Конформная инвариантность задач оптимального восстановления производных от ограниченных аналитических функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2305-5502. Stroitelstvo: nauka i obrazovanie. 2015. № 2. http://www.nso-iournal.ru

УДК 517.547.3

М.П. Овчинцев ФГБОУ ВПО «МГСУ»

КОНФОРМНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО ВОССТАНОВЛЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ ОТ ОГРАНИЧЕННЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Рассмотрена задача оптимального восстановления первых производных от ограниченных аналитических функций в некоторой точке по информации об их значениях в конечном числе точек, лежащих в единичном круге. Единичный круг затем конформно отображен на од-носвязную область. В односвязной области рассмотрена аналогичная задача при соответствующих этому отображению точках. Приведено соотношение, связывающее погрешность наилучшего метода приближения в единичном круге и в односвязной области, а также выписаны их линейные наилучшие методы приближения. После этого рассмотрена задача оптимального восстановления второй производной. Снова выписано соотношение, связывающее погрешности наилучших методов приближения и их линейные наилучшие методы в единичном круге и в соответствующей ему при конформном отображении односвязной области.

Ключевые слова: линейный наилучший метод, погрешность наилучшего метода, конформное отображение, экстремальная функция, аналитическая функция.

Современные вычислительные комплексы позволяют производить статические и динамические расчеты конструкций, сооружений и их элементов сложной формы. Задача оценки максимальных значений перемещений, деформаций и напряжений на этапе предварительного проектирования позволяют охарактеризовать область работы конструкций (линейную, нелинейную), судить о прочности и надежности элементов конструкций, их предельном состоянии, что позволяет уточнить постановку рассматриваемой инженерной задачи. Поэтому решение экстремальных задач для тестовых областей актуально и имеет практическую значимость на стадии предварительного проектирования для оценки области работы конструкции, постановки задачи и верификации полученных в дальнейшем данных численных решений.

В настоящей работе методами теорий функций комплексных переменных решаются задачи оптимального восстановления ограни-

M.P. Ovchintsev

MGSU

CONFORMAL INVARIANCE OF THE OPTIMAL RENEWAL TASKS OF THE DERIVATIVE

FROM THE CONFINED ANALYTIC

FUNCTIONS

In the article the optimal renewal task of first order derivatives from confined analytical functions in some point is considered according to the information on their values at end number of points situated in unit circle. The unit circle is then conformally reflected to a simply connected region. In the simply connected region analogical task is concerned at the points corresponding to this reflection. The author offers a correlation connecting the inaccuracy of the best approximation method in a unit cycle and in simply connected region, and their linear best approximation methods are written down. After that the optimal renewal task of the second order derivative is considered. Again the correlation connecting the inaccuracy of the best approximation methods and their best approximation methods in a unit cycle and in simply connected region corresponding to it at conformal reflection are written down.

Key words: linear best method, inaccuracy of the best method, conformal reflection, extremum function, analytical function.

The modern computer complexes allow conducting statistical and dynamical calculations of the structures, constructions and their elements of the complicated shape. The task of estimating the maximal values of motions, deformations and stresses on the preliminary design stage allows characterizing the working range of the construction (linear, non-linear), estimate the stability and reliability of construction elements, their limit state. All the seal low specifying the engineering problem formulation. That's why extremum problems solution for test areas is current and of practical value on the preliminary design stage for estimation of the construction working range, task statement and verification of the obtained numerical solutions.

In the article the optimal renewal task of confined analytical functions and their derivatives in unit cycle and upper half plane is considered using the methods of the theory of complex derivative functions. The inaccuracy

ченных аналитических функций и их производных в единичном круге и в верхней полуплоскости. Вычисление погрешности линейного наилучшего метода приближения сводится к исследованию экстремальных задач с дополнительными условиями. Все рассматриваемые задачи изучаются в односвязных областях.

Применение аналитического решения экстремальных задач для тестовых областей можно рассматривать как составную часть комплексного подхода расчета и проектирования конструкций, сооружений и их элементов.

Пусть K = jz : |z| < lj — единичный круг,

Г — единичная окружность, D — односвязная область, которая получается при конформном отображении ш = F(z) круга K. Обозначим B1 (D) = jf (z) : |f (z)| < 1, z eDj — семейство

аналитических в D функций. Возьмем в круге K различные точки z0, z1, ..., zn.

1. Предварительные сведения

Пусть L, l1, ..., ln — линейные функционалы, заданные на пространстве ограниченных аналитических функций в области D, а S(^, ...,tn) — комплексная функция. Тогда

погрешность приближения методом S функционала L по значениям функционалов l1, . , ln на множестве B1(D) называется

Г (S) = sup |Z(f) -S(^..„Щ.

f (z )eB1( D)'

Метод S0 называется наилучшим методом приближения, если ги (S0 ) = inf r (S).

Согласно [1—5], существует линейный

наилучший метод = ^cklk (f), где

Ck —

к=1

of the best approximation method is reduced to the investigation of extremum problems with additional conditions. All the considered problems are investigated in simply connected regions.

The application of the analytical solution of the extremum problems for test areas may be considered as a part of the complex approach to calculation and design of structures, constructions and their elements.

Let K = jz: |z| < lj be a unit cycle, r —

unit circumference, D — simply connected region, which at conformal reflection obtains ra = F(z) of the cycle K. Let us denote B1 (D) = jf (z) : | f (z)| < 1, z e Dj — a family

of analytical in D functions. Let us take in the cycle K different points z0, zi, ..., zn. 1. Preliminaries

Assume L, l1, ..., ln — linear functionals, defined at space of confined analytical functions in the domain D, and S(tx, ..., tn) — a

complex function. Then the approximation inaccuracy by the method S of the functional L according to the values of the functionals l1, ..., ln on the range B*(D) is called rn{ S) = sup |z(f) - S (li(f),..., ln(f ))|.

f (z)eB1( D)'

The method So is called the best approximation method if r (S0) = inf r (S).

According to the work of K.Yu. Osipen-ko [1—5], the linear best method exists

n

S0 = ^cklk (f), where ck — complex numbers

k=1

(k = 1, ..., n). Its inaccuracy is calculated with the formula

комплексные числа (к = 1, ..., n). Причем его погрешность вычисляется по формуле

Г, (S0)= sup \L(f )|. (1)

f (z )eB1 (D) l( f )=...=l„ (f )=0

В частности, если L( f) = f (z0), In particular, if L( f) = f (z0),

l (f) = f(z1) ,..,l„ (f) = f (zn), то линейный If = f (z1), ..., ln (f) = f (zn), then the linear best approximation method (in the domain D) is unique [1].

Let now ш = F(z) reflect the cycle K on

наилучший метод приближения (в области П) единственен [1].

Пусть теперь ш = Е(£) отображает круг К на односвязную область П и

the simply connected region D and

ш,

= F(Zo)> ш1 = F(Zi)> ■■■> Ш = F(Z„) (Рис ). шо = F(Z), ш1 = F(zx), ■ .., ш = F(z„) (fig.).

z = ф(ш) — обратное отображение

Рассмотрим задачу оптимального восстановления ограниченных аналитических функций в точке z0 по информации об их значениях в точках z1, ..., zn. Здесь

L(f) = f (zo) ,A(f) = f (z) ,-Л (f) = f (z,).

Тогда r(z0, Zi,^., z„)= sup \f (z0)|.

f (z)eB1( K) f (zi )=■ ■ =f (z„ )=0

Аналогичную задачу рассмотрим в области D. Положим: L( g) = g (ш0),

А( g) = g (®1), ■ ■ - , L (g) = g К)(g(®) G B1 (D)).

Понятно, что

r (шо,а1,.,а„ )= sup |g (Шо )|.

g ( cb^D)

g(Ш1 )=■ ■ -=gК )=0 Нетрудно убедиться в том, что в этом

случае r (z0, Z1, ■ . ., z„) = r (Ш0, Ш1, ■ .., Ш„).

Кроме того, если (^) — линейный

к=1

наилучший метод приближения в круге К, то

п

^с^ (%) является линейным наилучшим

к=1

методом в области Б. Напомним еще некоторые результаты из работы С.Я. Хавинсона [6—20]. Если ш(£) — суммируемая функция, то имеет место соотношение двойственности [2, с. 12]

z = <p(ro) — inverse mapping

Let us consider the task of the optimal renewal of the confined analytical functions at the point z0 according to the information on their values at the points z1, ..., zn. Here

L(f) = f (z0), /f = f (Z), ..., h(f) = f ().

Then r (zo,zx,...,zn )= sup \f (z0)| .

f(z)eBl(K) f (z )=. . .=f (Zn )=0

Let us consider the analogical task in the domain D. Assume: L(g) = g (ro0),

/, (g) = g (ro,) ,...,/, (g) = g (ro „) (g (ro) e B1 (D)).

Understandably

r (roo, roi, . • • , ron )= SUP |g (ro0 )|.

g (ro)eB1( D)

g (roi )=. ■ -=g (ron )=0

It is easy to show that in this case r(Z0, Zi,..., zn) = r(«0, roi, ..., ro„). Moreo-

n

ver if Yfkf (zk ) — is the linear best approx-

k=i

imation method in the cycle K, then

n

Yfkg (ro) is the linear best method in the

k=1

domain D. We shall remind some other results of the work of S.Ya. Khavinson [6—20]. If ro(£) — is a summable function, there is a dual relation [2, p. 12]:

sup

f GB1( K )

\f (С)Ш(СЖ = ) Цш(С) - ф(С)| \d C|,

(2)

где И\(К — пространство Харди в единичном круге. Известно, что [2, с. 16] существуют экстремальные функции _/*(г) в левой и

ф*(z) (ф* е Н (К)) — в правой части (2). Экс-

where H1(K) — is Hardy space in unit cycle. It is known [2, p. 16], that there exist extremum functions f*(z) in the left and 9*(z) (9* e H (K)) in the right part (2). The

тремальная функция 9*(z) — единственна, а extremum function 9*(z) is unique, and f*(z)

f*(z) единственна с точностью до множителя is unique up to a multiplier ei5(5eR). Moreo-

ei5(5eR). Кроме того, функции f*(z) и 9*(z) ver, the functions f*(z) and 9*(z) яare extre-

являются экстремальными тогда и только то- mum only it almost everywhere on Г the rela-

гда, когда выполняется почти везде на Г соот- tion is held ношение

f * (С) [ш(0 - ф* (С)] dC = e* |ш(С) - ф* (С) ds, (3)

где 5eR (5 — постоянная). Наконец, пусть where 5eR (5 — conctant). Finally let ш^) be

ш^) — мероморфная функция в K, имеет m a meromorphic function in K, has m poles.

полюсов. Тогда функция Then the function

R(z) = /(z) [ш( z) -ф*( z) ] (4)

имеет в K m-1 нулей. has in K m-1 zeroes.

2. Оптимальное восстановление первых 2. Optimal renewal of first order deriva-

производных в точке tives in the point Пусть Assume that

L(f) = f (zo ) ,li(f) = f (zo ), L(f) = f'( zo ) ,li(f) = f ( zo ),

lf = f(zi),...,l„+f(z) = f(z„), где fz) e l2(f) = f(zi), ..., l„+f (z) = f(z„), where

n n

B1(K). Если S0 = Zcf (Zk) — линейный fz) eB1(K). If S0 = Zcf (Zk) — the linear

V2\J ) J V"iy' ••• I'n+lJy^J J Vn)> J\"J ^ 2 ^

n

= V ^ ......

k=0 k=0

наилучший метод приближения, то его по- best approximation method, then its inaccura-грешность вычисляется по формуле, где cy is calculated via formula, where

rn(S0 )= Г1 (^ Z1, , zn) Гп (S0 ) = Г1 (Z0, ^ z„ )

Г ( ZQ, zn ) =

sup

f ( Z )e-B1( K )

f (Zq)=f (zi)=...=f (Zn )=0

f ( Zq

(5)

Тогда

Then

ri (z

,)= suP

f ( z )eB1( K )

f ' ( Zq yjcj ( zk )

= sup

f ( Z )eB1( K )

lui

1

k=0 Л

.(С" Zq )■

-z

k=0

С" Zk

f (C)d С

(6)

Как мы уже говорили, существует экс- As we already stated, there exists the ex-тремальная функция задачи (6) (а, значит, и tremum function of the task (6) (consequently,

(5)); причем она единственна с точностью до also (5)); and it is unique up to a multiplier

множителя ei5(5eR). Убедимся в том, что в ei5(5eR). Let us make sure that in this case the

этом случае линейный наилучший метод при- linear best approximation method is unique.

ближения единственен. Let ф*^) — be the extremum function

Пусть ф*^) — экстремальная функция of the right part of (2), where правой части (2), где

f „ Л

ш(С) =

1

2л/

1

(С" Zq )2

k=0

С" Zk

(7)

Для экстремальных функций f*(z) и ф*^) For extremum functions f*(z) and ф*^)

выполняется соотношение (3). Предположим, the relation is held (3). Suppose that there is что существует еще один линейный наилуч-

ший метод f (zt ). Тогда имеет место another linear best method f (zt). Then

k=0

k=0

уравнение

there is an equation

f * со со -Ф* (C) ] =e61®! (о -Ф* (c)| ds,

где ф* (z) e H (K), 5j e R, where ф* (z) e H (K), 8X e R,

®i(C)=

2л/

a,,

(C- Zo )2

k=0

C-Zk

(8)

(9)

у

Функция

R( z) = f *( z )

2л /

The function

Л

( z - zo )'

k=0

z - z,,

-Ф*( z)

не принимает нулевых значений в K. Отсюда Doesn't tale on zero values in K. Hence the функция function

Q( z) =

2л/

1

.(z - z0 У

Zn

k=0

n a,,

z - z,.

-Ф*( z)

1

2л/

.(z - z0 )2

Zn

k=0

z - z,.

-Ф*( z)

аналитична в K и на границе Г принимает не- is analytical in K and on the border Г it takes

отрицательные значения. Так как on nonnegative values. As ImQ(C) = 0(I e Г),

ImQ(C) = 0(I e Г), то ImQ(z) = 0(Vz e K). А then ImQ(z) = 0(Vz e K). From this follows,

отсюда следует, что Q(z) = const (Vz e K). that Q(z) = const (Vz e K). Understandable

П0нятн0, что Q(z0) =1. Отсюда и ^те^т that Q(z0) = 1. That's why ak = ck(k = 0, 1, что ak = ck(k = 0, 1, ..., n). n).

После этого убедимся в том, что суще- After that let us make sure, that the ex-

ствует экстремальная функция задачи tremum function exists for the task

Г (ю0,Ш„.,Шп )= sup |g '(Ш0 )|.

g (ffl)eB1 (D)

g(®1 )=■■■=g(®n )=0

(10)

Обозначим r (z0, zx, .zn) = a, 71 (Ш0, Ш1, ..., Ши) = Ь.

Рассмотрим функцию g*(ш) = f * (ф(ш)).

Тогда

g>) e Б1 (D),

g * (^) = ...= g * (шй ) = g* (Ш0) = 0 g *'(Ш0 ) = = f *'( z0 )|ф'(Ш0 )|= a |ф'(Ш0 )|. Отсюда следует, что Ъ > a |ф'(ш0)|.

Далее для любого числа s(s > 0) существует функция g(ш) такая, что g(ш) eБ1 (D)g^) = ...= g(ш„) = g(Ш0) = 0

Construction: Science and Education. 2015. № 2. Paper 1. http://www.nso-journal.ru

и

Let us write down r (z0, zx, ..., zn) = a, 1 (®0, ®1, .■■, ron) = b.

Consider the function g *(ro) = f * (^(ro)). Then

g>) e B1 (D),

g* (roi)^. = g* (ron ) = g* (ro0) = 0

and g *'(ro0) = f *'( z0 )|9'(ro0 )| = a K(ro0)|. This implies that b > a|9'(ro0)|.

Then for any number s(s > 0) there is a function g(ro) such, that g (ro) e B1 (D) g (rox ) = ...= g (ron ) = g K) = 0

и |g'(ш0)|> Ъ -s. Возьмем функцию and |g'(ш0)|> Ъ -s. Let's take the function

f (z) = g(F(z)). Тогда f (z) e B1 (K), f (z) = g(F(z)). Then f (z) e B1 (K),

f (zi) = . = f (zn) = f W = 0. Так как f (z) = ...= f (zn) = f (z0) = 0. As f (z0)| =

f (z0 )|=| g' (®0 )||F' (z0)|, то a > (Ъ-s)|F'(z0)|. = g («0 )||F' (z0 )|, then a > (Ъ-s)|F(zo)|.

Отсюда получается, что Ъ < a|ф '(«0)| . Следо- This implies that Ъ < a|ф '(ш0)| . Consequently,

вательно, Ъ = a|ф'(«0)| и функция g*(o) = Ъ = a|ф '(ш0)| and the function g*(&) =

= f (F(z)) действительно является экстре- = f (F(z)) is really the extremum function мальной функцией задачи (10). of the task (10).

Заметим, что попутно мы установили We should note, that simultaneously we

found out that

ri (Z0, ^ zn) = |F' (z0 )| ri (^ ^ «n) .

Теперь докажем следующую теорему. Теорема. Пусть ш = F(z) конформно rem.

(11)

Now let's establish the following theo-

отображает круг К на односвязную область П.

п

Тогда, если ^ок/ (гк) является линейным

к=0

наилучшим методом приближения в круге K,

n

то ^ф '(ш0) ckg (ш) будет линейным

к=0

наилучшим методом в области D.

n

Доказательство. Так как ^ckf (zt ) —

Theorem. Let ra = F(z) conformally reflects the cycle K on the simply connected ren

gion D. Then if ^ckf (zt) is the linear best

k=0

approximation method in the cycle K, then

n

'(®o) ckg (%) will be linear best method

k=0

in the domain D.

k=0

линейный наилучший метод в круге K, то

Proof. As ^ckf (Zj. ) — is the linear

k=0

f ( Z0 )-Yckf ( Zk )

k=0

< r ( Z0, Z1, Zn )

best method in the cycle K, then

для лю-

f( Z0 )-Yckf ( Zk )

< ri ( Z0, Z1, Zn )

for

бой f(z) e BX(K). Пусть ^(ш) e B1(D). Тогда функция f(z) = g(F(z)) e B1 (K). Поскольку any fz) e B1(K). Let ^(ш) e B1(D). Then the

f (z0 ) = g ' (ш0) F' (z0 ), то (см. (11)) function f(z) = g (F(z) )e Bl (K). As

f ( z0 ) = g (ш0) F' ( z0), then (ref (11))

n

F' (z0 ) g' (ш0 )-Tfkf (zk ) < ri (z0, zn ) ,

k=0

n

g' (ш0 )-Еф'(ш0) ckq К) < ri (шo, шп ).

F ' ( Z0 ) g (Ш0 )-Yfkf ( Zk )

k =0

n

g' (ш0 )-Еф '(ш0 ) ck4 К )

k=0

< ri ( Z0, Z1, ■.., Zn ) ,

< ri (ш0, ш1, Шп ) .

Отсюда и вытекает, что ^ф'(ш0) ^g (ш) —

k=0

k=0

линейный наилучший метод в области D. Заметим, если

Hence £ф '(ш) ckg (ш) — is the linear best

k=0

method in the domain D. We should note that

f(Z) GB\K\f (Zi) = ... = f (Zn) = f (^0 = 0, if fz) G B\K), f(zi) = ... = f(zn) = f(zo) = 0,

то f(Z) = B(z)g(z), где g(z) g B1(K), а then f (z) = f-^ B(z)g(z), where g(z) g

Z - Zn

1 - Z0 Z

B( Z ) = П ri

k=1 1 Zk

1 - Z0 Z

ZkZ

B1(K), and B(Z) = П

k=1 1

Z - Z,,

- ZkZ

n

n

Нетрудно убедиться в том, что It is easy to show that

r1 (^ Z )= 1 .2 \Б (z0)|. r1 (^ Z1, Z )= 1 ,2 |Б (z0)|.

"n) I .2 \ V. 0 )\' 'Ц"^"^-' "nj I i2

1 -lZo| 1 -I zl

3. Оптимальное восстановление вторых 3. Optimal renewal of second order de-

производных в точке rivatives in the point

В этом случае L(f) = f"(Zo ), In this case L(f) = f"(Zo ), l1(f) =

li(f) = f (zo), If = f (zo),4(f) = f (zi),..., = f (Zo)^(f) = f (Zo), If = f (zi),...,

l„+2(f) = f (Zn). Как мы знаем, существует ln+2(f) = f (zB). As we know, there is the lin-

линейный наилучший метод приближения ear best approximation method

n n

So = cf ' (zo ) + Yfkf (Z ) , а его погРешность So = cf ' (zo ) + Tfkf (Z ), and its inaccuracy

k=o

к=o

: (So) = Г (Zo, Zi,..Zn) определяетсяпо (12) r„ (So) = r2 (zo, z1, ..., zn) is determined by (12)

r2 (Zo, Zn ) =

sup

f ( Z )eB1( K )

If '(Zo )|.

(12)

f (Z )=...=/(Zn )=f (Zo )=f '(Zo )=o

Ясно, что

It is clear that

(Zo,Z1,.-,Zn )= SUP

f ( Z )eB1(K )

2rai

J

Л

(С-Zo) (C-Z0) k=o C-Zk

f (C)d С

(13)

Существует экстремальная функция f*(z) There exists the extremum function f*(z)

задачи (13) (а, значит и (12)), причем она of the task (13) (consequently also (12)), and

единственна с точностью до множителя el5, 5 it's unique up to a multiplier el5, 5 e R. Let us

e R. Убедимся в том, что линейный наилуч- make sure that the linear best method is

ший метод единственен. Для экстремальных unique. For extremum functions f*(z) и

функций f1*(z) и ф2(z) (из правой части (2)) ф*(z) (from the right part of (2)) the relation

выполняется соотношение (3), где is held (3) where

ш(С) =

2га/

(С-Zo ) (С-Zo ) к=o С-Zk

Assume that there exists some other lin-

Предположим, что существует еще

какой-нибудь линейный наилучший метод " , ч

n ear best method у + УУ f (zt). Then (ref. (3))

Y + ZYkf (zk ). Тогда (см. (3)) k=0

k=0 /1(0[Ч(С)-ф*(0]dC = 553 |Ш1(0- ф * (С ) Idsx

.Ш [Ш1(С)-ф3(С)] dC=5^ |Ш1(С)(Q|ds X x(5e R ф* (С) e Нг (K)), where х(5з eR,)eН(K)), где

®1(С)=

2га

У к

(C-Zo) (С-Zo) k=oС-zk

Рассмотрим функцию

Consider the function

ö( Z ) =

J_ 2га i

Y

2га i

( Z - Zo )3 (Z - Zo )

2 S к=o

У к

Л

Z - Z,,

(Z - Zo )3 (Z - Zo )

2 S к=o

n c.

Z - Z,,

-ФЗ( z)

-ф2( Z)

r

Так как функция R (z) = f *( z) x As the function R (z) = f *( z) x

z) -ф*(z)J не имеет нулей в K, то х^ш(z) -ф*(z)J doesn't have zeroes in K,

Q1(z) — аналитична в K. Кроме того, Qi(z) на Qi(z) — is analytical in K. Moreover, Qi(z)

границе Г круга K принимает неотрицатель- on the border Г of the cycle K takes

ные значения. Отсюда Q1(zo) = const. Так как up nonnegative values. Consequently

Q1(z0) = 1, то отсюда и вытекает, что Q1(z0) = const. As Q1(z0) = 1, this implies

у = c, у k = ck (k = 0,1, ..., n). Рассмотрим ана- that у = c,yk = ек (k = 0,1,..., n). Let us con-

логичную задачу в односвязной области D. sider the analogical task in the simply con-

Тогда nected region D. Then

r2 (Qo,Oi,^.,On )= sup |^(шо). (14)

g (ffl)eB1( D)

g(ffli )=...=g(ffln )=g(®0 )=g '(®o )=0

Лемма. Имеет место следующее равен- Lemma. The following equality takes

ство place

r2(zo, zl, zn) = |F'(z0)|2r2(^ ^ ®n). (15)

Доказательство. Обозначим Proof. Let us denote

r2 (^ zl, zn) = Г2 («V ^ ®n) = P. Рассмотрим функцию g(ш) = f* (ф(ш)). Consider the function g(ш) = f * (ф(ш)).

Тогда Then

g (ш) e B\D),g ^) = ...= g (шп ) = g (ш0) = g (Ш0 ) = 0. Так как g' (ш) = f * (ф(ш) )ф ' (ш), а As g '(ш) = f * (ф(ш) )ф ' (ш), and

g" (ш) = f * (ф(ш)) (ф(ш))2 + f * (ф(ш)) ф(ш), то g"(ш) = f * (ф(ш)) (ф(ш))2 + f * (ф(ш)) ф"(ш),

\g" (ш0)| = f *" (z0) |ф '(ш0 )|2. И, значит, then |g"(ш0 )| = f (z0) |ф'(ш0 )|2. This means

Р>а|ф "(ш0)|2. Далее, для любого числа е(е > that, Р>а|ф'(ш0)|2. For any number е(е > 0) 0) существует функция g(o) такая, что g(o) e there is a function g(o) such that g(o) e

B\D), g(щ) = ...= g(w ) = g(W) = g' (W) = 0 B'(D) g(®1) = - = g(&n) = g(®0) = g(ш0) = 0 i , 4, and g "(ш0) >p-s. Consider the function

и g (ш0) >p-s. Рассмотрим функцию fz) = 1 1

' „ T ^ f(z) = g(F(z)) = g(F(z)). Then f (z) e B1 (K),

g(F(z)) = g(F(z)). Тогда f (z) e B(K), ( ч ( ч ( ч ( ч

/W=...= f^f (20КГЫ = 0. По- f (z1= f (zn)= f (z0 = f (z0) = 0. As

V 0/ V 0/ rni \ *"i \irri \\2 *'/4rV/4

W \ "( \(ТГ'( \\2 «( 4 f (z0 ) = g (ш0 )(F (z0)) + g (ш0) F(z0), скольку f (z0 ) = g (ш 0 )(F (z0)) + g (ш0 )x . / ч| . / ч|| / .2

W \ I "( IIW tf то f"(z0) = g"(ш0)F'(z0) and, conse-

xF (z0) , то \f (z0 )|= |g (ш 0) |F (z0) и, зна- , . .,2

quently, а > (p-s) F ' (z0) . It follows that чит, а>(p-s)|F'(^)| . Отсюда следует, что 2

2 |ф "(ш)| а>Р and, consequently, we ob-

|ф "(ш)| а>Р и, следовательно, получим (15).

Заметим, что попутно мы убедились в We should note that simultaneously we

том, что функция g *(ш) = f* (ф(ш)) является made sure that the function g*^) = f* (ф(ш)) экстремальной функцией задачи (14). is the extremum function of the task (14).

n

n

Теорема. Если cf' (z0 ) + ^ckf (zk ) — Theorem. If cf' (z0 ) + YfJ (zk) — the

k=0 k=0

линейный наилучший метод приближения в linear best approximation method in the unit

единичном круге, то cycle, than

(F (z„ ))2 g (o * > (F (Zo ))2 iS (' '

является линейным наилучшим методом в об- is the linear best method in the region D. ласти D. Proof. As the original method is the best

Доказательство. Так как исходный ме- one, then тод является наилучшим, то

f "( Zo )-cf "( Zo )->cJ ( Zk )

к=o

< r2 ( Zo, Zl, Zk )

для любой функцииfz) e Bl(K). Пусть g^) e for any function fz) e Bl(K). Let g(ш) e

B1(D). Тогда fz) = g(F(z)) e B1(K). Поскольку B1(D). Then fz) = g(F(z)) e B1(K). As,

f" (z) = g (F(z) ) F"( z), f" (z) = g"( F (z) )x f "(z) = g (F(z)) F" (z), f "(z) = g" (F (z) )x

x(F"(z))2 + g " (F(z)) F "(z) , то x(F"(z))2 + g " (F(z)) F " (z) , then

? _

g" (Qo )(F (Zo )) + g (щ ) F (Zo )-cg" («Ш ) F (Zo )-Jckg (Шк )

к =o

< Г, ( Zo, Zn ).

Отсюда (см. (15))

cF' (zo )-F" (zo ) „ , Г Ï

g (Qo )---—--T—- g (Qo )-> -к—Tg (Ш, )

g (o ) (F' (Zo ))2 g (o ) > (F (Zo ))2 g (к '

Consequently (ref. (15))

< r2 (Шo, Qn )

и, значит

hence

g "(Qo ^^ g (Шк )

(F(Zo )) к=° (F(Z0 ))

является линейным наилучшим методом в об- is the linear best method in the domain D. The ласти D. Теорема доказана. theorem is proved.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

1. Осипенко К.Ю. Наилучшее приближение аналитических функций по информации об их значениях в конечном числе точек // Математические заметки. 1976. Т. 19. Вып. 1. С. 29—40.

2. Осипенко К.Ю. Наилучшие методы приближения аналитических функций, заданных с погрешностью // Математический сборник. 1982. Т. 118 (160). № 3 (7). С. 350—370.

3. Осипенко К.Ю. Оптимальная интерполяция аналитических функций // Математические заметки. 1972. Т. 12. Вып. 4. С. 465—476.

4. Осипенко К.Ю. О произведениях Бляшке, наименее уклоняющихся от нуля // Математические заметки. 1990. Т. 47. Вып. 5. С. 71—80.

5. Osipenko K.Yu. On optimal extrapolation and interpolation of fuzzy analytic functions // Analysis Mathematica. 1987. 13. Pp. 199—210.

REFERENCES

1. Osipenko K.Yu. Nailuchshee priblizhenie analiticheskikh funktsiy po informatsii ob ikh znacheniyakh v konechnom chisle tochek [The Best Approximation of Analytical Functions According to the Information on their Values in Finite Number of Points]. Ma-tematicheskie zametki [Mathematical Notes]. 1976, vol. 19, no. 1, pp. 29—40. (In Russian)

2. Osipenko K.Yu. Nailuchshie metody priblizheniya analiticheskikh funktsiy, zadannykh s pogreshnost'yu [The Best Approximation Methods of the Analytical Functions Preset with an Innacu-racy]. Matematicheskiy sbornik [Sbornik Mathematics]. 1982, vol. 118 (160), no. 3 (7), pp. 350—370. (In Russian)

3. Osipenko K.Yu. Optimal'naya interpolyatsiya analiticheskikh funktsiy [Optimal Interpolation of the Analytical Functions]. Matematicheskie zametki [Mathematical Notes]. 1972, vol. 12, no. 4, pp. 465—476. (In Russian)

4. Osipenko K.Yu. O proizvedeniyakh Blyashke, naimenee uklonyayushchikhsya ot nulya [On Blaschke Products Least Deviating from Zero]. Matematicheskie zametki [Mathematical Notes]. 1990, vol. 47, no. 5, pp. 71—80. (In Russian)

5. Osipenko K.Yu. On Optimal Extrapolation and Interpolation of Fuzzy Analytic Functions. Analysis Mathematica. 1987, no. 13. Pp. 199—210. DOI: http://dx.doi.org/10.1007/BF02115934. (In Russian)

n

6. Хавинсон С.Я. Основы теории экстремальных задач для ограниченных аналитических функций и их различные обобщения. М. : МИСИ им В.В. Куйбышева, 1981. С. 12—17.

7. Безяев В.И., Коняев Ю.А. Асимптотика решений неавтономных систем и приложений в квантовой механике // Вестник МГСУ. 2014. № 8. С. 28—35.

8. Fisher S. and Micchelli C. The n-width of analytic functions // Duke Math J. 1980. Vol. 47. No. 4. Pp. 789—801.

9. Bojanov B.D. Best quadrature formula for a certain class of analytic functions // Zastos, Mat. 1974. VXIV. Pp. 441—447.

10. Фриштер Л.Ю. Расчетно-экспериментальный метод исследования НДС составных конструкций в зонах концентрации напряжений // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2008. № 2. С. 20—27.

11. Pogosinski W., Shapiro H. On certain extremum problems for analytic functions // Acta Math. 1953. Vol. 90. Pp. 287—318.

12. Singer I. Best approximation in normed linear spaces by elements of linear subspaces. Berein, Springer — Verlag. 1970. 462 p.

13. Фриштер Л.Ю., Мозгалева М.Л. Сопоставление возможностей численного и экспериментального моделирования напряженно-деформированного состояния конструкций с учетом их геометрической нелинейности // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2010. T. 6. № 1—2. C. 221—222.

14. Бахвалов Н.С. Об оптимальности линейных методов приближения операторов на выпуклых классах функций // Вычислительная математика и математическая физика. 1971. № 4 (11). С. 1014—1018.

15. Micchelli C., Rivlin T. A survey of optimal recovery, Optimal estimation in approximation theory. N.Y. : Plenum press., 1977. Pp. 1—54.

16. Shirinov M.I., Khajrullin R.Z. A control system for goods delivery with the use of intermediate warehouses // Известия Российской академии наук. Теория и системы управления. 2002. № 5. С. 146—152.

17. Robinson R. Analytic functions in circular rings // Duke Math J. 1843. Vol. 10. No. 2. Pp. 341—354.

18. Смирнов М.И., Хайруллин Р.З. Математические модели, используемые в системе доставки товаров автотранспортом «Диспетчер» // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. 2002. № 13. С. 22.

19. Duren P.L. The theory of Hp spaces. N.Y. : Acad. Press, 1970. Pp. 1—258.

20. Kahane J.P. Best approximation in L1(T) // Bull. Amer. Math. Soc. 1874. Vol. 80. Pp. 788—804.

Поступила в редакцию в мае 2015 г.

6. Khavinson S.Ya. Osnovy teorii ekstremal'nykh zadach dlya ogranichennykh analiti-cheskikh funktsiy i ikh razlichnye obob-shcheniya [Fundamentals of Extremum Problems Theory for Confined Analytical Functions]. Moscow, MISI im V.V. Kuybysheva Publ., 1981, pp. 12—17. (In Russian)

7. Bezyaev V.I., Konyaev Yu.A. Asimptotika resheniy neavtonomnykh sistem i prilozheniy v kvantovoy mekhanike [Asymptotic Expansions of the Solutions for Nonautonomous Systems and Applications in Quantum Mechanics]. VestnikMGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2014, no. 8, pp. 28—35. (In Russian)

8. Fisher S. and Micchelli C. The n-width of Analytic Functions. Duke Math J. 1980, vol. 47, no. 4, pp. 789—801. DOI: http://dx.doi.org/10.1215/S0012-7094-80-04746-8.

9. Bojanov B.D. Best Quadrature Formula for a Certain Class of Analytic Functions. Zastos, Mat. 1974, VXIV, pp. 441—447.

10. Frishter L.Yu. Raschetno-eksperimental'nyy metod issle-dovaniya NDS sostavnykh konstruktsiy v zonakh kontsentratsii napryazheniy [Computational-Experimental Methods of StressStrain State Research of Composite Structures in the Areas of Stress Accumulation]. Stroitel'naya mekhanika inzhenernykh konstruktsiy i sooruzheniy [Construction Mechanics of Engineering Structures and Constructions]. 2008, no. 2, pp. 20—27. (In Russian)

11. Pogosinski W., Shapiro H. On Certain Extremum Problems for Analytic Functions. Acta Math. 1953, vol. 90, pp. 287— 318. DOI: http://dx.doi.org/10.1007/BF02392438.

12. Singer I. Best Approximation in Normed Linear Spaces by Elements of Linear Subspaces. Berein, Springer — Verlag, 1970, 462 p.

13. Frishter L.Yu., Mozgaleva M.L. Sopostavlenie vozmozhnostey chislennogo i eksperimental'nogo modelirovaniya napryazhenno-deformirovannogo sostoyaniya konstruktsiy s uchetom ikh geometricheskoy nelineynosti [Comparing the Possibilities of Numerical and Experimental Modeling of the Stress-Strain State of Structures with Account for their Geometrical Nonlineari-ty]. International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2010, vol. 6, no. 1—2, pp. 221—222.

14. Bakhvalov N.S. Ob optimal'nosti lineynykh metodov priblizheniya operatorov na vypuklykh klassakh funktsiy [On Optimal Linear Approximation Methods of the Operators on Functions of Convex Class]. Vychislitel'naya matematika i matematicheskaya fizika [Computing Mathematics and Mathematical Physics]. 1971, no. 4 (11), pp. 1014—1018. (In Russian)

15. Micchelli C., Rivlin T. A Survey of Optimal Recovery. Optimal Estimation in Approximation Theory. N.Y., Plenum press., 1977, pp. 1—54. DOI: http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4684-2388-4_1.

16. Shirinov M.I., Khajrullin R.Z. A Control System for Goods Delivery with the Use of Intermediate Warehouses. Izvestiya Rossiyskoy akademii nauk. Teoriya i sistemy upravleniya [News of the Russian Academy of Sciences. Theory and Management Systems]. 2002, no. 5, pp. 146—152.

17. Robinson R. Analytic Functions in Circular Rings. Duke Math J. 1843, vol. 10, no. 2, pp. 341—354. DOI: http://dx.doi.org/10.1215/S0012-7094-43-01031-2.

18. Smirnov M.I., Khayrullin R.Z. Matematicheskie modeli, ispol'zuemye v sisteme dostavki tovarov avtotransportom «Dispetch-er» [Mathematical Models Used in the Goods Delivery System by the Transport "Dispetchef']. Preprinty 1PMim. M.V. Keldysha [Keldysh Institute Preprints]. 2002, no. 13, p. 22. (In Russian)

19. Duren P.L. The Theory of Hp Spaces. N.Y., Acad. Press. 1970, pp. 1—258.

20. Kahane J.P. Best Approximation in L1(T). Bull. Amer. Math. Soc. 1874, vol. 80, pp. 788—804.

Received in May 2015.

Об авторе: Овчинцев Михаил Петрович — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики, Московский государственный строительный университет (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, [email protected].

About the author: Ovchintsev Mikhail Petrovich —

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Department of Higher Mathematics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; [email protected].

Для цитирования:

Овчинцев М.П. Конформная инвариантность задач оптимального восстановления производных от ограниченных аналитических функций // Строительство: наука и образование. 2015. № 2. Ст. 1. Режим доступа: http://nso-journal.ru.

For citation:

Ovchintsev M.P. Konformnaya invariantnost' zadach optimal'nogo vosstanovleniya proizvodnykh ot ogranichennykh analit-icheskikh funktsiy [Conformal Invariance of the Optimal Renewal Tasks of the Derivative from the Confined Analytic Functions]. Stroitel'stvo: nauka i obrazovanie [Construction: Science and Education]. 2015, no. 2, paper 1. Available at: http://www.nso-journal.ru. (In Russian)