CC BY
72
5. Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн. - М.: Наука, 1968. - 720 с.
---------♦'-----------
УДК 621(07) Р.В. Фалалеева, И.В. Паневин
ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ УПРАВЛЕНИЯ МАНИПУЛЯТОРОМ
В статье рассматриваются основные задачи механики управления манипулятором. К ним, в первую очередь, относятся задачи кинематики, определяющие законы движения механизма.
К механике управления манипулятором относятся задачи кинематики, которые заключаются в определении законов движения звеньев. Управляемое движение должно совместить захват С с движущимся объектом - деталью Д.
На практике чаще всего деталь Д движется в одной плоскости с заданной постоянной скоростью ид (рис.). Координаты точки Д изменяются по закону:
Хд = Хд(0) + Удх • г;
Yд = Yд(0) + УдУ • г. (1)
Так как деталь Д движется в одной плоскости, то достаточно рассмотреть движение манипулятора только в одной плоскости, то есть рассмотреть его как плоский механизм с двумя (или больше) степенями
свободы. Захвату (точки С) разрешается произвольное движение в плоскости по двум координатам.
Управление движения захвата С осуществляется по линейной комбинации рассогласований координат точек Д и С, а также их производных. Рассогласование координат точек Д и С в момент времени г = т не должно превышать величину 3 от начальных рассогласований.
Предположим, что координаты захвата С известны, например, прямыми измерениями или путем вычисления по начальным положениям звеньев. Координаты детали Д(ХдYд) заданы уравнением (1). Тогда
можно вычислить рассогласования:
А Х = Хд -Хс;
А У=Уд -Ус. (2)
Управление движением захвата осуществляется по сигналам управления Ц<Д, образованным линейной комбинацией рассогласований и их производных.
их= А х + Т й А х; йг
и= А у + Тй А у, (3)
йг
где Т - постоянный коэффициент управления, имеющий размерность времени.
Сигналы их и иу подаются на управление приводами манипулятора с коэффициентом
усилия К.
В современных манипуляторах для достижения высокой точности позиционирования захвата выбирают очень большое значение коэффициентов усилия. Поэтому, считая, что К стремится к бесконечности, величины Ких и Щ остаются конечными, можно записать следующие приближенные предельные уравнения: и « 0 и иу« 0 с погрешностью порядка 1/К.
Линия движения детали Д Подставляя в (3) значения А х,их, Ау,и получим:
йх д —хс 1
О — Хд- Хс+Т Т —— исх= идх+ (Хд - Хс).
йг йг Т
(4)
Аналогично и су = иду + т (Уд -У с).
Движение манипулятора с W=2 по двум координатам однозначно определяет движение всех его звеньев.
Определения коэффициента управления Т. Запишем уравнения (3) в рассогласованиях А х, А у, полагая их —иу—0:
—
Решения этих уравнений будут:
Т — А х + А х — 0; —г
Т— А у + А у — 0. —г
(5)
Ах = Ах(0) • е Ау = Ау(0) • е
г
Т .
(6)
По условию к концу интервала времени т рассогласования А х, А у должны составлять величину 3 от начальных рассогласований:
Ах —г т
8 =---------еТ, откуда Т =------------------.
Ах(0) 1п8
(7)
Выбор начальных условий. Если систему уравнений движения звеньев привести к форме Коши, то она будет иметь вид:
Хс = Усх (Хс, (), Ус= и су (ус, ^ ),
р = со, (р,исх, Усу, V (і—1,2... п),
где п - число звеньев манипулятора.
(8)
Т
Эти уравнения, являющие системой с W=2, записаны в избыточном наборе 4-х переменных Хс, ус, рх,р2. Отсюда следует, что из начальных значений этих переменных независимо могут задаваться только два. Остальные следует вычислить в зависимости от заданных переменных.
Составление кинематических уравнений звеньев манипулятора. Механизмы манипуляторов представляют собой совокупность нескольких звеньев, соединенных между собой вращательными или поступательными парами V класса в разомкнутую цепь.
Выражения для зависимости неизвестных угловых и линейных перемещений от заданных параметров получают, используя формулы кинематики твердого тела из курса теоретической механики. Последовательность кинематического расчета может выбираться неоднозначно. Предпочтительны наименее трудоемкие варианты.
Полученные дифференциальные уравнения движения манипулятора с заданными начальными условиями интегрируется с помощью ЭВМ на интервале времени т.
На печать с шагом интегрирования A t выводятся значения времени, горизонтальная и вертикальная составляющие перемещения захвата С и его скорости, а также требуемые значения угловых и линейных перемещений и скоростей звеньев манипулятора.
Контроль решения. Построенные по результатам счета графики перемещений и скоростей не должны иметь разрывов. При t=T рассогласование между положением захвата С к детали Д должно быть не больше заданной величины S. Траектория движения захвата должна асимптотически приближаться к линии движения детали Д.
При графо-аналитической проверке для одного промежуточного значения времени выписываются значения полученных кинематических параметров. Это положение механизма изображается на чертеже. По проекциям строится вектор скорости точки С. Находят положения мгновенных центров скоростей для всех звеньев манипулятора. Замеряя расстояние от мгновенного центра звена до контролируемой точки, определяют значения угловых или линейных скоростей. Полученные результаты должны соответствовать результатам соответствующего положения счета на ЭВМ.
Пример. Деталь Д движется в горизонтальной плоскости. Захват С манипулятора с цилиндрической системой координат должен за определенное время т сблизится с движущейся деталью Д. Определить управляющие воздействия на приводы манипулятора.
Движение детали задано координатами
Хд = Хд (t); Уд = Yn(t),
а начальное положение манипулятора углом поворота р (0) и длиной "руки" /з(О). Исходные данные:
п
x д = 0,8м; уд =0,9м; иД = 0,304м/с; а = 4,35рад; р(0) = — рад;
6
т
/з (0) = 0,5 м; т = 1,37 c; S = 0,001 м; At = — = 0,057 с.
24
Составление уравнений движения. Уравнения движения детали Д имеют вид:
Хд = Хд (0) + иДХ t; иДХ = иД cos а = - 0,108 м/с; (9)
Уд = Уд (0) + иДу t; ьДу = иД sin а = 0,284 м/с.
Предположим, что координаты захвата С известны в процессе движения. Тогда можно вычислить
рассогласования координат точек Д и С:
A x = Хд - Хс; A у = Уд - ус. (10)
Допустим, что управление манипулятором осуществляется по линейной комбинации рассогласований и их производных:
Ux = A х + Td A х; (11)
dt
Uy= A y + Td A y. dt
При управлении с большими коэффициентами усиления К с погрешностью порядка 2. выполняются
К
соотношения:
их=0; иу=0. (12)
Подставим в (12) выражения (9)—(11) и приведем полученные уравнения к форме Коши. Тогда:
' \хд (О) + Ьдхt xc J _ ;
dj Ux; ^сх = идХ + \Хд (О) + идХt xc J ^ ’
dy,
dt ~ьсу; ису =V/fY+[уд(О)+v^t ycT
Координаты точки С будут (см. рис.):
xс = /3 cosp;
Ус = l3 sinp.
П
Начальное положение при /3(О) = О.5 м; и p(S) = — = 3О0 будет:
6
xс (О) = /3 (О) cos p(S) = О,5 ■ О,866 = О,433м; ус (О) = /3 (О) sin p(Q) = О,5 ■ О,5 = О,25 м.
Дифференцируя выражения координат, получим скорость:
исх = /3 cos p—/3psin p = u3 cos p — /3asin p;
и су = h sinp+ /3p cosp = u3sinp+/3acosp. (13)
Решая полученную систему уравнений, получим выражения для и3 и а. Для этого умножим первое
уравнение на cos p, а второе - на sin p и сложим оба уравнения. В результате получим требуемую вели-
чину скорости движения "руки":
U =исх cos p + ucy sinp- (14)
Умножая первое уравнение на sinp, а второе - на cosp и вычитая из второго первое, получим
требуемые значения угловой скорости поворота "руки" манипулятора:
а = rUy cosp — исх smp). (15)
l3
Значения и3 и а являются управляющими воздействиями на приводы выдвижения и поворота "руки" манипулятора Эти уравнения можно дополнить дифференциальными соотношениями:
p = а и /3 = U3. (16)
Определение параметра управления Т. Из выражений (11)-(12) получим уравнение в рассогла-
совании:
Т — А х + А х = 0; dt
Т — А у + А у = 0. dt
Решаем эти уравнения:
г
Ах = Ах(0) • е т ;
г
Ау = Ау(0) • еТ .
По условию при г = т должно выполняться соотношение:
8 = -^ = = 0,001, отсюда Т = —— =----------------------= 0,297с.
Ах(0) Ау (0) 1п8 1п 0,001
Литература
1. Фалалеева, Р.В. Механика машин и манипуляторов / Р.В. Фалалеева И.А. Канунник. - Красноярск, 1991.
2. Канунник, И.А. Механика роботов и манипуляторов / И.А. Канунник, Р.В. Фалалеева. - Красноярск, 1996.
---------♦'-----------
УДК 621.9 Д.А. Маринушкин, А.С. Щелканов
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СВОЙСТВ ПОВЕРХНОСТНОГО СЛОЯ СТАЛИ ПО ФОНУ ВНУТРЕННЕГО ТРЕНИЯ
В статье рассмотрены вопросы по использованию динамического метода и фона внутреннего трения для оценки изменения физико-механических свойств поверхностных слоев сталей при трении.
Определение свойств тонкого поверхностного слоя закаленных сталей связано с трудностями экспериментального характера. Известно [1-3], что физико-механические свойства поверхностного слоя значительно отличаются от объемных свойств материалов. Считается, что контакт реальных поверхностей деталей узлов машин происходит в пределах упругих деформаций. Учитывая эффект Ребиндера, возможные релаксационные и тепловые процессы, а также шероховатость поверхности, упругость тонких поверхностных слоев является достаточно условной. Поэтому использование теории Герца для описания напряженного деформированного состояния в контакте возможно с некоторыми оговорками.
Во-первых, упругий контакт может быть реализован после определенного числа циклов нагружения. Во-вторых, пластические деформации выступов шероховатостей заканчиваются в период приработки. В-третьих, объемные температуры в зоне контакта таковы, что их влиянием на структурное состояние поверхностного слоя можно пренебречь.
Динамическое нагружение поверхности рассматривается на примере удара закаленного шарика из стали ШХ 15 по закаленной плоской поверхности из стали 45 твердостью по HRc 54 единиц. При этом предполагается, что динамические нагрузки не превышают предела текучести и масса шарика много меньше массы ударяемого тела (1гн<<1Т12). Скорости соударения таковы, что волновыми явлениями можно пренебречь. Связь между силой и упругой деформацией может быть принята [4-5] как
Г = кх е3/2, (1)
где к - коэффициент, учитывающий физико-механические свойства контактирующих пар и их геометрические параметры;
£ - упругая деформация площадки контакта.
В соответствии с законом Ньютона
т • £ = Г. (2)
