CC BY
155
ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 20. ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ. 2008. № 3
Л.И. Токарева
СОДЕРЖАНИЕ СОВРЕМЕННОГО ШКОЛЬНОГО
МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ
Понятие "образование" является многогранным и многоаспектным, а потому и нет единой общепринятой трактовки. Данное понятие приобретает такие смысловые значения, как: составная часть социализации личности; система информации, которая содержится в образовательных программах различных школ и учебных заведений и осуществляется в процессе обучения; уровень образования различных социальных групп, которые определяют экономический и культурный потенциал общества.
Принимаемое нами определение соответствует сформулированному в Законе Российской Федерации "Об образовании": "Образование — это целенаправленный процесс обучения, воспитания и развития в интересах личности, общества и государства". А значит, понятие предметного образования (математического, физического, химического, исторического и др.) — это процесс воспитания личности через соответствующий предмет, способствующий общественным и личным интересам в приобретении соответствующих знаний и культуры.
В современных условиях преобразования общества необходимо воспитывать человека новой формации, способного к активному творческому овладению знаниями, умеющего адекватно реагировать на меняющуюся ситуацию, способного моделировать и прогнозировать результаты своей деятельности и делать обоснованные выводы.
Поскольку каждый учебный предмет выполняет в составе общего образования вполне определенные и специфические функции, то состав и структура школьных предметов специфичны.
Математика — это единственный предмет, при изучении которого учащимся приходится выполнять сразу несколько видов деятельностей: 1) обнаружение и постановку учебных проблем и целенаправленный поиск выхода из создавшихся проблемных ситуаций; 2) выделение данного понятия из ряда других понятий по наличию существенных признаков; 3) конструирование математических объектов с заданными свойствами; 4) осуществление поиска решения математических задач и выделение блока необ-
Токарева Людмила Ивановна — кандидат педагогических наук, доцент кафедры алгебры и геометрии Новгородского государственного университета имени Ярослава Мудрого.
ходимых теоретических знаний для выполнения самого процесса решения; 5) применение имеющихся знаний в различных учебных ситуациях.
Основными целями математического образования являются: интеллектуальное развитие личности обучаемых, формирование таких видов учебно-познавательной деятельности, которые с самого начала включают в себя заданную систему знаний и обеспечивают их применение в заранее установленных пределах; формирование таких качеств мышления, которые характерны для математической деятельности и необходимы человеку для полноценной жизни в обществе (осознанность, гибкость, глубина, широта, критичность мышления); формирование представлений о методах математики, и прежде всего о методе математического моделирования.
Веками математика является неотъемлемой составляющей системы общего образования всех стран мира. Объясняется это прежде всего ролью и значимостью учебного предмета математики в формировании личности обучаемого в силу того, что образовательный, воспитательный и развивающий потенциалы математики огромны.
На содержание школьного математического образования большое влияние оказывает математическая наука, которая представляет собой сложное, многогранное и многоаспектное явление: это и изучение реального мира с количественной стороны, и язык описания науки, и абстрактная модель мира, и логически выстроенная структура научно-теоретических фактов.
Специфические черты математики как науки и как учебного предмета определяют ее особое положение в ряду базисных направлений развития личности.
Самостоятельное применение знаний учащимися в различных областях научных знаний станет возможным в том случае, если они овладеют теоретически обобщенными структурами понятий, систем понятий, различными видами математических утверждений (леммы, теоремы), методами их доказательства, методами и приемами решения различных типов математических задач, умениями анализировать, обобщать, сравнивать, классифицировать, выдвигать различные гипотезы (опровергать их или доказывать), пользоваться аналогиями.
Математические, философские, психолого-педагогические исследования показывают, что математическое образование не сводится к передаче ученику базы готовых теоретических знаний1. Главное — это раскрыть логико-гносеологическую природу математических знаний, механизмы и закономерности их возникновения, дальнейшего развития, углубления и последующей интеграции.
Отсюда вытекают проблемы, связанные с построением содержания школьного математического образования:
1) не расширяя объема учебного материала дать учащимся необходимый запас теоретических знаний;
2) раскрыть логико-гносеологическую природу формируемых понятий;
3) способствовать объединению понятий в системы (подсистемы), осуществлять дальнейшее развитие и совершенствование систем, объединяя их в более общие теоретические системы сущностных знаний.
При таком подходе на первый план должны выдвигаться следующие компоненты: содержательно-целевой, процессуально-деятель-ностный, контрольно-оценочный и оценочно-рефлексивный.
В содержании школьного математического образования, а также и в содержании школьного предмета математики нами выделено три взаимосвязанных, взаимозависимых и взаимообусловленных блока: содержательный, логико-формирующий, дидактические и методические средства.
Прежде чем представить структуру содержательного блока, установим, что мы будем понимать под содержанием учебного материала.
Ученые-математики А.Д. Александров, Н.Х. Розов, Е.М. Веч-томов и др. в содержание школьного предмета математики включают понятия, математические утверждения (леммы и теоремы) и методы их доказательства2.
Известные логики и методологи науки Е.К. Войшвилло, Д.П. Горский, М.П. Барболин, А.К. Сухотин, А.А. Столяр и др. под содержанием учебного материала имеют в виду различные понятия3.
Выдающиеся отечественные и зарубежные дидакты Л.Я. Зорина, А.В. Усова, А.М. Новиков, В. Оконь, М. Вертгеймер и др. под содержанием учебного материала понимают научную теорию4.
Крупные отечественные и зарубежные психологи П.Я. Гальперин, Н.Ф. Талызина, В.В. Давыдов, М. Вертгеймер и др. в качестве объектов содержания учебного предмета выделяют учебно-познавательные действия, которые включают в себя определенную систему теоретических знаний и обеспечивают применение этих знаний в заранее установленных пределах5.
Анализируя различные точки зрения о понятии "содержание учебного материала" и учитывая специфику предмета математики, мы под содержанием учебного материала будем понимать: 1) теоретические знания и методы их получения; 2) математические задачи и методы их решения; 3) различные взаимосвязи, существующие между теоретическими знаниями и математическими задачами6.
Обратимся к рассмотрению содержательного блока. Он включает:
• неопределяемые, общие, фундаментальные математические понятия;
• математические утверждения и методы их доказательства: дедуктивный, аксиоматический, координатный, векторный, метод уравнений и неравенств, метод математического моделирования;
• доказательства, применяемые в научном познании: фактические доказательства, доказательства существования, доказательства аналогией, доказательства индукцией, дедуктивные, методологические (с опорой на законы диалектики);
• математические задачи, выполняющие различные функции: алгоритмические, полуалгоритмические, полуэвристические, эвристические7;
• качества знаний, которые должны быть сформированы у учащихся к концу изучения курса: гибкость, осознанность, глубина, критичность мышления8.
Общими будем называть понятия, удовлетворяющие следующим двум критериям: 1) изучаются на протяжении всего курса математики; 2) способствуют установлению межпредметных и межсистемных связей между теоретическими фактами. К ним относятся: понятия числа, величины, геометрического преобразования и др.
Фундаментальные понятия удовлетворяют следующим критериям: 1) активно работают на протяжении длительного периода времени; 2) способствуют установлению внутрипредметных и внутрисистемных связей; 3) способствуют установлению межсистемных и межпредметных связей между понятиями; 4) имеют широкую оптимизационно-прикладную направленность; 5) способствуют формированию научного мировоззрения учащихся. К ним относятся понятия: уравнения, неравенства, тождества, функции и др.
Школьный курс математики состоит из отдельных тем, которые представляют собой соответствующие разделы (конечно, в упрощенном варианте) математической науки с их конкретным содержанием и методом.
Поэтому попытки объединить школьный курс математики лишь на какой-то одной конкретной основе: теоретико-множественной, логической, функциональной или какой-то другой, — оказываются малоэффективными для развития и воспитания учащихся. Кроме того, каждый из таких подходов практически не учитывает логико-познавательную природу и функции, закономерности формирования и интеграции математических понятий. Не ставится вопрос об объединении понятий в общие теоретические системы знаний.
Система математических понятий — это иерархическая и функциональная целостность гносеологически и генетически связанных понятий, относящихся к определенной области научных знаний, выраженных в определенной знаковой модели, адекватной их содержанию.
Чтобы объединять понятия в системы (подсистемы), между теоретическими знаниями и математическими задачами должны быть установлены взаимосвязи. Одним из связующих звеньев является математический язык, который представляет собой совокупность математической терминологии, символики, правил их образования и оперирования ими.
Математический язык должен выполнять в процессе обучения те же функции, что и в процессе научного познания: обо-значающе-информационную, абстрагирующую, обобщающую, эвристическую, экстраполяционную. Однако ни в программах по математике, ни в учебно-методических пособиях не выделены функции математического языка, хотя стиль мышления современного школьника проявляется в способности мыслить не только понятиями, но и символами.
Именно объединение понятий в системы, дальнейшее развитие, совершенствование и интеграция систем будет представлять собой концентрат целостных и обобщенных знаний, которые учащиеся смогут применять в различных учебных ситуациях: аналогичных, измененных, нестандартных.
Обратимся к рассмотрению логико-формирующего блока. Данный блок практически полностью отсутствует в содержании современного школьного математического образования, что негативно сказывается на формировании и математической, и общечеловеческой культуры как носителя духовных, морально-этических и поведенческих функций обучаемых.
Логико-формирующий блок должен включать следующие виды знаний: логические, методологические, историко-научные, философские, межпредметные, оценочные9.
Логические знания — это знания из формальной логики, которые необходимы для последовательного логического рассуждения, построения правильных силлогизмов и логических связей между суждениями, владения общими методами доказательства: аналитическим, синтетическим, методом от противного, полной математической индукцией. Данный вид знаний необходим прежде всего для развития логического мышления учащихся. Отсутствие их в программах и учебниках часто является причиной формального усвоения знаний.
Методологические знания — это совокупность знаний из методологии науки: знание о научной теории, гипотезе (выдвижение, их тщательный анализ и отбор), об идеализации, аксиоматиза-
49
4 ВМУ, педагогическое образование, № 3
ции, математическом моделировании. Методологические знания характеризуются:
• пониманием сущности математики как науки и как учебного предмета, ибо, находясь в непрерывном единстве, они приобретают значимые различия: а) формальная логика математической науки в образовательной деятельности становится способом видения и понимания мира; б) математика задает новый смысл постижения мира, выраженного в идеях математического моделирования различных процессов: экономических, физических, химических, биологических, процессов современного производства;
• пониманием роли и значимости математического факта, ведущей идеи процесса решения задачи или доказательства математического утверждения;
• выдвижением гипотез, их тщательным анализом и отбором;
• открытием, видением и пониманием содержательных и процессуальных связей, существующих между теоретическими знаниями.
Историко-научные знания показывают эволюцию математических понятий, взаимосвязи, существующие между отдельными понятиями и системами понятий, эволюцию различных научных теорий и используемых в них математических методов.
При раскрытии роли и значимости историко-научных знаний можно выделить два подхода. Первый состоит в изложении истории открытия математических законов в том виде и в той последовательности, в которых они были открыты в истории науки с постепенным переходом к современному состоянию данного вопроса. Однако этот подход не может быть внедрен в практику школьного обучения, так как займет слишком много времени, ибо учащиеся вынуждены будут проследовать весь долгий путь к истине. Кроме того, такой подход будет способствовать формированию преимущественно эмпирического мышления. Второй подход выражает следующую точку зрения: школа должна учить только тому знанию, которое прочно устоялось в системе научного познания10.
Использование элементов истории было и остается одним из тех вопросов преподавания математики в средней школе, решение которого позволяет расширить представления учащихся о математике как о науке в целом.
В отечественных учебниках математики (в отличие от многих зарубежных) историко-научные знания отсутствуют, что негативно сказывается на формировании личности обучаемого и его мировоззрения.
Следует отметить, что именно историко-научные знания, помогая сознательно усваивать результаты познания, выполняют
важные развивающую и воспитывающую функции в обучении, способствуют решению проблемы гуманизации математического образования.
Философские знания — это представления о материи, познаваемости мира, неисчерпаемости знаний. Их привлекают для развития диалектического мышления и научного мировоззрения учащихся. Они являются и предпосылкой и результатом усвоения знаний по математике.
Под межпредметными знаниями мы понимаем знания более высокого уровня целостности, включающие в себя ряд знаний, представленных в определенной взаимосвязи и взаимообусловленности, раскрывающие новое содержание мыслительной деятельности. Это знания из различных предметов (физики, химии, истории, астрономии, биологии), привлекаемые для обслуживания ведущего компонента темы, раздела или одной из содержательно-методических линий школьного курса математики. Данный вид знаний недостаточно представлен в школьных учебниках математики. Межпредметные знания могут найти реализацию через решение прикладных задач: решая прикладные задачи, учащиеся могут сделать открытие не только математического, но и учебно-познавательного фактов, которые будут необходимы и для дальнейшего изучения теории, и для решения математических задач.
Оценочные знания — это знания обучаемого об имеющемся у него потенциале теоретических знаний и сформированных способах учебно-познавательной деятельности по теме, разделу, предмету, учебному курсу в целом. Оценочные знания развивают эмоционально-мотивационную сферу личности обучаемых, что необходимо и как средство усвоения знаний по предмету, и как личностно-значимый результат этого усвоения. Данный вид знаний позволяет обучаемому самостоятельно оценить, на сколько полно, глубоко, осознанно усвоен им соответствующий программный материал.
В логико-формирующий блок также должны входить методы математики: метод математического моделирования, аксиоматический, координатный, векторный, метод уравнений и неравенств.
Ведущим из представленных методов является метод математического моделирования, который включает большое количество этапов. Для школьного курса математики ограничимся следующими этапами:
• анализ задачной ситуации: а) что дано; б) что требуется найти (доказать); в) связи, существующие между данными и искомыми элементами;
• перевод заданной (практической) ситуации на язык математики: а) выполнение схемы (чертежа); б) мысленное конструирование модели задачи;
• конструирование математической модели и формулировка соответствующей математической задачи;
• выбор и реализация соответствующего математического аппарата для решения математической задачи;
• критическое осмысление полученных математических результатов и осуществление перевода задачи на язык реальной ситуации.
Эффективность и качество обучения не только математике, но и любому другому предмету определяются не только глубиной и прочностью овладения учащимися теоретическими знаниями, но и уровнем их развития, степенью подготовки к самостоятельной работе в будущем. Сами по себе знания и умения еще не определяют уровень умственного развития обучаемого без умения использовать их в нестандартных ситуациях, без готовности к самостоятельному решению новых учебных проблем из различных областей знаний.
Таким образом, теоретические знания следует рассматривать, с одной стороны, как результат мыслительных действий, а с другой — как процесс получения этого результата. Усвоение знаний учащимися должно быть поставлено в соответствие с адекватной деятельностью. Поэтому в содержании школьного математического образования необходим еще один блок — дидактических и методических средств.
К дидактическим средствам мы относим общелогические и специфические приемы учебно-познавательной деятельности. Общелогические приемы обеспечивают общий подход к анализу любого учебного материала. К ним относятся: подведение под понятие, выведение следствий из факта принадлежности объекта понятию, сравнение, обобщение, абстрагирование. Специфические приемы способствуют усвоению знаний в их предметном содержании. В каждой теме, разделе (или предмете) это будут свои действия, являющиеся операциями соответствующих общелогических11.
К методическим средствам относятся различные знаковые модели: учебные карты, обобщающие таблицы, логико-структурные схемы, логические модели, опорные конспекты, тетради с
12
печатной основой и др.12
Выделение в школьном математическом образовании, а также и в предмете математики, трех взаимосвязанных, взаимозависимых и взаимообусловленных блоков: содержательного, логико-формирующего и блока дидактических и методических средств, будет в конечном итоге способствовать тому, что у учащихся будут формироваться теоретически обобщенные структуры понятий, теорем, способы решения типов математических задач, а также будет осуществляться объединение понятий в теоретические системы знаний.
Примечания
1 См.: Александров А.Д. Математика и диалектика // Сибирский математический журнал. 1970. № 2. С. 243—263; Барболин М.П. Методологические основы развивающего обучения. М., 1991; Вечтомов Е.М. Философия математики. Киров, 2004; Войшвилло Е.К. Понятие как форма мышления: логико-гносеологический анализ. М., 1989; Гальперин П.Я. Управляемое формирование психических процессов. М., 1977; Горский Д.П. Определение. М., 1974; Зорина Л.Я. Дидактические аспекты естественно-научного образования. М., 1978; Розов Н.Х. Курс математики общеобразовательной школы: сегодня и послезавтра // Мат-лы XV Междунар. конф. "Математика. Образование". Чебоксары, 2007. С. 11—17; Столяр А.А. Методы обучения математике. Минск, 1989; Талызина Н.Ф. Научные основы обучения. М., 1995; Усова А.В. Совершенствование системы естественно-научного образования в школе. Челябинск, 2002.
2 См.: Александров А.Д. Указ. соч.; Розов Н.Х. Указ. соч.; Вечтомов Е.М. Указ. соч.
3 См.: Войшвилло Е.К. Указ. соч.; Горский Д.П. Указ. соч.; Барболин М.П. Указ. соч.; Сухотин А.К. Гносеологический анализ емкости знания. Томск, 1988; Столяр А.А. Указ. соч.
4 См.: Зорина Л.Я. Указ. соч.; Усова А.В. Указ. соч.; Новиков А.М. Российское образование в новой эпохе. М., 2000; Оконь В. Введение в общую дидактику / Пер. с польск. Н.Г. Горина. М., 1990; Вертгеймер М. Продуктивное мышление / Пер. с англ. В.П. Зинченко. М., 1987.
5 См.: Гальперин П.Я. Указ. соч.; Талызина Н.Ф. Указ. соч.; Давыдов В.В. Теория развивающего обучения. М., 1996; Вертгеймер М. Указ. соч.
6 См.: Токарева Л.И. Концепция продуктивного функционирования математических понятий и их систем в современном обучении // Вестн. Челяб. гос. пед. ун-та. 2005. № 10. С. 287—299.
7 См.: Она же. Указ. соч.
8 См.: Талызина Н.Ф. Указ. соч.; Токарева Л.И. Указ. соч.; Усова А.В. Указ. соч.
9 См.: Токарева Л.И. Указ. соч.
10 См.: Александров А.Д. Указ. соч.; Войшвилло Е.К. Указ. соч.; Гальперин П.Я. Указ. соч.
11 См.: Талызина Н.Ф. Указ. соч.
12 См.: Талызина Н.Ф. Указ. соч.; Токарева Л.И. Указ. соч.
