Качественный системный анализ экстремальных задач в произвольных областях Текст научной статьи по специальности «Математика»

вестник

3/2012

УДК 517.984.5

М.В. Самохин

ФГБОУ ВПО «МГСУ»

КАЧЕСТВЕННЫЙ СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ В ПРОИЗВОЛЬНЫХ ОБЛАСТЯХ

Рассмотрены линейные экстремальные задачи в классах ограниченных аналитических функций и обобщенных классах В.И. Смирнова и представимость экстремалей интегралом Коши — Стилтьеса.

Ключевые слова: экстремальные задачи, аналитические функции.

Пусть В — произвольная область расширенной плоскости с границей Г, содержащая бесконечно удаленную точку.

Для произвольной конечной борелевской меры р, сосредоточенной на компактном подмножестве области В и произвольной непрерывной на эиррц функции I, положим Ьц(1) = | Мц.

В настоящей статье рассматриваются задачи о зир{|£ц(/)|; f е В}, где В — либо

единичный шар пространства //,' (В) всех ограниченных аналитических в области В функций/таких, что Дх) = 0, либо один из классов £1р ({.ОД), (гдер >1, {ОД — произвольная возрастающая последовательность конечносвязных областей Dn со спрямляемыми границами Г;, исчерпывающая В), являющийся аналогом единичного шара в обобщенном классе В.И. Смирнова^ ({-О }) [1].

Для рассматриваемых задач, подобно тому, как это делалось в [1], можно получить результаты, связанные с характеристикой экстремальных функций, их единственностью, возможностью представления функций классов Щ (В) и Ер ({В п!) с помощью интегралов типа Коши — Стилтьеса (правда не во всей области В, а на компонентах

множества В^иррц) и граничным поведением экстремальной функции из класса И* (В).

Пусть ц — преобразование Коши меры ц. Если В. — какая-то из областей исчерпания {Ви} то из результатов [2] вытекают следующие соотношения (не теряя общности, будем считать, что виррц с БД:

1.

Ы:= sup {/ )|; / е И 0" (В.),

1Л<1}=8Ир

{||/| <1}

Для экстремальных функций /* и ф' имеет место равенство

г *

228

© Самохин М.В., 2012

Информационные системы и логистика в строительстве

ВЕСТНИК

_МГСУ

Для экстремальных функций /* и Ф;' имеет место равенство

Следующая теорема характеризует экстремальную функцию для класса Н 0°.

Теорема 1. Для того чтобы функция /* е Н0°° (Б), |/*| < 11 е1 /*dц > 0 была экстремальной, необходимо и достаточно, чтобы нашлась последовательность аналитических в областях Бп функций фп со следующими свойствами:

б) ''тп {,,,. + Ф,11 ^ - где для любого е > 0 через Щ, обозначено подмножество Г , на котором

е-г * +(0+Ф„ ц.

Для любой экстремальной функции / свойствами а и б обладает последовательность Ф™.

Характеристика экстремальных функций для классов Е), ({/Д,}) получается так

же, как в теореме 2 [1].

Рассмотрим теперь задачи, связанные с возможностью представления функций

классов Н * (О) и Е\ ({£>„}) интегралами типа Коши — Стилгьеса и особенности такого представления для экстремальных функций.

Последовательность областей {Бп}, исчерпывающую Б, назовем (ц, р) — нормальной, если последовательность функций |ф'! | равномерно на компактах сходится к некоторой функции Ф'. Из равномерной ограниченности функций /,, (ц + Ф' ^ в I)

Б1 следует, что любая последовательность {Бп} исчерпывающая область Б, содержит (ц, р) — нормальную подпоследовательность. Имеет место следующая теорема.

Теорема 2. Пусть ц — произвольная конечная борелевская мера, сосредоточенная

на компактном подмножестве

области D, и M ? = sup {| f )| ; f е ff? ( D ), f <1}.

Пусть |/Зп | — (ц,») — нормальная последовательность из {£>„}. Если II — произвольная конечносвязная область со спрямляемой границей, такая, что

то

1) функция Ф", = 1ппш г1 Ф '; может быть представлена в виде ¿И*

Г

Jrç_z'

где — некоторая борелевская мера на Г, такая, что

ВЕСТНИК

3/2012

2) для любой функции /е Щ (О ), |/| < 1 произведение + может быть представлено в виде

v > п-) (--) Jг^_z 2тг, г

где ц — некоторая борелевская мера на Г, такая, что

[

<М"

3) существует положительная борелевская мера ц* на Г со следующими свойст-

вами:

а) для экстремальной функции /* е Н,] (/)), /* < 1, нормированной условием = (./") = \/'. справедливо представление

б) для любой функции / е Н,\ (О), |/1 < 1,мера ^ может быть выбрана так, что для произвольного борелевского множества Ее Г

Е

в) мера может быть выбрана так, что для произвольного борелевского множества Е е Г

4) мера ц*, обладающая свойствами а—в (при фиксированной функции Ф"), единственна.

Теорема 3. Пусть {Оп} — (ц, р) — нормальная последовательность, тогда

1) функция ц + Ф''может быть представлена в виде

"г 4С + 1 г кА^

Г41

где Ь — экстремаль в задаче двойственной лемме Шварца [1], где цр — некоторая борелевская мера на Г, такая, что

2) для любой функции / е Е), ({б,, ¡^произведение /^ц I Фг ^ может быть представлено в виде

/ (г)[ц(2)+ Ф' (г)] = 1ди

где ц— некоторая борелевская мера на Г, такая, что

3) существует положительная борелевская мера на Г со следующими свойствами:

230

КБИ 1997-0935. Vestnik MGSU. 2012. № 3

Информационные системы и логистика в строительстве

ВЕСТНИК

МГСУ

а) для экстремальной функции / е Е\ (¡G, }), нормированной условием ¿ц ( f *) = Mp, справедливо представление

б) для любой функции f е /:', (¡G, }) мера \if может быть выбрана так, что для любого борелевского множества Е с Г

v'p(e)>

в) мера цр может быть выбрана так, что для любого борелевского множества E с Г

iE|d ^р (E E)]р (р,

где ц* — экстремальная мера в задаче о лемме Шварца [1];

4) мера ц*р, обладающая свойствами а—в, единственна.

Теорема 4. Пусть f — экстремальная функция в задаче о sup { ¿Д f)|; f е H0™( D),

|/[<1}, тогда I im . f" =1 для почти всех по мере ц* точсксе Г.

Библиографический список

1. Хавинсон С.Я. Об аналитической емкости множества, совместной нетривиальности различных классов аналитических функций и лемме Шварца в произвольных областях // Математический сборник. 1961. № 54.

2. Хавинсон С.Я. Экстремальные задачи для некоторых классов аналитических функций в конечносвязных областях // Математический сборник. 1955. № 36.

Поступила в редакцию в марте 2012 г.

Об авторе: Самохин Михаил Васильевич — доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей математики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129377, Москва, Ярославское ш., д. 26, (499)183-29-38, prswork@mgsu.ru.

Для цитирования: СамохинМ.В. Качественный системный анализ экстремальных задач в произвольных областях // Вестник МГСУ 2012. № 3. С. 228—232.

M.V. Samohin

QUALITATIVE ANALYSIS OF EXTREMAL PROBLEMS IN ARBITRARY DOMAINS

The author explores linear extremal problems of classes of bounded analytic functions and generalized classes discovered by V.I. Smirnov; the author also considers the representability of extremals by means of Cauchy-Stieltjes integral.

The author considers the problems concerning sup{|Z_u (7); f gB, where В is either a unit sphere

in the Hq (D) space or one of the classes £^({Dn}), p> 1. He shows the possibility of the results concerning the characteristic of extreme functions, their uniqueness, the possilble presentation of

the functions from the classes and £p({D„}) with the use of the Cauchy-Stieltjes integrals in the

component of the D\ supp|j set and the boundary behavior of an extreme function from the H™ (D) class.

becthmk 3/2012

One should note that the given mathematical system can be implemented for making decisions in the field of construction engineering and structural analysis, it can provide research assistants and engineers with the background necessary for developing sound solutions and rational proposals. Key words: extremal problem, analytic functions.

References

1. Khavinson S.Ya. Ob analiticheskoy emkosti mnozhestva, sovmestnoy netrivial'nosti razlichnykh klassov analiticheskikh funktsiy i lemme Shvartsa vproizvol'nykh oblastyakh [About the Analytic Capacity of the Set, Joint Nontriviality of Different Classes of Analytic Functions and Schwartz Lemma in Arbitrary Domains]. Matematicheskiy Sbornik [Mathematical Collection], 1961, no. 54.

2. Khavinson S.Ya. Ekstremal'nye zadachi dlya nekotorykh klassov analiticheskikh funktsiy v konechnosvyaznykh oblastyakh [Extremal Problems for Some Classes of Analytic Functions in Finitely Connected Domains]. Matematicheskiy Sbornik [Mathematical Collection], 1955, no. 36.

About the author: Samokhin Mikhail Vasil'evich, Moscow State University of Civil Engineering (MSUCE), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; prswork@mgsu.ru; 8 (499) 183-29-38.

For citation: Samohin M.V. Kachestvennyy sistemnyy analiz ekstemal'nykh zadach v proizvol'nykh oblastyakh. [Qualitative analysis of extremal problems in arbitrary domains]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering], 2012, no. 3, pp. 228—232.

232

ISSN 1997-0935. Vestnik MGSU. 2012. № 3