CC BY
20
УДК 538.945.7
симметрия сверхпроводящего параметра порядка
в г - г' однозонной модели на квадратной решетке
ГИЛЬМУТДИНОВ В. Ф., ТИМИРГАЗИН М. А., АРЖНИКОВ А. К.
Физико-технический институт Уральского отделения РАН, 426000, г. Ижевск, ул. Кирова, 132
АННОТАЦИЯ. Изучается конкуренция синглетных сверхпроводящих состояний с расширенной 5- и Асимметриями параметра порядка в рамках приближения Хартри-Фока двумерной модели, учитывающей притяжение электронов, находящихся на соседних узлах. Построена фазовая диаграмма модели в переменных t'Н и п. Показано, что в широкой области параметров модели формируются оба сверхпроводящих состояния, а также промежуточная фаза э+гё.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: высокотемпературная сверхпроводимость, приближение среднего поля.
введение
С момента открытия высокотемпературной сверхпроводимости в допированных купратах [1] накоплено большое количество результатов теоретических и экспериментальных исследований (см., например, обзоры [2, 3]). Несмотря на ряд очевидных успехов в исследовании высокотемпературной сверхпроводимости, до сих пор остаётся открытым вопрос о механизме этого явления.
Важным вопросом в изучении механизма сверхпроводимости квазидвумерных структур является формирование сверхпроводящих состояний с разной симметрией параметра порядка (энергетической щели) и их конкуренция. Традиционно считается, что для купратов характерна ё 2 2 -симметрия (далее просто ё) параметра порядка [4, 5].
х -у
Однако, эксперименты по рамановской спектроскопии в Кё2-хСехСи04 [6] и спектроскопии с угловым разрешением в Ьа2-хБгхСи04 [7] показали, что симметрия параметра порядка в них отклоняется от традиционной ё-симметрии. Также в экспериментальных работах [8 - 10] и в теоретическом исследовании [11] делался вывод о склонности слоистых систем на основе купратов к формированию сверхпроводимости со смешанными э+ё и э+гё симметриями параметра порядка.
В сверхпроводниках на основе железа, в отличие от купратов, наблюдается параметр порядка с ¿^-симметрией [12 - 14]. С другой стороны, расчёты, учитывающие спиновые флуктуации, показали, что в них возможно формирование ё-состояния [15], что дало толчок к исследованиям низкотемпературного перехода из 5- в ё-состояние с формированием промежуточной фазы со смешанной симметрией э+гё [11, 16, 17].
В работе [11] рассматривалась возможность существования сверхпроводящего состояния со смесью 5- и ё-симметрий параметра порядка. Было показано, что фазовые переходы между 5- и ё-состояниями сверхпроводника являются фазовыми переходами второго рода и происходят через фазу э+гё. Также был сделан вывод о том, что система склонна выбирать состояния с наивысшим значением амплитуды параметра порядка. Кроме того, по результатам расчётов был сделан вывод об отсутствии на диаграмме смешанного состояния 5+ё вследствие его энергетической невыгодности.
Считается, что существенное взаимовлияние между различными упорядоченными фазами может происходить, когда Ферми-поверхность совпадает с особенностью ван Хова. В рамках однозонной модели Хаббарда в парамагнитном пределе слабой связи был исследован спин-флуктуационный сценарий куперовского спаривания [18]. Была построена фазовая диаграмма в координатах t'/t и п, учитывающая состояния с разной симметрией сверхпроводящего параметра порядка, а также уделено внимание роли особенности ван Хова
в формировании границы перехода между разными состояниями. Показано, что в обширной области диаграммы формируется большое количество различных сверхпроводящих состояний, а вблизи особенности ван Хова происходит подавление ^-симметрии в пользу триплетного состояния.
В пределе слабой связи однозонной модели Хаббарда изучался спин-флуктуационный механизм сверхпроводимости [19]. Результаты исследования показали, что изменения в топологии поверхности Ферми вносят существенный вклад в фазовую диаграмму сверхпроводящих состояний.
Авторы работы [20] изучали конкуренцию состояний с s- и ^-симметрией сверхпроводящего параметра порядка, а также формирование промежуточной фазы э+гё. В рамках рассматриваемой модели было показано устойчивое формирование параметра порядка с э+г^-симметрией на границе между чистыми э- и ^-состояниями.
Экспериментальные и теоретические данные последних лет обуславливают необходимость дальнейшего изучения конкуренции э- и Асимметрий параметра порядка, а также формирования состояния со смешанной э+/й?-симметрией. В нашей работе, в отличие от упомянутых выше, для описания сверхпроводящей системы с э-, с1- и э+г^-симметриями параметра порядка мы пользуемся простым приближением модели, учитывающим притяжение электронов, находящихся на разных узлах решетки в основном состоянии. Это связано с двумя обстоятельствами. Первое — до сих пор нет оснований для того, чтобы выделить тот либо другой физический механизмы притяжения электронов в высокотемпературных сверхпроводниках. Мы оставляем этот вопрос за рамками нашего рассмотрения, полагая константой величину притяжения электронов на соседних узлах. Второе — такое упрощение дает возможность детально изучить формирование параметра порядка и его симметрии в зависимости от закона дисперсии, концентрации электронов и особенностей ван Хова. Предполагается, что в дальнейшем на этой основе будет возможно определить влияние температуры и сильных электронных корреляций на сверхпроводящий параметр порядка.
формализм
Гамильтониан рассматриваемой модели включает в себя кинетическую энергию переноса электронов с узла на узел и притягивающее взаимодействие пар электронов, находящихся на разных узлах:
Н = X -тТА^ие - ¥0 Е4т4,4с/,хс;,т, (1)
./ +
где tj / — матричный элемент переноса электронов с узла / на узел / , с/* и с* — операторы рождения и уничтожения электронов на узле / со спином * = (Т, 1), У0 — параметр, характеризующий притяжение электронов, ¡1 — химический потенциал. Мы считаем, что электроны могут переходить только на первые и вторые ближайшие узлы с интегралами переноса -1 и / соответственно. Представим тс1 | в виде
(с) + 3{с^тс\х), где (...) = (0|...|0) — квантовомеханическое усреднение по основному
состоянию гамильтониана, а 8 — флуктуации вблизи среднего значения. Считая флуктуации малыми, получим:
Н = X / 4*с/ '*-тХс1*с/
/,/,* ^ (2)
-г0 X ( с],Тс/,1 (с/',1с/,т ) + (су,Тс/,4 )с/,1с/,Т - (с1тс/,Х )(с/,1 с/,Т ) ) .
t t An -if ' ''
Мы считаем, что среднее <cttc1, ) =—— e 1,1 , где f, . — фазовый множитель,
;J 1 ,4' 2V0
Л0 — вещественная амплитуда параметра порядка. Предполагая, что взаимодействие
происходит только на соседних узлах, а фазовый множитель однородный и зависит только от расстояния между соседними узлами 8, из (2) получим следующий гамильтониан:
Н = X], ]* -\Х(л0еф8с]лс]+8л +Л0е"Ф8с]+8Лс]Л)+ (3)
],]',* ]* 2 ],8 * 0
Произведём преобразование Фурье ( N — число узлов в системе)
t _ 1 у t ~ikrj
Cl ,s = VN ^
1 ikr.
(4)
C1S A77 SCkse 1 • k
VN
2 A 01 eikS ~'
2 s
и введём обозначение Ak = —A0^e'k e's . Тогда гамильтониан (3) примет вид:
H = 14ck,sck,s -Z(Akck,tc-k,4+AC-k,iCk,t)+ NA^, (5)
k s k V0
где 4 = ek — m — энергия на одну частицу, отсчитываемая от энергии Ферми,
ek = — 2t(cos кх + cos ку ) + 4t' cos кх cos ку — закон дисперсии для квадратной решётки. Выбирая фазовый множитель в виде
f pa,S = ±Sx,
fs = La.S = d (6)
Ak = A 0
где Sx и Sy — проекции S на координатные оси, получим:
Д0 = Vcosкх + cosку)cospa+i(cosкх — cosку)sinpa (c,[tc—k4),
(cos кх + cos ку) cospa+i (cos кх — cos ку) sinpa
Из (7) видно, что a = 0 соответствует ¿-симметрии параметра порядка с A k = A 0 (cos кх + cos ку), a = 0,5 — d-симметрии параметра порядка с A k = Д0 (cos кх — cos ку),
а при промежуточных значениях a реализуется смешанное состояние s+id.
Гамильтониан (5) можно привести к диагональному виду, воспользовавшись преобразованием Боголюбова [21]
* t
Ckt = u*gk 0 + vkgL
t ' * t (8)
C—k ,4 = —vkgk 0 +
I |2 I |2
где численные коэффициенты uk и vk выбраны так, что uk + vk = 1, а gk — новые ферми-
операторы, описывающие элементарные квазичастичные возбуждения, возникающие в сверхпроводящей системе. Для того, чтобы гамильтониан принял диагональный по операторам (gk0, gk1) вид, необходимо, чтобы коэффициенты перед недиагональными членами были равны нулю. Отсюда получаем:
vk2=1 fi—44-1,
k 21 E J
(9)
где Ек — спектр квазичастичных возбуждений, и тогда гамильтониан (5) примет вид:
Ek = (42 + I Ak |2 )1/2,
н = XX - Ек)+££к (УУ 0 туУ+^ (10)
к к К0
Мы рассматриваем систему при температуре Т = 0 К, поэтому квазичастичные возбуждения отсутствуют и тогда окончательно получим:
Н = XX-Ек)+^°. (11)
к К0
Для определения основного состояния системы необходимо минимизировать полную энергию системы Е(п,/, А0) = (0| Н | 0> по отношению к параметру а при заданном значении химпотенциала (энергии Ферми) /. Концентрация электронов п(/) и величина щели А0(1) определяются самосогласованно по формулам
п(1) = N Х«Л ,,> = N Х(<<ТСк ,Т > + <с-к,4с-к,4 > ) = ™ к ,а ™ к
1 Х(<(икУк0+^кГк1)(^кГк 0+^у^+<(-^кГк 0 + ^Х-^+икГк1)>) = (12) м к
к
1 ! \Т®0 2 1 ( X
N2(21 Vk |2 +(|щк |2 -1Ук |2)<ук1Ук1 т ук0Ук0>) = NXI ^ |2= NX 1 -X
кк
Е
V Ек У
и
А0 (¡и) = — X [(соб к* + соб ку) соб жат1 ( соб кх - соб ку) бш жа С тс-к 4 >
N
<ск тс-к 4 > = <К у™ + Ук Ук1 )(-ук Ук 0 + щк УТа )> =
к к0 к к1 к к 0к
Т ®0 А*
= щкУк <1 -У^Ук0 -УкУк1 > = щкУк =
^А0(1) = — Х[(собкх т собку)соБжа+1(собкх -собку)атжа
к
*
/ II соэ к т соэ к I соажат I I соэ к - соэ к I аш жа —к ~
N
2Е/ (13)
А*
к- -2Ек
К
X ( соб к* т соб ку) С082жат( соб к* - соб ку) втРа
N к -
А0
2 Ек
результаты и заключение
Определяя основное состояние системы на сетке параметров / и г'/г можно построить фазовую диаграмму рассматриваемой модели в параметрах п и г '¡г, которая изображена на рис. 1. Для определения фазовых областей и границ между ними вычислялось основное состояние системы на сетке параметров / иг '¡г с шагом 0,01 и 0,05 соответственно. Двумерные интегралы по зоне Бриллюэна квадратной решётки вычислялись на сетке с разбиением 103 х103 точек в к -пространстве.
Диаграмма учитывает сверхпроводящие состояния с s- и ^-симметрией параметра порядка и смешанное 5+/^-состояние. Кроме того, на диаграмме изображены линии особенности ван Хова. Квадратной решётке соответствуют одна особенность / = -4г ' при г '¡г <0,5 и две особенности / = -4г т 4г' и / = -1/г' при г '¡г >0,5. При г '¡г = 0,5 все три особенности сливаются и располагаются на дне энергетической зоны.
Значительную часть диаграммы занимает ^-состояние: это области вблизи заполнений п = 0,5 и п = 1 со значениями интеграла переноса г'/г >0,5 и г'/г <0,8 соответственно, причём вблизи половинного заполнения ^-состояние занимает самую широкую часть диаграммы. Это согласуется с диаграммами, полученными в работах [18] и [22].
Рис. 1. Фазовая диаграмма сверхпроводящих состояний модели. Сплошной линией обозначены линии фазового перехода второго рода, редкой штриховкой выделена область фазы s+id. Пунктирная линия
обозначает концентрацию электронов для особенности ван Хова при т = —7, штрих-пунктирная —
особенности ¿и = 4 + 4/, дважды штрих-пунктирная — особенности т = . Частой штриховкой выделена область, в которой величина Д0 мала настолько, что точность наших расчётов не позволяет
найти границу между фазами
С ростом г'Н расширяется область фазы со смешанной симметрией и достигает своего пика в интервале от 0,5 до 0,75. В этом же интервале ¿Н чистое ¿-состояние формируется только вблизи почти полного заполнения зоны п ® 2 и занимает довольно узкую часть диаграммы. Наиболее широкие области ¿-состояния формируются в левом нижнем и правом нижнем углах диаграммы, а также при > 0,75 вблизи половинного заполнения.
Обращаем внимание на особенность области фазовой диаграммы 0,5 < < 0,75 и 0 < п < 1,25. Здесь смешанное состояние ¿+гё разделяет две области с ^-симметрией параметра порядка, а не с ¿ и ё.
Следует отметить, что прямой фазовый переход второго рода из нормального состояния металла в ¿+гё фазу невозможен, он обязательно будет происходить через промужеточную ¿- или ё-фазу [23].
На диаграмме отсутствуют прямые переходы из состояния с ¿-симметрией сверхпроводящего параметра порядка в ё. В противном случае, переход между двумя фазами сопровождался бы скачкообразной сменой симметрии, и можно было бы говорить о фазовом переходе первого рода и фазовом расслоении, что невозможно между двумя сверхпроводящими фазами. Наши расчёты показывают, что переход из одной фазы в другую во всей области рассмотренных параметров модели является непрерывным через промежуточную фазу ¿+гё, то есть все фазовые переходы на нашей диаграмме являются переходами второго рода.
Выше половинного заполнения при 1,3 < п < 2,0 присутствует область, в которой величина Д 0 мала настолько, что точность наших расчётов не позволяет определить границу между сверхпроводящими состояниями. Малость величины параметра порядка в этой области указывалась ранее авторами работы [18]. Следует подчеркнуть, что несмотря на
малость А0, она остается ненулевой при любых параметрах, так как сколь угодно малый притягивающий потенциал делает нестабильным состояние нормального металла по отношению к куперовскому спариванию.
На рис. 2 изображено распределение интенсивности параметра порядка на плоскости диаграммы. Видно, что наибольшая величина Ап достигается в тех областях, где проходят линии особенности ван Хова.
О -1-1-1- 1 О
О 0.5 1 1.5 п 2
Рис. 2. Распределение величины сверхпроводящей щели Д0
Таким образом, результаты наших расчетов показывают, что формирование сверхпроводящего состояния со смешанной симметрией параметра порядка s+id, на которое указывают ряд экспериментальных данных, может быть описано в рамках простого приближения среднего поля без учёта спиновых флуктуаций. При этом полученная фазовая диаграмма сверхпроводящих состояний качественно согласуется с диаграммами, рассчитанными с помощью более сложных приближений и спин-флуктуационных методов. Это свидетельствует о несущественной роли динамических эффектов в конкуренции различных сверхпроводящих состояний между собой и позволяет предположить, что рассмотренная в работе модель может быть использована в дальнейшем для проведения температурных расчетов.
Работа выполнена при поддержке проектов РФФИ № 16-42-180516 и УрО РАН № 15-8-2-12.
список литературы
1. Bednorz J. G., Müller K. A. Possible high-Tc superconductivity in the Ba-La-Cu-O system // Zeitschrift fur Physik B Condensed Matter, 1986, vol. 64, iss. 2, pp. 189-193.
2. Scalapino D. J. A common thread: the pairing interaction for unconventional superconductors // Reviews of Modern Physics, 2012, vol. 84, iss. 4, p. 1383.
3. Stewart G. R. Superconductivity in iron compounds // Reviews of Modern Physics, 2011, vol. 83, iss. 4, p. 1589.
4. Armitage N. P., Fournier P., Greene R. L. Progress and perspectives on electrondoped cuprates // Reviews of Modern Physics, 2010, vol. 82, iss. 3, p. 2421.
5. Hashimoto N., Vishik I. M., He R.-H., Devereaux T. P., Zhen Z.-X. Energy gaps in high-transition-temperature cuprate superconductors // Nature Physics, 2014, vol. 10, pp. 483-495.
6. Blumberg G., Koitzsch A., Gozar A., Dennis B. S., Kenzidora C. A., Founier P., Greene R. L. Nonmomotonic dx2-y2 Superconducting Order Parameter in Nd2-xCexCuO4 // Physical Review Letters, 2002, vol. 88, iss. 10, p. 107002.
7. Terashima K., Matsui H., Sato T., Takahashi T., Kofu M., Hirota K. Anomalous Momentum Dependence of the Superconducting Coherence Peak and Its Relation to the Pseudogap of La185Sr015CuO4 // Physical Review Letters, 2007, vol. 99, iss. 1, p. 017003.
8. Ma J., Quitmann C. Temperature-Dependence of the Superconducting Gap Anisotropy in Bi2Sr2CaCu2O8+x // Science, 1995, vol. 267, iss. 5199, pp. 862-865.
9. Ding H., Campuzano J. C., Bellman A. F., Yokoya T., Norman M. R., Randeria M., Takahashi T., Katayama-Yoshida H., Mochiku T., Kadowaki K., and Jennings G. Momentum Dependence of the Superconducting Gap in Bi2Sr2CaCu2O8 // Physical Review Letters, 1995, vol. 74, iss. 14, p. 2784.
10. Sun A. G., Gajewski D. A., Maple M. B., Dynes R. C. Observation of Josephson pair tunneling between a high-Tc cuprate (YBa2Cu3O7-d) and a conventional superconductor (Pb) // Physical Review Letters, 1994, vol. 72, iss. 14, p. 2267.
11. Musaelian K., Betouras J., Chubukov A., Joynt R. Mixed-symmetry superconductivity in two-dimensional Fermi liquids // Physical Review B, 1996, vol. 53, no. 6, p. 3598.
12. Hirschfeld P. J., Korshunov M. M., Mazin I. I. Gap symmetry and structure of Fe-based superconductors // Reports on Progress in Physics, 2011, vol. 4, no. 12, p. 124508.
13. Chubukov A. V. Pairing Mechanism in Fe-Based Superconductors // Annual Review of Condensed Matter Physics, 2011, vol. 3, no. 1.
14. Hosono H., Kuroki K. Iron-based superconductors: Current status of materials and pairing mechanism // Physica C, 2015, vol. 514, pp. 399-422.
15. Maiti S., Korshunov M., Maier T., Hirschfeld P. J., Chubukov A. V. Evolution of the Superconducting State of Fe-Based Compounds with Doping // Physical Review Letters, 2011, vol. 107, no. 14, p. 147002.
16. Platt C., Platt C., Thomale R., Honerkamp C., Zhang S.-C., Hankle W. Mechanism for a pairing state with time-reversal symmetry breaking in iron-based superconductors // Physical Review B, 2012, vol. 85, iss. 18, p. 180502(R).
17. Lee W. C., Zhang S. C., Wu C. Pairing State with a Time-Reversal Symmetry Breaking in FeAs-Based Superconductors // Physical Review Letters, 2009, vol. 102, p. 217002.
18. R0mer A. T., Kreisel A., Eremin I., Malakhov M. A., Maier T. A., Hirschfeld P. J., and Andersen B. M. Pairing symmetry of the one-band Hubbard model in the paramagnetic weak-coupling limit: A numerical RPA study // Physical Review B, 2015, vol. 92, p. 104505.
19. Kreisel A., R0mer A. T., Hirschfeld P. J., Andersen B. M. Superconducting phase diagram of the paramagnetic one-band Hubbard model // Journal of Superconductivity and Novel Magnetism, 2016. arXiv: 1605.07119v2.
20. Maiti S., Hirschfeld P. J. Collective modes in superconductors with competing s and d-wave interactions // Physical Review B, 2015, vol. 92, iss. 9, p. 094506. arXiv:1507.07501v2.
21. Тинхам M. Введение в сверхпроводимость. М.: Атомиздат, 1980. 312 c.
22. Simkovic F., Liu X.-W., Deng Y., Kozik E. Ground state phase diagram of the repulsive fermionic t-t' Hubbard model on the square lattice from weak-coupling // Physical Review B, 2015, vol. 94, iss. 8, p. 085106. arXiv: 1512.04271v1.
23. Минеев В. П., Самохин К. В. Введение в теорию необычной сверхпроводимости. М.: Издательство МФТИ, 1998. 144 c.
THE SYMMETRY OF THE SUPERCONDUCTING ORDER PARAMETER WITHIN THE t -1' ONE-BAND MODEL ON THE SQUARE LATTICE
Gilmutdinov V. F., Timirgazin M. A., Arzhnikov A. K.
Physical-Technical Insisute, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Izhevsk, Russia
SUMMARY. Since the discovery of high-temperature superconductivity in doped cuprates a huge amount of data is obtained, which are results of theoretical and experimental studies. Despite some apparent success in high-temperature superconductivity research, still an open question remains about the mechanism of this phenomenon.
An important issue in the study of the mechanism of superconductivity in quasi-two-dimensional structures is the formation of superconducting states with different symmetries of the order parameter and their competition. There are a lot of experimental and theoretical data that provide a necessity of further studying of the competition between superconducting states with s- and d-wave pairing and the formation of state with mixed s+id-symmetry.
It is believed that cuprates are characterized by d-wave pairing [4, 5]. However, Raman spectroscopy experiments in Nd2-xCexCuO4 [6] and ARPES experiments in La2-xSrxCuO4 [7] showed that the symmetry of the order parameter in copper oxides deviates from the traditional d-wave symmetry. Also it was concluded in experimental studies [8 - 10] and in the theoretical study [11] that there is a possibility of the formation of mixed s+d and s+id-wave superconducting states in the layered cuprate systems.
There was observed the order parameter with the s±-wave symmetry [12 - 14] in iron-based superconductors. On the other hand, calculations which take into account spin fluctuations have shown that d-wave pairing may be formed in pnictides [15]. It provides a motivation to study a low-temperature transition between s- and d-wave states with the formation of intermediate phase with mixed s+id-wave pairing [11 16, 17].
In our investigation we use the Hartree-Fock approximation of the single-band model on the square lattice. The attraction of electrons located on the nearest-neighbour sites is taken into account. The order parameter with s-, d- and s+id-symmetries is considered. We have left beyond the scope of our investigation a mechanism of an electron attraction.
The ground state phase diagram of the model in the variables t'/t and n was constructed. It is shown that both superconducting states and the intermediate phase s+id as well are realized in a wide range of the model parameters.
Results of our calculations show the formation of the superconducting state with the mixed s+id-wave pairing can be described in terms of a simple mean-field approximation without considering of the spin fluctuations. In this case the resulting phase diagram of superconducting states is qualitatively consistent with diagrams calculated using more sophisticated approximations and taking into account spin-fluctuations. This indicates an insignificant role of dynamic effects in the competition between various states of the superconductivity and suggests that the considered model can be used further for temperature-dependent calculations.
KEYWORDS: high-temperature superconductivity, mean-field theory.
REFERENCES
1. Bednorz J. G., Müller K. A. Possible high-Tc superconductivity in the Ba-La-Cu-O system. Zeitschrift fur Physik B Condensed Matter, 1986, vol. 64, iss. 2, pp. 189-193. doi:10.1007/BF01303701
2. Scalapino D. J. A common thread: the pairing interaction for unconventional superconductors. Reviews of Modern Physics, 2012, vol. 84, iss. 4, p. 1383. doi:http://dx.doi.org/10.1103/RevModPhys.84.1383
3. Stewart G. R. Superconductivity in iron compounds. Reviews of Modern Physics, 2011, vol. 83, iss. 4, p. 1589. doi:http://dx.doi.org/10.1103/RevModPhys.83.1589
4. Armitage N. P., Fournier P., Greene R. L. Progress and perspectives on electrondoped cuprates. Reviews of Modern Physics, 2010, vol. 82, iss. 3, p. 2421. doi:http://dx.doi.org/10.1103/RevModPhys.82.2421
5. Hashimoto N., Vishik I. M., He R.-H., Devereaux T. P., Zhen Z.-X. Energy gaps in high-transition-temperature cuprate superconductors. Nature Physics, 2014, vol. 10, pp. 483-495. doi:10.1038/nphys3009
6. Blumberg G., Koitzsch A., Gozar A., Dennis B. S., Kenzidora C. A., Founier P., Greene R. L. Nonmomotonic dx2-y2 Superconducting Order Parameter in Nd2-xCexCuO4. Physical Review Letters, 2002, vol. 88, iss. 10, p. 107002. doi:http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevLett.88.107002
7. Terashima K., Matsui H., Sato T., Takahashi T., Kofu M., Hirota K. Anomalous Momentum Dependence of the Superconducting Coherence Peak and Its Relation to the Pseudogap of Lai.85Sr0.i5CuO4. Physical Review Letters, 2007, vol. 99, iss. 1, p. 017003. doi:http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevLett.99.017003
8. Ma J., Quitmann C. Temperature-Dependence of the Superconducting Gap Anisotropy in Bi2Sr2CaCu2O8+x. Science, 1995, vol. 267, iss. 5199, pp. 862-865.
9. Ding H., Campuzano J. C., Bellman A. F., Yokoya T., Norman M. R., Randeria M., Takahashi T., Katayama-Yoshida H., Mochiku T., Kadowaki K., and Jennings G. Momentum Dependence of the Superconducting Gap in Bi2Sr2CaCu2O8. Physical Review Letters, 1995, vol. 74, iss. 14, p. 2784. doi:http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevLett.74.2784
10. Sun A. G., Gajewski D. A., Maple M. B., Dynes R. C. Observation of Josephson pair tunneling between a high-Tc cuprate (YBa2Cu3O7_d) and a conventional superconductor (Pb). Physical Review Letters, 1994, vol. 72, iss. 14, p. 2267. doi:http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevLett.72.2267
11. Musaelian K., Betouras J., Chubukov A., Joynt R. Mixed-symmetry superconductivity in two-dimensional Fermi liquids. Physical Review B, 1996, vol. 53, no. 6, p. 3598. doi:http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.53.3598
12. Hirschfeld P. J., Korshunov M. M., Mazin I. I. Gap symmetry and structure of Fe-based superconductors. Reports on Progress in Physics, 2011, vol. 4, no. 12, p. 124508. doi:http://dx.doi.org/10.1088/0034-4885/74/12/124508
13. Chubukov A. V. Pairing Mechanism in Fe-Based Superconductors. Annual Review of Condensed Matter Physics, 2011, vol. 3, no. 1. doi: 10.1146/annurev-conmatphys-020911-125055 • Source: arXiv
14. Hosono H., Kuroki K. Iron-based superconductors: Current status of materials and pairing mechanism. Physica C, 2015, vol. 514, pp. 399-422.
15. Maiti S., Korshunov M., Maier T., Hirschfeld P. J., Chubukov A. V. Evolution of the Superconducting State of Fe-Based Compounds with Doping. Physical Review Letters, 2011, vol. 107, no. 14, p. 147002. doi:http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevLett.107.147002
16. Platt C., Platt C., Thomale R., Honerkamp C., Zhang S.-C., Hankle W. Mechanism for a pairing state with time-reversal symmetry breaking in iron-based superconductors. Physical Review B, 2012, vol. 85, iss. 18, p. 180502(R). doi:http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.85.180502
17. Lee W. C., Zhang S. C., Wu C. Pairing State with a Time-Reversal Symmetry Breaking in FeAs-Based Superconductors. Physical Review Letters, 2009, vol. 102, p. 217002. doi:http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevLett.102.217002
18. R0mer A. T., Kreisel A., Eremin I., Malakhov M. A., Maier T. A., Hirschfeld P. J., and Andersen B. M. Pairing symmetry of the one-band Hubbard model in the paramagnetic weak-coupling limit: A numerical RPA study. Physical Review B, 2015, vol. 92, p. 104505. doi:http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.92.104505
19. Kreisel A., R0mer A. T., Hirschfeld P. J., Andersen B. M. Superconducting phase diagram of the paramagnetic one-band Hubbard model. Journal of Superconductivity and Novel Magnetism, 2016. arXiv:1605.07119v2. doi:10.1007/s10948-016-3758-x
20. Maiti S., Hirschfeld P. J. Collective modes in superconductors with competing s and d-wave interactions. Physical Review B, 2015, vol. 92, iss. 9, p. 094506. arXiv:1507.07501v2. doi:10.1103/PhysRevB.92.094506
21. Tinkham M. Vvedenie v sverkhprovodimost' [Introduction to superconductivity]. Moscow: Atomizdat Publ., 1980. 312 p.
22. Simkovic F., Liu X.-W., Deng Y., Kozik E. Ground state phase diagram of the repulsive fermionic t-t' Hubbard model on the square lattice from weak-coupling. Physical Review B, 2015, vol. 94, iss. 8, p. 085106. arXiv: 1512.04271v1. doi: 10.1103/PhysRevB.94.085106
23. Mineev V. P., Samokhin K. V. Vvedenie v teoriyu neobychnoy sverkhprovodimosti [Introduction to the theory of superconductivity unusual]. Moscow: MFTI Publ., 1998. 144 p.
Гильмутдинов Виталий Фаатович, аспирант ФТИ УрО РАН, тел. (3412)218988, e-mail: vitaliodestroyer@gmail.com
Тимиргазин Марат Аликович, кандидат физико-математических наук, научный сотрудник ФТИ УрО РАН, e-mail: tmirgazm@gmail com
Аржников Анатолий Константинович, доктор физико-математических наук, доцент, заведующий отделом ОТФ ФТИ УрО РАН, тел. (3412)216977, e-mail: arzhnikof@bk.ru
