CC BY
13
УДК 517.5
М.П. Овчинцев
ФГБОУВПО «МГСУ»
РАССТОЯНИЕ ГЛИСОНА
Приведена теорема для вычисления расстояния Глисона между двумя противоположными точками, лежащими в единичном круге, а также лемма о получении экстремальной функции в этой задаче. Разобраны частные случаи вычисления расстояния Глисона в единичном круге и в верхней полуплоскости.
Ключевые слова: расстояние Глисона, преобразование Мебиуса, конформное отображение, экстремальная функция, односвязная область.
Задача нахождения экстремальной функции, которая появляется при вычислении расстояния Глисона между двумя точками, лежащими в единичном круге или в верхней полуплоскости, для односвязных областей ранее не решалась. Известно только решение для частных случаев [1]. Поэтому решение аналогичной задачи в любой односвязной области представляет интерес, поскольку позволяет перейти от частного к общему случаю. Здесь будет найдено такое решение.
Обозначим через K={z:|z|<1} единичный круг. Функция
f (z) = ег8 (Zo е K)
1 - Zoz
называется преобразованием Мебиуса (при этом отображении единичный круг отображается конформно сам в себя). Пусть
B1 (K) = {f (z): | f (z)|< 1, f (z) — аналитическая, z e K}. Расстояние Глисона определяется следующим образом: d = sup | f (z2) - f (z1)|,
f ( z K )
где z1, z2 e K (заданные числа [1—10]).
Приведем без доказательства следующую теорему. Теорема. Пусть a — действительное число (0 < a < 1) . Тогда sup | f (a) - f (-a) | = 2a,
f (z )eB (K)
а экстремальной функцией будет f *(z) = e'sz (5 — постоянное число, 8 e R ).
Аналогичную задачу можно рассматривать в любой области D. Пусть D — односвязная область. Обозначим B1(D) = [f(z):\ f(z) | < 1 ,/(z) - аналитачна;
zeD}. Если z1, z2 — заданные точки, лежащие в области D, то рассмотрим следующую экстремальную задачу:
sup |f (z2) - f (z)|. (1)
f (z )eBJ (D)
>
ВЕСТНИК
МГСУ-
8/2013
Пусть теперь односвязная область D отображается конформно на одно-связную область G и пусть = F(z1), а2 = F(z2). В области G рассмотрим аналогичную экстремальную задачу
sup |g(®2) - g H)|, (2)
g (ю)еБ1 (G)
где B1 (G) = {g(w):| g(w) | < 1, g(w) — аналитична; веG}.
Теорема. Если D и G — односвязные области (область D конформно отображается на область G при помощи отображения ю = F(z); z = ф(ю) — обратное отображение), то
sup | f (Z2) - f (zx)|= sup | g(Ю2) - gK)|,
f (z )eB'( D) g (ffl)GB'(G)
где ю = F(zx), ю2 = F(z2). Причем если f *(z) — экстремальная функция задачи (1), то f (ф(ю)) — экстремальная функция задачи (2). Обратно, если g (ю) — экстремальная функция задачи (2), то g (F(z) — экстремальная функция задачи (1).
Лемма. Пусть имеется односвязная область D и точки zj, z2 лежат внутри нее (zj, z2 е D) . Пусть также функция ю = F(z) отображает конформно область D на единичный круг K; причем, точки zj, z2 отображаются ею на противоположные точки a; a(0 < a < 1). Тогда функция ю = F(z) будет экстремальной функцией в задаче
suP 1 f (z2) - f ( zj )|-
f (z )еБ1 (D)
Доказательство леммы не представляет сложности и здесь не приводится.
Частные случаи
Задача 1. Пусть имеется единичный круг K и в нем заданы точки a и b : 0 < a < b < 1. Найдем
sup |f (b) - f (a )|
f (z )еБ (K)
и экстремальную функцию f * (z).
Решение. Будем искать функцию, которая отображает единичный круг K сам в себя и переводит при этом точки a и b в противоположные (см. лемму). Эту функцию будем искать в виде
ю = (t е( -1;1)).
1 - zt Так как
i \ a -1 b -1
ю(a) = --, Ю(Ь) = ——
1 - at 1 - bt
то приходим к уравнению
b -1 t - a
ю(Ь) = -ю^),
1 - bt 1 - ta Отсюда
(2(а + Ь) - 2(1 + аЬ) + а + Ь = 0. Дискриминант имеет следующий вид:
Б = 4 (1 - а2 )(1 - Ь2 )> 0.
Значит, это уравнение имеет два действительных корня и 12 . Так как 2(1 + аЬ)
Ч +12 =■
> 0;
a + b
Jh = 1,
то t1 > 0, t2 > 0 . Пусть
-ab + ^(1 - a2 )(l - b2 )
ti =■
a + b
Корень t1 > 1, потому что
1 + ab a + b
> 1 и, следовательно, t1 не подходит. Рас-
смотрим второй корень —12. Очевидно, что 0 < (2 < 1.
Нетрудно также убедиться в том, что а < ¿2 < Ь . Значит, экстремальная функция имеет вид
/(= е " '
1 - tz'
где 5 — постоянное число (8 е R) а
4
1 + ab — ^/(1 - a
t = -
)(1—b2)
a
(b — a) (l — t2) sup f (b) — f (a) = ( J.
f (z )GB1 (к) (1 — ta)(1 — tb)
Пусть теперь П = {z : Im z > 0} — верхняя полуплоскость и точки z1, z2 ёП. Обозначим B1 (П) = {f(z) :| f (z)|< 1,zёП}. Рассмотрим следующую экстремальную задачу:
sup |f (z2 ) — f (zl )|.
f (z )ёВ1 (П)
Здесь исследуются два представляющих интерес частных случая.
Задача 2. Пусть z1 = iy1, z2 = iy2 (0 < y1 < y2 ).
Решение. Для решения поставленной задачи, найдем конформное отображение y верхней полуплоскости на единичный круг, причем такое, чтобы точки z1 и z2 пере- iy^ ходили в противоположные точки (см. лемму). Эту функцию будем искать в виде -
ВЕСТНИК
МГСУ-
8/2013
2 - /л чч
ю =-(: е (0; +»)),
2 +
тогда
С \ У1 Г \ У 2 -t
«(¡Ух) = —-, Ю(У>) =—-.
Ух + : У 2 + t
Так как ю^ух) = -ю^у2), то Ух -: = : - У 2 Ух + : У 2 +:
После элементарных преобразований получим : = ^УхУ2. Очевидно, что
Ух <: < У 2.
В этой задаче экстремальная функция принимает следующий вид:
/ (2) = в*
, где (8 е К) (5 — постоянное число).
2 + ¡л/лу?
Задача 3. Рассмотрим случай, когда 21 = х0 + ¡у0, 22 = - х0 + ¡у0, х0 > 0, у0 > 0
(22 = -2)
Решение. Экстремальную функцию будем искать в виде
2 - , чч
ю =-(: е (0; +<х>)).
2 + Так как
/- ч х0 + ¡у0 - и , ч - х0 + ¡у0 - и ю(2х) = 0 .-"0 . , ю(22) = 0 ™ . , ю(22) =-ю(2х),
Х0 + ¡У0 +
- Х0 + ¡У0 +
то
-Хр + У0 -:) = -Хр + ¡(: - У0)
- Х0 + У0 +:)
Отсюда вытекает, что : = | 2х |.
Следовательно, экстремальная функция в этом случае имеет вид
f *(I) = е8--!—Ц., где (8 е К) (5 — постоянное число).
2 + / | 11\
Приведенная в начале статьи лемма позволяет находить экстремальные функции в задаче вычисления расстояния Глисона в односвязных областях. Это подтверждается приведенными примерами в единичном круге и в верхней полуплоско сти.
Библиографический список
1. Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции. М. : МИР, 1984. С. 50—51.
2. Grunsky H. Eindentige beschrankte Junktionen zu mechrfach Zusammenhangenden Gebieten Jahreber. Deutsche Math. Verein, 1940, B-d. 50, S.230-255; 1942, B-d.52, pp. 118—132.
3. Rogosinski W.W., Schapiro H. On certain extremum problems for analytic functions. Acta Math., 1954, vol. 90, № 3, pp. 287—318.
4. Хавинсон С.Я. Об одной экстремальной задаче в теории аналитических функций // Успехи математических наук. 1949. Т. 4. Вып. 4(32). С. 158—159.
5. Хавинсон С.Я. О некоторых экстремальных проблемах в теории аналитических функций // Ученые записи МГУ Математика. 1951. Т. 148. № 4. С. 133—143.
6. Хавинсон С.Я. Экстремальные задачи для некоторых классов аналитических функций в конечносвязных областях // Математический сборник. 1955. Т. 36 (78). №3. С. 445—478.
7. Тумаркин Г.Ц., Хавинсон С.Я. О теореме разложения для аналитических функций класса E в многосвязных областях // Успехи математических наук. 1958. Т. 13. № 2. С. 223—228.
8. Тумаркин Г.Ц., Хавинсон С.Я. Исследование свойств экстремальных функций с помощью соотношений двойственности в экстремальных задачах для классов аналитических функций в многосвязных областях // Математический сборник. 1958. Т. 46 (88). № 2. С. 192—228.
9. Хавинсон С.Я. Теория экстремальных задач для ограниченных аналитических функций, удовлетворяющих дополнительным условиям внутри области // Успехи математических наук. 1963. Т. 18. Вып. 2(110). С. 25—98.
10. Хавинсон С.Я. О представлении экстремальных функций в классах Eд через функции Грина и Неймана // Математические заметки. 1974. Т. 16. № 5. С. 707—716.
Поступила в редакцию в июле 2013 г.
Об авторе: Овчинцев Михаил Петрович — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 6714543@rambler.ru.
Для цитирования: ОвчинцевМ.П. Расстояние Глисона // Вестник МГСУ 2013. № 8. С. 29—34.
M.P. Ovchintsev
THE GLEASON DISTANCE
First, some basic concepts are considered in the paper, including the Mobius transformation, the unit ball in the space of related analytical functions in the unit circle, and the Gleason distance. The author proves a theorem (demonstrated without any proof) that makes it possible to calculate the Gleason distance between the two opposite points in the pre-set unit circle. The extremum feature appears in the calculation of the Gleason distance, which coincides with the identity map of the unit circle. The Gleason distance between the two points coincides with the regular Euclidean distance between these points. Further, the author considers the Gleason distance in the simply connected domain. The simply connected domain is conformally represented in the unit circle. The two points in the simply connected domain are represented as the corresponding points in the unit circle. The author has proven that the Gleason distance between the two points in the simply connected domain coincide with the Gleason distance between two
ВЕСТНИК 8/2013
8/2013
corresponding points in the unit circle. Then, the author presents a lemma (a statement without proof). It is applied to the problem of the Gleason distance between the two points in the simply connected domain. Next, the author presents several special cases: the Gleason distance as calculated between the two points in the unit circle and between the two points in the upper half-space. The two points are located (with both points being positive numbers) in the unit circle.
Keywords: Gleason distance, Mobius transformation, conformal mapping, simply connected domain, extremum function.
References
1. Garnett Dzh. Ogranichennye analiticheskie funktsii [Limited Analytical Functions]. Moscow, Mir Publ., 1984, pp. 50—51.
2. Grunsky H. Eindentige beschrankte Junktionen zu mechrfach Zusammenhangenden Gebieten Jahreber. Deutsche Math. Verein. 1940, B-d. 50, pp. 230—255; 1942, B-d.52, pp. 118—32.
3. Rogosinski W.W., Schapiro H. On Certain Extremum Problems for Analytical Functions. Acta Math. 1954, vol. 90, no. 3, pp. 287—318.
4. Khavinson S.Ya. Ob odnoy ekstremal'noy zadache v teorii analiticheskikh funktsiy [On an Extremum Problem in the Theory of Analytical Functions]. Uspekhi matematicheskikh nauk [Successes of Mathematical Sciences]. 1949, no. 4(32), pp. 158—159.
5. Khavinson S.Ya. O nekotorykh ekstremal'nykh problemakh v teorii analiticheskikh funktsiy [On Some Extremum Problems in the Theory of Analytical Functions]. Uchenye zapisi MGU. Matematika [Scientific Notes of MGU. Mathematics] 1951, vol. 148, no. 4, pp. 133—143.
6. Khavinson S.Ya. Ekstremal'nye zadachi dlya nekotorykh klassov analiticheskikh funktsiy v konechnosvyaznykh oblastyakh [Extremum Problems for Some Classes of Analytical Functions in Simply Connected Domains]. Matematicheskiy sbornik [Collection of Mathematics Works]. 1955, vol. 36(78), no. 3, pp. 445—478.
7. Tumarkin G.Ts., Khavinson S.Ya. O teoreme razlozheniya dlya analiticheskikh funktsiy klassa Ep v mnogosvyaznykh oblastyakh [On Expansion Theorem for Ep-class Analytical Functions in Multiconnected Domains]. Uspekhi matematicheskikh nauk [Successes of Mathematical Sciences]. 1958, vol. 13, no. 2, pp. 223—228.
8. Tumarkin G.Ts., Khavinson S.Ya. Issledovanie svoystv ekstremal'nykh funktsiy s pomoshch'yu sootnosheniy dvoystvennosti v ekstremal'nykh zadachakh dlya klassov anal-iticheskikh funktsiy v mnogosvyaznykh oblastyakh [Research into Properties of Extremum Functions Using Duality Relations in Extremum Problems for Classes of Analytical Functions in Multiconnected Domains]. Matematicheskiy sbornik [Collection of Mathematics Works]. 1958, vol. 46(88), no. 2, pp. 192—228.
9. Khavinson S.Ya. Teoriya ekstremal'nykh zadach dlya ogranichennykh analiticheskikh funktsiy, udovletvoryayushchikh dopolnitel'nym usloviyam vnutri oblasti [The Extremum Problems Theory for Limited Analytical Functions Meeting Supplementary In-domain Conditions]. Uspekhi matematicheskikh nauk [Successes of Mathematical Sciences]. 1963, vol. 18, no. 2(110), pp. 25—98.
10. Khavinson S.Ya. O predstavlenii ekstremal'nykh funktsiy v klassakh Eq cherez funktsii Grina i Neymana [Using Green's and Neumann's Functions to Represent Eq-class Extremum Functions]. Matematicheskie zametki [Mathematical Notes]. 1974, vol. 16, no. 5, pp. 707—716.
About the author: Ovchintsev Mikhail Petrovich — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Department of Higher Mathematics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; 6714543@rambler.ru.
For citation: Ovchintsev M.P. Rasstoyanie Glisona [The Gleason Distance]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2013, no. 8, pp. 29—34.
