CC BY
11
УДК 538.955:537.622
СПИРАЛЬНОЕ МАГНИТНОЕ УПОРЯДОЧЕНИЕ В МОДЕЛИ ХАББАРДА ДЛЯ ОЦК РЕШЕТКИ
ТИМИРГАЗИН М.А., *ГИЛЬМУТДИНОВ В.Ф.
Физико-технический институт УрО РАН, 426000, г. Ижевск, ул. Кирова, 132 *Удмуртский государственный университет, 426039, г.Ижевск, ул.Университетская, 1
АННОТАЦИЯ. Рассматривается спиральное магнитное упорядочение в рамках модели Хаббарда в приближении среднего поля для ОЦК решетки. Рассчитана магнитная фазовая диаграмма модели. Показано, что спиральное состояние являются основным магнитным состоянием в широком диапазоне параметров модели.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: металлы, магнитный момент, модель Хаббарда, спиральная спиновая структура. ВВЕДЕНИЕ
Магнетизм 3^-переходных металлов и сплавов на их основе остается одним из наиболее запутанных и непростых физических явлений. Это связано со сложным характером взаимодействия электронов, которые в таких материалах проявляют как коллективизированную, так и локализованную природу.
Для описания свойств двумерных и трехмерных систем взаимодействующих электронов традиционно используется модель Хаббарда. Обладая относительной простотой, эта модель позволяет охватить широкий диапазон сложных явлений, возникающих при сильном электрон-электронном взаимодействии, таких как ферро- и антиферромагнитное упорядочение и сверхпроводимость. Удивительно, но, несмотря на то, что модель Хаббарда изучается в течение длительного времени, ее магнитная фазовая диаграмма до сих пор не построена полностью даже в рамках приближения среднего поля. Обычно рассматривается конкуренция только коллинеарных фаз: ферромагнитной и антиферромагнитной. Однако, на практике наблюдаются также различные неколлинеарные структуры, период которых несоизмерим с постоянной решетки. В частности, в у-фазе Бе [1], а также таких сплавах, как Си-Мп [2], Pd-Mn [3], Бе-А1 [4], реализуется спиральное спиновое (СС) упорядочение. Условия формирования таких магнитных структур в трехмерных системах на данный момент не изучены в рамках модели Хаббарда.
Предыдущие исследования модели Хаббарда, проведенные для плоской квадратной решетки показывают, что СС состояние является энергетически выгодным в значительном диапазоне параметров модели [5], что согласуется с экспериментальными данными по магнитной структуре квазидвумерных сверхпроводящих соединений на основе купратов [6, 7]. Можно предположить, что данная закономерность сохранится и для трехмерных кристаллических решеток. Целью данной работы является построение магнитной фазовой диаграммы модели Хаббарда для объемно-центрированной кубической (ОЦК) решетки, которую, в частности, имеют такие магнитные 3^-металлы, как Бе и Сг.
МОДЕЛЬ И РЕЗУЛЬТАТЫ
Модель Хаббарда была разработана для описания проводящих магнетиков, в которых магнитные свойства определяются электронами проводимости. В первую очередь это 3й -переходные металлы. Основным предположением является то, что электроны лишь одного энергетического уровня могут переходить с одного узла на другой. Считается также, что кулоновское взаимодействие между электронами, находящимися на разных узлах, пренебрежимо мало по сравнению с взаимодействием одноузельных электронов.
Гамильтониан модели имеет вид:
Н = — У 111'С О Г0 + и Тл ^ П| , (1)
N .Ы .Ъ0 1 ,0 N 1,1 1,^’ 4 '
' ,о 1
где с+0 и е^а - операторы рождения и уничтожения электрона на узле ] со спином о;
^ 1 ' - матричный элемент кинетической энергии переноса электрона с узла на узел;
и - параметр кулоновского отталкивания; N - число узлов в системе; п. 0 - оператор числа
электронов на узле 1 со спином о : п. 0 = с!0с. 0.
Первое слагаемое в (1) представляет собой кинетическую энергию невзаимодействующих электронов, а второе - энергию кулоновского отталкивания одноузельных электронов. В предположении, что перескоки электронов могут происходить только между соседними узлами, гамильтониан можно переписать в следующей форме:
Н = — Уп, + — У 1е+0с 1+8о - — У(5+5- 5-5 +), (2)
2N “ ; N £0 10 1+8,0 2N ^ 1 1 1 1 ’
где 5 + = 51х + /5?' = 5- = 5* - /5 1 = с+, с lt; £ - вектора, соединяющие узел 1 с его
1 1 1 1 I <1^ 111 <1^ 1 I
ближайшими соседями. Здесь и далее для удобства записи постоянная решетки, фактор Ланде и магнетон Бора принимается равным единице.
Введём обозначение: (...) = <0 |... | 0) - квантовомеханическое усреднение по основному состоянию гамильтониана. Пренебрегая зарядовыми флуктуациями, считаем зарядовую плотность однородной: п = <п ) .
Представим гамильтониан в виде суммы:
Н = Н + Нш, (3)
ип ^ +
Н=Ц- +1 tjj - uij;+<S;>S;+< s;>< s;>)
H„,=и z((S;-< st>)( sj--< s;>)+( s;-< s;>)(S;-< j)) ■
j
Решение задачи с полным гамильтонианом Н (3) является чрезвычайно трудновыполнимым - для подобных гамильтонианов получено немного математически точных результатов. В данной работе рассматривается одно из наиболее простых приближений - приближение среднего поля, которое заключается в пренебрежении Hint.
Мы считаем,что магнитная структура имеет вид спирали:
< Sj > = M cos QRj,
< Sj > = M sin QRj.
Производя преобразования Фурье, перейдем к следующему представлению гамильтониана Н0:
Н0 U^M + 2 J + LlSkCk,TCk,t + ^ +QCk+Q^Ck+Q,^
— UM^L{Cis_,^Ck+q,^ + Ck+Q,^Ck,T }
N k
где
*k = t ye ",
S
1 ^ -ikR і
1,ce
Zcj,c^"j
c + = 1 yc + e ikRJ
Ckс ГТ7 yCJ,ce , (5)
VN j
Sk = N z; e-'“j = -— Zw, s k- = N Z; e'kRj = N Zc*.,k,j Ck.,.
Гамильтониан H 0 можно диагонализовать в представлении операторов:
Ak = ck,t cos^k +Ck+Q,^ sin^k,
Bk+Q = Ck,, sin^k - Ck+Q,^ cos^
(6)
2UM
tan 2dk =-------------------------------------------------------. (7)
Sk+Q Sk
Гамильтониан, таким образом, принимает диагональный вид:
H„ = U [M2 + 2'+N yyjst'At* At + StV+<A+Q }
где
W fe)2+(mu )2 sign(£k W )2+(m—)2
(8)
< = < + ^п(^к И 1£к 1 +
= £+ - sign(£,: к/(^т)2 +
„+ = 8к + £к+о - = 8к - £к+о
к 2 , к 2 .
Для определения основного магнитного состояния необходимо при фиксированных параметрах и/^, О решить систему из двух самосогласованных уравнений для магнитного момента и числа электронов:
SF
n = — У (п,Л + n,B
1 F
M = 2^ У (nk - nk+Q ) sin 20k ,
где числа заполнения nk = ^Ak Aky, nk+Q = ^B1*+q Bk+Qj подчиняются распределению Ферми-Дирака.
Основное состояние определяется минимизацией полной энергии системы
2 1 Sp
Ess (Q) = < Н > = U (M2 + -) + - £(stA< +Sif,Q -% ) (10)
2 N k
по всем возможным векторам Q .
Расчеты проводились для ОЦК-решетки, для которой закон дисперсии имеет вид:
о, кх ky k
sk = -8t cos— cos cos——. k 2 2 2
Трехмерные интегралы по зоне Бриллюэна вычислялись на адаптивной сетке с
первоначальным разбиением 40*40*40 точек в k -пространстве. Для интегрирования
использовался метод тетраэдров [8, 9].
Ck с
Рис. 1. Фазовая диаграмма СС состояния для ОЦК решетки
Полученные результаты представлены на рис. 1. Фазовая диаграмма включает в себя области, соответствующие парамагнитной и СС фазам. Граница раздела этих фаз описывается обобщенным критерием Стонера, который можно получить, перейдя в (9) к пределу М ^ 0 :
р пА — пв
п' пк+Q
и м N
Область СС состояний на диаграмме разделена на подобласти, соответствующие различным направлениям волнового вектора спирали: (2,2,2), (2,—п) , (2,2,—) Кроме того, на диаграмме выделены области, в которых волновой вектор остается неизменным:
(—, —, —), (—, — ,п). Также на диаграмме представлены области коллинеарных магнитных
2 2 2 2 2
состояний, которые являются частными случаями вышеперечисленных СС фаз: ферромагнитная (ФМ) (0,0,0) и антиферромагнитная (АФМ) (— — —). АФМ состояние реализуется лишь при половинном заполнении.
При увеличении U/t наблюдается тенденция к расширению области ФМ состояния. Этот результат согласуется с теоремой Нагаока [10], согласно которой в ОЦК решетке ФМ состояние является основным для любых значений п при U/t ^ да .
, п п п.
Рис. 2. Магнитная структура
Наиболее интересным результатом является обширная область диаграммы, в которой реализуется неколлинеарное
ппп состояние (—, — ,—) (рис. 2).
2 2 2
Существование подобных магнитных структур обычно связывается со сложными взаимодействиями типа взаимодействия Дзялошинского-Мория.
Полученные нами результаты свидетельствуют о том, что структуры типа (П,П,ПП) и
другие неколлинеарные магнитные упорядочения могут при определенных условиях стабилизироваться в системах переходных 3^-металлов при наличии лишь тех взаимодействий, которые включает в себя приближение среднего поля.
Для описания реальных систем и объяснения доминирования в них коллинеарных магнитных структур, а не спиральных, как следовало бы ожидать, исходя из представленных расчетов, требуется, по всей видимости, выйти за рамки сделанных в работе приближений.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Tsunoda Y. Spin-density wave in cubic y-Fe and y-Fei00-xCox precipitates in Cu // Journal of Physics: Condensed Matter. 1989. V. 1, № 51. P. 10427-10438.
2. Lamelas F.J., Werner S.A., Shapiro S.M. et al. Intrinsic spin-density-wave magnetism in Cu-Mn alloys // Phys. Rev. B. 1995. V. 51, № 1. P. 621-624.
3. Tsunoda Y., Hiruma N., Robertson J.L. et al. Spin-density-wave clusters in PdMn spin-glass alloys // Phys. Rev. B. 1997. V. 56, № 17. P. 11051-11055.
4. Noakes D.R., Arrott A.S., Belk M.G. et al. Incommensurate spin density waves in iron aluminides // Phys. Rev. Lett. 2003. V. 91, № 21. P. 217201(1) - 217201(4).
5. Igoshev P.A., Timirgazin M.A., Katanin A.A. et al. Incommensurate magnetic order and phase separation in the two-dimensional Hubbard model with nearest-and next-nearest-neighbor hopping // Phys. Rev. B. 2010. V. 81. P. 094407.
6. Matsuda M., Fujita M., Yamada K. et al. Electronic phase separation in lightly doped La2-xSrxCuO4 // Phys. Rev. B. 2002. V. 65. P. 134515.
7. Fujita M., Yamada K., Hiraka H. et al. Static magnetic correlations near the insulating-superconducting phase boundary in La2-xSrxCuO4 // Phys. Rev. B. 2002. V. 65. P. 064505.
8. Lehmann G., Taut M. On the numerical calculation of the density of states and related properties // Phys. Stat. Sol. B. 1972. V. 54. P. 469-477.
9. Lehmann G., Taut M. Addendum to the paper [8] // Phys. Stat. Sol. B. 1973. V. 57. P. 815.
10. Nagaoka Y. Ferromagnetism in a Narrow, Almost Half-Filled s Band // Phys. Rev. 1966. V. 147. P. 392.
SPIRAL MAGNETIC ORDER IN THE HUBBARD MODEL FOR BCC LATTICE
Timirgazin M.A., *Gilmutdinov V.F.
Physical-Technical Institute, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Izhevsk, Russia *Udmurt State University, Izhevsk, Russia
SUMMARY. The spiral magnetic order in bcc lattice is considered within the Hubbard model in the mean-field approximation. The magnetic phase diagram of the model is calculated. The spiral state is shown to be the ground magnetic state in a wide range of parameters of the model.
KEYWORDS: metals, magnetic moment, Hubbard model, spin-spiral structure.
Тимиргазин Марат Аликович, кандидат физико-математических наук, научный сотрудник отдела теоретической физики ФТИ УрО РАН, тел. 21-89-88, e-mail: [email protected]
Гильмутдинов Виталий Фаатович, студент УдГУ, тел. (3412)50-53-27, e-mail: [email protected]
