперимента позволяет на этапе проектирования выбрать рациональную схему анализируемого механизма. При многократной проверке условия замыкания возникает проблема упрощения его формирования и сокращения вычислительного процесса. Эта проблема и решается выделением постоянных и переменных матриц, т.е. матричным методом.
Аналитическое описание относительного движения звеньев представлено в виде линейного преобразования между системами координат, связанных со звеньями. В механизме выделены независимые замкнутые кинематические цепи (контура). Сформированы матричные уравнения контуров, которые преобразуются в алгебраические уравнения и решаются. Динамический анализ основан на решении уравнений Лагранжа совместно с контурными уравнениями.
Матричный метод удобен благодаря общности аналитического подхода, не зависящего от частного вида механизма. Результаты решения задач анализа дают ответ на вопрос, какими свойствами обладает исследуемый механизм. Матричный метод будет полезен при исследованиях таких сложных пространственных механизмов, как подвеска автомобилей, шасси самолетов с «ломающейся ногой» и др.
Ключевые слова: кинематические пары, системы координат, матрицы преобразования, матричные уравнения, динамический анализ.
Kinematic and dynamic analyses of spatial link mechanisms with closed kinematic structure
B.I. Pavlov
The proposed study is a further development of the matrix method applied to kinematic and dynamic problems of multi-loop spatial mechanisms. A mathematical model of a multi-loop spatial mechanism with multiple degrees of freedom using coordinate system transformation matrices is formulated. Two types of matrices, that is, constant link matrices and variable matrices of kinematic pairs
are introduced. The methodology of solving closure equations describing a mechanism position is presented. Computer simulation based on the proposed methodology makes it possible to choose a rational scheme of the analyzed mechanism in the design phase. Since the closure condition is checked repeatedly, it needs to be simplified to reduce computational costs. This problem is solved by the matrix method in which constant and variable matrices are separated. An analytical description of the relative motion of links is presented using a linear transformation of the coordinate systems associated with the links. The mechanism under consideration contains independent closed kinematic chains or contours. Matrix equations of the contours are formulated and transformed into algebraic equations to be solved. The dynamic analysis of the system is based on the solution of the Lagrange and contour equations. The matrix method is efficient owing to the general analytical approach, which is independent of a particular form of the mechanism. Solving the analysis problem makes it possible to investigate the properties of the mechanism. The matrix method will be useful in studies of complex spatial designs, such as car suspension, aircraft landing gear with «leg breaking», etc.
Keywords: types of kinematic pairs, coordinate systems, transformation matrices, matrix equation, kinematic analysis, dynamic analysis.
^Конструктор, приступая к проектированию механизма на основе своего опыта, задается его структурой, т. е. выбирает звенья, связи между звеньями (виды кинематических пар (КП)), размерами механизма, инерцион-но-жесткостными и силовыми параметрами. Эта система данных в дальнейшем служит начальным объектом проектирования, который анализируется, модифицируется, уточняется. В результате такого итерационного процесса создается рациональная конструкция. Основной задачей при проектировании методами вычислительного эксперимента является составление алгоритма формирования модели механизма.
Формализация структуры механизма. Исходим из того, что в основе рассматриваемых механизмов лежат замкнутые кинематические цепи (контура), т. е. последовательность звеньев и КП. Каждая КП образована двумя сопряженными звеньями. Устанавливаем для каждой
КП две системы координат, каждая из которых жестко связана с одним из звеньев. Относительное положение звеньев в КП характеризуется набором параметров (переменных), количество которых зависит от класса КП и обусловлено выбором систем координат (СК). Ориентацию осей выбираем следующим образом.
Для вращательной КП (рис. 1, а) начала координат обоих систем совпадают, оси Z совпадают с осью вращения и имеют одно и то же положительное направление. Параметр у — угол между положительными направлениями осей Xj и Xk считается положительным, если измерен против часовой стрелки при рассмотрении его со стороны положительного направления оси Zk.
Для поступательной КП (рис. 1, б) оси Z имеют одно и то же положительное направление, параллельное относительному движению (направляющей). Оси X параллельны и имеют одно и то же положительное направление. Параметр S — расстояние от оси Xj до оси Xk, считается положительным, если вектор направления совпадает с направлением оси Zk.
Механизмы с открытыми кинематическими цепями (роботы, манипуляторы) исследованы в работах [1—8]. Однако в них рассматриваются только вращательная и поступательная КП и устанавливаются по одной системе координат.
Для винтовой и цилиндрической КП оси Z задаются как во вращательной КП, а оси Х — как в поступательной КП. В винтовой КП существует связь между параметрами S и у.
Для шарнирной КП (шарнир Гука) (рис. 1, в) направления осей Z совпадают с направлениями осей пальцев крестовины универсального шарнирного соединения. Центры систем координат совпадают с центром крестовины. Обозначим через t перпендикуляр к крестовине. Положительное направление t определяется по правилу правой руки, применяемому от положительного Zj к положительному Zk. Вводятся два параметра: ф — угол между положительным направлением оси X] и перпендикуляром t, считается положительным, если измерен против часовой стрелки, если смотреть от положительного направления оси Zj; 9 — угол между положительными направлениями перпендику-
ляра t и оси Хк, считается положительным, если измерен против часовой стрелки при рассмотрении его с положительного направления оси Zk.
Для сферической КП (рис. 1, г) центры систем координат совпадают с центром сферической пары. Параметрами являются три угла Эйлера. Углы считаются положительными, если измерены против часовой стрелки при рассмотрении их, соответственно, с положительного направления оси Zj, линии пересечения плоскостей и оси Zъ..
Рис. 1. Типы кинематических пар, их СК и параметры:
а — вращательная; б — поступательная; в — шарнирная;
г — сферическая; ZE/4 — ось Z системы координат КП звена 4
Выбор СК для механизма привода режущего аппарата (механизма качающейся шайбы) показан на рис. 2.
В основе формирования модели КП лежит преобразование однородных координат точки. Совокупность четырех чисел (1, х, у, I) представляет собой однородные или проективные координаты точки, где (х, у, ¿) — декартовы координаты.
Координаты точки в /-й СК, если известны ее координаты в у-й СК, можно записать в мат-
ричном виде:
1 "1 "
= А у
у _гу _
где г и г .
матри-
Рис. 2. Системы координат механизма привода режущего аппарата — механизма качающейся шайбы
цы-столбцы положения одной и той же точки в декартовых СК и 0]Х]У^]; Ау —
матрицы перехода от СК1 к СК /. Матрица перехода имеет вид
" 1 0
А =
и
где г(. 1 — матрица-столбец положения 0у в СК
/, и у — матрица направляющих косинусов между осями СК / и 1 (матрица вращения). Матрица вращения является ортогональной матрицей, т. е. ее транспонированная и обратная матрица идентичны. Вектор г.01 характеризует поступательное движение перехода.
Преобразование, определяемое этими уравнениями, может быть определено как ортогональное аффинное преобразование координат в 4-мерном пространстве, называемом проективным пространством.
При исследовании механизмов полагаем, что звено жесткое и его форма сохраняется неизменной, т. е. относительное расположение СК на звене постоянно. Переменным является относительное расположение звеньев КП. Исходя из этого, можно составить матрицу перехода для звена от одной СК к другой (обе системы заданы на одном звене). Такая матрица
0
г
является постоянной и характеризует «форму» звена.
Обозначим Ау — матрица КП , образованная звеньями / и у; А{ — матрица /-го звена. Матрицу КП Ау будем обозначать так же и как Ас, где С — обозначение КП , образованной звеньями / и у. Если звено является звеном разветвления, то у звена несколько матриц, тогда используется обозначение Ак (к-я матрица /-го звена).
В качестве элементов матрицы преобразования выступают функции от параметров КП. Вид матриц преобразования координат для КП представлен в табл. 1.
Уравнение замкнутости контура. Если выполнить последовательные преобразования СК для одного замкнутого контура звеньев, начиная и кончая некоторой точкой звена, то такое преобразование является тождественным [9—12]:
1
— Aoi A1A12 Am-1,mAmAm,0 A0
1
(1)
Отсюда матричное уравнение замкнутости контура приобретает следующий вид:
A01A1A12A3---Am-1,mAmAm,0 A0 — E •
(2)
В случае многоконтурных замкнутых кинематических цепей уравнения вида (2) должны быть составлены для каждого из контуров. У таких механизмов имеются звенья, входящие в несколько контуров (звено разветвления). Естественно, что в уравнении (2) для различных контуров войдут разные матрицы преобразова-
ния звена разветвления. Решение уравнения (2) определяет положение механизма.
Анализ положения механизма [13]. Рассмотрим механизм, состоящий из одной замкнутой кинематической цепи. Введем местную, в пределах кинематической цепи, нумерацию звеньев. Пусть звенья механизма имеют номера 0, 1,..., п.
Приближенное значение параметра qll+1 КП, образованной /-м и (/ + 1)-м звеньями этой цепи , обозначим q / /+1. Уточненное значение этого параметра обозначим p//+1, т. е.
p / ,/+1= q / ,/+1 + ^/,/+1, 1=1, т.
Решение задачи о положении сводим к нахождению Лq//+1. Это означает, что создана процедура, позволяющая, исходя из первоначальных (ориентировочных, грубых) значений, уточнить параметры и с помощью нескольких уточнений получить точное (с заданной точностью) положение механизма.
Для определения Лq / /+1 рассмотрим матрицу КП при значениях параметров, соответствующих значениям p//+1. Разложим матрицу А /+1 ^ / /+1) в окрестности точки с координатами p / /+1 в ряд Тейлора. Примем в качестве точки этой окрестности точку с координатой q / /+1. Дифференцирование матрицы перехода А1 у КП по ее параметру у производится при помощи матричного оператора Р:
А у
' = Л ц у — для однопараметрической КП
у Л
Таблица 1
Матрицы преобразования координат КП
p
p
r
r
0
0
Вращательная КП /1 0 0 0' 0 cos у -sin у 0 0 sin y cos y 0 ^0 0 0 1, Поступательная КП /1 0 0 0' 0 10 0 0 0 10 ^ 5 0 0 1,
Шарнирная КП (шарнир Гука) /1 0 0 0 ' 0 -cos ф cos9 cos ф sin 9 sin ф 0 -sin ф cos9 sin ф sin 9 -cos ф ^0 -sin ф -cos9 0 , Сферическая КП /1 0 0 0 ' 0 -cos9 cos ф cosy + sin 9 sin y -sin 9 cos ф cosy + cos9 sin y sin ф cosy 0 -sin 9 cosy+ cos9 cos ф sin y sin 9 sin y cos ф - cos9 cosy sin ф sin y ^0 cos9sinф -sin9sinф -cosф ,
( к)
— для
г1А 3 ДА 3
и аА/-1 _ ( к) _ к) А (
иЧу к_1 ,1 к_1
многопараметрической КП.
Для замкнутой кинематической цепи должно выполняться уравнение замкнутости контура (2):
А0 А01 (p 01 )А1 A12(ql2 + +^12)А2... 44,0 ^0 + Л^л,0>_ Е.
Введем обозначения:
В','+1 _ А0 А01А1А12... А'0','+1 А','+1 4+1... АпАп 0 ; А0 А01А1А12... 4-1 4-1,' _ А0'.
Последовательные преобразования СК эквивалентны одному преобразованию, но с более сложной матрицей, являющейся результатом произведения всех матриц.
Раскрывая скобки и пренебрегая слагаемыми, содержащими произведения вида Лд 11+1 Лду у+1, т. е. учитывая только линейные члены уравнение (3) можно представить в следующем виде:
В12 Лд
12 + В23 ^ 23 +--+Вш 0 0 _
_ Е - ЛД0 _ Е - А„ ^). (3)
Правая часть уравнения , где матрицы А0п вычислены при приближенных значениях q, характеризует «невязку» уравнения в связи с неточностью этих параметров. Неизвестными в уравнении являются Лд{ +.
В левой и правой частях уравнения (3) получаются матрица 4-го порядка. Приравнивая соответственные элементы этих матриц , определяем 12 (элементы первых строк матриц приводят к тождествам, не представляющим интереса) алгебраических уравнений, содержащих параметры относительного положения звеньев. Из них три уравнения, вытекающие из компонент первого столбца матричного уравнения, характеризуют три поступательных перемещения вдоль трех осей системы 00X0У0Z0, а остальные девять уравнений описывают три вращательных движения. Подматрицы вращений матриц Ву получаются кососимметричными. Из указанных девяти уравнений только три являются независимыми. Следовательно, из матричного уравнения замкнутости нельзя получить больше шести независимых уравнений. Если число искомых параметров оказывается меньшим,
чем число уравнений, то часть из этих уравнений может быть использована для проверки правильности решений.
Таким образом получаем систему из шести уравнений с т неизвестными (т — общее количество параметров КП, значения которых уточняются):
BЛq _ W,
где Лq — уточнения параметров КП.
Решение должно наилучшим образом удовлетворять среднеквадратическому критерию. Это решение имеет следующий вид: Лq _ (Вт В )-1 Вт W.
Полученные значения Лq служат для уточнения параметров, т. е. p — q + Лq.
Процесс приближения повторяется до тех пор, пока по всем КП для любого заданного числа е не будет выполнено неравенство шах^. ;ч11 < е.
Для начала итерационного процесса необходимо задать начальное приближение. Оно определяется следующим образом. Строится кинематическая схема механизма при фиксированных (начальных) положениях входных звеньев. Задаются ориентации СК, связанные со звеньями в КП (см. табл. 1). Одна из неподвижных систем принимается за основную (абсолютную). Абсолютной системой может быть система, не входящая в КП, но связанная со стойкой.
При фиксированном положении механизма задание СК звеньев КП осуществляется выбором трех различных точек: центров координат (г 01, г о/), точек, лежащих на положительных направлениях осей Х(гх;. , г^ ), и точек, лежащих на положительных направлениях осей Z(гzi, г^ ). Координаты этих точек задаются относительно выбранной основной неподвижной СК. Этой информации достаточно, чтобы сформировать орты осей
^ хк , e
_ (Гхк
ук-> e 1к>
): eхек _ (Г
0к
"хк
)/|г
хк
0к
)/|г
хк
0к
Ь e к _
Гок 1 , e ук e хк * e хк ,
где к = /, у.
Далее формируются матрицы Ау следующим образом: Ау — А-1 А0у, где матрицы А0/ и А0у соответствуют преобразованиям координат од-
'1 '
ной и той же точки
.Г0 _
1 0
Матрица Aok = Jok e xk
= A
0 i
и
= A,
o j
0 0 \
e ,,
e „
, где k=i, j.
-yk zk /
Получив матрицы преобразования КП и поставив в соответствии с ее типом матрицу (см. рис. 1), определяются значения обобщенных параметров этой КП. Например, если звенья i и j образуют вращательную пару, то элемент a 32 матрицы As будет равен a 32 = — sin у. Отсюда у = —arcsin a 32. Эти значения являются исходными для кинематического анализа согласно представленным выше зависимостям.
При условии, что начальные оценки достаточно близки к истинным значениям, процесс за ограниченное количество итераций будет сходиться таким образом, что матрица A0n (q) обратится в единичную матрицу. Исключением является положение в «мертвой» точке механизма. Если предположить, что процесс действительно сходится, то все величины Aq¡ i+1 стремятся к нулю. Если окажется, что процесс сходится к одной из матричных форм, не совпадающих с единичной матрицей, то это означает, что контур механизма замкнут неправильно. Поэтому необходимо в качестве дополнительных уравнений добавить к системе три условия на диагональные элементы. Эта система из девяти уравнений с шестью или меньшим количеством неизвестных вообще не имеет точного решения. Однако, поскольку весь метод основан на итерационном подходе, точность его не будет существенно снижена, если использовать приближенное решение системы, удовлетворяющее девяти уравнениям наилучшим образом в смысле среднеквадратичного критерия.
Кинематический анализ механизма. В основе такого анализа лежит решение задачи движения звеньев [14—19].
Анализ перемещения механизма. Последовательность анализа перемещения механизма следующая. Решается задача для текущего положения. Найденное решение принимается за начальное для последующего, которое получается перемещением ведущих звеньев на заданный шаг. Это положение становится текущим. Вновь решается задача положения; осу-
ществляется переход к следующему положению ведущих звеньев и т. д. Анализ положений проводится заданное количество раз (исходя из закона движения ведущих звеньев и шага изменения значений их параметров).
Дифференцирование переходных матриц. Элементы матрицы А{ , зависят от нескольких параметров (КП 4-го и 3-го класса). Полный дифференциал матрицы А{, имеет вид з ЗА з
а,=2^(11= 2С • а^', '=1 дд,,, '=1
где д(') — '-й параметр КП, образованной звеньями ) и Вид матриц (2(,) представлен в табл. 2. Матрицы ) являются кососиммет-ричными.
Дифференцирование матрицы перехода КП по времени выполняется также с помощью матричных операторов (2:
йА ; Л ЗА,, йд ( ,) 3
dt
-= 2
t
dt
-=2«) j ,k).
k=1
Дифференцирование матрицы А1, КП по входному параметру д1, отражающему движение ведущего звена, описывается следующим образом:
йА:: Л ЗА,,, )
-=2
п ^ ,
,=1 дд)у ^
Определение относительных скоростей и ускорений движения звеньев и абсолютных скоростей и ускорений движения отдельных точек. Относительные скорости и ускорения движения звеньев представляют собой соответственно первые и вторые производные от перемещений звеньев по времени. Дифференцируя 1 раз или 2 раза по времени систему (2), получим, соответственно, одну систему для определения скоростей, другую — для определения ускорений. Разумеется, первая система может иметь коэффициенты, зависящие от величин перемещений, которые следует считать известными после решения исходной системы уравнений. Аналогично коэффициенты системы линейных уравнений для определения ускорений могут содержать величины перемещений и скорости звеньев, которые следует считать известными после решения соответствующих систем уравнений.
Относительная скорость движения звеньев КП механизма рассчитывается по уравнению,
1
1
0
Таблица 2
Матрицы (¡к) (к = 1,2, 3) для соответствующих КП
Вращательная КП /0 0 0 0х 0 0 -10 0 10 0 0 0 0 0
о(1) =
Поступательная КП
/0 0 0 0Х
о(1) =
^г,/
0000 0000 10 0 0
Шарнирная КП
о(2) =
0 0 0 0)
0 0 —1 0
_ 0 1 0 0
0 0 0
0 0
0 0 0 —
0 0 0 —
I0 00Б ф бШ ф
Сферическая КП /0 0 0 0'
о(3) =
О
(2) =
0т =
/0 0
00 01 00
0
0 008 ф 0
0
008 ф
-1 0 0 0 0 0
БШ ф 0
-008 ф 0
/
0
-008 ф "БШ ф 0
0 —бШ 9 ООБ ф ООБ9 БШ ф
/ 0
БШ 9 00Б ф —ооб9 БШ ф 0
0
0
которое получается в результате дифференцирования по времени выражения (2):
В01С01 + В12<?12 +---+Вп0<1п0 = 0 (4)
Для каждого положения механизма осуществляется расчет матриц В{ г+1. В результате решения будут определены значения С за исключением тех, которые относятся к ведущим звеньям (например, можно считать ¿01) и являются заданными. Относящееся к ведущему звену слагаемое В01С01 перейдет в правую часть (4).
Относительное ускорение движения звеньев КП механизма определяется путем дифференцирования выражения (4) по времени и дальнейших преобразований, в результате которых получаем
В01#01 + В12^12+--+Вп0С'п0 = = [В01^01^01 + (^02В12^12 + В12^20С12) +
+(^0зВ 23 + В2^30)С123+-+
+(^0пВп—1,п + Вп—щЖп 0 )Сп—1,п + ^0пВп 0С1п 0 ], п—1 г'+1
где ЖгЧ1,0 = ^, +1 + Вп0; ^,+1 .
/=/+1 / _1
Значения относительных скоростей звеньев КП определяются согласно уравнению (4), поэтому неизвестными являются относительные
ускорения за исключением заданных для ведущего звена КП. Данное матричное уравнение также является линейным.
Траектория точки звена. Выберем на г-м звене точку Р. Определим кинематический контур, в который входит г-е звено, и последовательность звеньев, входящих в кинематическую цепь контура. Пусть Хр, Ур,2Р — декартовы координаты этой точки в абсолютной СК, а хР, уР, 1Р — в СК г'-го звена. Таким образом, расположение точки характеризуется двумя векторами: ИР = (1,ХР ,УР,2Р), гР = (1,хР, уР, 1Р). Вектор гР может быть задан двумя способами: в СК звена г, образующего КП со звеном, предшествующим г-му (г — 1) в кинематической цепи (случай 1); в СК звена г, образующего КП со звеном, последующим г'-му (г + 1) в кинематической цепи (случай 2).
Для случая 1 имеем ИР = А01г(Р1).
Для случая 2 имеем ИР = А0{А{г(Р2).
Эти уравнения можно объединить следующим образом:
И р = А0{1Гр, (5)
где^ = Е, гр = г(Р1) — для случая 1; г = А1, гР = г(Р2) — для случая 2.
Траектория точки звена рассчитывается поэтапно и связана с перемещением звена. Совокупность положений точки и составляет ее траекторию.
Вектор абсолютной скорости точки Р определяется после дифференцирования уравнения (5):
йА0
R =J, {A'Z' >=^г»р=
= ~Z (A0A01A1A12---Ai-1 Ai-1,i )zrp =
d,
(6)
i-1
= ^(Bk,k+1 A0iqk,k+1 )zrp•
k=1
Вычислить вектор скорости точки P по этой формуле можно только в том случае, если известны величины qkk+1, т. е. относительные скорости звеньев.
Если скорость точки определяется в зависимости от скорости ведущего (ведущих) звена (передаточное отношение), то в формуле (6) необходимо выполнить следующую замену: dQk dQk
= ~dq~s dt~= QkM1 Qs, где qs — обобщенная координата ведущего звена.
Дифференцируя (6) по времени, получаем вектор абсолютного ускорения точки: d i-1
R Р = dt 2(Bk ,k+1 A0iqk,k+1 )zrp. k=1
Для определения ускорения точки необходимо найти q k,k+1, q^^ Rp ■
Решение проблемы кинематического анализа пространственных механизмов носит унифицированный характер и базируется на едином подходе к исследованию любого механизма.
Для пространственных многоконтурных механизмов задача кинематического исследования может быть выполнена только методом последовательных приближений.
Динамический анализ механизма. Для вывода уравнений движения механизма используется формула Лагранжа для всего механизма.
Для описания распределения масс i-го звена рассмотрим его частицу с массой dm и координатами (x., yi, zt). Кинетическая энергия такой
частицы dKi = ^(X2 + Yri2 + Z2 )dm, где
(Xi, Yi, Zi) — координаты этой частицы в абсо-
лютной СК. Иначе: йК1 = ^р^, ])йш, где
8р — след матрицы; 11 т — транспонированный вектор 11,. Тогда
1
dKt = 2Sp
k=1
х
k,k+1 A0iqk ,k+1Zr p
2(Bk ,k+1 A0iqk,k+1 )zr k=1
х
i-1
dm.
Отсюда
K = ^р[с;. (J rrf dm)(Ci )т ]qs,
i-1
где Ci = 2(Bk,k+1 A0i )Z
k=1
dqk,k+1
dqs
Выражение J rtrtdm представляет собой мат-
рицу инерции вида
J =
Jdm Jxdm Jyjdm JZjdm ^
J xidm J x2 dm J xiyidm J xizidm
J у.. dm J xiyidm J y2 dm J yizidm
J z.dm J xizidm J yizidm J z2 dm
Если известны масса звена (т), центр тяжести (х,, у,, г,), осевые и центробежные моменты инерции , 1}р , ^ , , ^ , , то ее можно представить в следующем виде:
/ т, т,х, т,у, тгг,
J: =
m. x. i(-I» + Iyy + Ie)
У.
-( I„ - Iyy + Ie )
2(I= + Iyy - Izz )
Отсюда кинетическая энергия ,-го звена
к( = ^¿с/, (с, )т ]д2.
Путем суммирования по всем звеньям контура определяется кинетическая энергия одноконтурного механизма
1 и
K = 2 2Sp[C,Ji (Ci )т ]q2,
2 i=1
(7)
где п — количество звеньев в контуре.
Если механизм имеет т контуров, то уравнение (7) преобразуется к виду
1 т п,
к=2 (с, )т 1дЦ
k=1 i=1
Здесь п, — количество звеньев в '-м контуре. Если звено присутствует в нескольких конту-
m z
рах, то оно учитывается только 1 раз. Для простоты изложения далее рассматривается одноконтурный механизм.
Потенциальная энергия механической системы состоит из двух частей: из энергии, запасенной в упругих элементах типа пружин в КП и потенциальной энергии силы тяжести, действующей на звенья.
Потенциальная энергия в пружине равняется работе, затраченной на ее деформацию:
1 2
pi .= ] cjqj+ const.
Здесь Су — жестокость пружины (сжатия для поступательного движения в КП, кручения для вращательного движения в КП); q у — отклонение пружины от недеформированного состояния.
Полная потенциальная энергия, запасенная в пружинах,
n 1 n
Pi i = 1 + const.
¿=1
¿=1
Потенциальную энергию силы тяжести будем вычислять следующим образом. Введем единичный вектор е = (1,0,0,0)т. Координаты центра тяжести гг г-го звена гг = I {е / т{.
Координаты центров масс в абсолютной СК
= 4/е / т.
Обозначим О = (0, gx, gy gz) — матрица-строка составляющих ускорения силы тяжести. Потенциальная энергия силы тяжести одного г-го звена Р21 = —ОА0111 е. Для всего механизма потенциальная энергия
Р 2 , iJi e.
i=1
Функция Лагранжа
nn
—=1C )т k2 - 2 2c»qJ +
¿=1 ¿=1
n
e + const.
¿=1
Поскольку —— = 2Sp(C;./;. (Ct )т qs, то
dqs i=1
нение Лагранжа имеет вид
урав-
d_ dt
nn
|>p[C;./;.(C. )т qs ]- —-2 Sp[C;/;.(C.)'q]] +
i =1
+ -
д
1 n ^
22cq ■
^ i=1 /
д
^GA Jie = ps.
дс8 \2 я - V Эс, ^
Здесь Р, — обобщенная сила, которая определяется через работу, совершаемую на перемещении 5с, . Обобщенная сила Рв учитывает приложенные внешние и диссипативные силы. Обобщенная сила сопротивления ¥у в фрикционных элементах р-й КП пропорциональна скорости: ¥у = —срС = —срср,С,. Обобщенная внешняя сила ¥р), приложенная в р-й КП, РрЦ) = /рЦ)с'р,С,, где /р()— внешняя сила, приложенная в КП.
Окончательное уравнение движения механизма
п ] п
^р[С,'/,' (Сг )т Ц, ] + - ^РС,/ (Сг )т ¿2] —
г=1 г=1
д 1V
dqs 2 tr
2sp[C,./,. (C, )т q]]
+ ■
дф
1
.c„qh
s \ i=1 n
dqs tf
SGA0, J, e =-2c^q' ps 0s +2 Л (t )q';» is
p=1 p=1
представляет собой систему связанных нелинейных дифференциальных уравнений 2-го порядка. Неявная зависимость коэффициентов от обобщенных координат заложена в матричном контурном уравнении. Это контурное уравнение решается одновременно с системой дифференциальных уравнений.
Рассматриваемые методы анализа применимы при проектировании подвесок автомобиля, которые могут быть представлены в виде пространственного механизма, имеющего ряд кинематических контуров и несколько степеней свободы. В механизме передней подвески можно выделить следующие контуры: левый и правый рычаги управления, контур дороги, левый и правый стабилизаторы, левая и правая пружины.
Реализация предлагаемого метода при проектировании дает значительную экономию машинного времени, так как на каждом шаге анализа нет необходимости пересчитывать все мат-
n
n
n
МАШИНОСТРОЕНИ
рицы преобразования при наличии введенных не изменяемых матриц преобразований для звена.
Литература
[1] Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи, методы, примеры. Москва, Физматлит, 2002, 320 с.
[2] Уиттекер Э.Т. Аналитическая динамика. Москва, УРСС, 2004, 504 с.
[3] Самарский А.А. Введение в численные методы. Санкт-Петербург, Лань, 2005, 270 с.
[4] Диментберг Ф.М. Теория пространственных шарнирных механизмов. Москва, Наука, 1982, 335 с.
[5] Джолдасбеков У.А., Казыханов Х.Р., Петухов В.К. Машинный анализ кинематики механизмов. Механика машин, 1980, № 57, с. 46-48.
[6] Корендясев А. И., Саламандра Б.Л., Тывес Л.И. Теоретические основы робототехники. В 2 кн. Кн. 1. Москва, Наука, 2006, 383 с.
[7] Попов Е.П., Верещагин А.Ф., Зенкевич С.Л. Манипуляцион-ные роботы: Динамика и алгоритмы. Москва, Наука, 1978, 400 с.
[8] Hollerback J.M. A recursive Lagrangian formulation of manipulator dynamics and a comparative study of dynamics formulation complexity. IEEE Trans. System, Man and Cybern, 1980, vol. SMC-10, no. 11, pp. 730-737.
[9] Пол Р. Моделирование, планирование траекторий и управление движением робота-манипулятора. Москва, Наука, 1976, 104 с.
[10] Павлов Б.И., Очиров В.Д. Вычислительный эксперимент в динамике машин и механизмов. Москва, Наука, 1981, 144 с.
[11] Крейнин Г.В. Кинематика, динамика и точность механизмов. Справочник. Москва, Машиностроение, 1984, 216 с.
[12] Уикер Дж. Динамика пространственных механизмов. Конструирование и технология машиностроения, 1969, № 31, с. 264-278.
[13] Sheth P.N., Hodges T.M., Uicker J.J. Matrix Analysis Method for Direct & Multiple Contact Multibody Systems. Journal of Mechanical Design, June 1990, vol.112, pp. 145-152.
[14] Бидный Г.Р. Матричный метод решения задач строительной механики. Москва, Изд-во ЁЁ Медиа, 2012, 308 с.
[15] Uicker J.J. IMP [Integrated Mechanisms Program], a problem oriented Language for the Computer aided Design and Analysis of Mechanisms. The University of Wisconsin-Madison, Wisconsin, 1972, 187 p.
[16] Shigley J.E., Uicker J.J., Pennock G.R. Theory of Machines and Mechanisms. Oxford University Press, 2011, 734 p.
[17] Бруевич Н.Г., Мардер Б.О. Кинетостатика пространственных механизмов. Москва, Наука, 1981, 104 с.
[18] Van Aken L., Van Brussel H. A structured geometric database in an off-line robot programming system. Robotica, 1987, vol. 5, no. 4, pp. 333-339.
[19] Erdman A.G., Sandor G.N. Mechanism Design Analysis and Synthesis, vol. 1, Prentice Hall, 1997.
References
[1] Samarskii A.A., Mikhailov A.P. Matematicheskoe modelirovanie: Idei, metody, primery [Mathematical modeling: ideas, methods, examples]. Moscow, Fizmatlit publ., 2002. 320 p.
[2] Uitteker E. T. Analiticheskaia dinamika [Analiticheskaya dynamics]. Moscow, URSS publ., 2004. 504 p.
[3] Samarskii A.A. Vvedenie v chislennye metody [Introduction to Numerical Methods]. St. Petersburg, Lan' publ., 2005. 270 p.
[4] Dimentberg F.M. Teoriia prostranstvennykh sharnirnykh mekhanizmov [Theory of spatial linkages]. Moscow, Nauka publ., 1982. 335 p.
[5] Dzholdasbekov U.A., Kazykhanov Kh.R., Petukhov V.K. Mashinnyi analiz kinematiki mekhanizmov [Computer analysis of the kinematics of mechanisms]. Mekhanika mashin [Mechanics of Machines].
1980, no. 57, pp. 46-48.
[6] Korendiasev A. I., Salamandra B.L., Tyves L.I. Teoreticheskie osnovy robototekhniki. V 2 kn. Kn. 1 [Theoretical foundations of robotics. In the book of 2 books 1]. Moscow, Nauka publ., 2006. 383 p.
[7] Popov E.P., Vereshchagin A.F., Zenkevich S.L. Manipuliatsionnye roboty: Dinamika i algoritmy [Manipulation Robots: Dynamics and algorithms]. Moscow, Nauka publ., 1978. 400 p.
[8] Hollerback J.M. A recursive Lagrangian formulation of manipulator dynamics and a comparative study of dynamics formulation complexity. IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics, 1980, vol. SMC-10, no. 11, pp. 730-737.
[9] Pol R. Modelirovanie, planirovanie traektorii i upravlenie dvizheni-em robota-manipuliatora [Modeling, path planning and motion control a robotic arm]. Moscow, Nauka publ., 1976. 104 p.
[10] Pavlov B.I., Ochirov V.D. Vychislitel'nyi eksperiment v dinamike mashin i mekhanizmov [Computer experiment in the dynamics of machines and mechanisms]. Moscow, Nauka publ., 1981. 144 p.
[11] Kreinin G.V. Kinematika, dinamika i tochnost' mekhanizmov. Spravochnik [Kinematics, dynamics and precision mechanisms. Handbook]. Moscow, Mashinostroenie publ., 1984. 216 p.
[12] Uiker Dzh. Dinamika prostranstvennykh mekhanizmov [Dynamics of spatial mechanisms]. Konstruirovanie i tekhnologiia mashinostroeniia [Designing and manufacturing engineering]. 1969, no. 31, pp. 264-278.
[13] Sheth P.N., Hodges T.M., Uicker J.J. Matrix Analysis Method for Direct & Multiple Contact Multibody Systems. Journal of Mechanical Design, June 1990, vol.112, pp. 145-152.
[14] Bidnyi G.R. Matrichnyi metod resheniia zadach stroitel'noi mekhaniki [Matrix method for solving problems of structural mechanics]. Moscow, EE Media publ., 2012. 308 p.
[15] Uicker J.J. IMP [Integrated Mechanisms Program], a problem oriented Language for the Computer aided Design and Analysis of Mechanisms. The University of Wisconsin-Madison, Wisconsin, 1972. 187 p.
[16] Shigley J.E., Uicker J.J., Pennock G.R. Theory of Machines and Mechanisms. Oxford University Press, 2011. 734 p.
[17] Bruevich N.G., Marder B.O. Kinetostatika prostranstvennykh mekhanizmov [Kinetostatics spatial mechanisms]. Moscow, Nauka publ.,
1981. 104 p.
[18] Van Aken L., Van Brussel H. A structured geometric database in an off-line robot programming system. Robotica, 1987, vol. 5, no. 4, pp. 333-339.
[19] Erdman A.G., Sandor G.N. Mechanism Design Analysis and Synthesis, vol. 1, Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ, USA, 1997.
Статья поступила в редакцию 28.08.2013
Информация об авторе
ПАВЛОВ Борис Изосимович (Москва) — доктор технических наук, профессор кафедры «Теория механизмов и машин». МГТУ им. Н.Э. Баумана (105005, Москва, Российская Федерация, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1, e-mail: b_i_pavlov@mail.ru).
Information about the author
PAVLOV Boris Izosimovich (Moscow) — Dr. Sci. (Eng.), Professor of «Theory of Mechanisms and Machines» Department. Bauman Moscow State Technical University (BMSTU, building 1, 2-nd Baumanskaya str., 5, 105005, Moscow, Russian Federation, e-mail: b_i_pavlov@mail.ru).
