CC BY
42
УДК 538.945.7+538.955
СОСУЩЕСТВОВАНИЕ МАГНЕТИЗМА И СВЕРХПРОВОДИМОСТИ В ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНЫХ СВЕРХПРОВОДНИКАХ
ГИЛЬМУТДИНОВ В. Ф., ТИМИРГАЗИН М. А., АРЖНИКОВ А. К.
Удмуртский федеральный исследовательский центр Уральского отделения РАН, 426067, г. Ижевск, ул. Т. Барамзиной, 34
АННОТАЦИЯ. На основе двумерной расширенной модели Хаббарда, в которой дополнительно учитывается притяжение электронов, находящихся на соседних узлах, рассматривается конкуренция спирального магнитного упорядочения и синглетной сверхпроводимости с различной симметрией параметра порядка. Построены фазовые диаграммы модели, учитывающие оба порядка. Найдено, что в зависимости от параметров модели могут реализоваться как макроскопическое фазовое расслоение, так и микроскопическое сосуществование сверхпроводящей и магнитной фаз. Вычислены границы фазовых переходов, проводится интерпретация экспериментальных данных.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: модель Хаббарда, приближение Хартри-Фока, смешанная симметрия параметра порядка, спиральный магнетизм, сосуществование, фазовое расслоение.
ВВЕДЕНИЕ
С середины 60-х годов прошлого столетия и на протяжении долгого времени существовала точка зрения, что магнетизм подавляет сверхпроводимость. Это подтверждалось как экспериментами на известных к тому времени сверхпроводниках, так и теорией. Например, в работах [1, 2] было показано, что ферромагнитные флуктуации подавляют сверхпроводимость. Однако, с открытием в 1986 году явления высокотемпературной сверхпроводимости в купратах [3] стало понятно, что магнетизм в этих соединениях играет важную роль в формировании сверхпроводящего порядка. Экспериментальные и теоретические данные последних лет указывают на то, что куперовские пары в купратах формируются за счёт спиновых флуктуаций, которые усиливаются вблизи точки магнитного фазового перехода и обуславливают высокие значения температуры перехода в сверхпроводящее состояние [4]. Аналогия в свойствах структур (квазидвумерный характер электронных состояний) позволила предположить тот же механизм формирования высокотемпературной сверхпроводимости для открытых позднее сверхпроводников на основе пниктидов и халькогенидов железа [5, 6], что является предметом актуальных исследований [7, 8].
Рассматриваемые слоистые структуры имеют схожие фазовые диаграммы в координатах температура-допирование (Т, х), их типичный вид приведён на рис. 1. Как на диаграммах железосодержащих сверхпроводников [9], так и для купратов [10] при допировании магнитное упорядочение, представляющее собой в общем случае волну спиновой плотности (БО'), сменяется областью сверхпроводимости, причём зависимость температуры от концентрации допанта в последнем случае имеет куполообразную форму с максимумом в точке оптимального допирования. Наибольший интерес представляет интервал допирования, в котором области магнитного и сверхпроводящего порядков перекрываются или находятся в непосредственной близости друг от друга. К настоящему времени и в купратах, и в железосодержащих сверхпроводниках экспериментально обнаружено как сосуществование сверхпроводимости и соизмеримого [11, 12] или несоизмеримого [13, 14] магнитных порядков, так и расслоение на магнитную и сверхпроводящую фазы [15].
^чТл,
БО\Л/ \
БС
л;
Рис. 1. Общий вид фазовых диаграмм, построенных в переменных температура-допирование (Т, х) , характерный для высокотемпературных сверхпроводников на основе соединений железа и оксидов меди. Сплошными линиями обозначены температуры перехода Ты и Тс в SDW и сверхпроводящее состояния соответственно. Штриховкой обозначена область перекрытия обоих порядков
Традиционно для описания магнетизма и сверхпроводимости соединений на основе 3й-металлов используется модель Хаббарда [16]. С её помощью Скалапино и др. показали в рамках приближения случайных фаз, что магнитное упорядочение типа волны спиновой плотности, возникающее в связи с нестингом поверхности Ферми, приводит к возникновению условий, благоприятных для сверхпроводимости б- и й-типа, причём система оказывается чувствительной к зонной структуре и её заполнению [17, 18]. Спин-флуктуационный механизм формирования куперовских пар был изучен авторами работы [19] в пределе слабой связи модели Хаббарда при Т = 0. Построенные в работе фазовые диаграммы включают богатое разнообразие синглетных и триплетных сверхпроводящих состояний, а ^-симметрия сверхпроводящего параметра порядка остается основным состоянием вблизи половинного заполнения.
В приближении Хартри-Фока модели Хаббарда конкуренция антиферромагнетизма и сверхпроводимости с ^-симметрией параметра порядка рассматривалась в работах [20 - 22]. Было обнаружено как микроскопическое сосуществование обоих порядков [20], так и макроскопическое фазовое расслоение между ними [22]. Авторы работы [20] учитывали также б- и Б+й-симметрии волновой функции спаривания и подчеркивали, что в рассматриваемой ими модели магнитное состояние является более стабильным, чем сверхпроводимость, в силу нестинга поверхности Ферми. Сосуществование [23] и фазовое расслоение [24] между упомянутыми состояниями было показано также в рамках метода Монте-Карло и функционала ренормгруппы [22, 25]. Авторами работ [26, 27] в пределе слабой связи было обнаружено сосуществование и фазовое расслоение сверхпроводимости б-типа и антиферромагнитного (соизмеримого и несоизмеримого) упорядочения.
Несмотря на то, что исследованию взаимного влияния магнетизма и сверхпроводимости в последние десятилетия уделялось значительное внимание, до сих пор в большинстве теоретических исследований при рассмотрении конкуренции магнитного и сверхпроводящего состояний авторы ограничивались учётом б- или й-симметрии сверхпроводящего параметра порядка, а из магнитных состояний только коллинеарными или одним спиральным. В то же время на данный момент существует ряд теоретических [28 - 30] и экспериментальных [31 - 33] работ, в которых показана возможность формирования сверхпроводящих состояний со смешанной симметрией параметра порядка, например, Б+й. Условия стабилизации спиральных магнитных состояний на квадратной решётке изучались ранее в рамках приближения среднего поля модели Хаббарда авторами работы [34]. Результаты исследований показали существование большого числа спиральных магнитных структур при допировании стехиометрических соединений. Мы рассматриваем конкуренцию сверхпроводящих состояний с б-, й- и Б+й-симметриями сверхпроводящего параметра порядка и спиральных магнитных состояний с различными волновыми векторами.
ФОРМАЛИЗМ
Для изучения взаимного влияния магнитного и сверхпроводящего порядков мы рассматриваем гамильтониан Хаббарда, дополненный слагаемым, описывающим притяжение электронов, находящихся на соседних узлах, V:
Н = К + Н — V,
и = и ^ п]Лп]Л = и Т ¿¡¿с^с]^, (1)
У = Уо 1.3,3 ' = У0^3,3 ' ^¿¡¿с '¿с1Ь
где £3,3 ' - матрица интегралов электронного переноса (нами учитываются первые и вторые соседние узлы с интегралами —Ь и £ ' соответственно), с,а и с]- операторы рождения и уничтожения электронов на узле ] со спином о, и - кулоновское отталкивание одноузельных электронов, Уо - притягивающий потенциал электронов, находящихся на соседних узлах, отвечающий за формирование куперовского спаривания, д - химический потенциал, П],о = ^ас]1а - оператор числа электронов на узле ] со спином о. Для рассмотрения
спиральных магнитных состояний удобно сделать 5и(2)-поворот вокруг оси х:
' 0 1
= ооcos- . ч ,
* ^ *
где И - радиус-вектор узла ), 0 - волновой вектор магнитной спирали, п - единичный вектор, направление которого соответствует направлению магнитного момента т на узле,
А(К3) = е!(п9^ = + (2)
, ^ Т Л (3)
оо - единичная матрица, о = (ох,оу,о7') - генераторы группы Би(2) (матрицы Паули). Тогда операторы с^ преобразуются по следующему закону:
с3,а ^ Аа,а'(И^сЗ,&', с],а ^ Та' с,а'А,а,а' (И■j')'
где о - новое направление магнитного момента на узле после поворота. Выберем направление магнитного момента вдоль оси х, тогда
А(К3) = ооcos$Иl + iоxsin$Иl■ (4)
В представлении новых операторов спиральные состояния имеют вид обычного ферромагнитного порядка. Кинетическая энергия после поворота:
К = \а,а' £],]' ^^-*-с],ас]',а'°а,а' + -*-с],ас]\а'7а,а') —
(5)
Слагаемое и при повороте не меняется:
и = иТз П]АП]Л =9тз (п* — т*), (6)
где п* = Та с*-асза и т* = Та ос,ас3,а. В приближении Хартри-Фока и принимает вид:
п ,,.,9,7 9п„ + 9т „ +
и = ;-(т* —п*)+ с*,ас3,а — оCj,аCj,а' (7)
где п = {43) и т = {/13), а {...) - квантовомеханическое усреднение по основному состоянию гамильтониана.
Перед тем, как произвести операцию поворота для сверхпроводящего взаимодействия, перейдем к приближению Хартри-Фока, которое в данном случае оправдано тем, что величина притягивающего потенциала предполагается малой по сравнению с хаббардовским отталкиванием:
V = ^0 Е/,/ ' (с/^Т£:?,4<£7М£7,Т> + Ц^/А-/ '¿С/\Т - <С//ГСГ,4><£7МСУ,Т>)- (8)
+ + _ е"'ф%'% '
Вводя параметр порядка ^(сДс-!^) = А0 —*—, получим:
9 = / ' (¿о^"'^ + А0е-!1"адд) - ^ (9)
Производя преобразование поворота, и считая, что притяжение есть только между соседними узлами, а фазовый множитель фу,- ' однороден и зависит только от взаимного расположения взаимодействующих узлов И/ — И/ = 7, получим:
V = 5 [Аое!15 (с+ТС/+5' — ¿Н(с+тС/+5' 4 + С/++5, ic/|"t)sin$O) +
+А0е-^ (С+^С/д^^5 + ¿*(С/+5ДС/-Т + Су+^С/д^т^5)] —
В представлении Фурье:
К = Ек, ст, ст ' £к' Ск стСк,ст' — М Ек, ст Ск стСк, ст,
(10)
ст,ст £к = ек7ст,ст '
= £к+$+£к-|
*
= £к+§ £к-|
*
(11)
гк = —2t(cosfcx + cosfcy) + 4£'cosfcxcosfcy - закон дисперсии для квадратной решётки с учётом электронного переноса на первую £ и вторую £ ' координационную сферы,
К = Т (/* — П*) + ст С+стСк'СТ — ^рЕк, ст о^стСк, ст- (12)
Введём обозначение Ак = Н А0 Ео е!15е!к°, тогда
^ = !к [АкСк'ТС+к'4. — * Ак(скДС+к,Т — СкДС+к,!) +
+Ак Ск'ТС-к,4. — Н Ак (с-к,ТСк,Т — С-кДСМ)] — """"'
Ак+<$+\-$ " (13)
Ак =-*-'
Ак+£-Ак-2 *а _ К+2 к 2 Ак
*
Гамильтониан (1), таким образом, можно выразить в матричной форме:
/Ск,т \
К = Ек * (ск,Т С-М Ск,Т С-к,-0#к
С+
СкД ]Ск,Т /
+ ; (14)
Ни
(е+ ' + Дт -л£ е+к Д£
-Д+* -(ек) + Дт -ли* е£
ек -Д£ еи'- Д= Дк
]Дк* ек: Дк* -(ек)- Дт)
(15)
, : . ип . ит .. и , * , „.Дп , ,,,ип _ где ек ' = е+ - д +--, Дт =--и — = N — (т* - п*) + N--+ Ы(--д). Гамильтониан
* * : Уо *
(14) можно привести к диагональному виду, перейдя к новым Ферми-операторам у+
4 = ук+Тк, ск = Ткук,
с
+ — V Т* -.,+
к,1
Ты тй,Ц'у1г (16)
ск,1 = Тк,1' ТкЛлУкЛ' Тогда выражение (14) примет вид:
Н = нТк с+Нкск + ;о = НТк Ук+Тк+НкТкУк + ;о = НТк у+ЕКаУк +—о =
х * * * + (17)
= *Тк [ЕкдУкдУкд + Ек1*Ук*У+* + Е+ЗУ+ЗУ+З + Ек,:Ук,:У1:] +
где Т+ является диагонализующей матрицей, составленной из собственных векторов матрицы и+. Энергетический спектр можно найти аналитически:
Е+,а = ±те+'* + е:* + Д2т + Д+* + Дк* ± 'ек + Д+Дк)2 + ДтОк" + ДГ). (18)
Операторы у+,1 удовлетворяют антикоммутационным соотношениям \ук, }= ¿"кк,, поэтому
Н =*Т+ (Е+,* + Ец,:) +*Тк [ЕклУк+нУкл - Е+*У+*Ук,* + Е+зу+зУ+з - Е^У^Укл] + Nо■ (19)
При Т = 0 квазичастичные возбуждения в системе отсутствуют и {Уц+Ук) = 0. Тогда полная энергия системы:
Е = тТк (Ек ,* + Ек,4) + ;о. (20)
Для определения основного состояния модели необходимо самосогласованно решить систему уравнений относительно п, т и До при фиксированном д:
пТ = ТТк {скТск,Т) = ТТк,М' {Тk'l'lуk'lук'l'ТкXl) = ТТк ^Гк,!,* + Тк,1,:)
п\ = тТ+ (Т3* + Тк,З,:)
п = пТ +Щ т = пТ -щ
(21)
_ Уо^ * 1 *
Ло = 2Уо{с+3,1с]А)е 11 = {Л+ (с^с^т) - 2Ак (с_к,тск,т - с_мсм)) =
к2
_Уо \ ' Гля^т1* т I т* т Л 1 \к*(т* Т _1_ т* т т* т т* т Л
= — \Лк (^к,*,*1^,* + ^к^А^кл:) 2Л+ (1кА,*1кХ* + 1к,:,:1кх: lk'*'*lk'З'* lk'*filk'З':)
Уо
к
*,*ткх* + 1к,*,:Ткх:) - 2Лк (1к,:,*1кх* + 1к,:,:1кх: - 1к,*,*1к,З,* - 1к,*,:1к,ЗА)
к
(22)
Сравнивая полную энергию различных магнитных и сверхпроводящих состояний при фиксированных параметрах и, Уо, п, можно определить основное состояние модели и построить фазовые диаграммы.
РЕЗУЛЬТАТЫ
Фазовые диаграммы основного состояния модели были построены в переменных сверхпроводящего притяжения электронов V0/t и концентрации электронов п. Значение кулоновского отталкивания считалось зафиксированным и принималось равным и = и и = 6^ что соответствует характерным значениям данного параметра для сверхпроводящих купратов [35]. Интеграл электронного переноса на вторых по близости соседей принимался равным ? = 0,2^ что соответствует экспериментальным данным для купратов [36]. Для построения фазовых диаграмм основное состояние системы определялось на сетке параметров д и ^Д, при этом скачки концентрации, происходящие при варьировании д, свидетельствуют о наличии фазовых переходов первого рода, которые сопровождаются в общем случае фазовым расслоением. Двумерные интегралы по зоне Бриллюэна квадратной решётки вычислялись на адаптивной сетке с разбиением 400 х 400 точек в к-пространстве. Для интегрирования использовался метод треугольников, описанный в работе [37].
На рис. 2 представлена фазовая диаграмма модели для и = 4^ Сверхпроводимость реализуется во всём рассматриваемом диапазоне параметров, что согласуется с классическим результатом Купера, который показал, что в присутствии бесконечно малого притягивающего взаимодействия система является нестабильной по отношению к образованию куперовских пар [38]. Единственным исключением является линия половинного заполнения, так как в этом случае уровень Ферми лежит внутри энергетической магнитной щели, и система становится диэлектриком. Для краткости все типы симметрии сверхпроводящего параметра порядка (5, { и 5 + +{) на фазовой диаграмме объединены в одну область. Ранее было получено, что сверхпроводимость я-типа реализуется при малых концентрациях носителей заряда, а при приближении к половинному заполнению (п = 1) она сменяется сверхпроводимостью {-типа, причем переход происходит через промежуточную область смешанной симметрии я + ¿{ [39, 40]. Для исследуемых в данной работе параметров переход между сверхпроводящими и магнитными состояниями происходит в области {-сверхпроводимости, поэтому на диаграммах симметрия сверхпроводящей щели не указывается, но подразумевается, что в области сосуществования магнетизма и сверхпроводимости реализуется {-симметрия.
Рис. 2. Фазовая диаграмма сверхпроводящих и спиральных магнитных состояний двумерной модели Хаббарда в переменных спаривающего потенциала !0/( и заполнения зоны п для € = {'/{ = 0,2. Толстыми линиями обозначены границы фазовых переходов второго рода, тонкими — первого рода. Заштрихованные области соответствуют фазовому расслоению. Символом «8С» обозначено сверхпроводящее состояние й-типа, символом «+» — сосуществование магнитного и сверхпроводящего порядков, в скобках указаны проекции волнового вектора магнитной спирали
Для и = 4£ в модели Хаббарда характерно наличие спирального и антиферромагнитного упорядочения по обе стороны от половинного заполнения. Включение притягивающего взаимодействия приводит к тому, что магнитное упорядочение начинает сосуществовать со сверхпроводящим. При п < 1 чистый сверхпроводник при увеличении п переходит в спиральное магнитное состояние я), сосуществующее со сверхпроводящим. Фазовый переход является переходом первого рода. При приближении к п = 1 происходит еще один фазовый переход первого рода в чистое диэлектрическое антиферромагнитное состояние, сопровождающийся широкой областью фазового расслоения. При увеличении У0/£ область спирального я) состояния сужается, то есть можно сказать, что сверхпроводящий порядок постепенно подавляет магнитный. При К0/£ > 2,3 вблизи п = 1 появляется область металлического антиферромагнетика, сосуществующего со сверхпроводником.
При п > 1 область сосуществования металлического антиферромагнетика со сверхпроводником обнаружена для всех исследованных значений К0/£, причем ширина этой области остается практически постоянной при изменении К0/£. При увеличении п происходит фазовый переход первого рода в спиральное состояние я),сосуществующее со сверхпроводником. Данная фаза в свою очередь переходит в чистый сверхпроводник, причем переход является непрерывным, то есть второго рода.
При и = б£ области магнитных состояний на фазовой диаграмме (рис. 3) увеличиваются по сравнению с и = 4£, что согласуется с ранее полученными результатами [41]. При этом все магнитные фазы сосуществуют со сверхпроводимостью кроме диэлектрического антиферромагнетика при п = 1. Области чистой сверхпроводимости сужаются. Растет разнообразие спиральных магнитных состояний. Помимо антиферромагнитной и я) фаз в дырочной (п < 1) половине диаграммы реализуются (0, (0, я) и упорядочения.
При этом переходы из парамагнитной в (0, фазу, а также все переходы между различными спиральными и антиферромагнитным состояниями являются фазовыми переходами первого рода. Исключением является переход из (0, я) в я) фазу, который является переходом второго рода, и сопровождается непрерывным изменением магнитного момента и амплитуды сверхпроводящей щели. В электронной (п > 1) половине диаграммы при больших значениях параметра К0/£ появляется область фазы.
Рис. 3. Фазовая диаграмма сверхпроводящих и спиральных магнитных состояний двумерной модели Хаббарда в переменных спаривающего потенциала !0/( и заполнения зоны п для € = {'/{ = 0,2.
Индекс «8С» опущен для всех магнитных областей
Для иллюстрации поведения магнитного момента т и амплитуды сверхпроводящей щели Д0 построен рис. 4, соответствующий и = 4£, У0 = 1,5£ и £' = 0,2£. При малой концентрации электронов основным состоянием является сверхпроводник я-типа. Параметр порядка ведет себя немонотонно с максимумом при п « 0,16. При п « 0,4 происходит переход в сверхпроводник {-типа через промежуточное состояние со смешанной симметрией параметра порядка я + ¿{. При п « 0,44 скачком появляется локальный магнитный момент с амплитудой т ~ 0,1 и, начиная с этого момента, сверхпроводящий и магнитный порядки начинают сосуществовать. В области сосуществования величина как момента, так и амплитуды сверхпроводящего параметра порядка, меньше по сравнению с чистыми магнитными и сверхпроводящими состояниями, параметры порядка которых изображены на рисунке штриховыми линиями. Таким образом, сверхпроводимость и спиральная намагниченность оказывают взаимоподавляющее воздействие друг на друга.
П
Рис. 4. Зависимость магнитного т (сплошные линии) и сверхпроводящего Д0 (штриховые линии) параметров порядка от концентрации электронов п для € = 10 = 1,и V = 0, Обозначения й и " + ¿й соответствуют симметрии сверхпроводящего параметра порядка в данной области. Штриховкой обозначена область фазового расслоения Р8. Магнитному порядку соответствуют обозначения АР (антиферромагнитное) и (—, —) (спиральное). Вертикальные тонкие чёрные линии обозначают границы фазовых переходов. Тонкими линиями изображены зависимости параметров порядка в чистой магнитной и сверхпроводящей системах. Символ «+» означает сосуществование порядков
При п « 0,86 происходит фазовый переход первого рода в диэлектрическое антиферромагнитное состояние, сопровождающийся широкой областью фазового расслоения 0,86 < п < 1. В области расслоения, таким образом, реализуется сложное сочетание различных порядков: часть системы является антиферромагнетиком и при этом не проводит ток, а другая часть имеет спиральный магнитный порядок и при этом является сверхпроводником. Переход из сверхпроводящего в диэлектрическое состояние очевидно имеет перколяционную природу: проводимость пропадает при той концентрации, при которой спиральные магнитные кластеры перестают быть взаимосвязанными. В простых моделях такой переход происходит в точке, в которой доля диэлектрических кластеров равна 1/3, что соотвествует концентрации электронов « 0,95 [42].
Амплитуда сверхпроводящей щели Д0 ведет себя немонотонно в области сосуществования. Она растет вплоть до Д0ЯХ ~ 0,17£ при п « 0,7, а затем начинает убывать. Таким образом, в рамках простой модели удается воспроизвести куполообразную форму
зависимости амплитуды сверхпроводящей щели от концентрации, характерную для соединений, демонстрирующих высокотемпературную сверхпроводимость [9, 10]. Традиционно принято считать, что куполообразная форма связана с немонотонным поведением величины спаривающего взаимодействия, которое определяется природой куперовского спаривания [4]. Так как в нашей работе не затрагивается вопрос природы притяжения, а его сила считается не зависящей от концентрации, мы показываем, что куполообразная форма может быть объяснена также взаимным влиянием сверхпроводящего и магнитного порядков.
Работа выполнена в рамках темы НИР УдмФИЦ УрО РАН «Теоретические исследования электронных, магнитных, решеточных и транспортных свойств слоистых систем и наноструктурированных систем» АААА-А17-117022250041-7, темы УрО РАН 182-2-12 «Несоизмеримые магнитные структуры и фазовое расслоение в слоистых системах на основе переходных металлов» и регионального проекта РФФИ 16-42-180516 «Взаимное влияние, сосуществование и фазовое расслоение несоизмеримых спиральных спиновых структур и сверхпроводимости».
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ginzburg V. L. Ferromagnetic superconductors // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1957. Т. 31, № 2. С. 202-217. URL: http://www.jetp.ac.ru/cgi-bin/dn/e_004_02_0153.pdf (дата обращения 12.03.2018).
2. Berk N. F., Schrieffer J. R. Effect of Ferromagnetic Spin Correlations on Superconductivity // Physical Review Letters, 1966, vol. 17, iss. 8, pp. 433-435.
3. Bednorz J. G., Müller K. A. Possible high- superconductivity in the Ba-La-Cu-O system // Zeitschrift für Physik B Condensed Matter, 1986, vol. 64, iss. 2, pp. 189-193.
4. Изюмов Ю. А. Спин-флуктуационный механизм высокотемпературной сверхпроводимости и симметрия параметра порядка // Успехи физических наук. 1999. Т. 169, № 3. С. 225-254. https://doi.org/10.3367/UFNr.0169.199903a.0225
5. Kamihara Y., Watanabe T., Hirano M., Hosono H. Iron-based layered superconductor La[O1-xFx]FeAs (x = 0.05-0.12) with Tc = 26 K // Journal of the American Chemical Society, 2008, vol. 130, iss. 11, pp. 3296-3297.
6. Mizuguchi Y., Tomioka F., Tsuda Sh., Yamaguchi T., Takano Y. Superconductivity at 27 K in tetragonal FeSe under high pressure // Applied Physics Letters, 2008, vol. 93, iss. 15, p. 152505.
7. Drew A. J., Pratt F. L., Lancaster T., Blundell S. J., Baker P. J., Liu R. H., Wu G., Chen X. H., Watanabe I., Malik V. K., Dubroka A., Kim K. W., Rossle M., Bernhard C. Coexistence of magnetic fluctuations and superconductivity in the pnictide high temperature superconductor SmFeAsO1-xFx measured by muon spin rotation // Physical Review Letters, 2008, vol. 101, iss. 9, p. 097010.
8. Shun-Li Y., Jian-Xin L. Spin fluctuations and unconventional superconducting pairing in iron-based superconductors // Chinese Physics B, 2013, vol. 22, iss. 8, p. 087411.
9. Hosono H., Yamamoto A., Hiramatsu H., Ma Y. Recent advances in iron-based superconductors toward applications // Materials today, 2017, vol. 20, iss. 3, pp. 278-302.
10. Armitage N. P., Fournier P., Greene R. L. Progress and perspectives on electron-doped cuprates // Reviews of Modern Physics, 2010, vol. 82, iss. 3, p. 2421.
11. Sidis Y., Ulrich C., Bourges P., Bernhard C., Niedermayer C., Regnault L. P., Andersen N. H., Keimer B. Antiferromagnetic ordering in superconducting YBa2Cu3O6.5 // Physical Review Letters, 2001, vol. 86, iss. 18, p. 4100.
12. Yu W., Higgins J. S., Bach P., Greene R. L. Transport evidence of a magnetic quantum phase transition in electron-doped high-temperature superconductors // Physical Review B, 2007, vol. 76, iss. 2, p. 020503(R).
13. Lee Y. S., Birgeneau R. J., Kastner M. A., Endoh Y., Wakimoto S., Yamada K., Erwin R. W., Lee S.-H., Shirane G. Neutron-scattering study of spin-density wave order in the superconducting state of excess-oxygen-doped La2CuO4+r // Physical Review B, 1999, vol. 60, iss. 5, p. 3643.
14. Miller R. I., Kiefl R. F., Brewer J. H., Callaghan F. D., Sonier J. E., Liang R., Bonn D. A., Hardy W. Coexistence of magnetism and superconductivity in ultraclean underdoped YBa2Cu3O6,37 // Physical Review B, 2006, vol. 73, iss. 4, p. 144509.
15. Takeshita S., Kadono R. Competition/coexistence of magnetism and superconductivity in iron pnictides probed by muon spin rotation // New Journal of Physics, 2009, vol. 11, p. 035006.
16. Hubbard J. Electron correlations in narrow energy bands // Proceedings of the Royal Society A, 1963, vol. 276, iss. 1365, pp. 238-257.
17. Scalapino D. J., E. Loh, Jr., Hirsch J. E. d-wave pairing near a spin-density-wave instability // Physical Review B, 1986, vol. 34, iss. 11, p. 8190.
18. Scalapino D. J., E. Loh, Jr., Hirsch J. E. Fermi-surface instabilities and superconducting d-wave pairing // Physical Review B, 1987, vol. 35, iss. 13, p. 6694.
19. R0mer A. T., Kreisel A., Eremin I., Malakhov M. A., Maier T. A., Hirschfeld P. J., Andersen B. M. Pairing symmetry of the one-band Hubbard model in the paramagnetic weak-coupling limit: A numerical RPA study // Physical Review B, 2015, vol. 92, iss. 10, p. 104505.
20. Ghosh H., Sil S., Behera S. N. Interplay of spin density wave and superconductivity with different pairing symmetry // Physica C: Superconductivity and its Applications, 1999, vol. 316, iss. 1-2, pp. 34-44.
21. Nazario Z, Santiago D. I. Coexistence of spin-density wave and d-wave superconducting order parameter // Physical Review B, 2004, vol. 70, iss. 14, p. 144513.
22. Reiss J., Rohe D., Metzner W. Renormalized mean-field analysis of antiferromagnetism and d-wave superconductivity in the two-dimensional Hubbard model // Physical Review B, 2007, vol. 75, iss. 7, p. 075110.
23. Kobayashi K, Yokoyama H. Superconductivity and antiferromagnetism in the phase diagram of the frustrated Hubbard model within a variational study // Physica C: Superconductivity and its Applications, 2010, vol. 470, iss. 20, pp. 1081-1084.
24. Yokoyama H., Ogata M., Tanaka Y., Kobayashi K., Tsuchiura H. Crossover between BCS Superconductor and Doped Mott Insulator of d-Wave Pairing State in Two-Dimensional Hubbard Model // Journal of the Physical Society of Japan, 2013, vol. 82, iss. 1, p. 014707.
25. Yamase H., Eberlein A., Metzner W. Coexistence of Incommensurate Magnetism and Superconductivity in the Two-Dimensional Hubbard Model // Physical Review Letters, 2016, vol. 116, iss. 9, p. 096402.
26. Vorontsov A. B., Vavilov M. G., Chubukov A. V. Interplay between magnetism and superconductivity in the iron pnictides // Physical Review B, 2009, vol. 79, iss. 6, p. 060508(R).
27. Fernandes R. M., Pratt D. K., Tian W., Zarestky J., Kreyssig A., Nandi S., Kim M. G., Thaler A., Ni N., Canfield P. C., McQueeney R. J., Schmalian J., Goldman A. I. Unconventional pairing in the iron arsenide superconductors // Physical Review B, 2010, vol. 81, iss. 14, p. 140501.
28. Micnas R., Mickiewicz A., Ranninger J, Robaszkiewicz S. Superconductivity in narrow-band systems with local nonretarded attarctive interactions // Reviews of Modern Physics, 1990, vol. 62, iss. 1, pp. 113-171.
29. Kuboki K. Effect of band structure on the symmetry of superconducting states // Journal of the Physical Society of Japan, 2001, vol. 70, iss. 9, pp. 2698-2702.
30. Lee W.-C., Zhang S.-C., Wu C. Pairing state with a time-reversal symmetry breaking in FeAs-based superconductors // Physical Review Letters, 2009, vol. 102, iss. 21, p. 217002.
31. Kohen A., Leibovitch G., Deutscher G. Andreev Reflections on Yi-xCaxBa2Cu3O7-S: Evidence for an Unusual Proximity Effect // Physical Review Letters, 2003, vol. 90, iss. 20, p. 207005.
32. Akimenko A. I., Bobba F., Giubileo F., Gudimenko V. A., Scarfato A., Cucolo A. M. Evidence of s -wave subdominant order parameter in YBa2Cu3O7-S from break junction tunneling spectra // Low Temperature Physics, 2010, vol. 36, iss. 2, p. 167.
33. Das T., Markiewicz R. S., Bansil A. Competing order scenario of two-gap behavior in hole-doped cuprates // Physical Review B, 2008, vol. 77, iss. 13, p. 134516.
34. Igoshev P. A., Timirgazin M. A., Katanin A. A., Arzhnikov A. K., Irkhin V. Yu. Incommensurate magnetic order and phase separation in two-dimensional Hubbard model with nearest- and next-nearest-neighbor hopping // Physical Review B, 2010, vol. 81, iss. 9, p. 094407.
35. Кучинский Э. З., Некрасов И. А., Садовский М. В. Обобщённая теория динамического среднего поля в физике сильнокоррелированных систем // Успехи физических наук. 2012. Т. 182, № 4. С. 345-378. https://doi.org/10.3367/UFNr.0182.201204a.0345
36. Hybertsen M. S., Stechel E. B., Foulkes W. M. C., Schlüter M. Model for low-energy electronic states probed by x-ray absorption in high-Tc cuprates // Physical Review B, 1992, vol. 45, iss. 17, p. 10032.
37. Kurganskii S. I., Dubrovskii O. I., Domashevskaya E. P. Integration over the two-dimensional brillouin zone // Physica Status Solidi (B), 1985, vol. 129, iss. 1, pp. 293-299.
38. Cooper L. N. Bound Electron Pairs in a Degenerate Fermi Gas // Physical Review, 1956, vol. 104, iss. 4, p. 1189.
39. Гильмутдинов В. Ф., Тимиргазин М. А., Аржников А. К. Симметрия сверхпроводящего параметра порядка в t -t' однозонной модели на квадратной решётке // Химическая физика и мезоскопия. 2016. T. 18, № 3. С. 412-420.
40. Гильмутдинов В. Ф., Тимиргазин М. А., Аржников А. К. Зависимость симметрии сверхпроводящего параметра порядка от температуры и интеграла электронного переноса // Химическая физика и мезоскопия. 2017. T. 19, № 4. С. 547-558.
41. Igoshev P. A., Irkhin V. Yu., Timirgazin M. A., Gilmutdinov V. F., Arzhnikov A. K. Spiral magnetism in the single-band Hubbard model: the Hartree-Fock and slave-boson approaches // Journal of Physics: Condensed Matter, 2015, vol. 27, iss. 44, p. 446002.
42. Шкловский Б. И., Эфрос А. Л. Электронные свойства легированных полупроводников. М.: Наука, 1979. 416 c.
COEXISTENCE OF MAGNETISM AND SUPERCONDUCTIVITY IN HIGH-TEMPERATURE SUPERCONDUCTORS
Gilmutdinov V. F., Timirgazin M. A., Arzhnikov A. K.
Udmurt Federal Research Center, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Izhevsk, Russia
SUMMARY. Since the mid-60s of the last century and for a long time it was believed that magnetism suppresses superconductivity. However, after the discovery of the phenomenon of high-temperature superconductivity in 1986, it became clear that magnetism plays an important role in the formation of the superconducting order in iron pnictides and copper oxides. Nowadays a lot of materials in which either microscopic coexistence or macroscopic phase separation between these states is realized has been experimentally discovered. Despite the obvious importance of this phenomenon for understanding the nature of superconductivity and its relationship with magnetism, a theory that would include both the coexistence and the phase separation of magnetic and superconducting orders with different symmetries of the order parameter has not been constructed yet. We consider a single-band extended t-t' Hubbard model, which includes the on-site repulsion U and the nearest neighbor attraction V0 on the square lattice to describe the competition between magnetic and superconducting orders. The Hartree-Fock approximation is used. An advantage of our approach is the account of the widest possible range of superconducting and magnetic states. We take into consideration not only the traditional s- and d-wave symmetries of the superconducting order parameter, but the mixed s+id symmetry as well, which is proposed in the literature for the interpretation of some experimental data. The magnetic order is considered in the form of incommensurate spiral spin structure with an arbitrary wave vector, while the ferro- and antiferromagnetic phases are particular cases of the spiral state. We calculate the ground state phase diagrams in terms of interaction parameters U and V0 and an electron density n. It is found that at certain parameters both the separation and coexistence between superconducting and magnetic phases with different symmetries can be realized. The interplay between superconductivity and magnetism allows to reproduce the dome-shaped doping dependence of the superconducting gap amplitude. The boundaries of phase transitions between different phases are calculated.
KEYWORDS: Hubbard model, Hartree-Fock approximation, mixed order parameter symmetry, spiral magnetism, coexistence, phase separation.
REFERENCES
1. Ginzburg V. L. Ferromagnetic superconductors. Journal of Experimental and Theoretical Physics, 1957, vol. 4, iss. 2, pp. 153-160. URL: http://www.jetp.ac.ru/cgi-bin/dn/e_004_02_0153.pdf (accessed March 12, 2018).
2. Berk N. F., Schrieffer J. R. Effect of Ferromagnetic Spin Correlations on Superconductivity. Physical Review Letters, 1966, vol. 17, iss. 8, pp. 433-435. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.17.433
3. Bednorz J. G., Müller K. A. Possible high-Tc superconductivity in the Ba-La-Cu-O system. Zeitschrift für Physik B Condensed Matter, 1986, vol. 64, iss. 2, pp. 189-193. https://doi.org/10.1007/BF01303701
4. Izyumov Yu. A. Spin-fluctuation mechanism of high-Tc superconductivity and order-parameter symmetry. Physics-Uspekhi, 1999, vol. 42, no. 3, pp. 215-243. https://doi.org/10.1070/PU1999v042n03ABEH000473
5. Kamihara Y., Watanabe T., Hirano M., Hosono H. Iron-based layered superconductor La[O1-xFx]FeAs (x = 0.05-0.12) with Tc = 26 K. Journal of the American Chemical Society, 2008, vol. 130, iss. 11, pp. 3296-3297. https://doi.org/10.1021/ja800073m
6. Mizuguchi Y., Tomioka F., Tsuda S., Yamaguchi T., Takano Y. Superconductivity at 27K in tetragonal FeSe under high pressure. Applied Physics Letters, 2008, vol. 93, iss. 15, p. 152505. https://doi.org/10.1063/L3000616
7. Drew A. J., Pratt F. L., Lancaster T., Blundell S. J., Baker P. J., Liu R. H., Wu G., Chen X. H., Watanabe I., Malik V. K., Dubroka A., Kim K. W., Rossle M., Bernhard C. Coexistence of magnetic fluctuations and superconductivity in the pnictide high temperature superconductor SmFeAsO1-xFx measured by muon spin rotation. Physical Review Letters, 2008, vol. 101, iss. 9, p. 097010. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.101.097010
8. Shun-Li Y., Jian-Xin L. Spin fluctuations and unconventional superconducting pairing in iron-based superconductors. Chinese Physics B, 2013, vol. 22, iss. 8, p. 087411. https://doi.org/10.1088/1674-1056/22/8/087411
9. Hosono H., Yamamoto A., Hiramatsu H., Ma Y. Recent advances in iron-based superconductors toward applications. Materials today, 2017, vol. 20, iss. 3, pp. 278-302. https://doi.org/10.1016/j.mattod.2017.09.006
10. Armitage N. P., Fournier P., Greene R. L. Progress and perspectives on electron-doped cuprates. Reviews of Modern Physics, 2010, vol. 82, iss. 3, p. 2421. https://doi.org/10.1103/RevModPhys.82.2421
11. Sidis Y., Ulrich C., Bourges P., Bernhard C., Niedermayer C., Regnault L. P., Andersen N. H., Keimer B. Antiferromagnetic ordering in superconducting YBa2Cu3O6.5. Physical Review Letters, 2001, vol. 86, iss. 18, p. 4100. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.86.4100
12. Yu W., Higgins J. S., Bach P., Greene R. L. Transport evidence of a magnetic quantum phase transition in electron-doped high-temperature superconductors. Physical Review B, 2007, vol. 76, iss. 2, p. 020503(R). https://doi.org/10.1103/PhysRevB.76.020503
13. Lee Y. S., Birgeneau R. J., Kastner M. A., Endoh Y., Wakimoto S., Yamada K., Erwin R. W., Lee S.-H., Shirane G. Neutron-scattering study of spin-density wave order in the superconducting state of excess-oxygen-doped La2CuO4+y. Physical Review B, 1999, vol. 60, iss. 5, p. 3643. https://doi.org/10.1103/PhysRevB.60.3643
14. Miller R. I., Kiefl R. F., Brewer J. H., Callaghan F. D., Sonier J. E., Liang R., Bonn D. A., Hardy W. Coexistence of magnetism and superconductivity in ultraclean underdoped YBa2Cu3O6,37. Physical Review B, 2006, vol. 73, iss. 4, p. 144509. https://doi.org/10.1103/PhysRevB.73.144509
15. Takeshita S., Kadono R. Competition/coexistence of magnetism and superconductivity in iron pnictides probed by muon spin rotation. New Journal of Physics, 2009, vol. 11, p. 035006. https://doi.org/10.1088/1367-2630/11/3/035006
16. Hubbard J. Electron correlations in narrow energy bands. Proceedings of the Royal Society A, 1963, vol. 276, iss. 1365, pp. 238-257. https://doi.org/10.1098/rspa.1963.0204
17. Scalapino D. J., E. Loh, Jr., Hirsch J. E. d-wave pairing near a spin-density-wave instability. Physical Review B, 1986, vol. 34, iss. 11, p. 8190. https://doi.org/10.1103/PhysRevB.34.8190
18. Scalapino D. J., E. Loh, Jr., Hirsch J. E. Fermi-surface instabilities and superconducting d-wave pairing. Physical Review B, 1987, vol. 35, iss. 13, p. 6694. https://doi.org/10.1103/PhysRevB.35.6694
19. R0mer A. T., Kreisel A., Eremin I., Malakhov M. A., Maier T. A., Hirschfeld P. J., Andersen B. M. Pairing symmetry of the one-band Hubbard model in the paramagnetic weak-coupling limit: A numerical RPA study. Physical Review B, 2015, vol. 92, iss. 10, p. 104505. https://doi.org/10.1103/PhysRevB.92.104505
20. Ghosh H., Sil S., Behera S. N. Interplay of spin density wave and superconductivity with different pairing symmetry. Physica C: Superconductivity and its Applications, 1999, vol. 316, iss. 1-2, pp. 34-44. https://doi.org/10.1016/S0921-4534(99)00230-0
21. Nazario Z, Santiago D. I. Coexistence of spin-density wave and d-wave superconducting order parameter. Physical Review B, 2004, vol. 70, iss. 14, p. 144513. https://doi.org/10.1103/PhysRevB.70.144513
22. Reiss J., Rohe D., Metzner W. Renormalized mean-field analysis of antiferromagnetism and d-wave superconductivity in the two-dimensional Hubbard model. Physical Review B, 2007, vol. 75, iss. 7, p. 075110. https://doi.org/10.1103/PhysRevB.75.075110
23. Kobayashi K, Yokoyama H. Superconductivity and antiferromagnetism in the phase diagram of the frustrated Hubbard model within a variational study. Physica C: Superconductivity and its Applications, 2010, vol. 470, iss. 20, pp. 1081-1084. https://doi.org/10.1016/j.physc.2010.05.041
24. Yokoyama H., Ogata M., Tanaka Y., Kobayashi K., Tsuchiura H. Crossover between BCS Superconductor and Doped Mott Insulator of d-Wave Pairing State in Two-Dimensional Hubbard Model. Journal of the Physical Society of Japan, 2013, vol. 82, iss. 1, p. 014707. https://doi.org/10.7566/JPSJ.82.014707
25. Yamase H., Eberlein A., Metzner W. Coexistence of Incommensurate Magnetism and Superconductivity in the Two-Dimensional Hubbard Model. Physical Review Letters, 2016, vol. 116, iss. 9, p. 096402. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett. 116.096402
26. Vorontsov A. B., Vavilov M. G., Chubukov A. V. Interplay between magnetism and superconductivity in the iron pnictides. Physical Review B, 2009, vol. 79, iss. 6, p. 060508(R). https://doi.org/10.1103/PhysRevB.79.060508
27. Fernandes R. M., Pratt D. K., Tian W., Zarestky J., Kreyssig A., Nandi S., Kim M. G., Thaler A., Ni N., Canfield P. C., McQueeney R. J., Schmalian J., Goldman A. I. Unconventional pairing in the iron arsenide superconductors. Physical Review B, 2010, vol. 81, iss. 14, p. 140501. https://doi.org/10.1103/PhysRevB.81.140501
28. Micnas R., Mickiewicz A., Ranninger J, Robaszkiewicz S. Superconductivity in narrow-band systems with local nonretarded attarctive interactions. Reviews of Modern Physics, 1990, vol. 62, iss. 1, pp. 113-171. https://doi.org/10.1103/RevModPhys.62.113
29. Kuboki K. Effect of band structure on the symmetry of superconducting states. Journal of the Physical Society of Japan, 2001, vol. 70, iss. 9, pp. 2698-2702. https://doi.org/10.1143/JPSJ.70.2698
30. Lee W.-C., Zhang S.-C., Wu C. Pairing state with a time-reversal symmetry breaking in FeAs-based superconductors. Physical Review Letters, 2009, vol. 102, iss. 21, p. 217002. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett. 102.217002
31. Kohen A., Leibovitch G., Deutscher G. Andreev Reflections on Y1_xCaxBa2Cu3O7-s: Evidence for an Unusual Proximity Effect. Physical Review Letters, 2003, vol. 90, iss. 20, p. 207005. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.90.207005
32. Akimenko A. I., Bobba F., Giubileo F., Gudimenko V. A., Scarfato A., Cucolo A. M. Evidence of s -wave subdominant order parameter in YBa2Cu3O7-s from break junction tunneling spectra. Low Temperature Physics, 2010, vol. 36, iss. 2, p. 167. https://doi.org/10.1063/L3319499
33. Das T., Markiewicz R. S., Bansil A. Competing order scenario of two-gap behavior in hole-doped cuprates. Physical Review B, 2008, vol. 77, iss. 13, p. 134516. https://doi.org/10.1103/PhysRevB.77.134516
34. Igoshev P. A., Timirgazin M. A., Katanin A. A., Arzhnikov A. K., Irkhin V. Yu. Incommensurate magnetic order and phase separation in two-dimensional Hubbard model with nearest- and next-nearest-neighbor hopping. Physical Review B, 2010, vol. 81, iss. 9, p. 094407. https://doi.org/10.1103/PhysRevB. 81.094407
35. Kuchinskii E. Z., Nekrasov I. A., Sadovskii M. V. Generalized dynamical mean-field theory in the physics of strongly correlated systems. Physics-Uspekhi, 2012, vol. 55, no. 4, pp. 325-355. https://doi.org/10.3367/UFNe.0182.201204a.0345
36. Hybertsen M. S., Stechel E. B., Foulkes W. M. C., Schlüter M. Model for low-energy electronic states probed by x-ray absorption in high-Tc cuprates. Physical Review B, 1992, vol. 45, iss. 17, p. 10032. https://doi.org/10.1103/PhysRevB.45.10032
37. Kurganskii S. I., Dubrovskii O. I., Domashevskaya E. P. Integration over the two-dimensional brillouin zone. Physica Status Solidi (B), 1985, vol. 129, iss. 1, pp. 293-299. https://doi.org/10.1002/pssb.2221290129
38. Cooper L. N. Bound Electron Pairs in a Degenerate Fermi Gas. Physical Review, 1956, vol. 104, iss. 4, p. 1189. https://doi.org/10.1103/PhysRev.104.1189
39. Gil'mutdinov V. F., Timirgazin M. A., Arzhnikov A. K. Simmetriya sverkhprovodyashhego parametra poryadka v t - t' odnozonnoj modeli na kvadratnoj reshyotke [The symmetry of the superconducting order parameter within the t - t' one-band model on the square lattice]. Khimicheskaya fizika i mezoskopiya [Chemical Physics and Mesoscopy], 2016, vol. 18, no. 3, pp. 412-420.
40. Gil'mutdinov V. F., Timirgazin M. A., Arzhnikov A. K. Zavisimost' simmetrii sverkhprovodyashhego parametra poryadka ot temperatury i integrala ehlektronnogo perenosa [Relationship between superconducting order parameter symmetry, temperature and next-nearest neighbor hopping]. Khimicheskaya fizika i mezoskopiya [Chemical Physics and Mesoscopy], 2017, vol. 19, no. 4, pp. 547-558.
41. Igoshev P. A., Irkhin V. Yu., Timirgazin M. A., Gilmutdinov V. F., Arzhnikov A. K. Spiral magnetism in the single-band Hubbard model: the Hartree-Fock and slave-boson approaches. Journal of Physics: Condensed Matter, 2015, vol. 27, iss. 44, p. 446002. https://doi.org/10.1088/0953-8984/27/44/446002
42. Shklovskiy B. I., Efros A. L. Elektronnye svoystva legirovannykh poluprovodnikov [ Electronic properties of doped semiconductors]. Moscow: Nauka Publ., 1979. 416 p.
Гильмутдинов Виталий Фаатович, аспирант ОТФ, Физико-технический институт УдмФИЦ УрО РАН, тел. (3412)218988, e-mail: [email protected]
Тимиргазин Марат Аликович, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник ОТФ, Физико-технический институт УдмФИЦ УрО РАН, e-mail: [email protected]
Аржников Анатолий Константинович, доктор физико-матеметических наук, доцент, главный научный сотрудник ОТФ, Физико-технический институт УдмФИЦ УрО РАН, тел. (3412)216977, e-mail: [email protected]
