Солитоны в зигзагообразной молекулярной цепочке Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЛИТЕРАТУРА

1. Грановский В.Л., Уразаков Э.И. //ЖЭТФ. 1960. Т.36. В.4 С. 1354-1355.

2. Уразаков Э.И. //ЖЭТФ. 1963. Т.44. В.1. С.41-44.

3. Захарова В.М., Каган Ю.М., Перель В.И.//Опт. и спектр. 1961. Т.11. В.6. С.777-779.

4. Захарова В.М., Каган Ю.М. // Опт. и спектр. 1965. Т.19. В.6. С. 140-141.

5. Захарова В.М., Каган Ю.М. // Спектроскопия газоразрядной плазмы. Л.:Наука, 1970. С.291-318.

6. Грановский В.Л. //Радиотехника и электроника. 1966. Т.11. В.3. С386-387.

7. Карасев В.Ю., Семенов Р.И., Чайка М.П. и др. //Опт. и спектр. 1998. Т.84. №6. С.912-912.

8. Дзлиева Е.С., Карасев В.Ю., Эйхвальд А.И. // Опт. спектр. 2002. Т.92. №6. С.1018-1023.

9. Дзлиева Е.С., Карасев В.Ю., Эйхвальд А.И. // Опт. и спектр. 2004. Т97. №2. С. 116-122.

10. Грановский В.Л. Электрический ток в газе. Установившийся ток. М.: Наука, 1977. С.450-459.

11. Шайхитдинов Р.З, Шибков В.М. // Вестник Московского университета. Серия 3. Физика. Астрономия. 2004. №4. С.46-48

УДК 5З9.2 ББК22.З8З

Поступила в редакцию 02.11.05 г.

СОЛИТОНЫ В ЗИГЗАГООБРАЗНОЙ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ЦЕПОЧКЕ Закирьянов Ф.К. Юлмухаметов К.Р.“

Рассмотрена нелинейная динамика зигзагообразных молекулярных цепочек.

Получены солитонные решения типа кинка, которые полностью определяются геометрическим ангармонизмом задачи. Предложено использовать эти решения для описания конформационных переходов в молекулах биополимеров.

Нелинейные коллективные возбуждения солитонного типа широко используются для объяснения различных явлений в кристаллах и других упорядоченных молекулярных системах. Реальная геометрическая структура биомолекулярных и полимерных цепей требует использования двух- и трехмерных моделей, учитывающих ангармонизм системы, обусловленный ее геометрией. В отсутствие подложки молекулярная цепочка будет иметь основное состояние с регулярной устойчивой структурой только при учете наряду с близкодействием взаимодействия дальних соседей [1]. Учет дальнодействия приводит к появлению у цепи вторичной структуры, наличие которой характерно для многих макромолекул (белки, ДНК и т.п.). Геометрически вторичная структура реализуется в форме спирали, частным случаем которой является плоский зигзаг. Форму плоского зигзага имеют многие полимерные макромолекулы. Целью данной работы является получение солитонных возбуждений в зигзагообразных молекулярных цепочках, анализ условий их существования и устойчивости.

Рассмотрим плоскую зигзагообразную молекулярную цепь (см. рис.1), при этом расстояние между молекулами постоянное: r0 = const.

Закирьянов Фарит Кабирович - к.ф. - м.и., доцент каф теоретической физики БашГУ Юлмухаметов Константин Раисович - аспирант каф теоретической физики БашГУ

2 л-1 п п+1

Рис. 1. Модель зигзагообразной молекулярной цепочки.

Рис. 2. Bb^p локальных систем координат. 22

22

b2 - а

В равновесии зигзаг характеризуется шагом Г# = а + Ь и углом зигзага 00 = arccos- 2 2 ,

Ь + а

а = Г0 sin 02^, Ь = Г0 COS 02- (рис.2).

Введем продольное ип и поперечное vn смещения п-ой молекулы из своего положения равновесия. Тогда

возмущенная связь будет удовлетворять соотношение ^ = ( - ип + Un + 1 )2 + (Ь - vn - Vn + 1)2 .

Потенциальную энергию деформации цепочки выразим через изменения углов

(а = 18,308 • 10 20 Дж ,00 = 113° г0 =1,53 А- для полиэтилена (CH2-)n)

V(0п) = ^а(0п -00)2

Гамильтониан зигзагообразной цепочки из N молекул имеет вид:

т ..

н=Е <т< «2)+v (0n))

n2

0n -0O =

( - Un-1)2 + (vn + vn-1)2 +4(Un+1 - Un )2 + (vn+1 + vn )2

rO

В приближении жестких связей (^0 = const) получим связь между продольными и поперечными смещениями:

(Vn+1 + vn ) * а(Un+1 - Un ) + ^(ип+1 - Un)2

Ь 2Ь

В континуальном приближении [2] имеем:

2 % " 2 , ,2 4а 2 4а 3 а % 4а

(0n -00) Uх +7ГГUх + 7ГТUх + 7ТТ UxUxxx

Ь Ь r0 Ь r0 3Ь

. 1Г ,4а2 2 4а4 3 а6 4 4а2 .dx

V(0n) = -J а(ТУUх + 7ТГUx + 7ТТUx + ^7T UxUxxx)_

2J Ь2 Ь г0 Ь г04 3Ь а

Уравнение движения для продольных смещений имеют вид

.. 5 Н

ти =-----------

5 и

5 Н дН д дН д2 дН д3 дН

где

5 и ди дх дих дх дихх дх диххх

Обезразмерим уравнение и изменим единицы х и і:

і =хх = к'ах', к' =

|4ат 0 Ь2т

(для полиэтилена Т0 = 4,77 • 10 13 С, т = 14тр, тр - масса протона). В дальнейшем для простоты не будем писать штрихи. В итоге имеем:

2„

Ш= и „ + Ви г и „ + Си ги „ + Би гт

ЯЛ Л ЛЛ л лл лллл

(])

где

В=

3а2

2^

Найдем спектр. Положим

Ь т

4ат;

С =

3а4Ь2т 2г02ах0

Б =

Ь 2 т 12ах2

- положительные постоянные.

и = ^ехр(/(ю і - кх))

и в линейном случае, получим из (*) дисперсионное уравнение

ю2 = к2 -Бк4.

2

Из дисперсионного уравнения можно получить, что фазовая скорость ограничена снизу 5 > 1

Решение (*) имеет вид (см.[3]):

/ / , V / . О \ \ Л

и=

1602 Х0

а

■ь М

(2 -1

к я

I —+ агіїе 4

(*2 -15 -1^( 6аіі (2 -1) -)

Ь2т

00

(* 2 -1)

3а

т

//

Рис.3. График и = — + аг^(Ж(х))

Таким образом, мы получили, что в плоской зигзагообразной цепочке распространяется продольная

22

уединенная волна (см. рис.З). Волна имеет вид солитона типа кинка со скоростью: 5 = 1 + БГ , которая

2

больше скорости звука С# = 1. Так как 1/Г - эффективная ширина солитона, имеющая нижним пределом

постоянную решетки, то отсюда следует, что скорость солитона будет ограничена сверху.

Таким образом, в данной работе показана возможность существования солитонов в молекулярной цепочке за счет ее геометрического ангармонизма. Полученные результаты могут быть использованы для описания конформационных переходов в а- и Р-спиральных белках, а также молекулах ДНК.

Как известно, в процессе функционирования ДНК может менять свою конформацию вследствие взаимодействия с другими компонентами клетки, прежде всего с белками. Все известные формы ДНК распадаются на два семейства — А- и В-формы, — которые различаются, в частности, расстояниями пар оснований от оси спирали. Считается, что В-А-переходы в ДНК кооперативны и слабо зависят от состава и последовательности нуклеотидов. Полученное в виде кинка решение применительно к ДНК может быть интерпретировано как переход дезоксирибозы из основного состояния в метастабильное (В-А-переход). При этом увеличивается расстояние между комплементарными основаниями. Обратный переход описывается солитоном с обратным знаком.

ЛИТЕРАТУРА

1. Савин А.В., Маневич Л.И. // Успехи физических наук, 1999,т.169, №3, с.255-270.

2. Давыдов А.С. Солитоны в молекулярных системах Киев: Наукова думка, 1984, с.288

3. Слюняев А.В., Пелиновский. Е.Н. //Динамика солитонов большой амплитуды. // ЖЭТФ, 1999, №1(7), с, 318355.

Поступила в редакцию 01.09.05 г.

ББК

УДК

ОЦЕНКА НАДЕЖНОСТИ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ НЕПРЕРЫВНОГО ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ПРИ ИЗВЕСТНЫХ МОМЕНТАХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Шаяхметов В.В.“

Представлен аналитический метод решения, в котором достигаются экстремумы в виде ступенчатых функций распределения (ФР) с ограниченным числом точек роста. Исследуются специальные функции, для нахождения ФР и граничных значений области изменения параметров. Эти оценки могут быть использованы при анализе надежности технических систем различного целевого назначения при наличии ограниченной априорной информации.

Пусть отказы объекта возникают только в рабочем режиме и только по причинам, связанным с этим режимом. Момент восстановления системы является точкой регенерации стохастического процесса описывающего функционирование системы, а сам процесс будет регенерирующим с периодом, состоящим из

двух независимых частей: Е, = Е,1 + Е,2 , где Е,]_- случайная величина (СВ) с экспоненциальным, а Е,2 - СВ с

произвольным распределениями. В модели функционирования систем с резервом времени первая часть периода

Е,]_- это интервал, в течение которого объект работоспособен, а вторая часть Е, 2 - это интервал, на котором

возникает отказ объекта и производится его восстановление. Критерием отказа таких систем является выполнение условия превышения случайной величиной ?В (временем восстановления) резервного времени

X п или ?д. Вероятность этого события

“Шаяхме тов Ве ниамин Вафич - канд. те хн. наук, доце нт каф. инф. без-ти БашГУ.