CC BY
62
Б/2011 ВЕСТНИК
ИССЛЕДОВАНИЕ ГЕОМЕТРОГРАФИЧЕСКОЙ СХЕМЫ ВЕЛИКОЙ ПИРАМИДЫ В ГИЗЕ
STUDYING THE GEOMETRY OF GRAPHICAL CHARTS OF THE GREAT PYRAMID AT GIZA
T.M. Кондратьева, А.Ю. Борисова, Ю.О. Полежаев
T.M. Kondratieva, A.Y. Borisova, J.O. Polezhayev
ФГБОУ ВПО МГСУ
Освещен вопрос о геометрической модели уникального сооружения, не имеющего аналогов. Взаимосвязь известных математических констант: числа 71; «золотой
пропорции» 2; величины (e); единицы десятичного счета (1W), - которые использованы в конструктивных элементах Великой Пирамиды в Гизе.
Dealt with the question of the geometric model of a unique construction that has no
analogues. The relationship of known mathematical constants: the number 71, the "golden
proportion" 2, the value (e); decimal unit accounts (1W) - which are used in structural parts of the Great Pyramid at Giza.
Анализ формы Великой Пирамиды (Рис.1) приводит к рассмотрению геометрической модели полуправильного полиэдра. В свою очередь, из этого следуют тривиальные констатации:
1. основанием полиэдра является правильный полигон, квадрат;
2. боковые грани представляют полуправильные полигоны, равнобедренные треугольники, метрика которых взаимосвязана с высотой пирамиды (Рис.2).
Если высоту пирамиды (h) использовать в качестве параметра, то при его значениях от (0) до , пирамида могла бы менять форму боковых граней от позиций вложенных в основание треугольников Пифагора. До позиций ортогональных к основанию «треугольников-параллелограммов», вершины (S) которых предстанут недоступными точками. Между этими предельными вариантами фигур боковых граней располагается множество различных фигур равнобедренных треугольников. В том числе, - правильный треугольник, и треугольник (3; S;4) , избранный гранью рассматриваемой Великой пирамиды.
Почему именно эту геометрическую конструкцию авторы заложили в своё творение и адресовали его в грядущие цивилизации и культуры? Потому, что при заданном
значении параметра (h) , основание боковой грани, тождественно являющиеся ребром основания (L4 ) Пирамиды:
ВЕСТНИК 8/2011
1. эффектно связано с числом (д) , или основным свойством квадратуры круга; а также потому, что в фигуре боковой грани,
2. её ортотреугольник (Ь;5*;33) представляет отношение катетов (Ь;33) и
Следовательно, геометрическая модель Великой Пирамиды, по замыслу её авторов, является логико-математической пространственной структурой, связывающей две
константы отношений и (2), - величайших по своему значению для жизнедеятельности и культуры человечества. Сюда можно добавить ещё и метрическую константу (М), - прародительницу нашей единицы линейного измерения «метра».
При рассмотрении ортотреугольника, катеты которого относятся в «золотой пропорции», как правило, бывает необходимо задать величину одного из его размеров. Эта величина. В качестве параметра, определяет все метрические элементы такого треугольника. Например, можно задать числом катет, являющийся высотой грани Великой Пирамиды; и тогда можно построить не только вышеназванный треугольник, но и бипроекции самой Пирамиды [2]. Если задать численную величину другого катета, который равен половине основания грани Пирамиды, построение НВ этой грани может быть следующим.
Пусть в репере Декарта (О, X, у) задан отрезок (0;33) в качестве катета ортотреугольника со свойством (2). Построим на этом отрезке из (0) линию (^/5) , обладающую свойством гомотетии (Рис.2). Геометрически точка (ё) такой (0;ё) линии может быть указана на вертикали из (33), если использовать дугу окружности
(= 33;0) с центром (33) ; и, далее, дугу (2Яа ) из того же центра. Построив еще одну дугу (Ка) из центра (0), найдём позицию характерной точки (т), а прямая (33; т) определяет вершину (Б) ортотреугольника и, тождественно, вершину грани Пирамиды в её НВ.
8/2011
ВЕСТНИК МГСУ
/ ^ 129.44983 - ^ N с/ \ \ V; К: \ \
/ * \ ь \ X \ \ / 1
/1 \ Л 7 л 7 \ •ч Л
1 4 1 Л у \ N \
N N \ Л т г- Л V \ /
\ г Л 0 / Л
\ / \ Л' / / \ Л \ >< 4, \
V у / / X \ \ \ к Ч /\ —1 \
/ / // Ч' \ 6 =0. V ч* \ \
\ ( / /У Л \ \ Л / V /V ^ \ \
ч и У \ \ 1 \ \\ / А N и
-- „ г \ Г ч X N я
3, / \ Зг
\ г \ —
\ \ / \ / 1
\ \ / \ 1 / 7
\ \ / 2 г 41_, N / /
\ / / \ /
1 у / X / \ / /
/ ч, / <
/
ч /
Рис.2
В плоскости метрического репера (О, x, у) на оси (у) зададим произвольный отрезок (О;3^ в качестве (И) высоты (Ь;5 = k) некоторого (Рис.2) искомого равнобедренного треугольника (3Х;32;33).
Введем условие, пусть отношение высоты (к) этого треугольника к половине основа-
ния равно золотой пропорции (
2=
О;3
' 2
0;3,
= 0,618 ). Определим требуемое отношение
на осях (X, у) и построим фигуру треугольника (31;32;33). При (03) и радиусом (Я3 = (0;31) : 2 = (03;0)) . На ней по схемам Пифагора - Дюрера выстроены искомые точки (32) и (33) . Заметим здесь точку (т) «золотого гуська» и «золотой лепесток» (33; т;31) . Далее, построена базовая квадратура круга с центром (О) и радиусом (О;33 = Я). Отрезок (32;33) является стороной квадратуры (Ь4). Дуга круга проходит через точку (т). Используя преобразование вращения радиуса (33;33) в позицию (И) , определим величину (И) равную (О;31) . Длина окружности (2яЯИ ) при (И = 1) равна периметру (4Ь4) или (2лЯИ = 4Ь4) , откуда (Ь4 = 0.5^).
Рассмотрим предложенную композицию на базовой квадратуре круга (Рис.1) в аспекте иного содержания. Пусть квадратура (Ь4) с диагоналями является горизонтальной проекцией четырехгранной пирамиды. Потребуем, чтобы её высота (И) рав-
ВЕСТНИК МГСУ
8/2011
нялась (0;31) . Здесь она изображена во фронтальной проекции в НВ, и принята за радиус ) окружности эквипериметрической сумме сторон квадратуры. Заметим, угол грани пирамиды к основанию должен быть равен . Заданные
условия как раз соответствуют уравнению (4ЬЛ = 2лКк ) .
Ниже продемонстрируем доказательство идентичности способов построения «золотой пропорции 2» по Пифагору и Дюреру. Хронологический интервал разделяющий жизни этих двух гениев представляет около тысячи лет. Итак, рассмотрим орто-сетку квадратуры (16 х 16) в репере Декарта (О, X, у). По Пифагору построим на (у) отрезки золотой пропорции (0,618) и (1), а затем величину (0,618) подадим на (-х). Для этого используем (Рис.3) «золотой гусёк» (51; т;55). Таким образом, построен ор-
тотреугольник (51;55;0), катеты которого представляют отношение 2, и принадлежат осям репера.
Рис.3
Смоделируем 2 иначе, следуя правилу Дюрера. Сдвинем точку гипотенузы параллельно на величину (0,5R) в позицию (т ). Вместе с ней сместим прямую (0; ет)//(0.5Я; т ;51) . Заметим, эта прямая есть сумма отрезков (0,618) и (0,5R), на которые её делит точка (т ). Построим эту прямую на вращая её с центром (0,5R). В силу изложенного, точка (55) будет общей на оси для двух способов построения 2 . Если вышеназванную гипотенузу переместить вращением в позицию стороны пятиугольника (55;51) квадратуры круга, - диагональ (55;52) может быть построена в соответственной позиции до вращения. Для этого достаточно проанализировать две позиции вращаемых взаимно треугольников (55;52;51) и (55;52;51) с
Б/2011 М1ВЕСТНИК
центром (5j) . Естественно, что сторона и диагональ пятиугольника пропорциональны катетам исходного ортотреугольника Пифагора.
Таким образом, предложенная модель связывает линейные величины квадратуры круга и величины , а также пространственного объекта - четырехгранной пирамиды. Эта пирамида, - не что иное, как Великая Пирамида в Гизе. Два уникальных свойства Пирамиды следующие:
1) отношения геометрических элементов грани представляют «золотую пропорцию»;
2) высота пирамиды (h) соотносится с основанием грани в пропорции
(0.5^).
Итак, все элементы Пирамиды «пронизаны» свойствами этих двух взаимосвязанных, как теперь это ясно, - фундаментальных отношений.
Переходя к своеобразному «эндшпилю» этой публикации, признаемся, что любезно предоставленные страницы, как нельзя лучше, соответствуют качеству «дебюта» темы о величайших примерах из истории симбиоза зодчества и ваяния. Великая Пирамида с Великим Сфинксом являются к тому же хронологически первым таким примером. Вместе с благодарностью к уважаемым издателям, можно выразить надежду, что состоится продолжение обмена мнениями заинтересованных начинающих и профессиональных исследователей, тем самым, способствуя установлению, развитию, углублению «курса лекций и практических занятий» Высшей Школы для совместного изучения «Архитектуры», «Инженерно-строительного дела», «Искусства и Ремёсел».
Литература
1. Гильберт Д., Кон-Фоссен С. «Наглядная геометрия». - М-Л: Издательство Т.Т.Л., 1951г., 350с.
2. Полежаев Ю.О. «Рациональные пропорции архитектурно-строительных объектов в проекционной геометрии» - М.: Издательство АСВ, 2010г., 195с.
Literature
1. D. Hilbert, S. Cohn-Vossen, "Geometry." - M-L: T.T.L. Publisher, 1951., 350s.
2. Polezhaev JO "Rational proportion of architectural and engineering facilities in the projection geometry" - M.: Publishing House of the DIA, 2010, 195s.
Ключевые слова: геометрография, Великая Пирамида, золотая пропорция, трансцендентное число, геометрические преобразования, архитектурно-строительное проектирование.
Keywords: geometrografya, the Great Pyramid, the golden ratio, a transcendental number, geometric transformations, architectural and structural design.
e-mail автора: grafika@mgsu.ru
Рецензент: Фаткуллина A.A., кандидат архитектуры доцент, кафедры начертательной геометрии, МАРХИ (Государственной академии)
