Совершенствование расчета изгибно-крутильных колебаний неразрезных балок и рам Текст научной статьи по специальности «Физика»

624.042.8

А. С. РАСПОПОВ (ДИИТ)

СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ РАСЧЕТА ИЗГИБНО-КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ НЕРАЗРЕЗНЫХ БАЛОК И РАМ

Дослщжено можливосл застосування логiчних моделей та асоцiйованих матриць до розрахунку згина-льно-крутильних коливань нерозрiзних балок та рам з розподшеними параметрами. Отриманi матрицi вра-ховують рiзнi сполучення пружних закршлень та наявнiсть зосереджених мас.

Исследованы возможности применения логических моделей и ассоциированных матриц к расчету изги-бно-крутильных колебаний неразрезных балок и рам с распределенными параметрами. Полученные матрицы учитывают различные сочетания упругих закреплений и наличие сосредоточенных масс.

The suitability logic models and associable matrixes to calculation flexural-torsion oscillations of continuous beam with distribution parameters are researched. The inferential matrixes to consider various combination of elastic constraints and given localized masses.

Одновременно изгибные и крутильные колебания возникают в рамных конструкциях и в системах пересекающихся балок. Их также следует учитывать при изучении вибраций мостов, имеющих несимметричное поперечное сечение и эксцентриситет приложения нагрузки. Оба вида колебаний могут вызвать появление автоколебательных движений, создающих опасные перемещения и напряжения в конструкциях [1, 2]. Однако, решение задачи о совместных колебаниях в точной постановке представляет значительные трудности, что приводит либо к использованию приближенных методов и расчетных схем, либо к изучению тех или других видов колебаний в отдельности [2, 3].

Рассмотрим прямолинейную п -пролетную балку с кусочно-непрерывными характеристиками и однородными граничными условиями. Сечения элементов, погонная масса ц7, жесткости при кручении GJк, изгибе Ш в пределах каждого из пролетов считается постоянными. Ось х направлена вдоль оси балки.

Для 7 -го участка балки, совершающего одновременно изгибные колебания в направлении оси у и крутильные колебания вокруг оси х количество начальных (НП) и концевых (КП) граничных параметров будет равно шести: углы поворота сечения фх, фг вокруг осей х, г, соответственно,

крутящий и изгибающий моменты Мх, Мг, линейное перемещение иу и поперечная сила Ыу .

Зависимость между параметрами НП и КП на границах . -го участка балки определяется равенством [4]:

V = мв&, , (1)

где Мв - матрица влияния начальных параметров; &. и & .+1 - векторы граничных параметров в 7 -м и 7 +1 сечениях балки;

&М+1 ={ф х, иу, Ф г , Мг , Ny, Мх }.,.

Матрицу М можно представить в виде:

M в =

cos Хк

0

S

0

-V

0

EJ ХИ

-T

S

l2

EJ Хи

U

0

EJ xl

V

l3

EJ X

T

2

EJ X2

U

EJ X.

T

l2

X

U

-PXk sinX 0

0

V

l3

РХк

-sin Хк

EJ ХИ 0

V

l2

EJX 0

U

cos Хк

(2)

И

1

где S, T , U, V - круговые и гиперболические

2 Jxj

функции А. Крылова [5]; X к =-

кодами НП и КП для угловых перемещений фх и крутящих моментов M .

GJ„

частотные параметры, соответ-

. 4 Ъ

ственно, для крутильных и изгибных колебаний; в. = ——; ¡1 - длина 1 -го пролета балки; ¡1

Зх( - погонный момент инерции массы балки относительно ее продольной оси; ю . - круговая частота ] -й формы колебаний. С учетом положений [6; 8], совокупность состояний граничных параметров отдельного стержня при из-гибно-крутильных колебаниях может быть выражена булевыми функциями шести переменных, определяющими коды его граничных условий. В общем случае, возможным состояниям концов стержня из равного количества фиксированных {0} и произвольных {1} граничных параметров соответствуют частотные определители из миноров 3-го порядка матрицы Мв, которые могут быть представлены в

составе ассоциированной блочной матрицы М™ с

Мик =

\КП НП 01 10

10 М11 ! M1K

01 М K1 М KK

(3)

Подматрицы блочной матрицы M™ имеют вид:

M11 = COS ХкМ1001 ; M1K = -РХк sln ХкМ1010 ; 1

М K1 =

РХк

sin XМ0101; МKK = COS XкМ!

0110

(4)

где М1001, ..., М0110 - ассоциированные матрицы изгибных колебаний стержня [6] с комбинациями всех значений булевых функций на множествах {0,0,1,1}, {1,1,0,0} и с индексами

кодов НП и КП {0,1} и {1,0} - для крутильных колебаний. Матрицы в подматрицах М11, М12, М21, М22 будут отличаться только значениями кодов НП и КП для фх и Мх. Так, например, матрицу М22 можно представить следующим образом (табл. 1).

Таблица 1

КП

НП

100110

101010

101100

110010

110100

111000

011001

010101

010011

001101

001011

000111

E

EJ X..

EJ X.,

-C

l

D

A

EJ XK

l

-F

EJ X и

H

EJ Xf

K л 4

l

K

EJ XK

;K

-H

X

C

l

EJ X:

i 3

EJ X,

/4

-F

(EJ )K X 4

G

±C X,

XKKB

xK

EJ X3

-Хи A

l

E

-G

^C

X,,

l

-Хи A

l

-G

C

(EJ )K X

G

E

—C

X,,

-1B

-Хи A

l

-Хи A

l

D

EJ X3

EJ Хи

c

EJ X K

.и f

lK EJ X,,

H

l

K

EJ XK

-H

l

EJ X K

-F

EJX

-C

l

E

A

3

4

l

l

l

3

l

l

K

l

3

l

l

Значение cos Хк представляет общий множитель матрицы М0110. Функции A, ..., H

являются функциями В. Прагера и определяются выражениями [5] с учетом следующих соотношений:

A = KB (X) ; C = K A (X) ; B = ^ (X) ;

D = K C (X); F = H = Kb ;

в=- и); е=2(1+и).

п-1

ЪП микуп =

(5)

I=2

Таким образом, матрица МЦК характеризует 36 х 4 возможных состояний стержня и комбинаций его граничных условий. Каждый элемент такой матрицы представляет произведение соответствующих элементов ассоциированных матриц для чисто изгибных и чисто крутильных колебаний.

По аналогии [6; 8], уравнение частот для цепной стержневой системы можно представить в виде равенства нулю последовательного произведения ассоциированных матриц каждого из п участков системы, т. е.

где У1 и Уп - векторы возможных состояний

1-го и п -го участков.

Примером совместных колебаний может служить рамная конструкция, в которой крутильные колебания стержней неизбежно сопровождаются изгибными колебаниями рамы из ее плоскости. Рассмотрим симметричные изгибно-крутильные колебания прямоугольной рамы со стойками одинаковой жесткости и соответствующую ей логическую схему в виде последовательно связанных конечных автоматов (рисунок).

а) М-2 > ^х2 > -Лс2> ^2

У 2 \12

б)

Ф,2 <Рг2 и л и . Фг2 2 Фг2

—<

>-с

М. 2 М-2 N>2 , ЛГ,2 Мх2 Мх 2

г

мх1 лг,.| мл Фг, «У| фл-|

Рис.

Каждому состоянию автомата соответствует набор детерминантных функций отдельных стержней ((4), табл. 1), для определения которых составим таблицу переходов (табл. 2), обозначив сопрягаемые элементы одноименными латинскими буквами, чем зафиксировано наличие между ними логического отношения отрицания. Коды НП и КП, а также значения силовых (С) и кинематических (К) параметров расположены соответственно в верхней и нижней частях таблицы. Зададим граничные условия началу стержней-стоек 1 в виде заделки (код 000111), а середине ригеля 2 - в виде произвольных значений фх, иу, М2 и фиксированных ф2, N , Мх для обеспечения симметричных колебаний рамы (код 010101). Для обрат-носимметричных форм колебаний КП стержня 2 будут определяться кодом 001011.

Однозначное соответствие кодов НП и КП

табл. 2 и элементов матрицы Мгик позволяет

непосредственно записать трансцендентное уравнение частот:

008 Ак1Е1

1

РиАк2 + 008 А „

-8Ш А

к2

Е1 А

£"у2л и2

-си

14

к1

(ел )аИ1 1

в1 008 А

Аи2 в

к2 , 2 2 12

+ -

+ -

1

-8Ш А

Р1Ак1 1

81П Ак1Е1 —

риа

-81п Ак2и2 +

2'" к2

Р1Ак1 - 008 А

к1

(Щ )2 А

2,4 и1

в1008 Ак2

EJИ А

к —1— С 008 А-—

к1 А.., 1 к2 ЕД А

2 и2 г-1 _

2

С2 -

1 и1

2'" и2

- 008 А

АИ

к1 Е^

1 риа к2

81П А ^ В2 -

2

Р1А

-81п А,

к1

к1

^и!

С1008 Ак2 И2 -

РА

-81п Ак1 X

к1

1 риа

-81п А

Ш,

к2

2 АИиС2 = 0 .

(6)

2 к2

2

х

Таблица 2

№№ стержней 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8

и состояний системы 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

0 С 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0

К 0 Ъ 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

НП 0 а 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1

1 / 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0

С 1 е 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0

Коды граничных условий 1 (Л 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1

а 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0

К Ь 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1

КП с 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0

(Л 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1

С е 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0

/ 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1

После преобразований приходим к уравнению

Е1 - Л^ Хк2С1 а1 (С2 + /1018 Хк1В2 )

А1 - Л01§ Хк2О1 в1Хк112

а

(( + Х к1С2 )

где /1 =

Е/ X

£"У2Л и2

/2 =

в2Х к212

а1 =

= 0, (7)

^и!

13

¿о

а 2 =

Е/ X3

2 и2

Хи2 ^ 0) и

(О/к1 ^да; X

тельно угловых перемещений вокруг осей х2, г2 и линейных перемещений в направлении оси ,2 . Обозначив, соответственно, жесткости

Е/

эквивалентных упругих связей через дх =-

I

О/

к1

12Е/,

Путем предельных переходов можно получить уравнения для различных видов колебаний системы. Так, предполагая наличие только крутильных колебаний ригеля (Е/2 ^ да ;

изгибных колебаний стоек

к1 ^ 0), приходим к уравнению

А - /2 018 Xк2О1 = 0. (8)

Я? =■

008 Хк2 - <

С = -

7

13 ч

приходим к уравнению

Р2Х

X

к 2

2 к2

V

X о

е/т^ С2 - С

¡о

х27

^ В2 - С, Я ¡2

Е/ X

2 и2

-С0

= 0, (10)

которое распадается на два независимых уравнения - для крутильных и изгибных колебаний ригеля с упругими связями. Если в узлах рамы дополнительно расположены сосредоточенные гру-Если считать, что стержни 1, 2 не подверже- зы массой т, то вместо д , д , с необходимо

ны крутильным колебаниям (О/к1, О/к2 ^ да), т. е. происходят только изгибные колебания ригеля и стоек из плоскости рамы (Хк1, Хк2 ^ 0), уравнение (6) приводится к виду

подставить соответственно дх -/хтю2, д - /гтю2,

тю - с,.

где /хт, /гт - моменты инерции со-

С В2 а2 — -а. —- = 0 .

2 О1 1 С2

(9)

Практический интерес представляет случай, когда можно пренебречь массами стоек по отношению к массе ригеля, что равнозначно колебаниям ригеля с упругими связями относи-

средоточенного груза относительно осей х, ? .

В общем случае, массово-инерционную матрицу М' сосредоточенного груза с учетом его инерции вращения при изгибе и кручении можно получить из матрицы (2), если принять при ¡1 ^ 0 ,

ц.¡. = т,, /1, =./ . Запишем М' с учетом опи-

* I I 1 у х, 1 х^м 1 ^

рания 1 -го сечения балки на упругую опору относительно поперечных и угловых перемещений:

I

I

М' =

0 0

Я; -Лт®2 1

0

0

т,ш - с,.

Соответствующая переходная матрица М

в1

участка балки с распределенной и сосредоточенной массами и наличием упругих связей определяется соотношением [4]

Ях - -хт® 0

0

0

0

1

М в1 = М'М в,

(11)

(12)

или, в развернутом виде, при отсутствии сосредоточенного груза.

Мв1 =

008 Ак + 1 • А +Чх-81п А к х РАк к 0 0 0 0 -РА к 81П А к + +Ях 008 Ак

0 5 + 13 +с»ш аи " Аи V + 1 12 и у Е- А 2 ЕI А2 12 " ^ + +Су -т У А и ЕI А3 3 и т + 13 +су5 0

0 ±г + Аи 12 +и Е1 А2 5 + +я7 1 т ' Е/Аи Е- А и V + 1 Я;5 Е1А 2 12 + +Я; ^ К 0

0 12 -Ц- и Е1 А и 1 т Е1 Аи 5 Аи К 1 0

0 ' 33 К Е- Аи ' 22 и Е- А и А И 5 0

1 • А -81П А к РАк к 0 0 0 0 008 Ак

Раскрывая частотные определители из миноров 3-го порядка матрицы Мв1 и записывая их в порядке логического следования кодов НП и КП, приходим к блочной матрице М™ (3) с подматрицами

(13)

изгибных колебаний участка континуальной балки при наличии опоры, упругой относительно поперечных и угловых перемещений, и сосредоточенной массы. Так, например, подматрица М11 при отсутствии сосредоточенного груза и с учетом обозначений [7] имеет вид

М11 =

008

Ак + ( -ш2)——8ШАк

к \ + х хт I о л к

РАк

М

(

1001 '

М11 =

008 Ак + Ях А

Л

М12 = (Ак 81п Ак +(Ях - -хт®2 ) 008 Ак )М1010 ^

М21 = ^81п АкМ0101; М22 = 008 АкМ0110 ; (14)

РАк

М

Структура ассоциированных матриц •••, М0110 соответствует матрице [7] для

1001 :

РАк

~М + Су (М0101 + М0011) +

+д2 (М1(010 + М0011) + суЯхМ0011 ] . (15)

Таким образом, и в случае изгибно-крутильных колебаний ассоциированные матрицы и логические модели дают возможность в

простой и компактной форме получать разрешающие уравнения для неразрезных балок и рам. Предлагаемая форма учета упругих связей и сосредоточенных масс позволяет избежать дополнительных решений и введения специальных матриц перехода с большим числом нулевых элементов. Отпадает также необходимость выполнения обычных процедур построения систем алгебраических уравнений и их определителей. Полученные зависимости могут быть использованы для расчета изгибно-крутильных колебаний ортогональных систем пересекающихся балок.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Бойцов Г. В. Справочник по строительной механике корабля: В 3 т. Т. 3: Динамика и устойчивость корпусных конструкций / Г. В. Бойцов, О. М. Палий, В. А. Постнов, В. С. Чувиковский. - Л.: Судостроение, 1982. - 320 с.

2. Филиппов А. П. Колебания деформируемых систем. - М.: Машиностроение, 1970. 736 с.

3. Новацкий В. Динамика сооружений. - М.: Гос-стройиздат, 1963. - 376 с.

4. Ивович В. А. Переходные матрицы в динамике упругих систем: Справочник. - М.: Машиностроение, 1981. - 183 с.

5. Ананьев И. В. Табулированные значения комбинаций круговых и гиперболических функций / И. В. Ананьев, Н. И. Егоршева. - М.: Машиностроение, 1974. - 3K0 с.

6. Распопов А. С. Применение логических моделей к расчету колебаний неразрезных мостовых конструкций // 6th International Conference «Modern Bulding Materials, Structures and Techniques» (19-K1 May 1999, Vilnius, Lithuania) // Proceedings. -Vol.III.-Vilnius: Technika, 1999, pp. KK3-KK8.

7. Распопов А. С. Колебания континуальных балок с промежуточными опорами. Вюник Дшпро-петр. нац. ун-та залiзн. трансп. iменi акад.

B. Лазаряна. Вип. 9. - Д.: ДИИТ, K005. -

C. 199-K0K.

8. Эйхе Г. Н. Особенности структуры уравнений частот и форм установившихся колебаний рамных мостов и других плоских ортогональных стержневых систем // Вопросы статики и динамики мостов: Межвуз. сб. науч. тр. / Днепро-петр. ин-т инж. ж.-д. трансп. - Д., 1987. -С. 83-84.

Поступила в редколлегию: 31.07.K007.