CC BY
19
Информационные системы и логистика в строительстве
ВЕСТНИК
МГСУ
УДК 517.984.5
М.В. Самохин
ФГБОУВПО «МГСУ»
СОВМЕСТНАЯ НЕТРИВИАЛЬНОСТЬ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ В ОБЛАСТЯХ ПРОИЗВОЛЬНОЙ СВЯЗНОСТИ
Рассмотрена связь задачи об устранимых особенностях для классов аналитических функций с задачей о тривиальности экстремальных задач в этих классах. Ключевые слова: устранимые особенности, аналитическая емкость.
В настоящей работе мы приведем результаты, полученные при исследовании
совместной нетривиальности экстремальных задач в классах Я.' (/)) и Щ, ({А, })> и о
связи экстремальных мер с проблемой стирания особенностей для этих классов (для удобства изложения мы будем использовать обозначения из [1]).
Теорема 1. Пусть ц — конечная борелевская мера, сосредоточенная на компактном подмножестве области D. Следующие утверждения эквивалентны:
1) sup {¿Д/)|; f е tf0°°(D), f <1}=0;
2) для некоторого q >1 и некоторой исчерпывающей последовательности {Dl}
3)для любого p>1 и любой исчерпывающей последовательности {Dn}
4) пусть W — объединение тех компонент множества CAsupp ц, для которых ц ^0, тогда все функции классов Н0С (D) и Ер ({D,. jj продолжаются до аналитических функций на множестве D^> W;
5) аналитическая емкость множества Г П W равна нулю.
Пусть {GJ — (ц. р) — нормальная последовательность и Ф'' = lim, Ф''г Обозначим через IV" объединение тех компонент множества Osupp|i. на которых функция |д + (там, где она определена) не равна тождественно нулю.
Теорема 2. Пусть v — конечная борелевская мера, сосредоточенная на компактном подмножестве области Z); |g° | — некоторая (v, ц) — нормальная последовательность
(мы рассматриваем также случай q = да). Пусть V — область, имеющая непустое пересечение с множеством Wv гл А Следующие утверждения эквивалентны:
1) v;(rnFnr)=0;
2) для любой борелевской меры ц, сосредоточенной на компактном подмножестве области D, любого p>1 и произвольной (ц, p) — нормальной последовательности {Gt}
© Самохин М.В., 2012
233
вестник 3/2012
!! _
3) все функции классов 0 (¡)) и Е (¡О^ ¡-)для любого р> 1 и произвольной исчерпывающей последовательности {Вп} продолжаются до аналитических функций на
множестве £>;
4) для любой замкнутой подобласти с/ области ['аналитическая емкость множества п й и I' равна нулю.
Приведенные результаты позволяют решить задачу о возможности приближения (равномерно на компактных подмножествах области В) произвольной аналитической в области Г) функции посредством функций класса Н'(1)) или функций какого-либо из
классов Ер ({0„}). В последнем случае аппроксимируемая функция предполагается равной нулю в бесконечно удаленной точке. Полученные здесь результаты являются обобщением результатов [2], где предполагалось, что Г имеет конечную длину по Пенлеве.
Через А (В) будем обозначать пространство всех аналитических в области В функций с топологией равномерной сходимости на компактах. А0(В) — подпространство, состоящее из функций, равных нулю в бесконечно удаленной точке. Нам потребуются два определения [3].
Определение 1. Точка д е Г называется существенной, если найдется функция hеHcc(D), которая не может быть аналитически продолжена ни на какую окрестность точки д .
Определение 2. Область В назовем максимальной, если все точки ее границы существенны.
Отметим теперь одно следствие теоремы 1:
Теорема 3. Пусть д — конечная борелевская мера, сосредоточенная на компактном подмножестве области Г). Функционад тождественно равен нулю на классе I/,, (!)) (или, что то же самое, на любом из классов Ер ({ Д,}), р > 1 тогда и только тогда, когда
преобразование Коши меры д тождественно равно нулю на любой компоненте множества С^иррд, содержащей существенные точки границы области В. В частности, когда область D максимальна, это означает, что преобразование Коши меры д тождественно равно нулю в некоторой окрестности множества Г=СЮ.
Теорема 4. Для того чтобы пространство Я™ (В) было плотно, в смысле равномерной сходимости на компактах, в пространстве А (В) необходимо и достаточно, чтобы область была максимальной.
Точно такими же рассуждениями можно получить следующий результат: Теорема 5. Рассмотрим произвольную исчерпывающую последовательность^ } в области Г) и произвольное число р> 1. Для того чтобы линейная оболочка класса
^р (п }) была плотна в пространстве А0(В), необходимо и достаточно, чтобы область
В была максимальной.
Приведем еще один результат, уточняющий теорему 4.
Теорема 6. Пусть область В максимальна. Тогда для любой функции/еА(В) найдется последовательность функций ^ е Н™ (В), i =1, 2, ..., которая равномерно на
компактах сходится к функции/ и такая, что /?,
= М1 =сош1 i =1, 2, ..., где — гра-
ница Шилова алгебры Я™ (!)). а /?, преобразование Гельфанда функции И
234
КБИ 1997-0935. Vestnik MGSU. 2012. № 3
Информационные системы и логистика в строительстве
ВЕСТНИК
МГСУ
Библиографический список
1. Самохин М.В. Качественный системный анализ экстремальных задач в произвольных областях // Вестник МГСУ 2012. № 3. С. 228—232.
2. Хавин В.П. О пространстве ограниченных регулярных функций // Сибирский математический журнал. 1961. Т. 2.
3. Rudin W. Some theorems on bounded analytic functions // Trans. Amer. Math. soc. 1955. Vol. 78.
Поступила в редакцию в марте 2012 г.
Об авторе: Самохин Михаил Васильевич — доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей математики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129377, Москва, Ярославское ш., д. 26, (499)183-29-38, prswork@mgsu.ru.
Для цитирования: Самохин М.В. Совместная нетривиальность экстремальных задач математического моделирования в областях произвольной связности // Вестник МГСУ. 2012. № 3. С. 233—235.
M.V. Samohin
ABOUT JOINT NONTRIVIALITY OF EXTREMAL PROBLEMS IN ARBITRARY CONNECTIVITY DOMAINS
The author considers relation of the problem of removable singularities for classes of analytic functions to the problem of triviality of extremal problems in the aforesaid classes.
The author presents the results of the study of combined nontriviality of extreme problems
in the classes and £^({D„}) and considers the connection of extreme measures to the problem of erasure of singularities for these classes. He also shoes the possibility of approximation of an analytic in the D-domain function through the functions from the H* (D) class or from one of
E„({D„}) classes.
The developed mathematical modeling methods can be used for structural analysis as well as for research purposes. One should mention that the given mathematical system can be implemented for making decisions in the field of construction engineering and design process, it can provide research assistants and engineers with the background necessary for developing sound solutions and rational proposals.
Key words: removable singularities, analytic content.
References
1. Samokhin M.V. Kachestvennyy analiz ekstremal'nykh zadach v proizvol'nykh oblastyakh [Qualitative Analysis of Extremal Problems in Arbitrary Domains]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering], Moscow, 2012, no. 3, pp. 228—232.
2. Khavin V.P. O prostranstve ogranichennykh regulyarnykh funktsiy [About the Area of Limited Regular Functions]. Sibirskiy matematicheskiy zhurnal [Siberian Journal of Mathematics], 1961 Vol. 2.
3. Rudin W. Some Theorems on Bounded Analytic Functions. Trans. Amer. Math. Soc., 1955, Vol. 78.
About the author: Samokhin Mikhail Vasil'evich, Moscow State University of Civil Engineering (MSUCE), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; prswork@mgsu.ru; 8 (499) 183-29-38.
For citation: Samohin M.V. Sovmestnyy netrivial'nost' ekstremal'nykh zadach matematicheskogo mod-elirovaniya v oblastyakh proizvol'noy svyaznosti. [About joint nontriviality of extremal problems in arbitrary connectivity domains]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering], 2012, no. 3, pp. 233—235.
Information systems and logistics in civil engineering
235
