Колебания многоярусных и многопролетных регулярных рам Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 624.27.7

А. С. РАСПОПОВ, О. О. РУБАН, С. А. ЧЕРНЫШЕНКО (ДИИТ)

КОЛЕБАНИЯ МНОГОЯРУСНЫХ И МНОГОПРОЛЕТНЫХ РЕГУЛЯРНЫХ РАМ

Наведено точш аналггичш ршення для вшьних згинальних коливань багатоярусних i багатопрогонових регулярных рам з урахуванням шерцд обертання, зсувiв, статичних подовжнiх сил. Аналогiчнi результати отримано для сумiсних коливань багатошарових пересiчних балок, що моделюють просторовi рамнi каркаси з довiльною кшьшстю прогонiв у кожному з напрямiв.

Приведены точные аналитические решения для свободных изгибных колебаний многоярусных и многопролетных регулярных рам с учетом инерции вращения, сдвигов, статических продольных сил. Аналогичные результаты получены для совместных колебаний многослойных пересекающихся балок, моделирующих пространственные рамные каркасы с произвольным числом пролетов в каждом из направлений.

Exact analytical decisions are presented for free flexing vibrations of multiple-deck and multiple-bay regular frames taking into account inertia of rotation, shifts, and static longitudinal forces. Analogical results are obtained for the joint vibrations of multilayer intersecting beams modeling spatial frame carcasses with arbitrary quantity of spans in every direction.

Применение автоматных и топологических методов позволяет получить решение для совместных колебаний нерегулярных многоярусных плоских рам и пространственных рамных каркасов [1]. При этом каждый пролет и ярус рамы учитываются со своими геометрическими, жесткостными и массовыми характеристиками, что усложняет составление и решение уравнений. Некоторые упрощения можно получить для регулярных конструкций, совершающих один из видов колебаний с использованием метода деформаций и конечных тригонометрических рядов [2, 3].

Исследуем изгибные колебания многоэтажной рамы, имеющей одинаковые размеры пролетов (ригелей) 1, 2, ..., р и высоты колонн (стоек) 1, 2, ..., п (рис. 1).

Для одноярусной регулярной рамной системы запишем уравнение частот с учетом инерции вращения, сдвигов, статических продольных сил в ригеле и стойках рамы, приведенные в работе [4]:

2EJ

yi

А

f du)

fu

A (du) B (au)

EJ

У 2

Xf2 (a2i, d2i ) (f2i cth d2i — к2г ctg a2r ) = 0 ( 1)

где

A (d1r) = sh d1r /(ch d1r — cos—i);

P

B (а1г) = sin a1r /(cos ah — cos—i);

P

f (air, d1i ) = (kiOii + f1id1r ) shd1r sin air /

(2kufu (chdicosau —1)+(k2 -У12)shdiisinah).(3)

Значение функции /2 (аъ, ёъ ) определяется

аналогично (3). Остальные обозначения приведены в работе [5].

Из уравнения (1) при ц2 ^ 0 несложно получить выражение для неразрезной регулярной балки с опорами, упругими относительно угловых перемещений жесткостью ду1 = Е1у2/к :

fu

4y1l1

A (dii) B a) 2EJyifi , dii)

= 0. (4)

Т.к. стойки по каждой линии их пересечения являются равноупругими опорами для ригелей и соответственно ригели - для стоек, то можно записать (р -1) и (п -1) частотных уравнений (4) для каждого из направлений х, г .

Для составления частотного уравнения достаточно приравнять амплитуды углов поворота ригелей и стоек рамы в местах их пересечения. Условие равенства угловых перемещений в узлах рамы через соответствующие жесткости упругих связей запишется как

n—1

P-1

(P — 1)! qУ? =(n — 1)! q %

(5)

r=1

s=1

Входящие в (5) суммы жесткостей упругих связей определим из уравнения (4):

У

х

1 ^ , п-1 N2 1 \ N2 1 ' N2 1 1 1 1 1 \ 1 ^ 1 1 1 N2 1 N1 1

N 3 ^ Л 3 1 1 Г г 1 1 1с N1 1

N 2 Ч л 2 1 1 1 ! N1 1

N 1 11 1 1 1 1 N1 1

/7? 1 1 7 /7> ' N2' ¡1 -7 2 ¡1 ^-7 3 V Ч / 1 1 1 ^ 1 1 1 1 1 1! 4 р V Ч

Рис. 1. Регулярная многоярусная и многопролетная рама

I *У1 = ^

г=1 '1

(п -^ , <1и )х

2Ы

у1

А

А К ) В а /

(6)

Л (,

Ы 2 / \

+ (а2; , 42; )

/м

а к / в а /

Если происходит изгиб ригелей, то угловые перемещения стоек в узловых сечениях будут

/2

21

21

АК ) В (1 )

= 0. (9)

Если не учитывать перечисленные выше

возникать под действием узловых реакций, факт°ры, при аи _ _ ки _ _ , действующих в обратном направлении:

р-1

I

а _ 4 _к _ .

2 ] 21 21 721

Р-1 ( ) 2 , ч

У2 _—(Р-1))2 (а2;, ^ 2; )х

«_1

2

/2

21

21

где

А(42;) В(а2])

А ( у) _ эМ21 /(сМ21 - соэ—у); В (а21) _ эт а2/(соэа2- соэ—7);

(7)

_ к21 _ /21 _ Я 21 и подстановки

/1 (Ч) _ вЬ^. 8ш / (соэ-1);

■/2 21 ) _ ^21 ^ Я21 / (сЬЯ21 ^ Я21 - 1) уравнение (9) упростится:

Е7 у1 Я 1.

I С,.

1 1.

( + Гцсоэ ри) +

Е*1 2. + у2 21 (А2 , + V, соэ[

2 2}

(1 + ^; соЭ в2;)

_ 0.

(10)

(8) где функции V, А, С соответствуют выражениям [6] с индексами, относящимися к ригелям

1, 1 - порядковые номера формы колебаний.

После подстановки в выражение (5) значений (6), (7) с учетом обозначений (2), (3), (8)

о п п л ■ или стойкам рамы, рг _ — г, р2, _ — ] .

1 р 1 п Т.к. в трансцендентном уравнении (10) ко-

частотное уравнение по формам колебаний личество пролетов представлено как отдельный примет вид: параметр, то трудоемкость по отысканию его

корней при любом количестве ригелей и стоек,

I

2

I

г

2

2

а также сочетании форм колебаний остается одинаковой.

Например, для многоярусной рамы с числом пролетов р при 11 = 12, = ц2, 1 = у = 1 на рис. 2 приведены графики изменения частотного параметра Х1 в зависимости от величины

отношения изгибных жесткостей ригеля и стоек рамы. Для таких систем возможно также построение частотных поверхностей с различными значениями 1 / р и у / п .

В предположении, что в каждом узле пересекающихся стержней поставлены дополнительно упругие связи жесткостью д12, условие

(5) преобразуется к виду

(р -1)! # =(п - 1)х

г=1

ХЕ $ -( - 1)(П - 1)^12- (11)

«=1

5,0 4,73

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 р/п Рис. 2. Значения Х1 для рамы с произвольным числом пролетов р, п

После подстановки (6), (7) в равенство (11) приходим к выражению:

2 А ( ¿ъ)

Ы

к

а к) в а)

2 Л ( а2 у , ¿2 у )

где Чу1 =

У 2

Ч1211 .

А

2 У

2 У

А (¿2у) В (а2у)

Ч1212

+1 = 0, (12)

'у1 ЕЛ / Чу2 ЕЛ 2

у1 у2

жесткости упругих связей.

Без учета инерции вращения, сдвигов и продольных сил в стержнях рамы уравнение (12) преобразуется к виду

- относительные

Для учета дополнительных сосредоточенных масс т в узловых точках необходимо вместо ч12 подставить значение (ч12 - Лутю2), где Лут - момент инерции сосредоточенной массы относительно оси У .

Переходя к пределу (13) при , ц2 ^ 0

(Х1г, X2у ^ 0), ч12 = 0, получим решение для

дискретной рамной системы с массами, сосредоточенными в узлах

2ЕЛу1 (2 + 008Ри ) 2ЕЛу2 (2 + 008Р2у) = 1

IЛ ю2

1 ут у

12 Л ю2

2 ут гу

=1, (14)

X.

ЧуА,

(( + Ги 008 Ри ) +

из которого получаем выражение для круговой частоты в явной форме

+Чу ((у + Vу 008Р2у ) + 1 =

Чу 2 2 у

Ю.. = у

2ЕЛу1 (2 + 008Ри) 2ЕЛу2 (2 + 008р2у.)

и

1 ут

12 Л

2 ут

Аналогичный расчет может быть проведен с учетом сдвигов и продольных сил.

Уравнение устойчивости для многоярусной и многопролетной регулярной рамы получим из выражения (9), полагая, что при ю.- ^ 0,

К

X

2 j

■ 0 согласно [5] f = d, = 0;

f2j = d2j = kli = ai, =yI2Si; k

.. = a =

2 j 2 j

EJ . (

yi

a

1 - cosPi ——— (cos a1i - cosPi)

sin a,

1i

EJ

y 2

a

1 - cos p--^ (

j sin a. v

cos a2 j - cos

e j)

2j

= 0. (16)

Уравнения (9), (12), (16) позволяют непосредственно перейти к решению различного рода частных задач, вытекающих из основной расчетной схемы [7], оценить влияние на частоты свободных колебаний количества ярусов и пролетов рамы, инерции вращения, сдвигов, продольных сил, а также определить границы критического соотношения жесткостей ригелей и стоек под действием сжимающих сил и при потере устойчивости.

Значительные упрощения можно также получить для регулярных конструкций, представленных в виде пространственных рамных каркасов. Так, для изгибно-крутильных колебаний используем уравнение (13), описывающее из-гибные колебания многоярусных и многопролетных регулярных рам в плоскости xy в предположении, что в каждом узле пересекающихся стержней поставлены дополнительные упругие связи жесткостью qk . Уравнение (13) позволяет

перейти к системе многослойных пересекающихся балок с одинаковыми граничными условиями, связанными между собой в узловых точках линейно-упругими безинерционными связями, моделирующими стержни-стойки, с эквивалентной крутильной жесткостью qk .

Используя подобие форм изгиба всех k слоев (k = 1,2,...,p-1) пересекающихся балок системы, можно определить нормальные формы колебаний аналогично решению [8, 9] для одномерных многослойных балок. Тогда уравнения колебаний для любого уровня балок системы приводятся к виду:

(( + Vlk cosр1г) + х

q1kG1k q2kG2k

х( A, +

2k

'V2k cos

в2 j )-

1 = 0;

(17)

qSk =

■qk.

sk

EJ

sk

qk -

1, k

f ak1 ^ 1 - k-1

V

a

k

k+1

( ak+1 ^ 1 - k+1

V

a

k J

где ак - коэффициент распределения амплитуд, *кк+1 - жесткость соответствующей упругой связи, расположенной между к -тым и (к +1 )-м уровнями балок.

В результате для системы, состоящей из (р -1) уровней пересекающихся балок, получим систему из (р -1) трансцендентных частотных уравнений (17), позволяющих найти все (р - 2 ) неизвестных соотношений амплитуд

ак (а1 принимается равным единице) и круговую частоту ю.- для каждой формы колебаний.

Таким же образом поступаем и для изгибно-продольных колебаний. В этом случае для любого уровня балок системы преобразуем уравнение [10], полученное для изгибных колебаний регулярной системы пересекающихся балок из плоскости хУ

2X

1k

<к ((X1k)-В (X1k))

+

2X

1k

c2 k ( (X 2 k )-B (X 2 k ))

-1 = 0,

(19)

где

sk

2EJ

sk

"k-1, k

f ak1 > 1 - k-1

V

a

k J

+c

k, k+1

f a k+1 >

1 - k+1

V

a

kJ

(20)

В уравнениях (17), (19) индексы х, у, г, ., 1 опущены.

Для примера на рис. 3 приведены частотные поверхности изменения параметра Я1к первой

зоны сгущения для многослойных пересекающихся балок с одинаковыми геометрическими, инерционными и жесткостными характеристиками, относительной жесткостью промежуточных упругих связей е'к _ 7,25, произвольным

числом пролетов в обоих направлениях, различными значениями порядковых номеров

3

3

3

форм колебаний 1, у и количеством слоев к = 1; 3; 50 .

Можно отметить относительно высокую плотность полученного спектра частот, особенно при количестве слоев пересекающихся балок большем трех.

Распределенные массы стоек учитываются в виде сосредоточенных масс тк, расположенных в узловых точках пересекающихся балок.

X 3,0

2,5

2,0

1,5

1,0

0,5

При этом вместо значений жесткостей и ек необходимо подставить значения (чк - ю2)

и (ск - ткЮ).

Для учета в балках каждого из направлений инерции вращения, деформации сдвига, статических продольных сил вместо уравнения (17) необходимо использовать уравнение (12).

j / m 1,0

0,6

0,8 i/n

1,0

Рис. 3. Значения X1k для многослойных пересекающихся балок

7.

Полученные зависимости с использованием 5. соотношений [11] позволяют перейти к расчету квазирегулярных и нерегулярных стержневых систем. В последующих исследованиях предполагается также учесть силы неупругого сопротивления.

6.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

1. Распопов, А. С. Применение топологических методов к расчету пространственных колебаний двух- и трехмерных стержневых систем [Текст] / А. С. Распопов // Вюн. Дншропетр. нац. ун-ту залiзн. трансп. iм. акад. В. Лазаряна. - 2008. -Вип. 22. - Д.: Вид-во ДНУЗТ, 2008. -С. 117-124.

2. Новацкий, В. Динамика сооружений [Текст] /

B. Новацкий. - М.: Гостройиздат, 1963. - 376 с.

3. Kolousek, V. Dynamics in engineering structures [Текст] / V. Kolousek. - Prague: Czech. Acad. Sci., 1973. - 580 p. 8

4. Распопов, А. С. К расчету собственных колеба-

ний рамно-неразрезных путепроводов [Текст] /

А. С. Распопов // Ресурсозберiгаючi технологи

у трансп. i пдротех. будiвництвi. Зб. наук. пр.

Дшпропетр. держ. техн. ун-ту залiзн. трансп. -1999. - Вип. 5. - Д.: Вид-во ДДТУЗТ, 1999 -

C. 104-108. 9.

Распопов, О. С. Асоцшоваш матриц у розра-хунках згинальних коливань континуальних балок [Текст] / О. С. Распопов // Мехашка 1 ф1зика руйнування будiвельних матерiалiв та конструкцш: зб. наук. пр. ф1з.-мех. ш-ту 1м. Г. В. Карпенка НАН Украши. - 2007. - Вип. 7. -С. 96-104.

Распопов, А. С. Конечно-автоматное моделирование пространственных колебаний стержневых и балочных конструкций [Текст] / А. С. Распопов // В1сн. Дшпропетр. нац. ун-ту залiзн. трансп. 1м. акад. В. Лазаряна. - 2007. -Вип. 19. - Д.: Вид-во ДНУЗТ. - С. 125-133. Распопов, А. С. Критическая жесткость пересекающихся балок при потере устойчивости [Текст] / А. С. Распопов // Ресурсозбер1гаюч1 технологи у трансп. 1 пдротех. буд1вництв1. Зб. наук. пр. Дншропетр. держ. техн. ун-ту залiзн. тр-ту. - 1999. - Вип. 5. - Д.: Вид-во ДдТУЗТ, 1999. - С. 94-97.

Солдатов, К. И. Колебания и устойчивость многослойных регулярных балок на упругих опорах при действии продольных сил [Текст] / К. И. Солдатов, Б. П. Черевацкий // Вопросы теор. колебаний и динамики мостов. Тр. Днеп-ропетр. ин-та инж. ж.-д. трансп., 1975. - Вып. 165/19. - С. 25-32.

Черевацкий, Б. П. О собственных колебаниях слоистых систем с распределенными парамет-

рами [Текст] / Б. П. Черевацкий // Вопросы теор. колебаний и динамики мостов. Тр. Днеп-ропетр. ин-та инж. ж.-д. трансп., 1973. - Вып. 150. - С. 75-86.

10. Распопов, А. С. Применение логических моделей к расчету колебаний неразрезных мостовых конструкций [Текст] / А. С. Распопов // Proc. Of the 6th Int. Conf. «Modern Bulding Materials, Structures and Techniques» (Vilnius, Lithuania,

19-21 May 1999). - Vilnius Gediminas Technical University, 1999. - Vol. III. - P. 223-228.

11. Распопов, А. С. Колебания континуальных балок с промежуточными опорами [Текст] / А. С. Распопов // Вюн. Дшпропетр. нац. ун-ту залiзн. трансп. iM. акад. В. Лазаряна. - 2005. -Вип. 9. - Д.: Вид-во ДНУЗТ, 2005. - С. 199-202.

Поступила в редколлегию 17.03.2009.