Рациональные множества элементов квадратуры круга в прилодении к «Золотой пропорции» Текст научной статьи по специальности «Математика»

РАЦИОНАЛЬНЫЕ МНОЖЕСТВА ЭЛЕМЕНТОВ КВАДРАТУРЫ КРУГА В ПРИЛОДЕНИИ К «ЗОЛОТОЙ ПРОПОРЦИИ»

RATIONAL SET OF ELEMENTS SQUARING THE CIRCLE IN THE ANNEX TO THE «GOLDEN RATIO»

Ю.О. Полежаев, A.A. Фаткуллина U.O. Polezaev, A.A. Fatkullina

ГОУ ВПО МГСУ

В работе анализируется композиция, включающая геометрические модели квадратуры круга и «Золотых пропорций» ее элементов. Задан порядок и определены последовательности отношений таких элементов.

The paper analyzes the composition comprising the geometric model of squaring the circle and the golden proportions of its elements. Given order and determined the sequence of those elements.

Задачи, которые возникают перед авторами проектов строительных объектов, связаны с отысканием решений взаимосвязи и отношений тех или иных частей, площадей, размеров будущих зданий и сооружений. С глубокой древности эти вопросы не теряют своей актуальности, и, в частности, «Золотая пропорция», имеет давнее и широчайшее применение [1]. Однако, поскольку гармонизация в линейных, угловых и других метриках не исчерпывается только названной «божественной» пропорцией, здесь поставлена локальная проблема рассмотрения свойства «золотой пропорции» в композиции с участием квадратуры круга, которая также обладает признаками гармонизации: равенства, симметрии, упорядоченного множества элементов и др. Востребованность практического использования квадратуры круга (КК), не уступает потребности в реализации «золотого» сечения (Z), она имеет к тому же более глубокие исторические корни. Вышесказанное позволяет предполагать, что итоги анализа в заданном аспекте будут плодотворны.

Анализируя фигурацию квадратуры круга (КК), обозначим половины сторон квадрата (0,5lk), и радиус вписаной окружности (Rk). Половина диагонали (КК), обозначенная (0,5dk), из очевидных построений равна (0,5dk = 0,5lk X = 0,5lk X 1,4142). Для единичной окружности: Rk = 1; lk = 2; dk = 2,8284. Отсекаемый окружностью отрезок (А) диагонали квадратуры, внешней к ее дуге (Дdk = Rfe(l,4142 — 1) = 0,4142Rfe). Опирающаяся на точки диагонали величина рассматриваемого отрезка, например в проекции на (X), есть разница внутри-смежной квадратуры в отношении к исходной. Будем обозначать внутри-смежную квадратуру (0,5_1Zfc) в сравнении её с исходной (0,5lk), т.е. добавлением индекса (-1) к обозначению базовой стороны. Названная смежная величина аналитически и численно может быть определена, хотя бы из уравнения параметра (ср°) окружности (X = R cos для (<р° = 45°). Отношения сторон (lk lk = + 1 = 1,4142), либо (~г1к +

2/2011

ВЕСТНИК _МГСУ

1к = 1 ^ -/2 = 0,707), каждое из которых является константой в рядах уменьшения (увеличения) порядкового числа внутренних (внешних) смежных квадратур (±КК). Заметим, что для смежных квадратур [Рис.1], в больших из них, обнаруживаются «вспомогательные» квадратуры, которые дополнительно характеризуют пропорцию уменьшения (увеличения), (КК;). Построение ряда вспомогательных квадратов вполне определяет ряд величин сторон и радиусов (КК;). В свою очередь, построение вспомогательных квадратов генерирует прямая (Б,0), при этом точка (Б) есть инциденция соответственных (~г1к) и (1к). На прямую (Б,0) непременно опирается одна из вершин «бегущих» вспомогательных квадратов. Обратим внимание на то, что для ряда изменяющихся квадратур, по данным условиям, сторона {11к) в два раза больше (меньше) стороны (1к) с индексом (г ±2). Это метрическое свойство непосредственно следует из квадрата выражения (1 + для константы отношения смежных сторон ряда (КК). Разумеется, величины (У) для названных сторон (г + 2) также отличаются в два раза. Так, например, 1к = X 2; а величина = 0,Б~2ук), т.е. вдвое

меньше. Существует аналогия в отношении радиусов окружностей в ряду (КК).

Рис.1

Рассмотрим подробнее дискретный ряд вспомогательных квадратов. Они следуют друг за другом в направлении диагонали квадратуры, уменьшаясь до нуля в её центре. Коэффициент уменьшения вспомогательных квадратов вдоль диагонали является кон-

стантой (Д^ ^ = 1,4142). Если на прямой (Б,0) между смежными верши-

нами (.Р;) и (/'¿_1) в любой точке этой направляющей, поместить новую вершину квадрата, и в отношении к нему использовать ту же константу преобразования, то получим аналогичный, «вложенный» ряд вспомогательных квадратов. Если вершины квадратов будут располагаться на образующей плотно, вместо дискретного ряда или рядов получим их плотное размещение. В этом случае уместно говорить о «бегущем» квадрате без «пробелов». Взятые наугад пары квадратов будут иметь те или иные метрические соотношения, которые можно назначить предварительно, либо выбирать по чертежу.

Ещё один ряд вспомогательных квадратов вдоль диагонали (КК) задаёт направляющая (Т,Т). Эти квадраты равны, так как равны их диагонали. Они также являются смежными, и один из них определяется вершиной на (О) квадратуры. Вершина квадратуры _2) для (X = Я + 2) порождает два интервала: (О; и 14), в каждом из которых размещается по паре вспомогательных квадратов. Ряд равных, дискретно размещённых квадратов, как и предыдущий, может быть «монолитным» вследствие непрерывного движения вершины (Т) по направляющей (Т,Т). Заметим, что направляющие (Б,0) и (Т,Т) пересекаются в точке (£), а на эту точку опирается вершина вспомогательного квадрата, конформного для обоих рядов. Иными словами, его метрика является медиальной при рассмотрении аналитических соотношений «полярного» и «параллельного» рядов.

Пусть задана сторона (35;45) пятиугольника в квадратуре (КК). Построим из концов стороны вертикали до пересечения с диагоналями. Точка (с?5) инциденции совпадает с горизонтальной стороной и вершиной медиального квадрата. Следовательно, если рассмотреть метрические соотношения диагоналей: медиального и начального в параллельном ряду, либо медиального и начального в полярном ряду, то придём к возможности построения вертикали из точки (^5) на дугу окружности (КК) в вершину (35) либо (45) пятиугольника. Предложения такого рода вполне соответствуют прямому и обратному решению задачи. Напомним, что элементы пятиугольника приводят к «золотой» пропорции (2).

Следующий пример также фиксирует величину (2). Предварительно зададим ещё один ряд элементов (КК). Эо будет «полярный» ряд окружностей, центры которых лежат на оси (У) и, следовательно, серединах сторон уменьшающихся внутренних квадратур с (I; I/_2;.-.; 0). Пусть для (1к) построена такая «вспомогательная» окружность, для которой радиус равен (0,5Я), как впрочем, и для других соответственно (0,5К;). Дополним наше построение ещё одной дугой из центра (О) радиусом (02). Эта дуга пересекает продолжение (1к) в двух симметричных к (У) точках. Мы получили на направлении (1к) отрезки, находящиеся между собой в «золотой» пропорции. А именно, диаметр «вспомогательной» окружности (-0,5; +0,5), он же - (/_2), относится к отрезку (-0,5; 1,618) в соответствии с «божественной пропорцией по Леонардо». Подробнее об этом можно прочитать в статье [2]. Мы видем, что аналог такой пропорции обнаруживается в каждой последующей квадратуре уменьшения, в соответствии со значениями (^). Получим, по существу, гомотетию значений (2), вытянутую в ряд.

И, наконец, окружность с (К-х) в пересечении с прямой, идущей из центра (1-±) в точку (X = —К), определяет позицию точки (5_г). В свою очередь, прямая (0; 5_1) на окружности базовой квадратуры определяет вершину (55) гармонического пяти-

2/2П11 ВЕСТНИК _2/201_]_МГСУ

угольника. Ясно, что при соблюдении «прямой гомометрии», получим семейство «божественных» фигур с центром (О).

Таким образом, вследствие совместного рассмотрения композиции квадратуры круга и «золотой» пропорции в отношении к её элементам, появляется возможность выбора тех или иных фрагментов, либо изменения их метрик в соответствии с общей гармонизацией композиции. Поскольку представлены различные ряды изменения метрики элементов (КК) и её в целом, пользователь при необходимости также может компоновать планируемое изображение изъятиями из тех или иных последовательностей. Подобного рода формализованные авторские наработки могут также сочетаться с решениями художественного творчества на пути к оптимальным решениям. Если эти решения не архитектурные, но инженерные, то и в них не исключены свойства так называемой технической эстетики, выраженные закономерностями вышеизложенной германизации.

Литература:

1. Полежаев Ю.О., Степура Е.А. Некоторые свойства золотой пропорции в приложении к элементарным геометрическим фигурам.// Информационные технологии в инженерном и экономическом образовании. Сб. докладов н.т. конференции МЭИ. - М, 2005.

2. Сороко Э.М. Структурная гармония систем. Наука и техника, Минск, 1984.

The literature

1. Polezhaev J.O., Stepura E.A. Nekotorye svoystva zolotoy proporcii v prilozhenii k elemen-tarnym geometricheskim figuram. // Infirmacionnye tehnologii v inzhenernom I ekonomicheskom ob-razovanii. Sb. Dokladov n.t.konferencii MEI - M, 2005

2. Soroko E.M. Strukturnaja garmonija system. Nauka I tehnika, Minsk, 1984

Ключевые слова: квадратура круга, божественная пропорция, ряды пропорциональности, последовательности фигур, правильные многоугольники, плотное размножение.

Keywords: squaring the circle, the divine proportion, the ranks of proportionality, the sequence of figures, regular polygons, dense reproduction.

e-mail: grafika@mgsu.ru

Речензент: Opea Юлий Николаевич, канд. архитектуры, профессор, зав. кафедрой Начертательной геометрии Московского рахитектурного института