CC BY
26
Б/2011 М1ВЕСТНИК
КВАДРАТУРА ЭЛЛИПТИЧНОСТИ И ЕЁ ПОЛИГОНАЛЬНЫЕ
СТРУКТУРЫ
SQUARING THE ELLIPTICITY AND ITS POLYGONAL STRUCTURE
Ю.О. Полежаев, Е.П. Никитенко
J.O. Polezhayev, E.P. Nikitenko
ФГБОУ ВПО МГСУ
Приведено краткое изложение построения одного частного случая моделирования конфигурации, обладающей свойствами гармонизма симметрии и «золотой пропорции». Исходным изображением является «квадратура круга», которая целевыми преобразованиями видоизменяется, приобретая дополнительные свойства гармониз-
Is a summary of the construction of a special case of the modeling of the configuration having theproperties of symmetry and harmonism "golden mean". The source image is the "squaring the circle", which transforms the target is modified by acquiring additionalprop-erties harmonism.
Ha изображении (Рис.1) задана квадратура, где ((L □ = - b;b)) и (R □ = 0;b). Принято, что исходная окружность квадратуры (R □ ) на оси (x) определяет отрезки (i с) и следовательно, в точках (-b) и (b) позиции фокусов (-F) и (F) для искомого эллипса.
Точки (a e) и (-a e) эллипса на (x) определяет дуга окружности (V2 R □ ), проходящая через вершины квадратуры. Бегущие точки эллипса определены инцидентами пар дуг окружностей с центрами (-b) и (b). Их радиусы избирались в рабочем интервале вспомогательной прямой (b;2a). Например, для одной дуги, назначен радиус (b;i), для другой [(2a;i) = (b;2a) -(b;i)]. Все точки эллипсов, построенные таким моделированием, являются вершинами остроугольных или тупоугольных треугольников опирающихся на одно основание (-b; b). В пределах квадратуры треугольники - могут быть остроугольные. «Пограничный» остроугольный треугольник, сторона - катет которого совпадает со стороной квадратуры, - имеет вершину (М), в качестве эллиптической точки, почти совпадающую с дугой золотой (R 1 ;0) окружности концентричной и внутренней для данной квадратуры. Все названные треугольники, будучи дополненными равными и кососимметричными относительно центра (0) фигурами, - преобразуются в ромбы, имеющие одну из диагоналей в качестве константы ((-b; b) ^ const). Вторая диагональ изменяется функционально от (2b) и (2a). Все треугольники и все ромбы представляют соответственные семейства эквипериметрических фигур.
Итак, вышеизложенное геометрографическое моделирование полигонов с эквипе-риметрическими свойствами на базе квадратуры круга, - явно соотносится с «эллиптическим свойством» квадрик.
ВЕС™1ГО 8/2011
Не детализируя порядок построения эллиптических точек квадратуры круга, при условии, когда внешняя циркулятура (Яа ) и исходная окружность (Яъ ) связаны от-
(Яа : Яь = л/2), — укажем сокращенное построение ряда геометрических
ношением
мест точек эллипса. Для этого достаточно определить инциденции вертикалей: уь ;2Ь / 5;4Ь / 5;6Ь / 5 или им центрально - подобно, с дугами окружностей от центра
(Ьх) и радиусами: уь; — либо им, соответственно, подобными.
В итоге, речь идет о точках эллипса: уь ;1е ;2е ;3е; ае , - дуга которого может рассматриваться в «новой квадратуре», преобразованной в отношении к исходной по типу III. Здесь сторона квадрата (± ае) и радиус окружности (Яе = ^л/2).
Рис.1
А/ЭПИ ВЕСТНИК
Для построения касательной в точке (M1) эллипса на изображении (Рис.1) применены два способа. Один из них относится к известной традиции: когда, используя сжатие окружности, вначале определяют касательную от ее соответственной исходной точки, а потом, через полярную точку, - фиксируют касательную к заданной точке сжатой окружности. Второй способ соотносится со свойством сопряженных диаметров эллипса, поскольку его касательные могут интерпретироваться в качестве соответственных вырожденных сопряженных диаметров. Пусть на дуге эллипса задана точка (M1), через которую требуется построить касательную. Примем направление (M1 ;0) за один из диаметров эллипса. Для нахождения направления сопряженного диаметра
1 г л г * *
построим на вертикали из (М1) отрезок (М1; m) равный (0; -Ь). Соединив (-Ь; m),
1 г * *
получим параллелограмм (М1 ;0; — уь ; т). Продолжив (— уь ; т) до инциденции
* *
в ( Ь) с эллипсом, и соединив ( Ь) с (уь), будем иметь искомое направление сопря-
* 7 * * Л ^
женного диаметра ,при этом ( Ь; ? ) равно ( уь). Остается из точки (М1) построить прямую параллельно найденному направлению. Нахождение второй дифференциальной ортопрямой через точку (М1), а именно - нормали, излагать здесь не будем. Подойдет для этого любой удобный способ, но заметим следующее. Подобно тому, когда множество касательных эллипса формируют его полигональный очерк, так и множество его нормалей «создают огибающую» - эволюту эллипса. Можно сказать и о том, что вершина (М1) прямого угла дифференциальных прямых (1; п), эллиптически перемещаясь, - формирует сторонами угла эвольвенту и эволюту, взаимные «эллиптические раскатки».
Рассмотрим далее на изображении (Рис.1) два треугольника. Первый -( М;-Ь;0), второй (МЬ;0). Оба они прямоугольные с общим основанием (— Ь;—0), но первый явно обладает свойством симметричности и связан с другой окружности, а второй своей вершиной (М) связан с эллипсом и весьма близок к «золотой окружности (0; К0М)». Две названные фигуры содержат общий элемент, тоже треугольник, - это ( М; М;0 ). Он обладает названными свойствами и первого, и второго. В силу этого обстоятельства фигура ( М; М;0) может, используется, в составе рассматриваемой конфигурации, а также, в качестве элемента продолжающего ту или иную новую композицию при задании соответствующих преобразований. Впрочем, та же возможность относится и к первым двум треугольникам, включая некоторые их
разбиения, например ( М; М';0).
В итоге, найденные геометрические композиции могут быть в согласии со свойствами пропорций симметрии (2 ), а также дополнительных, в соответствии с авторскими построениями. К тому же, об этом сказано выше, композиции должны быть размещены в форматах квадратуры эллиптичности или квадратуры круга.
Литература
1. Гильберт Д., Кон-Фоссен С. «Наглядная геометрия». - М-Л: Издательство Т.Т.Л., 1951,
350с.
ВЕСТНИК 8/2011
2. Полежаев Ю.О. «Рациональные пропорции архитектурно-строительных объектов в проекционной геометрии» - М.: Издательство АСВ, 2010, 195с.
Literature
1. D. Hilbert, S. Cohn-Vossen, "Geometry." - M-L: T.T.L. Publisher, 1951., 350s.
2. Polezhaev JO "Rational proportion of architectural and engineering facilities in the projection geometry" - M.: Publishing House of the DIA, 2010, 195s.
Ключевые слова: золотая пропорция, квадратура круга, эллиптичность, свойства гармо-низма, симметрия, инцидентность, геометрографическое моделирование.
Keywords: golden ratio, squaring the circle, ellipticity, harmonism properties, symmetry, incidence, geometrograficheskoe simulation.
e-mail автора: grafika@mgsu.ru
Рецензент: Фаткуллина A.A., кандидат архитектуры доцент, кафедры начертательной геометрии, МАРХИ (Государственной академии).
