CC BY
34
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ГАРМОИИЗМА В КОМПОЗИЦИЯХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ КОНЦЕНТРИЧНЫХ
ФИГУР
GEOMETRIC MODEL HARMONISM IN A COMPOSITION OF ELEMENTARY CONCENTRICALLY FIGURES
Ю.О. Полежаев, T.M. Кондратьева, А.Ю. Борисова
J.O. Polezhaev, T.M. Kondratyeva, A.Y. Borisova
ГОУ ВПО МГСУ
Излагается теоретический материал для построения моделей гармонизма в композициях элементарных фигур. Исходным изображением является конфигурация «квадратура круга», которая теми либо иными целевыми преобразованиями видоизменяется, приобретая дополнительные свойства гармонизма.
The theoretical material for constructing models of anharmonicity in the compositions of the elementary shapes. Original image is the configuration of "squaring the circle", which by any other target transformations vidoizchanging, acquiring additional properties har-monism.
Длительный исторический путь развития математики полон свидетельствами неослабевающего интереса к свойствам элементарных геометрических фигур, либо их приложениям в различных видах деятельности homo Sapiens. В частности такими фигурами являются квадрат и окружность. Их геометрическая композиция, построения концентрично, известна под именем «квадратура круга». Названная конфигурация в целом, и её элементы по фрагментам изображения, обладают свойствами: тождества, равенства, симметрии, частых случаев пропорциональности, общих свойств квадрати-ческой зависимости и др. Перечисленные свойства позволяют говорить о высокой степени гармонизма этой композиции, ибо названные свойства - есть «слагаемые гармонизма».
Однако, до сих пор «квадратура круга» рассматривалась в виде окружности внут-рикасательной к фигуре квадрата, и в связи с известной задачей архигеометрии. Современный аппарат аналитических и геометрографических преобразований, при необходимости, позволяет представить исходную композицию «квадратуры круга» в различных изменённых, усложнённых формах и видах. Отчасти, это условие явилось необходимым, чтобы различать понятия «квадратуры куга» и «циркулятуры квадрата». При этом для этих названых двух фигур, рассматриваемых раздельно, не существует приоритетов. Положительное качество одной из них, - может быть отрицательным для другой; и наоборот.
Итак, «квадратура круга», - композиция квадрата и внутрикасательной окружности, которая «отмечена» теми или иными преобразованиями. Они изменяют параметры и вид исходной окружности. При этом фигура исходного квадрата остаётся неизменной.
2/2011
ВЕСТНИК
МГСУ
«Циркулятура квадрата» - композиция, в которой после преобразований, неизменной остаётся «базовая», исходная окружность.
Возможны преобразования обеих составляющих композиций, и это - смешанное преобразование «квадратуры круга».
Три характерных композиции преобразований и, соответственные им, композиций конечного геометрографического вида будем, в порядке вышеизложенного, называть «реформативными типами» композиций квадрата и окружности, т.е. типами: I, II,
Вполне естественно, что избранные типовые и сопутствующие преобразования: акцентируют, нивелируют, привносят целевой, прогнозируемый дебаланс взаимных исходных гармонических свойств; но уравнивают и представляют гармонию новой композиции в целом, либо её частей.
Рассмотрим далее ряд примеров, относящихся к «новым» изображениям «квадратуры круга». Вначале, пусть это будет преобразование «квадратуры» по типу I, сохраняющее исходный квадрат; изменён будет параметр окружности, но при этом в композиции появятся правильные треугольники (Рис.1), по одному от каждой стороны (а) квадрата.
Для построения такой композиции, в отношении к одной из сторон квадрата (Рис.1), продолжим, используя (а /4), радиусы (0;1) и (0;2) до пересечения с соответственными сторонами квадрата и соединим точки инциденции прямой. Прямая равна стороне (а) квадрата и является стороной гармонического треугольника. Исходная окружность «изменилась», т.к. она преобразована концентрично, её радиус (0; Я1).
Следующий пример по типу II, - внутренняя циркулятура треугольника на основе «константной окружности» (Я) . Построив дугу (Я) из центра (01), и, соединив точки (1;2) соответственных инциденций, получим сторону искомого, также гармоничного (Рис.1) треугольника. При этом исходный квадрат, в соотнесении с треугольником, -изменён по длине стороны (а).
Продолжая рассмотрение примеров, остановимся на некоторых вариациях концентричных изображений квадрата и окружности. Итак, «темой» является фигура (а) квадрата и внутрикасательная к нему окружность (Я1).
III.
Рис.1
Вариация первая, по типу I, - преобразование окружности в п-сторонний полигон с гармоническими свойствами. Пусть п=4, тогда окружность преобразуется в «хордо-квадрат» (Рис.2) с зависимостью: Я1 = ^2(а1 / 2), либо Я1 = 1,128(а1 / 2).
Рис.2
Учтём, что исходная окружность (2я^1) центрально сжимается с коэффициентом (0,9 = *Я / перед спрямлением её в полигон. Если не принимать этого промежуточного этапа сжатия во внимание, - композиция просто пополнится ещё одной окружностью (2^ * Я) , для которой (*Я = 2ах/ л), и дуга её показана штриховой линией.
Вариация вторая, по типу I, - преобразование окружности, при котором исходный квадрат явится эквиареалом для «новой окружности». Здесь (Рис.2) эквиариалы, т.е. равные по [1;2] площади квадрат и окружность связаны закономерностью: а/ Я2 =4я, либо Я2 = 1,128(а /2).
Вариация третья, по типу I, - «квадратура круга Леонардо» для Я : а = 0,618, либо (Я = 1,236(а/2)), изображение (Рис.3), на котором Леонардо да Винчи, жестом рук нарисованного персонажа, поднимает центр окружности (О) на величину (0,19Я) в позицию (О1), чтобы показать (Я : а = 0,618 ) в треугольнике (Ь1УБ).
Рис.3
2/2011
ВЕСТНИК _МГСУ
Заметим, что для традиционного, концентрического изображения «квадратуры круга Леонардо», величины (R) и (a / 2), также в прямоугольном треугольнике (0; a /2; с) без свойства подобия предыдущему, определяют не (tgp), но величину (cos«).
В треугольнике (LND) гипотенуза (LD) фиксирует золотую пропорцию катетов (LN:ND = 0,618). Любое сечение этого треугольника прямыми параллельными (LN) порождает пары соответственных отрезков, сохраняющих пропорцию (2). В другом равнобедренном, тупоугольном треугольнике (В;С;0) отношения сторон (ОС:ВС) тоже задают пропорцию и любая прямая параллельная (ОВ), либо (ОС), секущая данный треугольник, порождает соответственные пары отсечённых сторон, отношения которых сохраняют золотую пропорцию (2). Кроме того, треугольник (В;С;0) равен удвоенному треугольнику (0;С;а/2) со всеми следствиями в отношении фигур ромбов и прямоугольников композиции.
Наконец, вариация четвертая, но вовсе не последняя в теоретическом ряду вариаций по теме. Четвертая вариация по типу I представляет свойство равенства длин периметров, эквипериметричности (Рис.2), концетричных квадрата и окружности [1:2] для (R3) и (a). Здесь, поскольку (2R = 4a), величина радиуса
2 4
(R =— а = — (а/2) = 1,274(а/2)).
я я
Обратим внимание на термин «эквипериметрия», для которого реализован латинский префикс, ибо слово «изопериметрия» (греч.) используется уже несколько ранее в более широком смысле; в частности, при анализе свойств длин, и площадей с применением вариационного исчисления.
Изображение (Рис.4) является примером построения двух случаев моделей Пентагона квадратуры круга, т.е. при сохранении фигуры исходного квадрата (a) и преобразовании ( r ^ R ).
Рис.4
Случай 1. Сторона квадрата (а) избирается величиной равной стороне пятиугольника, который вместе с внешнекасательной окружностью ) дополнит композицию квадратуры круга.
Пусть в квадратуре круга (а; Я) построен Пентагон [2] способом (1,5.). Искомые центрально подобные стороны определены от производных (51;55) и (53;54). Отли-
чающиеся построения понятны из чертежа; сторона (53;54) строится проще, чем предыдущая (51;55). Исходная окружность (R) - преобразована в (R).
Случай 2. Преобразование диагонали пятиугольника в отрезок равный (а). Здесь (Рис.4) по свойству центрального подобия вершина (52) Пентагона смещена в позицию (52*) на стороне квадрата, а величина (0;52*) является искомым радиусом (r *). Поскольку вершина (51*) лежит на (у), - все недостающие вершины определяются без затруднений.
Моноцикл окружности, или «просто традиционный вариант понятия об окружности», - может быть метрически преобразован. Например, если ввести целочисленный коэффициент цикличности, (тС) или его обратную величину (1/ тс), - это означает
линейное (угловое) изменение метрики исходной, «единичной» величины. Будем называть изменённую дугу «m-цикличной». Число (т) может дополняться множителем
(п ), который в свою очередь изменяет «m-циклическую» дугу. Введем обозначение преобразований применительно к дуге (c) ^С). Например (с ^=Jc), - традиционная дуга (c ^ 360° ^ 2nR). Если задано (m=2; n=3), имеем m-цикл (2с = 720°), «прокрученный (nc) три раза» от базовой точки (с0).
Рассмотрим, далее, преобразование удвоения цикла окружности (21c) , для которой базовая точка отсчёта метрики дуги (С() = 41). При этом новые позиции четырёх вершин исходного хордо-квадрата будут лежать между четырьмя равным (180°) интервалами дуг m2-UHKra4Hofi окружности. Поскольку речь идет о геометрических моделях гармонизма в композициях элементарных геометрических фигур, а в данном случае для исходной фигуры квадратуры круга преобразованию подвергается и окружность, и её хорды - стороны квадрата, - преобразование следует отнести к «смешанному» типу III. Несмотря на то, что вид преобразованной окружности «внешне» не изменился, -каждая её точка, и вся она в целом имеет изменившиеся метрические свойства, а каждая точка стороны квадрата в новой позиции также определится вдвое большим цен-
2/2011 ВЕСТНИК _2/201J_МГСУ
Таким образом, хорда, отрезок прямой (а), преобразуется в кривую на интервале (180°). Введем для этой, новой, кривой понятие «условной хорды», которая совпадает с диаметром исходной окружности (AX = 2R). Преобразования других элементов исходной композиции алогичны. В итоге имеем в качестве фигуры преобразования: пару вложенных окружностей; симметричную пару искривлённых сторон квадрата, также дважды вложенных; отрезок диаметра исходной окружности в качестве четырежды вложенного прямого отрезка - «условной хорды».
Предлагаемый ряд примеров композиций гармонических фигур завершим изображением (Рис.1) квадратуры круга, преобразованным по типу III, к виду кривых, которые именуют линиями взаимного влияния, дискурсивными кривыми. Геометро-графические модели таких линий образуются на предварительно заданных исходных образах. В нашем примере, - это прямая (а) и окружность (R). Произведение алгебраических моделей исходных линий в неявной фигуре, приравненное к избранной числовой дискурсивной величине (D), - представляет искомую кривую, в качестве одной из моделей D-семейства третьего порядка. использование знаков (+) и (-) при числе (D) порождает ту или иную ветвь новой кривой. В данном примере дискурсивные ветви (k1;k2) построены для одной четверти квадратуры круга.
Ряд представленных композиций не исчерпывает всего возможного многообразия линейных и планиметрических гармонических форм преобразований квадратуры круга. Рекомендуемые либо избранные варианты таких композиций могут применяться в практике архитектурно-строительного проектирования для решения задач и техники, и эстетики.
Литература:
1. Гильберт Д. и Кон-Фоссен С. «Наглядная геометрия». Гос. изд. техиико-теоритичесой литературы - М.-Л.: 1951г.
2. Полежаев Ю.О. «Рациональные пропорции архитектурно - строительных объектов в проекционной геометрии» - М: МГСУ, АСВ, 2010г.
The literature:
1. D. Hilbert and S. Cohn-Vossen, "Geometry. " Gos. ed. Techno-teoritichesoy literature - M. -L.: 1951.
2. Polezhayev JO "Rational proportion of Architecture - construction projects in the projective geometry" - M: MGSU, ASV, 2010.
Ключевые слова: квадратура круга, модели гармонизма, циркулятура квадрата, композиции преобразований, геометрография, инциденция, эквиариал, гармонические фигуры.
Keywords: squaring the circle, the models harmonism, tsirkulyatura squares, composition of transformations, geometrografiya, incidence, ekviarial, harmonic shape.
e-mail: grafika@mgsu.ru
Рецензент: Фаткуллина A.A., кандидат архитектуры, доцент, кафедры начертательной геометрии, МАРХИ (Государственной академии).
