CC BY
36
УДК 534.113
Вестник СПбГУ. Сер. 1. Т. 3(61). 2016. Вып. 3
СОБСТВЕННЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ АНИЗОТРОПНЫХ КОРОБЧАТЫХ СТЕРЖНЕЙ ИЗ ПОЛИМЕРНЫХ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ. 2. ЧИСЛЕННЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ
В. М. Рябов1, Б. А. Ярцев2
1 Санкт-Петербургский государственный университет,
Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7—9
2 Крыловский государственный научный центр,
Российская Федерация, 196158, Санкт-Петербург, Московское шоссе, 44
Обсуждаются результаты численных исследований влияния ориентации армирующих волокон на величины собственных частот и коэффициентов механических потерь связанных колебаний безопорных симметричных и асимметричных коробчатых стержней. Расчеты выполнялись в предположении частотной независимости вещественных частей комплексных модулей и коэффициентов механических потерь. Моды колебаний идентифицировались по виду поверхностей соответствующих собственных форм. Границы областей взаимной трансформации взаимодействующих мод колебаний определялись путем совместного анализа зависимостей связанных и парциальных собственных частот, а также коэффициентов механических потерь от угла ориентации армирующих волокон. Установлено, что при колебаниях симметричного коробчатого стержня возникают два первичных взаимодействия: изгибно-крутильное и продольно-сдвиговое, объединенные в единое продольно-изгибно-крутильно-сдвиговое взаимодействие вторичным взаимодействием, порождаемым деформациями поперечного сдвига. При колебаниях асимметричного коробчатого стержня возникают продольно-крутильное и изгибно-изгибное (в двух взаимно ортогональных плоскостях) взаимодействия. Показано, что в ряде случаев изменение угла ориентации армирующих волокон сопровождается взаимной трансформацией связанных мод колебаний. Если дифференциальные уравнения собственных колебаний содержат производные нечетного порядка собственных функций по пространственной переменной (симметричный стержень, изгибно-изгибное взаимодействие несимметричного стержня), то при изменении угла ориентации армирующих волокон происходит взаимная трансформация связанных мод колебаний. Если же уравнения содержат только производные четного порядка (продольно-крутильное взаимодействие несимметричного стержня), взаимная трансформация связанных мод колебаний не возникает. Библиогр. 4 назв. Ил. 7.
Ключевые слова: композитные материалы, собственные колебания, связанные колебания.
1. Данная статья является продолжением работы [1], в которой содержится подробное описание математической модели задачи.
Бесконечное многообразие структур армирования стенок коробчатого стержня не позволяет исследовать их все. Поэтому будем рассматривать две специальные структуры армирования стенок: симметричную и асимметричную. Симметричная структура армирования образована совокупностью однонаправленных слоев, ориентированных таким образом, что выполняется 9(1) = 9(2) = -9(3) = -9(4) = 9 (рис. 1, а). Здесь 9(^) — угол между продольной осью стержня х и направлением армирующих волокон на грани стержня с номером ] = 1,4). Нижний индекс, заключенный в круглые скобки, и обозначает номер грани стержня. За начало отсчета принимается нижняя грань и нумерация последующих граней осуществляется против часовой стрелки. В отличие от симметричной асимметричная структура армирования коробчатого стержня образуется совокупностью ориентированных в направлениях 9(1) = 9(2) = 9(3) = 9(4) = 9 однонаправленных слоев (рис. 1, б). Различие воз-
(¡5 Санкт-Петербургский государственный университет, 2016 БО!: 10.21638/11701/зрЬи01.2016.311
никающих в указанных структурах эффектов упругого взаимодействия порождает различную связанность мод колебаний симметричных и асимметричных коробчатых стержней.
а б
Одинаковая ориентация волокон на каждой грани стенки стержня позволяет считать ее материал квазиоднородным, не зависящим от числа армирующих слоев. Поэтому вместо слоистого стержня можно рассматривать эквивалентный однородный стержень, каждая грань которого симметрична относительно срединной плоскости, т. е. В(т =0 (1,т = 1,6). Кроме того, выполняются равенства т^ = рН, тЦ^ = 0, = рН3/12 и отличные от нуля силы инерции определяются формулой
т^ -
( Ь )
12
13
14
15
16 17
Шц 0 0 0
0
0
Ш22 0 0 0 тзз 0 0 0 0 0
0 0 0
0 0
0 0
т74 0
0 0 0
т45 0 0 0 т56 0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
т67 0 0 тбю
0
0 0 0
и 0 у в 2 Ф'
V и
Ф
0у
0; Ф11
Численные исследования влияния угла ориентации армирующих волокон в (в £ [0, 90]) на значения собственных частот ^ = ^(в) и коэффициентов механических потерь п = Пг (в) проводились для безопорных симметричных и асимметричных тонкостенных коробчатых стержней, изготовленных из углепластика HMS/DX-209 (Ец/Е22 = 38,6 = 0.1 м, с = 0.4м, Ь = 3.0м, Н = 0.01 м). При выполнении расчетов делалось обычное предположение о частотной независимости вещественных и мнимых компонент комплексных модулей и, следовательно, коэффициентов механических потерь [2]. Моды колебаний идентифицировались по виду поверхностей соответствующих собственных форм —по числу и расположению узловых сечений, а также по соотношениям между линейными и угловыми перемещениями. Определение границ областей взаимной трансформации взаимодействующих мод колебаний выполнялось путем совместного анализа зависимостей связанных и парциальных собственных частот, а также коэффициентов механических потерь от угла ориентации
армирующих волокон, впервые предложенного в работе [3]. При проведении анализа определяются координаты точек пересечения зависимостей парциальных собственных частот и коэффициентов механических потерь, соответствующих взаимодействующим модам колебаний. Полученные координаты приближенно определяют положения центров искомых областей взаимной трансформации.
2. Для симметричного коробчатого стержня матрица жесткости преобразуется к виду
[С]
С11 0 0 0 С15 С16 0
0 С22 0 0 0 0 С27
0 0 С33 0 0 0 С37
0 0 0 С44 0 0 0
С51 0 0 0 С55 0 0
С61 0 0 0 0 С66 0
0 С72 С73 0 0 0 С77
(1)
Тогда описывающая собственные затухающие колебания симметричного коробчатого стержня связанная система дифференциальных уравнений движения и естественные граничные условия на его концах упрощаются и записываются в виде
С11 и0 + С15 (у0 + ©Ог)' + С16 (м'0 + ©Оу)' + Ш2Ш11 по = 0,
С22©О'у + С27Ф0' - С61П0 - С66 (ш'о + ©0у) + Ш2Ш22©0у = 0,
С33©О'г + С37ФО' - С51П0 - С55 («О + ©0г) + Ш2Шзз©Ох = 0,
С51 иО + С55 («О + ©0г)' + ^2Ш41«0 = 0,
С61П0' + С66 (w0 + ©Оу)' + ш'2m52Wо = 0,
С72©О'у + С73©0'г + С77ФО' - С44Ф^У + (т6зФо + Ш67Ф0')
(2)
при х = 0, I выполняются условия
С11П0 + С15 («О + ©Ог С22©0у + С27Ф С51П0 + С55 («О
0,
С16 (w0 + ©Оу)
= 0, Сзз©0г + С37Ф0 = 0 , ©Ог) = 0, С61П0 + С66 (w(
Ф" = 0,
©Оу ) = 0,
С72©0у + С73©0г + С77ФО - С44ФО'' + ^2Ш74Ф0 = 0.
Совместный анализ соотношений (1), (2) позволяет сделать заключение, что в случае симметричных коробчатых стержней возникают два вида первичных взаимодействий — продольно-сдвиговое и изгибно-крутильное (см. вид матрицы (1)). Вторичное взаимодействие, обусловленное деформациями поперечного сдвига, объединяет первичные взаимодействия в единое продольно-изгибно-крутильно-сдвиговое взаимодействие, описываемое связанной системой шести дифференциальных уравнений движения (2).
3. Для асимметричного коробчатого стержня матрица жесткости такова:
[С]
С11 0 0 0 0 0 С17
0 С22 0 0 С25 0 0
0 0 С33 0 0 С36 0
0 0 0 С44 0 0 0
0 С52 0 0 С55 0 0
0 0 С63 0 0 С66 0
С71 0 0 0 0 0 С77
Связанная система шести дифференциальных уравнений движения, описывающая колебания коробчатого стержня произвольной структуры армирования [1], в случае асимметричного коробчатого стержня упрощается и разделяется на две независимые системы, первая из которых характеризует связанные продольно-крутильные колебания:
сци'0' + С17Ф0 + и2тпио = 0,
С71М0' + С77Ф0' - С44Ф^ + (тезФо + т^Фо) = 0
с граничными условиями при х
0, I:
Ф" Фо
0,
С11М0 + С17 Ф0 = 0, С71М0 + С77ФО - С44Ф0" + ^2т74Ф0 = 0.
Вторая система дифференциальных уравнений описывает изгибные колебания стержня в двух взаимно ортогональных плоскостях, связанные с деформациями поперечного сдвига:
С22 00'у + С25 («0 + 00г)' - С63002 - «66 (и° + 00у) + Ш2т22 00у = 0, СззО'0г + С36 (и0 + 00у)' - С5200у - С55 («0 + 002) + ш2тзз&0Х = 0, С5200'у + С55 («0 + 00г)' + Ш2Ш41«0 = 0, С6з00'2 + С66 (и'0 + 00у)' + ^2т52и0 = 0
при следующих условиях для х = 0, I:
С2200у + С25 («0 + 00*) = 0
С52 00у + С55 («0 + 00
0,
Сзз002 + Сз6 (и'0 + 00у) = 0, С6з002 + С66 (и0 + 00у) = 0.
4. Продолжая упрощение общей системы дифференциальных уравнений движения коробчатого стержня, рассмотрим случай ориентации армирующих слоев в направлении продольной оси стержня х либо ортогонально ей (в = 0°, 90°), т.е. стенки граней поперечного сечения выполнены из ортотропного материала. Матрица жесткости ортотропного коробчатого стержня записывается в виде
[С]
С11 0 0 0 0 0 0
0 С22 0 0 0 0 0
0 0 Сзз 0 0 0 0
0 0 0 С44 0 0 0
0 0 0 0 С55 0 0
0 0 0 0 0 С66 0
0 0 0 0 0 0 С77
(3)
Общая система шести дифференциальных уравнений движения [1] разделяется на четыре группы:
1) уравнения изгибных колебаний в плоскости хг с учетом деформаций поперечных сдвигов и инерции вращения сечений
С22 00'у - С66 (и0 + 00у) + Ш2т22 00у = 0,
С66 (и'0 + 00у)' + ш2т52и0 = 0
(4)
с граничными условиями при х = 0, I вида 00у = 0, и0 + 00у = 0;
2
2) уравнения изгибных колебаний в плоскости ху с учетом деформаций поперечных сдвигов и инерции вращения сечений
С33©0'г - С55 (Ц
+ ©Ог) + Ш2Шзз©0г = 0,
С55 («о + ©Ог) + ^2Ш41«О = 0
с граничными условиями при х = 0, I вида ©0г =0, «0 + ©ог = 0; 3) уравнение крутильных колебаний
С77Ф0' - С44Ф^У + Ш2 (т6зФо + Ш67Ф0') = 0
(5)
(6)
с граничными условиями при х = 0,1 вида Ф0' = 0, - С44ФО'' + С77ФО + ш2т74Ф0 = 0;
4) уравнение продольных колебаний симметричного ортотропного квазиоднородного коробчатого стержня
Сци0 + ш тцио = 0
0.
(7)
с граничными условиями при х = 0,1 вида и0
5. При проведении численных исследований связанных колебаний симметричного коробчатого стержня рассматривались первые 23 тона. Неклассический вид графиков зависимостей собственных частот от угла ориентации армирующих волокон !г = ^(в) (рис. 2) свидетельствует о фейерверке эффектов, порождаемых продольно-изгибно-крутильно-сдвиговой связанностью в конструкции. Анализ полученных результатов позволил установить, что в зависимости от значения угла в (в € [0, 90]) каждой г-й собственной частоте = fi(в) соответствуют несколько различных собственных форм колебаний, возникающих в результате череды взаимных трансформаций взаимодействующих мод колебаний. В случае изгибно-крутильного взаимодействия взаимные трансформации возникают, если обе связанные моды либо четные,
и кГц
В, град.
Рис. 2. Зависимости собственных частот первых 23 тонов колебаний симметричного коробчатого стержня от угла 0.
либо нечетные. При продольно-крутильной связанности взаимные трансформации реализуются, если одна из связанных мод четная, а вторая связанная мода нечетная.
Для демонстрации описанных эффектов рассмотрим последовательность взаимных трансформаций взаимодействующих первой, второй и четвертой мод колебаний, графики зависимостей собственных частот fi = fi(e) и коэффициентов механических потерь щ = щ(в) (г =1, 2, 4) которых приведены на рис. 3. На этом же рисунке и далее нанесены кривые зависимостей парциальных собственных частот изгибных = /.¿(0) в плоскости 0xz и fi = fi(9) в плоскости 0ху колебаний, крутильных fiT = fiT(0) и продольных fiL = fjx{0) колебаний, а также соответствующих этим частотам парциальных коэффициентов механических потерь ту,;. = ^.¿(б), щ = щ(0), rjiT = rjiT{e), rjiL = rjiL{0). Расчет значений парциальных собственных частот и коэффициентов механических потерь производился при выполнении условия Q16 = Q26 = 4iß = 0 по соотношениям (3)-(7).
Величины парциальных собственных частот и коэффициентов механических потерь изгибных (4), (5) и продольных (7) колебаний определялись по «свободным» комплексным модулям упругости Exx = Exx(0).
Величины парциальных собственных частот и коэффициентов механических потерь крутильных колебаний (6) вычислялись путем замены «свободного» комплексного модуля сдвига в плоскости армирования Gxs = Gxs(0) на «чистый» комплексный модуль сдвига Gxs(6) = Gxs{9)/\\. — i]xs,x{@) • Vx,xs{9)], соответствующий полному «запрещению» изгибных деформаций при кручении анизотропного стержня. Здесь nx,xs(^), Vxs,x(0) —коэффициенты взаимного влияния первого и второго рода слоя полимерно композиционных материалов в локальной системе координат 0xsn. Понятия «свободных» и «чистых» модулей введены Фойгтом [4].
Анализ приведенных на рис. 3 зависимостей позволяет утверждать, что при в = 0° кривые 1, 2, 4 (здесь и далее номер кривой соответствует индексу параметров f или п) определяют первую крутильную, первую изгибную в плоскости наименьшей жесткости 0xy и первую изгибную в плоскости наибольшей жесткости 0xz мод
4 4 кГц
Л \ \ \ flT
\ £\ к \ \ \
U 11" ¥
15
30
45 60
75
9, град.
90
1.2
1.0
0.6
0.4
П, п ' 102
Л1 _П1
/У V
П4 / /
4
! W'
15
30
45
60
Ö, град.
75 90
Рис. 3. Зависимости собственных частот (а) и коэффициентов механических потерь (б) взаимодействующих мод колебаний симметричного коробчатого стержня от угла в.
а
0
0
0
0
колебаний соответственно. Увеличение угла в сопровождается появлением областей взаимных трансформаций рассматриваемых мод. На отрезке [1, 8] происходит взаимная трансформация первой квазикрутильной (кривые 1) и первой квазиизгибной в плоскости 0ху (кривые 4) мод колебаний, в результате которой при в > 8° кривые 1 описывают первую квазиизгибную в плоскости 0ху моду колебаний, при в = 90° — вырождающуюся в первую изгибную в плоскости 0ху моду. Кривые 2 при в > 8° соответствуют первой квазикрутильной моде колебаний. На отрезке [10, 30] взаимодействие первой квазикрутильной моды (кривые 2) с первой квазиизгибной в плоскости 0хг модой колебаний (кривые 4) порождает их взаимную трансформацию. В результате этой трансформации при в > 30° кривые 2 соответствуют первой квазиизгибной в плоскости 0хг моде, а кривые 4 — первой квазикрутильной моде. При в = 90° кривые 2 и 4 характеризуют первую изгибную в плоскости 0хг, а кривые 4 — первую крутильную моды колебаний.
Переходя к обзору более высоких тонов колебаний, необходимо отметить, что с повышением тона число взаимных трансформаций связанных мод возрастает. Проиллюстрируем это путем подробного исследования изменений собственных частот и коэффициентов механических потерь пяти взаимодействующих мод колебаний рассматриваемого стержня (г = 3, 5, 7, 9, 11) в зависимости от угла ориентации армирующих волокон в (рис. 4, 5).
Совместный анализ рассматриваемых зависимостей позволяет сделать вывод, что при в = 0° кривые 3, 5, 7, 11 определяют вторую крутильную, вторую изгибную в плоскости наименьшей жесткости 0ху, вторую изгибную в плоскости наибольшей жесткости 0хг, четвертую крутильную и четвертую изгибную в плоскости 0ху моды колебаний соответственно. По мере увеличения угла в в результате связанности происходят взаимные трансформации указанных мод. На отрезке [1, 13] возникает взаимная трансформация второй квазикрутильной (кривые 3) и второй квазиизгиб-ной в плоскости 0ху (кривые 5) мод колебаний. В результате этой трансформации при в > 13° кривые 3 характеризуют вторую квазиизгибную в плоскости 0ху моду колебаний, вырождающуюся во вторую изгибную моду при в = 90°, а кривые 5 идентифицируются как вторая квазикрутильная мода колебаний. Следствием взаимной трансформации второй квазикрутильной (кривые 5) и второй квазиизгибной в плоскости 0хг (кривые 7) мод колебаний на отрезке [14, 19] является соответствие кривых 5 при в > 19° второй квазиизгибной в плоскости 0хг, а кривых 7 — второй квазикрутильной модам колебаний. При в = 90° кривые 5 описывают вторую из-гибную в плоскости 0хг моду колебаний. Взаимодействие второй квазикрутильной (кривые 7) и четвертой квазиизгибной в плоскости 0ху (кривые 9) мод колебаний на отрезке [20, 25] порождает их взаимную трансформацию. Поэтому при в > 25° кривые 7 соответствуют четвертой квазиизгибной в плоскости 0ху моде колебаний, а трансформирущиеся во вторую квазикрутильную моду кривые 9 на отрезке [23, 29] взаимодействуют с первой квазипродольной модой колебаний (кривые 11). Результатом этого взаимодействия является взаимная трансформация мод колебаний.
При в > 29° кривые 9 соответствуют первой квазипродольной, а кривые 11 — второй квазикрутильной модам колебаний. На отрезке [58, 60] происходит еще одна взаимная трансформация первой квазипродольной и второй квазикрутильной мод колебаний. В результате этой трансформации при в > 60° кривые 11 характеризуют первую квазипродольную моду, вырождающуюся в первую продольную моду колебаний при в = 90°. При в > 60° соответствующие второй квазикрутильной моде колебаний кривые 9 на отрезке [70, 72] взаимодействуют с четвертой квазиизгибной
в плоскости 0xy модой (кривые 7). Порождаемая взаимодействием взаимная трансформация сопровождается изменением мод колебаний. Поэтому при в > 72° кривые 7 характеризуют вторую квазикрутильную, а кривые 9 — четвертую квазиизгибную в плоскости 0xy моды колебаний, вырождаясь при в = 90° во вторую крутильную и четвертую изгибную в плоскости 0xy моды соответственно.
симметричного коробчатого стержня от угла в.
6. Результаты численных исследований низших тонов связанных продольно-крутильных колебаний асимметричного коробчатого стержня представлены на рис. 6 в виде графиков зависимостей ^ = ^(в) и пг = Пг (в)•
Кривые 1-6 соответствуют первым шести квазикрутильным модам колебаний, а кривые 7 — первой квазипродольной моде. На этом же рисунке приведены кривые
АЛ /7
Хт /б
\\.Ат
Ат1 А/
\Г
\./2Т
и
Лзт 1-| Пп П1 Ч/ь Нл/ Дх
Лът / )Ы
С\к> \Пбт
9, град.
Рис. 6. Зависимости собственных частот (а) и коэффициентов механических потерь (б) продольно-крутильных колебаний асимметричного коробчатого стержня от угла в.
о
и
, град
о
16
30
46
60
76
о
16
30
46
60
76
90
зависимостей парциальных собственных частот = (0) и парциальных коэффициентов механических потерь = в). Расчет величин = ¡.¡{в) и = в) производился без учета связанности мод колебаний по соотношениям (3)-(7) при условии <516 = д26 = </16 = 0. Численные значения парциальных собственных частот и коэффициентов механических потерь крутильных (6) колебаний определялись по «свободным» комплексным модулям сдвига 0Х8 = 0Х8(в), ОХп = Охп{9). Величины парциальных собственных частот и коэффициентов механических потерь продольных колебаний вычислялись путем замены «свободного» комплексного модуля упругости Ехх = Ехх(в) на «чистый» комплексный модуль упругости Ехх = ЕХХ(в)/[1 — цХа,Х(в) ' ПХ,Хз(в)], соответствующий полному «запрещению» кручения при продольном деформировании анизотропного стержня.
Анализ представленных зависимостей позволил установить отсутствие трансформации связанных мод колебаний безопорного стержня при продольно-крутильном взаимодействии.
Собственные частоты и коэффициенты механических потерь связанных мод колебаний хорошо описываются приближенным решением, построенным на идеологии «чистых» и «свободных» модулей.
На рис. 7 приведены графики зависимостей = $г(в) и гц = Цг(в) низших тонов связанных изгибно-изгибных колебаний асимметричного коробчатого стержня, а также графики зависимостей парциальных собственных частот и парциальных коэффициентов механических потерь.
На основании представленных результатов можно сделать вывод, что для безопорного асимметричного композитного коробчатого стержня взаимодействие изгиб-ных мод колебаний в двух взаимно ортогональных плоскостях (изгибно-изгибное взаимодействие) возникает, если одна из связанных мод четная, а другая — нечетная. Следствием изгибно-изгибного взаимодействия является взаимная трансформация связанных мод изгибных колебаний. В результате взаимной трансформации ]-я мода колебаний, идентифицируемая при в = 0° как г-я изгибная мода в плоскости 0хг, по
/а
0.3
П-, n " 102
15
30
45
60
75
90
В, град.
Рис. 7. Зависимости собственных частот (а) и коэффициентов механических потерь (б) изгиб-но-изгибных колебаний асимметричного коробчатого стержня от угла 9.
мере увеличения угла в трансформируется в (г + 1)-ю изгибную моду в плоскости 0ху, окончательно вырождаясь в последнюю при в = 90°. Одновременно (] + 1)-я мода колебаний, идентифицируемая при в = 0° как (г + 1)-я изгибная мода в плоскости 0хх, по мере увеличения угла в трансформируется в г-ю изгибную моду в плоскости 0ху, окончательно вырождаясь в последнюю при в = 90°.
7. Выполненные исследования позволили установить, что в зависимости от структуры армирования коробчатых стержней в них могут возникать различные виды взаимодействий. Если дифференциальные уравнения собственных колебаний содержат нечетные производные собственных функций по пространственной переменной (симметричный стержень, изгибно-изгибное взаимодействие несимметричного стержня), то при изменении угла ориентации армирующих волокон в происходит взаимная трансформация связанных мод колебаний. Если же уравнения содержат только четные производные (продольно-крутильное взаимодействие несимметричного стержня), взаимная трансформация связанных мод колебаний не возникает.
а
0
', град
0
Литература
1. Рябов В. М., Ярцев Б. А. Собственные затухающие колебания анизотропных коробчатых стержней из полимерных композиционных материалов. 1. Постановка задачи // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. Астрономия. 2016. Т. 3(61). Вып. 2. С. 221-229.
2. Treviso A., Van Genechten B., Mundo D., Tournour M. Damping in composite materials: Properties and models // Composites. Part B: Engineering. 2015. Vol.78. P. 144-152.
2. Brown W. F. Interpretation of torsional frequencies of crystal specimens // Physical Review. Second Series. 1940. Vol.58, N11. P. 988-1001.
4. Voigt W. Lehrbuch der Kristallphysik. Leipzig und Berlin. Teubner, 1928. 978 S.
Статья поступила в редколлегию 18 ноября 2015 г.
Сведения об авторах
Рябов Виктор Михайлович —доктор физико-математических наук, профессор; v.ryabov@spbu.ru Ярцев Борис Александрович — доктор технических наук, начальник сектора; boris yar@mail.ru
NATURAL DAMPED VIBRATIONS OF ANISOTROPIC COMPOSITE BOX BEAMS. 2. NUMERICAL EXPERIMENT
Victor M. Ryabov1, Boris A. Yartsev2
1 St. Petersburg State University, Universitetskaya nab., 7—9, St. Petersburg, 199034, Russian Federation; v.ryabov@spbu.ru
2 Krylov State Research Center, Moskovskoye shosse, 44, St. Petersburg, 196158, Russian Federation; boris_yar@mail.ru
The results of numerical studies of the influence of reinforcing fibers orientation's on values of natural frequencies and coefficients of mechanical losses associated vibrations unsupported symmetric and asymmetric box-shaped beams are discussed. The calculations were performed under the assumption of frequency the independence of the real parts of the complex moduli and coefficients of mechanical losses. The vibration modes identified by the form surfaces of the respective native forms. The boundaries of areas of mutual transformation of the interacting modes of vibrations were determined by joint analysis of dependencies and associated partial frequencies, and coefficients of mechanical losses from the orientation angle of reinforcing fibers. It is found that the vibrations of symmetrical box-shaped beam having two primary interactions: bending-torsion and longitudinal shear, combined into a single longitudinal-bending-torsion-shear interaction secondary interaction arising from the transverse shear deformations. For vibrations of asymmetric box-shaped beam arise longitudinal-torsional and flexural-flexural (in two mutually orthogonal planes) interaction. It is shown that in some cases the change of orientation angle of reinforcing fibers is accompanied by mutual the transformation of coupled mode oscillations. If the differential equation of natural vibrations contain derivatives of odd order eigenfunctions in the spatial variable (symmetric beam, flexural-flexural interaction in asymmetric beam), then changes in the orientation angle of reinforcing fibers leads to a mutual transformation of coupled vibration modes. If the equations contain only derivatives of even order (longitudinal-torsional interaction in asymmetric beam), the mutual transformation of the coupled vibration modes does not occur. Refs 4. Figs 7. Keywords: composite materials, natural vibrations, coupled vibrations.
References
1. Ryabov V. M., Yartsev B. A., "Natural Damped Vibrations of Anisotropic Composite Box Beams 1. Statement of the Problem", Vestnik St. Petersburg University. Ser. 1. Mathematics. Mechanics. Astronomy 3(61), Issue 2, 221-229 (2016) [in Russian].
2. Treviso A., Van Genechten B., Mundo D., Tournour M., "Damping in composite materials: Properties and models", Composites. Part B: Engineering 78, 144-152 (2015).
3. Brown W. F., "Interpretation of torsional frequencies of crystal specimens", Physical Review. Second Series 58(11), 988-1001 (1940).
4. Voigt W., Lehrbuch der Kristallphysik (Leipzig und Berlin, Teubner, 1928) [in German].
Для цитирования: Рябов В.М., Ярцев Б. А. Собственные затухающие колебания анизотропных коробчатых стержней из полимерных композиционных материалов. 2. Численный эксперимент // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1. Математика. Механика. Астрономия. 2016. Т.3(61). Вып. 3. С. 429-439. DOI: 10.21638/11701/spbu01.2016.311
For citation: Ryabov V. M., Yartsev B. A. Natural damped vibrations of anisotropic composite box beams. 2. Numerical experiment. Vestnik of Saint Petersburg University. Series 1. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2016, vol. 3(61), issue 3, pp. 429-439. DOI: 10.21638/11701/spbu01.2016.311
