CC BY
31
СООТНОШЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ КВАДРАТУРЫ КРУГА В «ПОЛЕ - М»
CORRELATION OF GEOMETRIC ELEMENTS SQUARING THE
CIRCLE «FIELD - M»
Ю.О. Полежаев, T.B. Митина
J.O. Polezhaev, T.V. Mitina
ГОУ ВПО МГСУ
В работе рассматриваются линейные и угловые характеристики в приложении к элементам квадратуры круга. Предложены системы отсчета, их фиксации. сравниваются метрики площадей фигур в квадратуре круга, в частности, определяются величины эквиареалов.
In this paper we consider linear and angular characteristics of the annex to the elements of squaring the circle. Proposed system of reference, their fixation. compares the metric space of shapes in squaring the circle, in particular, are determined by the value ekviarealov.
Одной из древних геометрических композиций являются так называемая «квадратура круга». Известны многочисленные исследования свойств и отношений её элементов [1]. Не претендуя на приоритет, рассмотрим некоторые вопросы геометрогра-фии и аналитики относительно названного объекта в свете нашего времени.
Пусть на дуге окружности (О, R) квадратуры для произвольно расположенной точки (М) задано (Рис.1) вращение на некоторый угол и отрезок (М, М1) - хорда для соответственной дуги. Если рассматривать точку (М) в качестве центра, а линию хорды вращать, - точка (М1) будет получать на окружности новые позиции (М1, М2, МЗ, М4,...). Пересекая центр (О), хорда имеет наибольшую величину (2R), а, приближаясь к (М), - будет уменьшаться до (0).
Определим, далее, основные свойства, увязывающие метрические свойства «пря-mo...(Lm)» и «криволинейных (См)» отрезков для рассматриваемой окружности.
I. Некоторые величины хорд могли бы делить окружность на части, количество которых соответствует простым числам: N=2tcR/Cm.
II. Иные хорды могли бы обладать тем же свойством на К-циклах, витках окружности; т.е. делить ее суммарную дугу на части соответствующие тем или иным соотношениям простых чисел. Для этих случаев: N=K*2tcR/Lm, где Lm заменяется длиной дуги (См) по понятным соображениям. Тогда выражение для числа, на которое делится суммарная дуга примет вид: N= K*2tcR/Cm.
III. Выделим так же группу хорд, для которых предыдущие два условия не выполняются, а число N - нерациональное по тем или иным причинам.
Назовем первую (I) группу хорд «гармоническими»; вторую (II) «циклично-гармоническими», третью (III) «комбинаторно-гармническими», при условии, что имеет место чередование хорд первой (I) и второй (II) групп, четвертую (IV) «дисгармоническими», когда точка (М1), вращаясь по дуге, не зависимо от количества ее циклов, не сможет быть инцидентной с исходной точкой (М1); пятую(У) - «композицион-
4/2010
ВЕСТНИК
МГСУ
но-полигональными», для которых возможны вышеперечисленные хорды в определенных последовательностях перестановок и сочетаний выше названных условий.
Две соседние или произвольные позиции хорд с точками (ММ1; ММ2; ММп) формируют (ф°) угол, который для позиций (М1) и (М2) в окрестностях малых хорд из точки (М) стремиться к (0). Далее углы возрастают, также в зависимости и от системы отсчета. Договоримся сначала рассматривать углы с вершинами (М), стороны которых лежат внутри окружности и опираются на нее, - т.е. внутренние циклические углы. При отрицательном движении (ММ1), т.е. по часовой стрелке, - угол увеличивается в отношении к неподвижной (ММ1): Признаком максимальной действительной величины угла в (180° - Аф°) явится совмещение (ММ1) с 1 либо, что имеет значение, уменьшение длины бегущей стороны угла до (0) в пределах круга. При дальнейшем вращении сторона угла уходит своим положительным отрезком за площадь круга, затем сторона вновь появляется, и при совмещении с исходной позицией (ММ1) получается значение угла (360°) на данном цикле. Заметим, на внешней стороне от касательной (1) для точки (М) углы считаются «мнимыми», т.к. положительная «бегущая» сторона не опирается на дугу окружности. Данную систему отчета углов назовем «относительной» в приложении к базовой хорде (ММ1).
Другая система отсчета, «абсолютная», - предполагает точку (М) за исходную и за вершину угла, для которого «бегущая» хорда (ММ1), например в положительном направлении, т.е. против часовой стрелки, - является стороной угла для неподвижной базовой прямой, касательной (1м). Таким образом, отсчет углов производится от касательной к позиции хорды с «бегущей» точкой (М1). В этом случае признаком угла (180°) явится уменьшение его «бегущей» стороны до (0), затем в области (180° + 180°) углы будут мнимыми, и, наконец, после значения угла (360°), на втором цикле появятся углы в явном выражении (360° + ф^.
Характерный отрицательный угол (-45°) для первой системы отсчета показан (Рис. 1) в построении точки (45°); построение точки и угла (+30°) выполнено для второй системы отсчета на интервале одного цикла окружности. Разумеется, две приведенные угловые метрические системы отсчета связаны параметрически с традиционной угловой системой, для которой центр и «хорда» диаметр, проходящая через него, -приняты за базовые элементы.
Добавим к изложенному ..., в случаях п-циклических окружностей, - они могут моделироваться для фиксаций линейных и угловых величин различными преобразова-
ниями. Например, а) циклами с точечной инциденцией дуг, или б) портфолиоциклами, т.е. раскладкой циклов (Рис.1).
Переходя от рассмотрения линейных и угловых величин к метрике площадей в «Поле - М», упомянем о возможности задать равенство =N, где (N) и (R) - неизвестные, но взаимосвязанные числа. Если левая часть равенства имеет отношение к площади кругов, а правая - к площадям прямолинейных фигур, для выражения =10(1*1) площадь окружности (0;R) равна прямоугольному треугольнику (ABC) или (40) площадям квадратов с единичными сторонами деленными пополам (Xd;E), которые обозначены сторонами (Xd;E), в квадратах соответственно (5*8=10*4=40).
При этом количество единичных квадратов и их суммарная площадь равная площади окружности, как это указано выше, равна (10). При таких соотношениях Ro = = 1,784124302... является отрезком, длина которого - нерациональное число. Но с этим числом, как и с другими, - нужно и можно жить и строить. В арифметике и гео-метрографии, т.е. в числах и отрезках такие разнородные данные весьма успешно практикуются в зависимости от «допусков и посадок». Например, вместо отрезка равного двум единицам длины, будет «выставлена» величина (1,999(9)...); или вместо отрезка (3,14159...), используют весьма удобную и допустимую по условиям точности, обговоренной заранее, - величину (3,16).
Итак, при Ro=1,78 координаты центра-точки (О) могут быть избранными на «По-ле-М», например, в точке (О) либо (Ф) по необходимости. Для точки (О) координаты соответствуют: Хо=0; Уо=1/4. Рассматривая чертеж (Рис. 2), убеждаемся, что треугольник (ABC) равен площади круга (0;R), а треугольник (АОС) равен его половине, т.е. (5). Если же, для сравнения с последним, ввести в окружность гармонический тре-
Н,
ü-4
4/2010 М1 ВЕСТНИК
угольник, окажется, что его площадь составляет ((3^3)/4)*R2 или против
(ftR2) для площади круга. Соответственно, для половины круга, через единичные отрезки, площадь этого треугольника в числовом выражении пропорции составляет (4,134.../5). Площадь гармонического треугольника — наибольшая для вписанных. Поднимая или опуская его основание, в сравнении с исходным, будем иметь уменьшение площадей полугармонических, равнобедренных треугольников. Так, треугольник с основанием (2R) имеет площадь (R2) и т.д. Известны сходные результаты моделирования по этой теме Х.Гюйгенса для уточнения численной величины (л). Нам природа числа (л), можно сказать, известна. Используя это знание, есть возможность найти удобочисленную величину равнобедренного треугольника с площадью (jiR2/4), т.е. в четверть площади круга.
Напомним, что половине площади круга равен треугольник (АОС), также равнобедренный, но не вписанный в окружность, а четверти круга равен треугольник с основанием (-1; 1) вдвое меньше (AC). A priori, минуя несложный анализ, можно констатировать, что фигура равнобедренного треугольника, вписанного в окружность квадратуры, с некоторым приближением имеет полуоснование равное ±29мм. (Рис. 2) или (0,725) стороны единичного квадрата, а высота этого треугольника равна 137,5 мм или (3,4375). В свою очередь, эти параметры определяют площадь треугольника в 4000 мм2 или (2,5) площади квадратов, что соотносится с четвертью площади круга, а также аналогичной изометрической величиной площади квадратуры.
Для отыскания стороны квадрата, являющегося эквиареалом площади круга, воспользуемся, в качестве параметра, его ординатой от базовой точки (OA). С некоторым упрощением модели, получим среднее линейное значение между ординатами для точек (2) и (2,5), как величину отрезка с точкой (Ум), лежащей на половине медианы треугольника (2; 2,5;0) и точкой (Xd) на горизонтальной оси из (OA). Отрезок (Ум; Xd) ,он же ^10, может быть принят за сторону квадрата равновеликого исходным треугольнику (ABC) и соответственным прямоугольникам. Иными словами, найдена сторона квадрата, который, кроме (ААВС), соответствует эквиареалам двух прямоугольников с площадями (10ед.2) и сторонами (2,5;В;С;Е), а также (2,A,C,F) соответственно. Далее, одну из вершин квадрата можно поместить в точку (OA), и он займет место в ряду иерархии прямоугольников с равными площадями. К тому же, из начала (OA) до вершины (Р) в асимптотических координатах: xa*ya=P2:2; откуда (0А;Р)= ^20=4,472... Используя половину стороны квадрата, легко оказать для него позицию гармоническую в отношении к окружности, т.е. c общим центром (О), или т.н. квадратуру круга. Укажем, наконец, в этой небольшой работе, что ромб (Е; 2; 2,5; F) также является эквиареалом круга, и квадратуры.
Приведенное исследование может быть использовано в практике архитектур-но0строительного проектирования [2] при решении систематизированных вопросов построения геометрографических композиций.
Литература
1. Кондратьева Т.М., Полежаев Ю.О. Частные вопросы геометрографнн применительно к системе «Поле-метр» и квадратуре круга. «Вестник МГСУ» - М.: МГСУ, 2007
2. Полежаев Ю.О., Кондратьева Т.М. Исследование конфигураций в «Поле-М» для использования в архитектурно-строительном проектировании. Сб.докладов VI научно-практической конференции «Фундаментальные науки в современном строительстве». - М.: МГСУ, 2008
The Literature
1. Kondrateva T.M., Polezhaev J.O. Chastnye voprosy geometrografii primenitelyno k sisteme «Pole-M». «Vestnik MGSU» - M: MGSU, 2007
2. Polezhaev J.O., Kondratyev T.M. Issledovanie konfiguraciy v «Pole-M» dlja ispolyzova-nija v arhitekturno-stroitekynom proektirovanii Sb.dokladov VI nauchno-prakticheskoy konferencii «Fundamentalynye nauki v sovremennom stroitelystve». - M: MGSU, 2008
Ключевые слова: квадратура круга, хорда, инциденция, «бегущая» сторона угла, n-циклические окружности, портфолноцикл, эквнареал, полуоснование.
Keywords: a circle quadrature, a chord, incidency, "a running" side of angle, n-cyclic circles, portfoliotsikl, ekviareal, the semibasis.
E-mail автора: grafika@mgsu.ru
Рецензент: B.H. Ткачев, доктор архитектуры, профессор, профессор кафедры Дизайн среды Международного славянского института.
