CC BY
28
УЕБТЫНС
мвви
УДК 004.925.8
Ю.О. Полежаев, А.Ю. Борисова, В.А. Борисова
ФГБОУВПО «МГСУ»
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ КВАДРАТИЧНО-ПРЯМОУГОЛЬНЫХ МНОЖЕСТВ С ЧАСТНЫМИ ПРИМЕРАМИ КОМПОЗИЦИОННЫХ РЕШЕНИЙ
Представлены построения эквиареалов квадратно-прямоугольных форм, а также их ряды в классической композиции элементарных фигур «квадратуры круга». Вариации таких построений, в свою очередь, предоставляют возможность искать и фиксировать новые геометрографические композиции, практическое приложение которых может быть достаточно широким в дизайне техники и машиностроения, архитектуре и строительстве, декоре предметов быта, прикладном искусстве костюма и ткани и др. Геометрические модели квадратично-прямоугольных множеств рассматриваются в планиметрии «Поля-М», основой которого является прямолинейная сетка ортопрямых с циркуляциями в ее узловых точках.
Ключевые слова: квадратура круга, эллипс, инциденция, «бегущая точка», ортопрямые, хорда, эквиареалы, циркуляр, гомотетия, планиметрия.
Методология геометрографического отображения информации по ходу технического проектирования и представления комплектов чертежей, монопроекций, технических рисунков, кинематических и прочих видов итоговой продукции для утверждения и последующей реализации в связи с компьютеризацией обогащается, пополняя традиционные средства электронно-цифровыми технологиями процессов отображения [1, 2]. В течение последних десятилетий активно разрабатывается аспект формирования композиций геометро-графии на базе элементарных образов, обладающих свойствами тех или иных гармоний, выраженных линиями, площадями, тоном, цветом. Отношения квадратично-прямоугольных форм, принадлежащих планиметрии параболического, гиперболического и эллиптического полей, анализировались в [3—5].
Ниже приводится развернутое содержание теоремы, определяющей геоме-трографию фигур эквиареалов квадрата и прямоугольника на базе композиций квадратуры круга.
Любая точка М диагонали четверти квадратуры круга, не проходящей через 0, порождает пару (рис. 1) ортогональных прямых, параллельных соответственным сторонам квадрата. Из конца Я рассматриваемой диагонали также исходят ортопрямые параллельные названным. Пары ортопрямых отсекают в квадратуре две ортогональных прямоугольных полосы равной ширины. Инциденция полос является квадратом с диагональю (М; Я). Для четверти квадратуры (Я; 0; уЯ) отрезок (хМ; ЯМ) стороны одной из полос является длиной стороны квадрата — эквиареала для прямоугольника другой полосы. При этом площадь названного прямоугольника с диагональю (М; -Я) не включает квадрат инциденции полос.
ВЕСТНИК 9/2014
9/2014
Рис. 1. Частные модели эквиареалов в квадратуре круга
Свойство гомотетии композиций квадратуры круга позволяет строить возрастающие по площадям от единичного значения многочисленные эквиареалы с учетом использования четырех главных осей симметрии фигурации, т.е. пар диагональных и координатных осей [6, 7].
Тождественный итог решения вопроса об эквиареалах квадратично-прямоугольных фигур можно интерпретировать в терминах преобразования ротации алгоритмом «трех хорд». Пусть на хорде четверти дуги квадратуры фиксирована позиция «бегущей точки» М .. Тогда ординат-полухорда (х .; Я.) через М является стороной квадрата-эквиареала для прямоугольника (а х Ь), где а равняется отрезку аппликат-хорды (х.; 0; Я), и Ь есть отрезок (х.; М) ординат-хорды (см. рис. 1).
Итак, «бегущая» по хорде четверти циркуляра точка М представляет множество позиций одной вершины прямоугольника и, следовательно, ряд его фигур. Такая непрерывная последовательность является возрастающей (рис. 2) от нуля в точке -Я до площади фигуры прямоугольника, которая преобразуется в квадрат со стороной Я. В свою очередь, квадраты-эквиареалы соответственных прямоугольников опираются аналогичными вершинами в необходимых точках на дугу хорды. Ряд квадратов также является возрастающим от нуля и в последнем случае совпадает, сопрягается с квадратом прямоугольников. Траектории вершин квадратов и прямоугольников двух рассматриваемых рядов представлены на изображении (рис. 3).
Рис. 2. Пример ряда эквиареалов на Рис. 3. Траектории вершин эквиареалов фигурации квадратуры круга
Вершина М прямоугольников смещается по упомянутой хорде. Вершины 2 и 4 принадлежат прямым. Одна — стороне квадратуры, другая — диаметральной хорде циркуляра, исключая позицию -Я — начало ряда. Вершина 3 существует в позиции тождественного преобразования.
Точка Я соответствующая вершине 1. квадрата, производит траекторию четверти циркуляры квадратуры. Вершина 2. квадратов движется по кривой родства. Вершины 3. и 4. перемещаются по диагональной хорде.
Центр квадратов смещается также по кривой родства; центры прямоугольников фиксируют прямую, которая совпадает с половиной «главной положительной» диагонали квадратуры круга.
Разумеется, траектории тех и других вершин являются линиями, точки которых есть точки соприкосновений соответственных точек соответственных фигур. Здесь также уместна аналогия с понятиями о направляющих и образующих для задания кривых [8, 9].
Четверть дуги эллипса, для точек (см. рис. 3) которой ординаты возрастают от нуля до половины стороны квадратуры в интервале (-Я; 0; Я) по оси х, корреспондируется с другой четвертью, расположенной в позиции симметричной относительно х. Для точек этой, противоположной, четверти выполняется условие тех же численных величин ординат, но взятых с противоположным знаком и расположенных также непрерывно в противоположной последовательности по направлению относительно предыдущей (см. рис. 3). Геометрический алгоритм построения точек рассматриваемой четверти дуги эллипса, разумеется, прежний. Однако общие условия гомотетичности и родства композиции преобразования, характерные для траекторных позиций точек циркуляры, формируют эллиптичность, для фигурации которой эти преобразования создают своеобразную, иначе выраженную геометрографическую форму.
Для построения следующей четверти эллипса, соответствующей положительному квадранту круга, также используется заданный алгоритм в приложении к диагонали (уЯ; Я) и правосторонней ориентацией функциональных квадратов. И, наконец, в последней рассматриваемой четверти круга, третьей по известному порядку нумерации четвертей поля планиметрии Декарта, для которой обе координаты отрицательны, алгоритм построения реализуется с диагональю (-Я; -уЯ) и левосторонней ориентацией квадратов (см. рис. 3).
Рассматривая фрагмент геометрографии преобразования, соотносимый, например, с первым квадрантом квадратуры круга, заметим и акцентируем одно из характерных свойств взаимосвязанных фигур. Оно приводится ниже в виде «теоремы о хордах на горизонтали».
Пары хорд окружности и эллипса, параллельных оси x, имеющих постоянные значения у для соответственных точек, по длине равны между собою.
Это обстоятельство приводит к немаловажным следствиям. В случае заданных траекторий окружности квадратуры и ее эллиптического преобразования точка инцидента эллипса и циркуляры ЯК{ позволяет рассматривать ее в качестве вершины (рис. 4) прямого угла треугольника (-Я; Я^ Я), принадлежащего и окружности квадратуры, и эллипсу. Оба катета могут быть приняты за орто-хорды обоих образов. В частности, для эллиптизма нормали к орто-хор-дам через их середины из центра 0 соответствуют направлениям главных осей
ВЕСТНИК
МГСУ-
9/2014
эллипса. Пересечения указанных направлений с линией эллипса определяют отрезки его полуосей ае и Ь При наличии лишь некоторых точек эллиптичной квадрики, направления осей определяются с учетом изложенного, а позиции ае и Ь могут быть найдены с использованием обратного преобразования родства и гомотетии. Также могут применяться другие известные средства теории [10—12]. Так, на изображении (рис. 4) точку Яё фиксирует на циркуляре радиальное направление (0; ё"), производное от ординаты (хё; ё).
Рис. 4. Пример триметрических отношений на осях аффинного репера
Геометрографический алгоритм построения симметричных относительно у эллиптических траекторий точек циркуляры квадратуры «позволяет определять» позиции главных осей найденных квадрик. Если рассматривать одну пару больших осей, разумеется, симметричных по у, то осевая триада вместе с осью у, может быть вполне логично принята за проекционную модель трехмерного репера на плоскость отображения, содержащую фигуру квадратуры круга.
В этом случае углы между тремя осями в планиметрии могут иметь значения: <(гА; -хА) = 58°; <(-хА; уА) = 32°-2 = 64°; <(хА; уА) = 58°-2 = 116°. Вследствие неоднозначной, искусственной симметрии единичные отрезки на планиметрических осях трехосника будут ориентированы в соответствии с диметрией. Однако коэффициент искажения по оси г А может равняться отношению отрезков уе к у Неравные искажения по осям х А и уА выражаются отношением (а; 0) и (Ь; 0) к величине Я. Первое отношение меньше единицы, второе — больше. Таким образом, может быть смоделирована триметрическая система пространства 3Я в качестве лишь одного примера из их множества. Построения проекций циркуляры в гранях проекций куба не представляет сложности, так как соответственно вложенные хорды окружности и эллипсов равны между собой (см. рис. 4).
Заключение. Необходимость решений все более разнообразных и усложняющихся задач в условиях ограничения времени определяет разработку средств и методов геометрографии в качестве эффективной операционной системы наряду с программными средствами когнитивной графики [13—15].
Библиографический список
1. Kapustina O.M. Mathematica in teaching at the Moscow Power Engineering Institute. Wolfram Research in collaboration with UNICEF. Computer-Based Math Education Summit 2013, November 21—22, New York USA. Режим доступа: http://www.computerbasedmath. org/events/education-summit-newyork-2013/schedule.html#friday. Дата обращения: 21.04.2014.
2. Хейфец А.Л. Учебный курс теоретических основ 3D-K0MnbKrrepH0ro геометрического моделирования и его перспективы // Информатизация инженерного образования : тр. Междунар. науч.-метод. конф. ИНФОРИНО-2012 (Москва, 10—11 апреля 2012 г.). М. : МЭИ, 2012. С. 119—122.
3. Кондратьева Т.М., Полежаев Ю.О. Частные вопросы геометрографии применительно к системе «Поле-метр» и квадратуре круга // Инженерная геометрогра-фия — исследования и разработки : сб. науч. тр. М. : МГСУ 2006.
4. Полежаев Ю.О., Борисова А.Ю., Кондратьева Т.М. Линейные пучки в циркуль-но-эллиптических соответствиях // Вестник МГСУ 2012. № 6. С. 62—67.
5. Полежаев Ю.О., Митина Т.В. Соотношения геометрических элементов квадратуры круга в «Поле-М» // Вестник МГСУ. 2010. № 4. Т. 5. С. 250—254.
6. Архимед, Гюгенс, Лежандр, Ламберт. О квадратуре круга / пер. с нем. под ред. и с прим. С. Бернштейна ; с прилож. Ф. Рудио. 2-е. изд. М. : Едиториал УССР, 2003. 168 с.
7. Хал Хеллман. Великие противостояния в науке. Десять самых захватывающих диспутов. М. : ИД Вильямс, 2007. 320 с.
8. Пойа Д. Математическое открытие. Решение задач: основные понятия, изучение и преподавание / пер. с англ. М. : Наука, 2010. 448 с.
9. ФедоровЕ.С. Начала учения о фигурах. М. : ЁЁ Медиа, 2012. 418 с.
10. Гильберт Д. Основания геометрии. М. ; Л. : ОГИЗ, 1948. 491 с.
11. Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия / пер. с нем. С.А. Каменецкого. 5-е изд. М. : Едиториал УССР, 2010. 344 с.
12. Клейн Ф. Неевклидова геометрия / пер. с нем. Н.К. Брушминского. М. ; Л. : ГТТИ, 1936. 355 с.
13. Башлыков А.А. Образное представление состояния сложных технологических объектов управления // Искусственный интеллект и принятие решений. 2013. № 3. С. 9—18. Режим доступа: http://www.aidt.ru/images/documents/2012-03/9_18.pdf. Дата обращения: 11.09.2013.
14. Горнов А.О., Шацилло Л.А. Фрактальный подход к структурированию геометро-графической подготовки // Инновационные технологии в инженерной графике. Проблемы и перспективы : Материалы Междунар. науч.-практ. конф. (Брест 21 марта 2014 г.). Брест : Изд-во БрГТУ 2014. С. 19—22. Режим доступа: http://ng.sibstrin.ru/ wolchin/img/Brest%202014.pdf. Дата обращения: 11.05.2014.
15. Щеглов Г.А. О компетенциях CAD/CAE интеграции геометрографических моделей // Информационные средства и технологии : тр. 20 Междунар. науч.-техн. конф. (20—22 ноября 2012 г. Москва) : в 3 т. М. : МЭИ, 2012. Т. 2. С. 81—84.
Поступила в редакцию в июле 2014 г.
Об авторах: Полежаев Юрий Олегович — доцент кафедры начертательной геометрии и графики, член интернационального Союза художников России, Московский государственный строительный университет (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8 (499) 183-24-83, [email protected];
ВЕСТНИК 9/2014
9/2014
Борисова Анжелика Юрьевна — кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры начертательной геометрии и графики, Московский государственный строительный университет (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8 (499) 183-24-83, [email protected];
Борисова Виктория Александровна — студент Института инженерно-экологического строительства и механизации, Московский государственный строительный университет» университет (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8 (499) 183-24-83, [email protected].
Для цитирования: Полежаев Ю.О., Борисова А.Ю., Борисова В.А. Геометрические модели квадратично-прямоугольных множеств с частными примерами композиционных решений // Вестник МГСУ 2014. № 9. С. 161—167.
Yu.O. Polezhaev, A.Yu. Borisova, V.A. Borisova
GEOMETRICAL MODELS OF QUADRATIC-RECTANGULAR SETS WITH PARTICULAR EXAMPLES OF COMPOSITE SOLUTIONS
During the current decades the aspect of geometrography compositions formation on the basis of basic images has been actively developed. The basic images possess the qualities of harmonies, expressed by lines, squares, tone, color. The relations of square-rectangular forms belonging to plane geometry of parabolic, hyperbolic and elliptic fields has been already analyzed by scientists.
This article introduces equiareals construction of square-rectangular shapes, as well as their rows — in classical composition of elementary figures of "squaring the circle". Variations of such constructions, in their turn, offer the possibility to seek and capture new geometrical graphical compositions, practical application of which can be wide enough in technology design and mechanical engineering, architecture and construction, decoration of household items, arts and crafts and costume fabrics, et cetera. The authors consider the topic of plane geometry "Field-M", which is based on a rectilinear grid of ortholines with circulations in its nodal points.
The conclusions made by the authors is that the necessity of solutions for more and more various and complicated problems in the conditions of time limitation determines the development of geometrography methods as an effective operating system along with program methods of cognitive graphics.
Key words: squaring the circle, ellipse, incidence, "running point", ortholines, chord, equiareals, circular, homothety, planimetry.
References
1. Kapustina O.M., Martynenko Yu.G. Ispol'zovanie sistem simvol'nykh vychisleniy v prepodavanii teoreticheskoy mekhaniki [Application of Symbolic Calculation in Teaching Theoretical Mechanics]. MEI, MGU, Publ., 2012. Available at: http://vuz.exponenta.ru/PDF/book/ KapMart2.pdf. Date of access: 21.04.2014.
2. Kheyfets A.L. Uchebnyy kurs teoreticheskikh osnov 3D-komp'yuternogo geometri-cheskogo modelirovaniya i ego perspektivy [Study Course of Theoretical Foundations of 3D Computer Geometric Modeling and its Opportunities]. Informatizatsiya inzhenernogo obra-zovaniya : trudy Mezhdunarodnoy nauchno-metodicheskoy konferentsii. INFORINO-2012 (Moskva, 10—11 aprelya 2012 g.) [Information of Engineering Education : Works of International Research and Methodology Conference. INFORINO-2012 (Moscow, April 10—11, 2012)]. Moscow, MEI Publ., 2012, pp. 119—122.
3. Kondrat'eva T.M., Polezhaev Yu.O. Chastnye voprosy geometrografii primenitel'no k sisteme "Pole-metr"i kvadrature kruga [Special Questions of Geometrography Relating to the System "Pole-metr" and Quadrature of a Circle]. Inzhenernaya geometrografiya — issledo-vaniya i razrabotki: sbornik nauchnykh trudov. Moscow, MGSU Publ., 2006.
4. Polezhaev Yu.O., Borisova A.Yu., Kondrat'eva T.M. Lineynye puchki v tsirkul'no-ellip-ticheskikh sootvetstviyakh [Linear Bundles within the Framework of Coincidence of Circle and El-
lipse]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2012, no. 6, pp. 62—67.
5. Polezhaev Yu.O., Mitina T.V. Sootnosheniya geometricheskikh elementov kvadratury kruga v «Pole-M» [Correlation of Geometric Entities of the Quadrature of the Circle]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2010, no. 4, vol. 5, pp. 250—254.
6. Arkhimed, Gyugens, Lezhandr, Lambert. O kvadrature kruga [On Squaring the Circle]. Editorial USSR, 2003, 239 p.
7. Khal Khellman. Velikie protivostoyaniya v nauke. Desyat' samykh zakhvatyvayush-chikh disputov [Great Confrontations in Science. Ten of the Liveliest Disputes Ever]. Moscow, ID Vil'yams Publ., 2007, 320 p.
8. Polya G. Mathematical Discovery: On Understanding, Learning and Teaching Problem Solving Combined Edition. 1981, Wiley; Combined edition, 432 p.
9. Fedorov E.S. Nachala ucheniya o figurakh [Foundamentals of the Theory of Figures]. Moscow, EE Media Publ., 2012, 418 p.
10. Gil'bert D. Osnovaniya geometrii [Foundations of Geometry]. Moscow, Leningrad, OGIZ Publ., 1948, 491 p.
11. Hilbert D., Cohn-Vossen S. Anschauliche Geometrie. 1996, Springer; Auflage: 2. Aufl., 365 p.
12. Klein F. Neevklidova geometriya [Non-Euclidean Geometry]. Moscow, Leningrad, GTTI Publ., 1936, 355 p.
13. Bashlykov A.A. Obraznoe predstavlenie sostoyaniya slozhnykh tekhnologicheskikh ob"ektov upravleniya [Figurative State Representation of Complex Engineering Systems]. Iskusstvennyy intellekt i prinyatie resheniy [Artificial Intellect and Decision-Making]. 2013, no. 3, pp. 9—18. Available at: http://www.aidt.ru/images/documents/2012-03/9_18.pdf. Date of access: 11.09.2013.
14. Gornov A.O., Shatsillo L.A. Fraktal'nyy podkhod k strukturirovaniyu geometro-gra-ficheskoy podgotovki [Fractal Approach to Structuring of Geometry-Graphical Education]. Innovatsionnye tekhnologii v inzhenernoy grafike. Problemy i perspektivy : Materialy Mezh-dunarodnoy nauchno-prakticheskoy konferentsii (Brest 21 marta 2014 g.) [Innovation Technologies in Engineering Graphics. Problems and Opportunities : Materials of International Scientific and Practical Conference (Brest, March, 21, 2014)]. Brest, BrGTU Publ., 2014, pp. 19—22. Available at: http://ng.sibstrin.ru/wolchin/img/Brest%202014.pdf. Date of access: 11.05.2014.
15. Shcheglov G.A. O kompetentsiyakh CAD/CAE integratsii geometrograficheskikh modeley [On the Competences of CAD/CAE Integration of Geometrographical Models]. Infor-matsionnye sredstva i tekhnologii: trudy 20 Mezhdunarodnoy nauchno-tekhnicheskoy konferentsii (20—22 noyabrya 2012 g. Moskva): v 3 t. [Informational Media and Technologies : Works of the 20th International Science and Technical Conference (November 20—22, 2012, Moscow) : in 3 volumes]. Moscow, MEI Publ., 2012, vol. 2, pp. 81—84.
About the authors: Polezhaev Yuriy Olegovich — Associate Professor, Department of Descriptive Geometry and Graphics, member of International Union of Russian Artists, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; [email protected]; +7 (499) 183-24-83;
Borisova Anzhelika Yur'evna — Candidate of Technical Sciences, Associate Professor Department of Descriptive Geometry and Graphics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; grafika@ mgsu.ru; +7 (499) 183-24-83;
Borisova Viktoria Aleksandrovna — student, Institute of Environmental Engineering and Mechanization, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; [email protected]; +7 (499) 183-24-83.
For citation: Polezhaev Yu.O., Borisova A.Yu., Borisova V.A. Geometricheskie modeli kvadratichno-pryamougol'nykh mnozhestv s chastnymi primerami kompozitsionnykh resheniy [Geometrical Models of Quadratic-rectangular Sets with Particular Examples of Composite Solutions]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2014, no. 9, pp. 161—167.
