CC BY
16
УДК 538.945.7
ЗАВИСИМОСТЬ СИММЕТРИИ СВЕРХПРОВОДЯЩЕГО ПАРАМЕТРА ПОРЯДКА ОТ ТЕМПЕРАТУРЫ И ИНТЕГРАЛА ЭЛЕКТРОННОГО ПЕРЕНОСА
ГИЛЬМУТДИНОВ В. Ф., ТИМИРГАЗИН М. А., АРЖНИКОВ А. К.
Физико-технический институт Уральского отделения РАН, 426000, г. Ижевск, Кирова, 132
АННОТАЦИЯ. Рассматривается конкуренция между сверхпроводящими состояниями с 5- и ^-симметрией параметра порядка. В рамках приближения среднего поля двумерной однозонной модели с притяжением между электронами, находящимися на соседних узлах, показано формирование сверхпроводимости со смешанной я+г^-симметрией параметра порядка, а также смена симметрии параметра порядка при понижении температуры. Построены фазовые диаграммы модели в переменных отношения интегралов переноса электронов на вторую и первую координационную сферу Г// и числа электронов п для разных значений параметра притяжения У0, а также в переменных температуры Т и п при различных значениях /'//.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: высокотемпературная сверхпроводимость, сверхпроводящий параметр порядка, я+г^-симметрия, купраты, пниктиды железа.
ВВЕДЕНИЕ
Высокотемпературная сверхпроводимость (ВТСП) была обнаружена более 30 лет назад [1], однако до сих пор остаются открытыми многие вопросы, касающиеся механизма этого явления. Одним из них является симметрия сверхпроводящего параметра порядка (СПП) соединений на основе пниктидов железа и купратов.
На данный момент общепринятым фактом является то, что купратам соответствует dx2_y2- (далее d) симметрия СПП, с зависимостью щели от волнового вектора по закону Ак~(coskx — cosky) [2, 3], а сверхпроводникам на основе соединений железа - s±- (далее s) симметрия с зависимостью Лк~(coskx + cosky) [4, 5]. Тем не менее, существуют данные, которые говорят о том, что это не всегда так.
В работе [6] приведён анализ экспериментов по фотоэлектронной спектроскопии с угловым разрешением (ARPES), сканирующей туннельной микроскопии и измерению низкотемпературной теплопроводности на Bi2Sr2CaCu2Ü8+y. Оказалось, что полученные результаты не согласуются с d-симметрией СПП, но находятся в количественном согласии с s-симметрией. Эксперименты по рамановской спектроскопии в Nd2-xCexCuO4 [8] и ARPES в La2-xSrxCuO4 [9] показали, что симметрия СПП в них отклоняется от традиционной d-симметрии. В рамках вариационного метода Монте-Карло для t — J модели авторами работы [7] было показано, что в купратных ВТСП состояние со смесью s- и d-симметрий СПП является более выгодным по сравнению с чистыми s- или d-состояниями.
В свою очередь в cверхпроводниках на основе железа возможно формирование как s-, так и d-симметрии [10 - 14]. В теоретическом исследовании [10] в рамках приближения случайных фаз (RPA) рассматривалась пятизонная микроскопическая модель, учитывающая спиновые флуктуации. Авторами работы было показано, что в соединении LaFeAsO1-xFx возможна реализация как s-, так и d-волновой симметрии СПП, в зависимости от зонного заполнения и наличия или отсутствия дырочного кармана в точке Г зоны Бриллюэна. Результаты исследований по ARPES на семействе соединений AxFe2-ySe2 (A = Ca, K) [15 - 17] показали отсутствие у них дырочного кармана в центре зоны Бриллюэна, и наличие карманов одного типа - электронных. В соответствии с этими данными авторами работы [13] в рамках RPA для обобщённой многозонной модели Хаббарда было показано, что такая структура поверхности Ферми должна вести к d-симметрии СПП.
В ряде работ показано, что в рассматриваемых слоистых структурах возможна реализация состояния, при котором параметры порядка и й-типов сосуществуют. Ещё в 1987 году Котляром [18] в подходе резонансных валентных связей было показано, что в случае ВТСП при низких температурах в спектре квазичастиц возможно открытие щели со смесью 5- и й-волновых функций куперовского спаривания, и это состояние является выгодным вблизи половинного заполнения.
Возможность сосуществования 5- и ^-состояний в квазидвумерных структурах на основе пниктидов железа и купратов рассматривалась в теоретических работах [19 - 26]. Авторами этих статей была показана возможность формирования смешанной 5+/й-симметрии СПП, а также рассмотрен характер фазового перехода между «чистыми» 5- и ^-состояниями и смешанным состоянием 5+гй. Оказалось, что переход от 5-к ^-состоянию происходит через смесь фаз 5+гй, а фазовые переходы между чистыми и смешанным состояниями являются фазовыми переходами второго рода. Следует упомянуть, что формирование СПП со смесью 5- и й-симметрий в купратах подтверждалось экспериментально в работе по измерению джозефсоновского тока и пика кондактанса с нулевым смещением, наличие глубокого расщепления которого свидетельствовало в пользу формирования СПП со смешанной симметрией [27].
В работе [23] рассматривалась конкуренция между 5- и й-состояниями и формирование смешанной симметрии СПП в сверхпроводниках на основе железа. Анализируя свободную энергию Гинзбурга-Ландау, авторы показали, что, вследствие понижения температуры после формирования при критической температуре Тс состояния с 5-симметрией, возможно появление 5+/й-состояния, нарушающего симметрию по отношению к обращению времени. Это обуславливает интерес к изучению температурного перехода между состояниями с 5-, й- и 5+/й-симметрией СПП.
Несмотря на то, что исследованию конкуренции 5- и й-спаривания в последние десятилетия уделялось значительное внимание, до сих пор не были построены полные фазовые диаграммы микроскопических моделей сверхпроводимости, учитывающие как оба эти состояния, так и их смесь при различных величинах параметра притяжения электронов и температуры. Ранее в работе [28] в рамках однозонной модели с притяжением электронов на соседних узлах было показано, что состояние со смешанной 5+й-симметрией СПП можно описать с помощью простого приближения среднего поля. Результаты работы свидетельствуют о несущественной роли динамических эффектов в конкуренции различных сверхпроводящих состояний между собой и позволяют предположить, что рассмотренная в работе модель может быть использована для проведения температурных расчетов.
Мы рассматриваем сверхпроводящие состояния с 5-, й- и 5+/й-симметрией СПП квазидвумерных структур в рамках приближения среднего поля для однозонной модели, учитывающей притяжение находящихся на соседних узлах электронов У0, конечную температуру Т и перескоки электронов на ближайших и вторых соседей с интегралами переноса I и V, соответственно.
ФОРМАЛИЗМ
Гамильтониан рассматриваемой модели включает в себя кинетическую энергию переноса электронов с узла на узел и притягивающее взаимодействие пар электронов, находящихся на соседних узлах:
Н = Е /с],*с/,*-МЕС1*С>* - У Ес],т4,4с/,4су,т, (1)
где tjj, - матричный элемент переноса электронов с узла у на узел у', с],* и с¡:0- - операторы
рождения и уничтожения электронов на узле у со спином * = (Т, , У0 - параметр, характеризующий притяжение электронов, ц - химический потенциал. Мы считаем, что электроны могут переходить только на первых и вторых ближайших соседей с интегралами переноса ^ и t' соответственно. Подробное рассмотрение гамильтониана (1)
в основном состоянии было произведено ранее в работе [28]. В приближении среднего поля в к-пространстве он принимает вид:
N Л2
H = —0 + £(4 - Ek) + ^Ek (rko gk0 + gti gki), (2)
V0 k k
где N - число узлов в системе, gk - новые Ферми-операторы, описывающие элементарные квазичастичные возбуждения, возникающие в сверхпроводящей системе, Л0 - амплитуда СПП, 4 = ek — m, ek = - 2t(cos kx + cos ky) + 4t' cos kx cos ky - закон дисперсии для квадратной решётки, Ek - спектр квазичастичных возбуждений. Гамильтониан (2) приведён к диагональному виду с помощью преобразования Боголюбова [29]. Мы задаём параметр порядка Dk в общем виде:
Dk = Л0 (cos kx + cos ky) cos pa+i (cos kx — cos ky) sin pa ° D0hk a,
V ^ t t (3)
Л0 = N0 £k ,a<ck,tc—k,4 >. Из (3) видно, что a = 0 соответствует s-симметрии СПП с Лк—^е = Л0 (coskx + cosky), a=0,5 d-симметрии СПП с Dk—wave = Л0 (coskx — cosky), а при промежуточных значениях а
реализуется смешанное состояние s+id. Подчеркнём, что используемое нами обозначение «s+id» является условным: соотношение амплитуд s- и d-состояний не является постоянным, конкретная величина а изменяется в зависимости от параметров модели.
Для вычисления всех необходимых параметров, характеризующих рассматриваемую сверхпроводящую систему, необходимо самосогласованно решить уравнение относительно амплитуды СПП Л 0 при фиксированном значении m
Л0 = N ,a<<tctk,i > = N £ 1 hk,a Г 2l^tíÍnhEr ' (4)
где T - температура, и вычислить концентрацию электронов
л=N £(<Л,">=N £
4 E 1 —^ tanh^k-
Ek 2T
(5)
Для определения основного состояния системы необходимо минимизировать термодинамический потенциал по отношению к параметру а:
О = _т 1п н >/Т, (6)
Гамильтониан (2) имеет диагональную форму, что позволяет записать термодинамический потенциал в простой форме:
NAo „„V,, /, д.
W = £ (4k —Ek)—2T£ In (1 + eEkT). (7)
РЕЗУЛЬТАТЫ
Минимизация гамильтониана (7) по отношению к параметру смешивания а позволяет построить фазовые диаграммы основного состояния модели. На первом этапе исследований был рассмотрен случай нулевой температуры. На рис. 1, 2 и 3 представлены диаграммы при Т = 0 в переменных и п для значений У/ = 0,25, 0,5 и 1. Границы между фазами определялись на мелкой сетке параметров и 1. Вычисление интегралов по зоне Бриллюэна проводилось на адаптивной сетке, что позволило уточнить диаграмму для У0Д = 1 по сравнению с аналогичной диаграммой, приведенной в работе [28].
При всех рассмотренных значениях У/ формируются как состояния с чистой 5-или ^-симметрией параметра порядка, так и состояние со смешанной 5+/й-симметрией. При увеличении параметра притяжения электронов значительно увеличивается область, в которой выгодно состояние с ^/Асимметрией. Незакрашенные области на диаграммах
соответствуют сверхпроводящим состояниям со значениями А0/Ь <10_б, для которых точность вычислений не позволяет определить параметры основного состояния. Необходимо при этом подчеркнуть, что формирование нормального состояния (А0=0) в рамках данной модели невозможно, так как любое сколь угодно малое притягивающее взаимодействие делает систему нестабильной по отношению к куперовскому спариванию [30, 31].
1
small А,
о
1.2 1.4 1.6 1.8
Рис. 1. Фазовая диаграмма сверхпроводящих состояний модели при T/t = 0 и V0/t = 0,25. Штриховкой с наклоном влево закрашена область с ^-симметрией сверхпроводящего параметра порядка, вправо - c «-симметрией, перекрёстной - со смешанной s+iW-симметрией. Сплошными линиями обозначены линии непрерывных фазовых переходов (второго либо высшего порядка)
Рис. 2. Фазовая диаграмма сверхпроводящих состояний модели при Г/{ =0 и =0,5
О 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
п
Рис. 3. Фазовая диаграмма сверхпроводящих состояний модели при T/t =0 и V0/t=1
На диаграммах черными линиями отмечены особенности Ван Хова. В случае квадратной решётки возможны три особенности: одна при t'/t < 0,5 (ju = -4t') и две при t'/t > 0,5 (ju = -4t+4t' и ju = -1/t'). При t'/t = 0,5 все три особенности сливаются в одну и располагаются на дне зоны. В этом случае достигается максимум величины A0. Пунктирная линия обозначает концентрацию электронов для особенности при ju = -1/t', штрих-пунктирная - при ju = -4t+4t', дважды штрих-пунктирная - при ju = -1/t'. Максимальные величины A0 для различных значений V0/t приведены в табл. 1. Обращаем внимание, что во всех трех случаях максимум A0 соответствует состоянию с s+z'J-симметрией параметра порядка.
Таблица 1
Максимальные значения А0 и соответствующие им значения п при разных величинах V0/t (t'/t =0,5)
V0/t n Ao/t а
0,25 0,189 0,031 0,340
0,5 0,293 0,084 0,480
0,0 0,383 0,226 0,580
На втором этапе исследований нами были проведены расчёты основного состояния модели при конечных температурах. Результаты расчётов представлены на диаграммах 4, 6, 8 и 5, 7, 9 для значений = 0,2 и = 0,7 соответственно. Данные значения интеграла переноса электронов выбраны нами из следующих соображений: = 0,2 соответствует высокотемпературным сверхпроводникам на основе оксидов меди [32], а ^^ = 0,7 соответствует широкой области смешанной фазы s+id при К0Д =1 (рис. 3). Так же, как для Г=0, диаграммы рассчитаны для трёх значений У0/Ь: 0,25, 0,5 и 1,0.
Помимо фазовых границ на диаграммах изображены зависимости амплитуды сверхпроводящей щели Л0 основного состояния при Т=0 от концентрации. Видно, что критическая температура перехода из сверхпроводящего в нормальное состояние коррелирует с величиной Л0. Известно, что неустойчивость нормального Ферми-газа по отношению к куперовскому спариванию должна проявляться при Л0~ТС [30]. В теории
Бардина-Купера-Шриффера (БКШ), построенной на представлении об электрон-фононном механизме куперовского спаривания, Л0=1,76Тс. В обзорах [33, 34, 35] приведены данные теоретических и экспериментальных исследований основных характеристик сверхпроводников на основе пниктидов железа и оксидов меди. В этих работах соотношение БКШ составляет для разных систем на основе СиО Л0/Тс « 0,5 ... 7,0 и для систем на основе БеЛ8 Л0/Тс « 0,5... 3,0. Л0 как правило достигает единиц шеУ, реже десятков шеУ, критические температуры - десятки и сотни кельвин.
0.006
0.002
0.001 -
Рис. 4. Фазовая диаграмма модели в переменных (Т,п) при ¿'/£=0,2 и У/£=0,25
Рис. 5. Фазовая диаграмма модели в переменных (Т,п) при £'/£=0,7 и У/£=0,25
Рис. 6. Фазовая диаграмма модели в переменных (Т, п) при 171=0,2 и У0/1=0,5
Рис. 8. Фазовая диаграмма модели в переменных (Т, п) при £'/£=0,2 и Уг/£=1
й
0.05
0.04
0.03 -
0.02
0.01
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
«Ь <
п
Рис. 7. Фазовая диаграмма модели в переменных (Т, п) при 1'/1=0,7 и У0/1=0,5
й
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
п
Рис. 9. Фазовая диаграмма модели в переменных (Т, п) при £'/£=0,7 и У/£=1
В наших расчётах энергетическая щель A0/t принимает значения по порядку величины от 0,001 и не более 0,1 (максимальное значение До/t =0,226 в случае T/t =0, V0/t =1, t'/t=0,5), температура T/t - в тех же пределах. Максимальные значения критической температуры и энергетической щели, а также параметра БКШ Л0/Тс приведены в табл. 2.
Таблица 2
Максимальные значения Л0Д, ТД и соответствующие им п и коэффициенты БКШ Л0/Тс для разных и Для =1,0 указаны значения для двух пиков, соответствующих й- и «-симметрии, так как ,х2_у2-волновое спаривание для К0/{=1 остаётся сильным при довольно высоких температурах
t'/t Vo/t T/t ào/t 2 ào/T
0,2 0,25 0,0055 0,006 0,830 1,091 d-wave
0,5 0,037 0,038 0,829 1,027 d-wave
1,0 0,143 0,158 0,849 1,104 d-wave
0,7 0,25 0,00875 0,0105 0,758 1,2 s-wave
0,5 0,0386 0,0479 0,765 1,241 s-wave
1,0 0,123 0,143 0,211 1,162 d-wave
1,0 0,111 0,154 0,751 1,387 s-wave
Если принять величину интеграла переноса электронов на ближайшие соседние узлы =0,43 еУ [36], характерную для соединений на основе Ьа2Си04, а также принять во внимание, что 1 еУ = 1,160 • 104 К, то величины примут значения, указанные в табл. 3.
Таблица 3
Максимальные значения Л0, Т в реальных единицах для М = 0,2; £ = 0,43
t', eV V0, eV T, eV T, К Д0, eV n A0/Tc
0,086 0,11 0,0023 27,43 0,0026 0,830 1,091 d-wave
0,215 0,016 185,6 0,016 0,829 1,027 d-wave
0,43 0,061 707,6 0,067 0,849 1,104 d-wave
Анализ приведённых данных позволяет сделать вывод, что реальным значениям энергетической щели и критической температуры сверхпроводящего перехода соответствуют параметры взаимодействия Vo/t = 0,25 и Vo/t = 0,5, так как при них получаются сопоставимые с приведёнными в экспериментальных работах данные. Например, при Vo/t = 0,25 (V0=0,11 eV) данные примерно совпадают с результатами APRES для дырочно-допированного La2_xSrxCuO4 [37]. Необходимо отметить, что максимальные значения критических температур находятся вблизи особенностей Ван Хова nvH Для t'/t = 0,2 особенность располагается при nvH = 0,83 и соответствует d-симметрии СПП, а для t'/t = 0,7 их две: при nvH1 = 0,74 и nvH2 = 0,98. В случае t'/t = 0,7 максимум реализуется вблизи nvH1 = 0,74 и соответствует ^-симметрии СПП.
Полученные нами результаты находятся в согласии с результатами исследований, в которых применялись более сложные методы и приближения, например, феноменологический, а не микроскопический подход, или приближения, учитывающие спиновые флуктуации. Возможность смены симметрии СПП при понижении температуры показывалась ранее авторами работ [23, 26], где для исследования конкуренции сверхпроводящих состояний применялись анализ свободной энергии Гинзбурга-Ландау и приближение RPA. Кроме того, нами установлено, что 5- и d-состояния всегда разделены s+id-фазой, а границы между всеми тремя состояниями являются линиями непрерывных фазовых переходов. Это согласуется с результатами работы [21], где сверхпроводимость рассматривалась в пределе слабой связи формализма БКШ и сильной связи формализма Элиашберга двумерной Ферми-жидкости, а также работы [22], выполненной в рамках
сценария Ван Хова модели сильной связи. Также наши расчёты показывают, что вблизи дна зоны при t'>0,5 и вблизи половинного заполнения реализуется обширная область d-состояния сверхпроводника. Аналогичная ситуация наблюдается на фазовых диаграммах, построенных в работах [38 - 42] в рамках приближений слабой связи и RPA модели Хаббарда, учитывающей спиновые флуктуации.
Важным следствием из построенных диаграмм является то, что область со смешанной СПП s+id не граничит с областью нормального металла: переход в нормальное состояние всегда осуществляется из чистого s- или d-состояния. Данный результат находится в согласии с теорией фазовых переходов Ландау, согласно которой нормальная фаза может перейти только в такое состояние, которое преобразовывается по одному из неприводимых представлений точечной группы симметрии нормальной фазы. Это условие выполняется для чистых s- и d-фаз, но не выполняется для смешанного состояния, у которого нет инвариантности по отношению к комплексному сопряжению [30].
Работа выполнена при поддержке проектов РФФИ № 16-42-180516 и УрО РАН № 15-8-2-12.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Bednorz J. G., Müller K. A. Possible high-Tc superconductivity in the Ba-La-Cu-O system // Zeitschrift fur Physik B Condensed Matter, 1986, vol. 64, iss. 2, pp. 189-193.
2. Wollman D. A., Van Harlingen D. J., Lee W. C., Ginsberg D. M., Leggett A. J. Experimental determination of the superconducting pairing state in YBCO from the phase coherence of YBCO-Pb dc SQUIDs // Physical Review Letters, 1993, vol. 71, p. 2134.
3. Tsuei C. C., and Kirtley J. R. Pairing symmetry in cuprate superconductors // Review of Modern Physics, 2000, vol. 72, p. 969.
4. Mazin I. I., Singh D. J., Johannes M. D., Du M. H. Unconventional Superconductivity with a Sign Reversal in the Order Parameter of LaFeAsO1-xFx // Physical Review Letters, 2008, vol. 101, p. 057003.
5. Wang F., Zhai H., Ran Y., Vishwanath A., Lee D. H. Funtional Renormalization Group Study of the Pairing Symmetry and Pairing Mechanism of the FeAs Based High Temperature Superconductors // Physical Review Letters, 2009, vol. 102, p. 047005.
6. Zhao G.-M. Unambiguous evidence for extended s-wave pairing symmetry in hole-doped high-temperature superconductors // Journal Philosophical Magazine, 2004, vol. 84, iss. 36, pp. 3861-3867.
7. Li Q. P., Koltenbah B. E. C., Joynt R. Mixed s-wave and d-wave superconductivity in high-rc systems // Physical Review B, 1993, vol. 48, p. 437.
8. Blumberg G., Koitzsch A., Gozar A, Dennis B. S., Kendziora C. A., Fournier P., Greene R. L. Nonmonotonic dx2_y2 Superconducting Order Parameter in Nd2_xCexCuO4 // Physical Review Letters, 2002, vol. 88, p. 107002.
9. Terashima K., Matsui H., Sato T., Takahashi T., Kofu M., Hirota K. Anomalous Momentum Dependence of the Superconducting Coherence Peak and Its Relation to the Pseudogap of La1,85Sr015CuO4 // Physical Review Letters, 2007, vol. 99, p. 017003.
10. Kuroki K., Onari S., Arita R., Usui H., Tanaka Y., Kontani H., Aoki H. Unconventional Pairing Originating from the Disconnected Fermi Surfaces of Superconducting LaFeAsO1-xFx // Physical Review Letters, 2008, vol. 101, p. 087004; Erratum Physical Review Letters, 2009, vol. 102, p. 109902.
11. Fletcher J. D., Serafin A., Malone L., Analytis J. G., Chu J.-H., Erickson A. S., Fisher I. R., Carrington A. Evidence for a Nodal-Line Superconducting State in LaFePO // Physical Review Letters, 2009, vol. 102, p. 147001.
12. Reid J.-Ph., Juneau-Fecteau A., Gordon R. T., Rene de Cotret S., Doiron-Leyraud N., Luo X. G., Shakeripour H., Chang J., Tanatar M. A., Kim H., Prozorov R., Saito T., Fukazawa H., Kohori Y., Kihou K., Lee C. H., Iyo A., Eisaki H., Shen B., Wen H.-H., Taillefer L. From d-wave to s-wave pairing in the iron-pnictide superconductor (Ba,K)Fe2As2 // Superconductor Science and Technology, 2012, vol. 25, no. 8, p. 084013.
13. Maier T. A., Graser S., Hirschfeld P. J., Scalapino D. J. d-wave pairing from spin fluctuations in the KxFe2-ySe2 superconductors // Physical Review B, 2011, vol. 83, p. 100515(R).
14. Kretzschmar F., Muschler B., Böhm T., Baum A., Hackl R., Wen H.-H., Tsurkan V., Deisenhofer J., Loidl A. Raman-Scattering Detection of Nearly Degenerate s-Wave and d-Wave Pairing Channels in Iron-Based Ba06K04Fe2As2 and Rb08Fe16Se2 Superconductors // Physical Review Letters., 2013, vol. 110, p. 187002.
15. Qian T., Wang X.-P., Jin W.-C., Zhang P., Richard P., Xu G., Dai X., Fang Z., Guo J.-G., Chen X.-L., Ding H. Absence of a Holelike Fermi Surface for the Iron-Based K0.8Fe1.7Se2 Superconductor Revealed by Angle-Resolved Photoemission Spectroscopy // Physical Review Letters., 2011, vol. 106, p. 187001
16. Zhang Y., Yang L. X., Xu M., Ye Z. R., Chen F., He C., Xu H. C., Jiang J., Xie B. P., Ying J. J., Wang X. F., Chen X. H., Hu J. P., Matsunami M., Kimura S., Feng D. L. Nodeless superconducting gap in AxFe2Se2 (A=K,Cs) revealed by angle-resolved photoemission spectroscopy // Nature Materials, 2011, vol. 10, pp. 273-277.
17. Wang F., Yang F., Gao M., Lu Z.-Y., Xiang T, Lee D.-H. The electron pairing of KxFe2-ySe2 // Europhysics Letters A, 2011, vol. 93, p. 57001.
18. Kotliar G. Resonating valence bonds and d-wave superconductivity // Physical Review B, 1988, vol. 37, p. 3664.
19. Maiti S., Korshunov M. M., Maier T. A., Hirschfeld P. J., Chubukov A. V. Evolution of the Superconducting State of Fe-Based Compounds with Doping // Physical Review Letters, 2011, vol. 107, p. 147002.
20. Müller K. A. Possible coexistence of s- and d-wave condensates in copper oxide superconductors // Letters to Nature, 1995, vol. 377, p. 133.
21. Musaelan K., Betouras J., Chubukov A., Joynt R. Mixed-symmetry superconductivity in two-dimensional Fermi liquids // Physical Review B, 1995, vol. 53, no. 6, p. 3598.
22. Liu M., Xing D. Y., and Wang Z.D. Mixed (s+id)-wave order parameters in the Van Hove scenario // Physical Review B, 1997, vol. 55, p. 3181.
23. Lee W.-C., Zhang S.-C., Wu C. Pairing State with a Time-Reversal Symmetry Breaking in FeAs-Based Superconductors // Physical Review Letters, 2009, vol. 102, p. 217002.
24. Platt C., Thomale R., Honerkamp C., Zhang S.-C., Hanke W. Mechanism for a pairing state with time-reversal symmetry breaking in iron-based superconductors // Physical Review B, 2012, vol. 85, p. 180502(R).
25. Graser S., Maier T. A., Hirschfeld P. J., Scalapino D. J. Near-degeneracy of several pairing channels in multiorbital models for the Fe pnictides // New Journal of Physics, 2009, vol. 11, p. 025016.
26. Maiti S., Hitschfield P. J. Collective modes in superconductors with competing s- and d-wave interactions // Physical Review B, 2015, vol. 92, p. 094506.
27. Akimenko A. I., Bobba F., Giubileo F., Gudimenko V. A., Scarfato A., Cucolo A. M. Evidence of s-Wave Subdominant Order Parameter in YBCO from Break Junction Tunneling Spectra // arXiv:cond-mat/0606552, 20062007. URL: https://arxiv.org/pdf/cond-mat/0606552.pdf (дата обращения 11 октября 2017).
28. Гильмутдинов В. Ф., Тимиргазин М. А., Аржников А. К. Симметрия сверхпроводящего параметра порядка в t -t' однозонной модели на квадратной решетке // Химическая физика и мезоскопия. 2016. Т. 18, № 3. С. 412-420.
29. Тинхам M. Введение в сверхпроводимость. М.: Атомиздат, 1980. 312 c.
30. Минеев В. П., Самохин К. В. Введение в теорию необычной сверхпроводимости. М.: Изд-во МФТИ, 1998. 144 c.
31. Cooper L. N. Bound Electron Pairs in a Degenerate Fermi Gas // Physical Review, 1956, vol. 104, p. 1189.
32. Hybertsen M. S., Stechel E. B., Foulkes W. M. C., Schlüter M. Model for low-energy electronic states probed by x-ray absorption in high-Tc cuprates // Physical Review B, 1992, vol. 45, p. 10032.
33. Szczeniak R., Durajski A. P. Electron-phonon pairing mechanism: cuprates with high value of the critical temperature // arXiv:1206.5531v1, 2012.
34. Durajski A. P. Doping dependence of critical temperature for superconductivity induced by hole-phonon interaction // Frontiers of Physics, 2016, vol. 11, p. 117408.
35. Inosov D. S., Park J. T., Charnukha A., Li Y., Boris A. V., Keimer B., Hinkov V. Crossover from weak to strong pairing in unconventional superconductors // Physical Review B, 2011, vol. 83, p. 214520.
36. Pavarini E., Dasgupta I., Saha-Dasgupta T., Jepsen O., Andersen O. K. Band-Structure Trend in Hole-Doped Cuprates and Correlation with Tcmax // Physical Review Letters, 2001, vol. 87, no. 4, p. 047003.
37. Yu G., Li Y., Motoyama E. M., Greven M. A universal relationship between magnetic resonance and superconducting gap in unconventional superconductors // Letter Nature Physics, 2009, vol. 5, pp. 873-875.
38. R0mer A. T., Kreisel A., Eremin I., Malakhov M. A., Maier T. A., Hirschfeld P. J., Andersen B. M. Pairing symmetry of the one-band Hubbard model in the paramagnetic weak-coupling limit: A numerical RPA study // Physical Review B, 2015, vol. 92, p. 104505.
39. Kreisel A., R0mer A. T., Hirschfeld P. J., Andersen B. M. Superconducting Phase Diagram of the Paramagnetic One-Band Hubbard Model // Journal of Superconductivity and Novel Magnetism, 2017, vol. 30, pp. 85-89.
40. Yanigasawa T. Physics of the Hubbard model and high temperature superconductivity // Journal of Physics: Conference Series, 2008, vol. 108, p. 012010.
41. Hlubina R. Phase diagram of the weak-coupling two-dimensional t-t' Hubbard model at low and intermediate electron density // Physical Review B, 1999, vol. 59, no. 14, p. 9600.
42. Simkovic F., Liu X.-W., Deng Y., Kozik E. Ground state phase diagram of the repulsive fermionic t-t' Hubbard model on the square lattice from weak-coupling // arXiv:1512.04271v1, 2016.
RELATIONSHIP BETWEEN SUPERCONDUCTING ORDER PARAMETER SYMMETRY, TEMPERATURE AND NEXT-NEAREST NEIGHBOR HOPPING
Gilmutdinov V. F., Timirgazin M. A., Arzhnikov A. K.
Physical-Technical Insisute, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Izhevsk, Russia
SUMMARY. High-temperature superconductivity (HTSC) was discovered about 30 years ago, but many problems still remains unsolved about this phenomenon. One of them is the symmetry of the superconducting order parameter (SOP) of iron and cuprate based superconductors. It is generally accepted that cuprate superconductors are characterized by the d-wave pairing, and iron based compounds have s-wave pairing. Nevertheless, there are a lot of data suggesting this is not always the case. For example, the analysis of the spectroscopy experiments reveals the s-wave pairing in Nd2-xCexCuO4 and La2-xSrxCuO4. Also it was shown within the Monte Carlo variational method for the 2D-model that in cuprate HTSCs a state with a mixture of s- and d-wave symmetry of SOP is more favorable than pure s-wave or d-wave states. The possibility of both s- and d-wave SOP formation in iron-based superconductors was shown in a number of investigations. It was shown that both s- and d-wave superconducting states can be realized in LaFeAsOi_xFx compounds. The results of ARPES studies on AxFe2-ySe2 compounds (A = Ca, K) showed the structure of the Fermi surface should lead to the d-wave symmetry of the SOP. The possibility of the s- and d-wave state coexistence in the quasi-two-dimensional structures was considered theoretically. The possibility of the mixed s+id-wave formation was shown. It turned out that the transition from the s- to d-wave state occurs through a mixed s+id phase and the phase transitions between the pure and mixed states are of the second order. The competition between s- and d-wave states and the formation of a mixed symmetry of SOP in iron based superconductors was considered within the Ginzburg-Landau theory. It was shown that the s+id-pairing can appear after the formation of a state with s-wave symmetry at the critical temperature Tc with decrease of temperature. This causes an interest in the studying of temperature transitions between s-, d- and s + id-wave states. We have considered superconducting states with the s-, d-, and s+id-symmetry of SOP in the quasi-two-dimensional structures within the mean-field approximation for a single-band model. We have taken into account the attraction of electrons V0 located at neighboring sites, the finite temperature T and the nearest-and next-nearest neighbor electron hopping integrals t and t', respectively. The ground state phase diagram of the one-band model in the variables t'/t and n was constructed for different V0 values. It was shown that both superconducting states and the intermediate phase s+id as well are realized in a wide range of the model parameters. Furthermore, an increase of the attraction parameter V0 leads to a larger size of the s+id-wave region. Also the finite temperature case was considered for different V0 and t'/t values. It was found the symmetry of SOP can vary with decreasing of temperature T. An important consequence of the constructed diagrams is that the region of the s+id-wave state does not border the normal metal region. The transition to the normal state is always occurs through the pure s- or d-wave state. This result agrees with the Landau phase transitions theory. This work is supported by Ural Branch of RAS in project 15-8-2-12, and by Russian Foundation of Basic Research in project of 16-42-180516.
KEYWORDS: high-temperature superconductivity, superconducting order parameter, mixed s+id-symmetry, cuprates, iron pnictides.
REFERENCES
1. Bednorz J. G., Müller K. A. Possible high-Tc superconductivity in the Ba-La-Cu-O system. Zeitschrift fur Physik B Condensed Matter, 1986, vol. 64, iss. 2, pp. 189-193. doi: 10.1007/BF01303701
2. Wollman D. A., Van Harlingen D. J., Lee W. C., Ginsberg D. M., Leggett A. J. Experimental determination of the superconducting pairing state in YBCO from the phase coherence of YBCO-Pb dc SQUIDs. Physical Review Letters, 1993, vol. 71, p. 2134. doi: 10.1103/PhysRevLett.71.2134
3. Tsuei C. C., and Kirtley J. R. Pairing symmetry in cuprate superconductors. Review of Modern Physics, 2000, vol. 72, p. 969. doi: 10.1103/RevModPhys.72.969
4. Mazin I. I., Singh D. J., Johannes M. D., Du M. H. Unconventional Superconductivity with a Sign Reversal in the Order Parameter of LaFeAsOi_xFx. Physical Review Letters, 2008, vol. 101, p. 057003. doi: 10.1103/PhysRevLett. 101.057003
5. Wang F., Zhai H., Ran Y., Vishwanath A., Lee D. H. Funtional Renormalization Group Study of the Pairing Symmetry and Pairing Mechanism of the FeAs Based High Temperature Superconductors. Physical Review Letters, 2009, vol. 102, p. 047005. doi: 10.1103/PhysRevLett.102.047005
6. Zhao G.-M. Unambiguous evidence for extended s-wave pairing symmetry in hole-doped high-temperature superconductors. Journal Philosophical Magazine, 2004, vol. 84, iss. 36, pp. 3861-3867. doi: 10.1080/14786430412331293504
7. Li Q. P., Koltenbah B. E. C., Joynt R. Mixed s-wave and d-wave superconductivity in high-rc systems. Physical Review B, 1993, vol. 48, p. 437. doi: 10.1103/PhysRevB.48.437
8. Blumberg G., Koitzsch A., Gozar A, Dennis B. S., Kendziora C. A., Fournier P., Greene R. L. Nonmonotonic dx2_y2 Superconducting Order Parameter in Nd2_xCexCuO4. Physical Review Letters, 2002, vol. 88, p. 107002. doi: 10.1103/PhysRevLett.88.107002
9. Terashima K., Matsui H., Sato T., Takahashi T., Kofu M., Hirota K. Anomalous Momentum Dependence of the Superconducting Coherence Peak and Its Relation to the Pseudogap of Lai,85Sr0,i5CuO4. Physical Review Letters, 2007, vol. 99, p. 017003. doi: 10.1103/PhysRevLett.99.017003
10. Kuroki K., Onari S., Arita R., Usui H., Tanaka Y., Kontani H., Aoki H. Unconventional Pairing Originating from the Disconnected Fermi Surfaces of Superconducting LaFeAsO1-xFx. Physical Review Letters, 2008, vol. 101, p. 087004. doi: 10.1103/PhysRevLett.101.087004; Erratum Physical Review Letters, 2009, vol. 102, p. 109902. doi: 10.1103/PhysRevLett.102.109902
11. Fletcher J. D., Serafin A., Malone L., Analytis J. G., Chu J.-H., Erickson A. S., Fisher I. R., Carrington A. Evidence for a Nodal-Line Superconducting State in LaFePO. Physical Review Letters, 2009, vol. 102, p. 147001. doi: 10.1103/PhysRevLett.102.147001
12. Reid J.-Ph., Juneau-Fecteau A., Gordon R. T., Rene de Cotret S., Doiron-Leyraud N., Luo X. G., Shakeripour H., Chang J., Tanatar M. A., Kim H., Prozorov R., Saito T., Fukazawa H., Kohori Y., Kihou K., Lee C. H., Iyo A., Eisaki H., Shen B., Wen H.-H., Taillefer L. From d-wave to s-wave pairing in the iron-pnictide superconductor (Ba,K)Fe2As2. Superconductor Science and Technology, 2012, vol. 25, no. 8, p. 084013. doi: 10.1088/09532048/25/8/084013
13. Maier T. A., Graser S., Hirschfeld P. J., Scalapino D. J. d-wave pairing from spin fluctuations in the KxFe2-ySe2 superconductors. Physical Review B, 2011, vol. 83, p. 100515(R). doi: 10.1103/PhysRevB.83.100515
14. Kretzschmar F., Muschler B., Böhm T., Baum A., Hackl R., Wen H.-H., Tsurkan V., Deisenhofer J., Loidl A. Raman-Scattering Detection of Nearly Degenerate s-Wave and d-Wave Pairing Channels in Iron-Based Ba0,6K04Fe2As2 and Rb08Fe16Se2 Superconductors. Physical Review Letters, 2013, vol. 110, p. 187002. doi: 10.1103/PhysRevLett.110.187002
15. Qian T., Wang X.-P., Jin W.-C., Zhang P., Richard P., Xu G., Dai X., Fang Z., Guo J.-G., Chen X.-L., Ding H. Absence of a Holelike Fermi Surface for the Iron-Based K0.8Fe1.7Se2 Superconductor Revealed by Angle-Resolved Photoemission Spectroscopy. Physical Review Letters, 2011, vol. 106, p. 187001 doi: https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.106.187001
16. Zhang Y., Yang L. X., Xu M., Ye Z. R., Chen F., He C., Xu H. C., Jiang J., Xie B. P., Ying J. J., Wang X. F., Chen X. H., Hu J. P., Matsunami M., Kimura S., Feng D. L. Nodeless superconducting gap in AxFe2Se2 (A=K,Cs) revealed by angle-resolved photoemission spectroscopy. Nature Materials, 2011, vol. 10, pp. 273-277. doi: 10.1038/nmat2981
17. Wang F., Yang F., Gao M., Lu Z.-Y., Xiang T, Lee D.-H. The electron pairing of KxFe2_ySe2. Europhysics Letters A, 2011, vol. 93, p. 57001. doi: 10.1209/0295-5075/93/57003
18. Kotliar G. Resonating valence bonds and d-wave superconductivity. Physical Review B, 1988, vol. 37, p. 3664. doi: 10.1103/PhysRevB.37.3664
19. Maiti S., Korshunov M. M., Maier T. A., Hirschfeld P. J., Chubukov A. V. Evolution of the Superconducting State of Fe-Based Compounds with Doping. Physical Review Letters, 2011, vol. 107, p. 147002. doi: 10.1103/PhysRevLett. 107.147002
20. Müller K. A. Possible coexistence of s- and d-wave condensates in copper oxide superconductors. Letters to Nature, 1995, vol. 377, p. 133. doi: 10.1038/377133a0
21. Musaelan K., Betouras J., Chubukov A., Joynt R. Mixed-symmetry superconductivity in two-dimensional Fermi liquids. Physical Review B, 1995, vol. 53, no. 6, p. 3598. doi: 10.1103/PhysRevB.53.3598
22. Liu M., Xing D. Y., and Wang Z.D. Mixed (s+id)-wave order parameters in the Van Hove scenario. Physical Review B, 1997, vol. 55, p. 3181. doi: 10.1103/PhysRevB.55.3181
23. Lee W.-C., Zhang S.-C., Wu C. Pairing State with a Time-Reversal Symmetry Breaking in FeAs-Based Superconductors. Physical Review Letters, 2009, vol. 102, p. 217002. doi: 10.1103/PhysRevLett.102.217002
24. Platt C., Thomale R., Honerkamp C., Zhang S.-C., Hanke W. Mechanism for a pairing state with time-reversal symmetry breaking in iron-based superconductors. Physical Review B, 2012, vol. 85, p. 180502(R). doi: 10.1103/PhysRevB.85.180502
25. Graser S., Maier T. A., Hirschfeld P. J., Scalapino D. J. Near-degeneracy of several pairing channels in multiorbital models for the Fe pnictides. New Journal of Physics, 2009, vol. 11, p. 025016.doi: 10.1088/13672630/11/2/025016
26. Maiti S., Hitschfield P. J. Collective modes in superconductors with competing s- and d-wave interactions // Physical Review B, 2015, vol. 92, p. 094506. doi: 10.1103/PhysRevB.92.094506
27. Akimenko A. I., Bobba F., Giubileo F., Gudimenko V. A., Scarfato A., Cucolo A. M. Evidence of s-Wave Subdominant Order Parameter in YBCO from Break Junction Tunneling Spectra. arXiv:cond-mat/0606552, 2006-2007. https://arxiv.org/pdf/cond-mat/0606552.pdf (accessed October 11, 2017).
28. Gil'mutdinov V. F., Timirgazin M. A., Arzhnikov A. K. Simmetriya sverkhprovodyashchego parametra poryadka v t - t' odnozonnoy modeli na kvadratnoy reshetke [The symmetry of the superconducting order parameter within the t — t one-band model on the square lattice]. Khimicheskaya fizika i mezoskopiya [Chemical Physics and Mesoscopy], 2016, vol. 18, no. 3, pp. 412-420.
29. Tinkham M. Vvedenie v sverkhprovodimost' [Introduction to superconductivity]. Moscow: Atomizdat Publ., 1980. 312 p.
30. Mineev V. P., Samokhin K. V. Vvedenie v teoriyu neobychnoy sverkhprovodimosti [Introduction to the theory of unusual superconductivity]. Moscow: MFTI Publ., 1998. 144 p.
31. Cooper L. N. Bound Electron Pairs in a Degenerate Fermi Gas. Physical Review, 1956, vol. 104, p. 1189. doi: 10.1103/PhysRev.104.1189
32. Hybertsen M. S., Stechel E. B., Foulkes W. M. C., Schlüter M. Model for low-energy electronic states probed by x-ray absorption in high-Tc cuprates. Physical Review B, 1992, vol. 45, p. 10032. doi: 10.1103/PhysRevB.45.10032
33. Szczeniak R., Durajski A. P. Electron-phonon pairing mechanism: cuprates with high value of the critical temperature. arXiv:1206.5531v1, 2012. doi: 10.12693/APhysPolA.126.A-92
34. Durajski A. P. Doping dependence of critical temperature for superconductivity induced by hole-phonon interaction. Frontiers of Physics, 2016, vol. 11, p. 117408. doi: 10.1016/j.physleta.2017.08.029
35. Inosov D. S., Park J. T., Charnukha A., Li Y., Boris A. V., Keimer B., Hinkov V. Crossover from weak to strong pairing in unconventional superconductors. Physical Review B, 2011, vol. 83, p. 214520. doi: 10.1103/PhysRevB.83.214520
36. Pavarini E., Dasgupta I., Saha-Dasgupta T., Jepsen O., Andersen O. K. Band-Structure Trend in Hole-Doped Cuprates and Correlation with Tcmax. Physical Review Letters, 2001, vol. 87, no. 4, p. 047003. doi: 10.1103/PhysRevLett.87.047003
37. Yu G., Li Y., Motoyama E. M., Greven M. A universal relationship between magnetic resonance and superconducting gap in unconventional superconductors. Letter Nature Physics, 2009, vol. 5, pp. 873-875. doi: 10.1038/nphy s 1426
38. R0mer A. T., Kreisel A., Eremin I., Malakhov M. A., Maier T. A., Hirschfeld P. J., Andersen B. M. Pairing symmetry of the one-band Hubbard model in the paramagnetic weak-coupling limit: A numerical RPA study. Physical Review B, 2015, vol. 92, p. 104505. doi: 10.1103/PhysRevB.92.104505
39. Kreisel A., R0mer A. T., Hirschfeld P. J., Andersen B. M. Superconducting Phase Diagram of the Paramagnetic One-Band Hubbard Model. Journal of Superconductivity and Novel Magnetism, 2017, vol. 30, pp. 85-89. doi: 10.1007/s10948-016-3758-x
40. Yanigasawa T. Physics of the Hubbard model and high temperature superconductivity. Journal of Physics: Conference Series, 2008, vol. 108, p. 012010. doi: 10.1088/1742-6596/108/1/012010
41. Hlubina R. Phase diagram of the weak-coupling two-dimensional t-t' Hubbard model at low and intermediate electron density. Physical Review B, 1999, vol. 59, no. 14, p. 9600. doi: 10.1103/PhysRevB.59.9600
42. Simkovic F., Liu X.-W., Deng Y., Kozik E. Ground state phase diagram of the repulsive fermionic t-t' Hubbard model on the square lattice from weak-coupling. arXiv:1512.04271v1, 2016. doi: 10.1103/PhysRevB.94.085106
Гильмутдинов Виталий Фаатович, аспирант ОТФ ФТИ УрО РАН, тел. (3412)218988, e-mail: vitaliodestroyer@gmail. com
Тимиргазин Марат Аликович, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник ОТФ ФТИ УрО РАН, тел. (3412)218988, e-mail: [email protected]
Аржников Анатолий Константинович, доктор физико-математических наук, доцент, заведующий ОТФ ФТИ УрО РАН, тел. (3412)216977, e-mail: [email protected]
