CC BY
81Scientific Journal Impact Factor
О
SONLARDAN ILDIZ CHIQARISH HAQIDA
Bozarov Dilmurod Uralovich1, Raxmonov Buron Normamatovich2, Absamatov Zuhriddin Ahmad o'gli3 123Qarshi muhandislik-iqtisodiyot instituti assistenti d.bozorov@inbox. ru
Annotatsiya: Bizga ma 'lumki, qadimda ko 'plab mamlakatlar olimlari matematika ilmi bilan chuqur shug'ullanishgan. Shu qatori, sonlardan ildiz chiqarish, sonlar yig'indisi yoki ayirmalarini natural darajaga ko'tarish masalalari bilan ham batafsil shug 'ullanishgan.
Kalit so'zlar: ildiz, darajaga ko'ratish, Nyuton binomi, arifmetika kaliti, mavhum birlik, kompleks son, kompleks sonning moduli, kompleks sonning argumenti.
Аннотация: Мы знаем, что в древности ученые многих стран были глубоко вовлечены в математику. Они также подробно рассмотрели корни чисел, сложение или вычитание чисел до естественного уровня.
Ключевые слова: корень, возведение в степень, бином Ньютона, арифметический ключ, абстрактная единица, комплексное число, модуль комплексного числа, аргумент комплексного числа.
Abstract: We know that in ancient times, scientists from many countries were deeply involved in mathematics. They also looked in detail at the roots of numbers, adding or subtracting numbers to a natural level.
Keywords: root, exponentiation, Newton's binomial, arithmetic key, abstract unit, complex number, modulus of a complex number, argument of a complex number.
Sonlardan kub ildiz chiqarishning hozirda biz Ruffini-Gomer usuli deb ataydigan usul bilan bir xil usulini birinchi marta Ahmad an-Nasaviy bayon etgan. Abul Vafo Buzjoniy esa sonlardan uchinchi, to'rtinchi va yettinchi darajali ildiz chiqarish haqida, Abu Rayhon al-Beruniy esa sonlardan uchinchi va undan yuqori darajali ildiz chiqarish haqida asar yozishgan. Ammo bu kitoblar bizgacha yetib kelmagan. Butun sondan istalgan natural darajali ildiz chiqarish qoidasini birinchi bo'lib Umar Xayyom bergan, ammo uning ham bu masalaga bag'ishlangan «Arifmetika qiyinchiliklari» («Mushkulot al-hisob») nomli asari yo'qolgan. Umar Xayyom o'zining algebraga doir asarida hindlaming sonlardan kvadrat va kub ildiz chiqarishga doir qoidasiga ikki hadning kvadrati va kubiga asoslangan
KIRISH
Scientific Journal Impact Factor
O
formulalarni tatbiq etib uni isbotlaganini yozadi. Umar Xayyomning bu so'zlaridan u "Nyuton binomi" formulasini butun ko'rsatgichlar uchun bilganligini payqashimiz mumkin.
MUHOKAMA VA NATIJALAR
Butun sonlardan ildiz chiqarishning umumiy usuli G'iyosiddin Jamshid al-Koshiyning «Arifmetika kaliti» asarida bayon etilgan. Al-Koshiy bayon etgan usul hozirgi Ruffini-Gomer usuli bilan bir xil. U o'z asarida ikki hadni istalgan natural darajaga ko'tarish qoidasini beradi. Koshiy bu qoidani butun sondan irratsional ildiz chiqarishda uning kasr qismini hisoblashga ishlatadi. U binomial koeffisientlarni daraja ko'rsatgichlarining elementlari deb ataydi. Koshiy bo'yicha kvadrat bitta daraja ko'rsatgichi elementiga, kub ikkita elementga ega va hokazo.
Al-Koshiy bizning Qn = C^J^ + C™_ 1 formulaga mos keluvchi koeffisientlarni ketma-ket hisoblash qoidasini jadval tarzida keltirgan.
Al-Koshiy binom qoidasini 5 daraja uchun ifodalagan, u hozirgi tanish formuladan bir oz farq qiladi:
C^r'-b- - cr- va
(a + b)n-an
Koshiy asarida to'liq kvadrat bo'lmagan sondan n-darajali ildiz chiqarishning taqribiy formulasi bor:
y/a71 + r = a + ■
r
in
(a+ l)n-a-
Bu formula kvadrat ildiz uchun ushbu ko'rinishga keladi: \!an + T «s a +
r
2a + l
0'z asarida u misol tariqasida 44240899506197 sonidan 5-darajali ildiz chiqarib ko'rsatadi:
Bu misoldagi xatolikni qaraylik:
5365= 44240899506176; 44240899506197-44240899506176 = 21 ya'ni 21 ga kam ekan.
2 1
;V = (536.0000000005V = --:-û;!iûû5063;!i:;
(536 H- -
v 4142 377402 9'
bundagi farq esa 185 ga ko'p ekan.
Bu sondan 5-darajali ildizni kalkulyator yordamida chiqarsak, V44240899506197 = 536,0000000001.
Scientific Journal Impact Factor
Bundan biz aniqlik darajasi yuqori ekanini ko'rishimiz mumkin. Bunday formulalar an-Nasaviyda quyidagi ko'rinishda uchraydi:
Va2 + r = a H—-—; Va3 + r = a +
2a+ 1
3a2+3a+l
Nasaviy formulasi asosida V2Ö ni hisoblaymiz:
XII asrda yashagan Abu Zakariya Muhammad ibn Abdullo al-Xasarda quyidagicha:
Abu Zakariya Muhammad ibn Abdullo formulasi bo'yicha hisoblasak:
Kalkulyator yordamida hisoblasak: V20 ~ 4,472.
Bu yerda r ni qanchalik kichik qilib tanlasak, shuncha xatolikka kam bo'ladi.
Bu misoldan ko'rishimiz mumkin, Abu Zakariya Muhammad ibn Abdullo formulasi Nasaviy formulasiga nisbatan xatolikni kichikroq qilar ekan.
Yuqoridagi metodlar bo'yicha Yevropalik P.Apianda (1527 yil) 8-daraja uchun va M.Shtifelda (1544 yil) umumiyroq formada ish olib borishgan.
Ma'lumki kvadrat tenglamalarni yechishda ba'zida ildiz ostida manfiy son hosil bo'lib qoladi, ya'ni kvadrat tenglamaning diskriminanti manfiy so ndan iborat
bo'ladi: D = b2 -4ac<0.
Bunda ildiz ostidan haqiqiy sonni chiqarish mumkin emas, u holda berilgan kvadrat tenglama ildizga ega emas. Shu vaqtgacha kvadrat ildiz chiqarish faqatgina musbat haqiqiy sonlar uchun aniqlanganligi o'qtirib kelingan. Manfiy haqiqiy sonlardan ildiz chiqarish ma'noga ega emas, ya'ni manfiy haqiqiy sonning kvadrat ildizi haqiqiy son bo'lmasligi mumkin.
Diskriminanti manfiy sondan iborat bo'lgan kvadrat tenglamani yechish uchun sonlar tushunchasini kengaytirish lozim bo'ladi. Bunday holda haqiqiy sonlar to'plamiga kvadrati -1 ga teng bo'lgan yangi i sonini kiritish maqsadga muvoffiq bo'ladi. Bu sonni mavhum birlik deb atash qabul qilingan. U holda quyidagi tenglik o'rinli bo'ladi:
Oriental Renaissance: Innovative, R VOLUME 1 | ISSUE 4
educational, natural and social sciences O ISSN 2181-1784
Scientific Journal Impact Factor SJIF 2021: 5.423
i2=-1
i soni bi ko'rinishdagi ko'paytma va a+ ib yig'indini kiritish imkoniyatini beradi.
Ta'rif: a+bi ko'rinishdagi ifodaga kompleks son deyiladi. Bunda a va b ixtiyoriy haqiqiy sonlar, i- mavhum birlik.
a soni a+bi kompleks sonning haqiqiy qismi, bi ko'paytma esa mavhum qismi deb ataladi, b soni mavhum qismning koeffisiyenti deyiladi.
Kompleks sonlar kiritilgach algebra, nazariy fizikaning gidrodinamika, elementar zarralar nazariyasi va hokazolardagi fikrlar hamda tushunchalar soddalashdi.
Kompleks sonlar ustida ham qo'shish, ayirish, ko'paytirish, bo'lish, darajaga ko'tarish va ildiz chiqarish amallarini bajarish mumkin.
a + bi kompleks sonni quyidagi ko'rinishda yozish mumkin:
a + bi = r cos ç+ir sin ç = r (cos ç+i sin ç) , Bunda r = Va2 + b2 va ç burchak
qo'yidagi shartlarda topiladi:
b
sinç =
Va2+b2
a
cosç
Va2 + b2 '
Bu tenglamada r soni a+bi kompleks sonning moduli, p burchak esa kompleks sonning argumenti deb ataladi.
Endi trigonometrik shakldagi kompleks sondan ildiz chiqarishni ko'rib chiqaylik:
r (cosp + i sinp) kompleks sonning n-darajali ildizi quyidagicha bo'lsin:
p( cos0 + i sin0) U holda, quyidagi tenglik o'rinli bo'ladi:
r (cos (p + i sin (p) = (p (cos 0 + i sin O)).
Muavr formulasiga asosan[2]:
r (cos p + i sin p) = pn (cos n0 + i sin n0).
XULOSA
<
Oriental Renaissance: Innovative, R VOLUME 1 | ISSUE 4
educational, natural and social sciences 0 ISSN 2181-1784
Scientific Journal Impact Factor SJIF 2021: 5.423
Agar ikkita kompleks son o'zaro teng bo'lsa, ularning modullari teng, argumentlari esa bir-biridan 2 n ga karrali burchakka farq qiladi. Shuning uchun
pn = r hamda nd = —+2kn yoki p = 4r va 0 = —-n, k e Z, n e N.
n
p va в larning topilgan qiymatlarini yuqoridagi tenglikga qo'yamiz:
._
Пг ( cos- + i sin-) = tfr
(o + 2 кж . (o + 2 кж cos---h i Sin --
n n
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO'YXATI (REFERENCES):
1. A.Abduraxmonov, A.Narmanov, N.Narmuratov "Matematika tarixi" Toshkent-2016.
2. E.Xolmurodov, A.Yusupov, T.Aliqulov "Oliy matematika" 3-qism. Toshkent-2017.
3. Olimov, K. T., Tulaev, B. R., Khimmataliev, D. O., Daminov, L. O., Bozarov, D. U., & Tufliyev, E. O. (2020). Interdisciplinary integration-the basis for diagnosis of preparation for professional activity. Solid State Technology, 246-257.
4. Uralovich, Bozarov Dilmurod, Rakhmonov Boron Normamatovich, and Khudoykulov Jamshid Kholmatovich. "DEVELOPMENT OF MATHEMATICS IN DIFFERENT PERIODS." (2021).
5. Olimovich, Tufliyev Egamberdi, Bozarov Dilmurod Uralovich, and Muhammadiyev Jahongir Matlubovich. "Effective Methods In Teaching Mathematics." (2021).
6. Maxmudovna, Gulomova Muxabbat, Tufliyev Egamberdi Olimovich, and Bozarov Dilmurod Uralovich. "Types and uses of mathematical expressions." ACADEMICIA: An International Multidisciplinary Research Journal 11.3 (2021): 746-749.
7. Каршиев, Бехзод Байханович, and Зухриддин Ахмад Угли Абсаматов. "ФОРМИРОВАНИЕ И СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАВЫКОВ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ." Вестник науки и образования 6-1 (84) (2020).
