Собственные затухающие колебания анизотропных коробчатых стержней из полимерных композитных материалов. 1. Постановка задачи

Рябов Виктор Михайлович; Ярцев Борис Александрович

УДК 534.113

Вестник СПбГУ. Сер. 1. Т. 3(61). 2016. Вып. 2

СОБСТВЕННЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ АНИЗОТРОПНЫХ

КОРОБЧАТЫХ СТЕРЖНЕЙ ИЗ ПОЛИМЕРНЫХ

КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

В. М. Рябов1, Б. А. Ярцев2

1 Санкт-Петербургский государственный университет,

Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7-9

2 Крыловский государственный научный центр,

Российская Федерация, 196158, Санкт-Петербург, Московское шоссе, 44

Исследования собственных колебаний композитных анизотропных коробчатых стержней представляют собой интересную практическую задачу, которая ранее детально не обсуждалась. Авторы ранее опубликованных работ, как правило, ограничивались рассмотрением двух-трех низших тонов колебаний. Столь незначительное число анализируемых тонов не позволяет представить общую картину возникающих в таких конструкциях взаимодействий мод колебаний, сопровождающихся множественными взаимными трансформациями. Последнее обстоятельство и стало причиной написания данной работы. В ее первой части содержится подробное описание математической модели задачи, а во второй части приведены результаты расчетов и их детальное обсуждение. Библиогр. 11 назв. Ил. 2.

Ключевые слова: композитные материалы, собственные колебания, связанные колебания.

1. Рассматривается безопорный коробчатый стержень, связанный с декартовой системой координат хуг (рис. 1). Стенка стержня представляет собой совокупность конечного числа р однородных слоев полимерных композитных материалов (ПКМ) с толщинами Нк (к = 1, 2,...,р). Материал каждого слоя считается анизотропным, линейно вязкоупругим. Проскальзывание между слоями отсутствует, поперечное сечение не деформируется в своей плоскости [1-5].

Для записи уравнений затухающих колебаний стержня используется вариационный принцип Гамильтона:

«2 _ - - - 2

5

1 [дПЛ2 1 ГГГ , , дЩ дПк «1 у у

3,Ь = 0, (1)

где ш —частота колебаний, а Т — температура окружающей среды.

Сведение трехмерных соотношений (1) к одномерным уравнениям стержней выполняется путем представления элементов вектора перемещений в виде [1, 2, 6]

и(х, у, г,г) = и (ж, г) + оу(х,г) ^г(в) - + ©г(ж, г) ^у(в) + ~~

- Ф'(х^) (в) + пт3(в)]; V(х,у,г,г) = у(х,г) - г Ф(х,г); Ш(х,у,г,г) = т(х,г) + у Ф(х,г), (2)

где и, V, V, Ф, <Эу, Ог —линейные и угловые перемещения оси стержня; в — контурная координата (длина дуги); п — расстояние по нормали от контура до точки поперечного сечения.

(¡5 Санкт-Петербургский государственный университет, 2016 БОТ: 10.21638/11701/зрЬи01.2016.206 221

Рис. 1. Тонкостенный коробчатый стержень.

Функция депланации Сен-Венана определяется приближенным выражением

ф) = -[F (s) + nrs(s)],

где

= J Ь'Дз) - Ф] ф = = ^I ^

Ао — полная площадь, заключенная внутри контура поперечного сечения:

2A0 = ф rs (s) ds = Q,

Q — секториальная площадь; ß = j>s ds — длина контура поперечного сечения, rn,rs — проекции радиуса-вектора произвольной точки поперечного сечения на внешнюю нормаль п и касательную к нему s (рис. 2):

, . , . dz . . dy , . . dz . . dy

rn{s) = y{s)-- z{s)-, rs{s) = -z(s)-- y(s)-.

Элементы вектора деформаций связаны с элементами вектора перемещений (2) соотношениями

&xs

exx | | kxx

exs / + n N kxs exn J ^ kxn

u' + z в'у + y Q'z - F Ф"

+ n N ф'

I 0

• (3)

Здесь и далее символ (■■■)' обозначает частную производную по пространственной переменной х.

Физические соотношения для к-го слоя, образующего замкнутый контур поперечного сечения стержня в локальной системе координат хвн, записываются в виде

(4)

гДе Я 1т = Я1т(ш>Т) = Кедгт(^,Т) + Мтдгт(^,Т) = В,е(Э1т{ш, Т)(1 + щт{ш, Т)) -элементы комплексной матрицы жесткости слоя [7, 8].

Охх 1 ' Яп Я_12 Ят 0 " &хх

1 _ Я12 Я 22 я26 о 1

Охх | Ят Я26 Ябб о I

ОхП ) (к) _ 0 0 0 Ям (к)

Рис. 2. Геометрия поперечного сечения тонкостенного стержня.

Исключая второе уравнение из системы линейных уравнений (4), представим напряжения в плоскости стенки следующими соотношениями:

ОXX

(к)

(ахп)(к)

411 416

-- {я

416

466

(к)

(5)

где

411

Я1 2

Ян - 416 — <?1б -

44/ (к) ' Ьхп>

Я12 Я26

Я

22

Я

466

п

^66 -

22

Я

22

Интегрируя элементы вектора напряжений по высоте каждого слоя с учетом соотношений (3), (5) и суммируя результаты по количеству слоев, определим нормальные усилия N и изгибающие моменты М, возникающие в стенке поперечного сечения стержня:

(6)

^х ) ' Аи ¿16 -В и В16 1 е

^ 1 Ат ¿66 В16 В 66 1 е

Мхх ( В и В16 £>11 £>16 I к

Мхх ) В16 В 66 £>16 £>66 . к

XX

Элементы матриц мембранных Aim, смешанных Bim и нзгнбных Dim жесткостей вычисляются по формулам

2

(Aim, Bim, Dim) = J 4lm (l,П,П2) dn, (I, 171 = 1, 6),

где h = const — толщина стенки поперечного сечения.

Нормальные усилия в трансверсальном направлении определяются по формуле

/ т

Nxn = A44 ■ ех

Q44 dn I ■ ехп.

\h

\ 2

2

Потенциальная энергия деформации стержня определяется зависимостью

i

U = ^J [Nxu' + Mye'y + Mze'z + B<i>" + Qy(v' + ez) + Qz(w' + ey) + Mx<i>']dx, (7)

где

N*=ja Nxx ds, Mx = j{Nx8ф + Mxs) ds, My = ji ^Nxxz - ds,

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Mz = j [nxxV + Mxx^ ds, В = - j{NxxF + Mxxrs) ds,

Qy = ф [Nxs^ + Nxn^j ds, Qz = I [Nxs^ - Nxn^ ) ds.

В представлениях (7), (8) Nx —осевая сила; Мх —крутящий момент; Му, Mz — изгибающие моменты относительно осей у и г; В —бимомент; Qy, Qz —поперечные силы в направлении осей у и г, действующие в поперечном сечении стержня.

Подставляя в (8) зависимости (6) с учетом (3), получим соотношения связи внутренних усилий с функциями перемещений и их производными по координате х:

' Nx ' C11 C12 C13 0 C15 C16 C17 u'

My C21 C22 0 C24 C25 0 C27 ©У

Mz C31 0 C33 C34 0 C36 C37 ©z

B = 0 C42 C43 C44 0 0 0 < Ф''

Qy C51 C52 0 0 C55 0 C57 v' + ©z

Qz C61 0 C63 0 0 C66 C67 w' + ©y

Mx C71 C72 C73 0 C75 C76 C77 Ф'

где cij 224

— элементы матрицы жесткости.

Кинетическая энергия коробчатого стержня равна величине

0 ив

и + г Э у + у Э 2 - ^ Ф ' + V - г Ф + й + у Ф

то+

+ 2и + ге9 + «,ег-РФ' — -©у-Г8Ф'

¿г I ¿у ■

¿в

+ [^ёг-^ёу-гаФ') гт} ¿зсь. (10)

Здесь введены обозначения

(то,тьт,2) = ^ / ри (1,п,п2) ¿п,

I—1

Ьк

к=1

Ьк-

где ри —плотность материала к-го слоя.

Подставляя (7) и (10) в (1) и производя преобразования, включающие интегрирование по частям, приведем первую вариацию функционала Гамильтона к виду

г 2 I

{11 6и + 125Эу + 136Эг + 146V + 156й + 166Ф} ¿х ¿г +

г 1 о ¿2 г

+ JJ N6и + ду6v+ д'х6й+ (М'у -дг) 6Эу +(Ы'г-ду) 6Э2 +(МХ-Б") 6Ф] ¿x¿г+

¿1 о г 2

+ У мФ]0 ¿г-1[Кхби+дуSv+дгбй+Муз©у+мгб©г +(ых-б')6Ф+б6Ф']0¿г.

(11)

Входящие в (11) силы инерции определяются равенством

11 ) т11 т12 т1з 0 0 0 0 0 0 0

12 т21 т22 0 т24 0 0 0 0 0 0

1з тз1 0 тзз тз4 0 0 0 0 0 0

14 > = 0 0 0 0 т45 0 т47 0 0 0 <

15 0 0 0 0 0 т56 т57 0 0 0

1б 0 0 0 0 т65 т66 т67 тб8 тб9 тб1о

17 0 т72 т7з т74 0 0 0 0 0 0

у

и

Э Э г Ф'

V ■й Ф Э

э ;

ф "

у

(12)

2

Условиями стационарности функционала (11) служат уравнения движения

С11< + С12©0'у + ci3©0'z + Ci5(ü¿ + ©Oz)' + cie(w0 + ©Oy)' + C17 Ф0'+

+w2(miiM0 + m12 ©Oy + m13©oz + m^0) = 0, C21U0' + C22©0y + C24$0" + C25 (v'0 + ©0z)' + С2гФ0' - C61U0 - C63©0z - c6e(w'o + ©0y)-

С67ФО + w2(m21«0 + m22©0y + т24Ф0) = 0,

C31U0' + C33©0'z + C34Ф0'' + C36(w'0 + ©0y)' + C37Ф0' - C51u0 - C52©0y - C55(v¿ + ©0z)-

^57Ф0 + w2(m31M0 + m33©0z + т-34Ф0) = 0,

C51U0' + C52©0'y + C55 (v0 + ©0z)' + C57Ф0' + Ш2(m45Vo + m47Фo) = 0,

C61M°' + C63©oz + C66(w'0 + ©0y)' + C67Фo + ^2(m56W0 + m57Фo) = 0,

C71u'' + C72©0y + C73©0z + C75 (v' + ©0z)' + C76K + ©0y)' + C77Ф" - C42©ó)'y-

-C4з©''0'z^44Ф0У + w2(m65Vo+m66Wo+m67Фo+m68©0y+m69©0z+m6 юФ") = 0

(13)

и естественные граничные условия при x = 0, l:

C11u0 + C12©0y + C13©0z + C15 (v0 + ©0z) + C16 (w'o + ©0y) + C17Ф0 = 0,

C21U0 + C22©0y + C24Ф0' + C25 К + ©0z) + C27Ф0 = 0,

При записи (13), (14) учитывались зависимости (9), (12) и предполагалось, что движение стержня происходит по гармоническому закону, т. е.

2. В уравнения (13), (14) входят производные искомых функций, поэтому будем искать приближения в аналитическом виде, а не численно во избежание потери точности при последующем дифференцировании. Предварительно с помощью замены переменной перейдем к стандартному отрезку [-1,1] по x. Искомые функции определяем в виде разложений

N

У^ ampm(x) (15)

m=1

при подходящем выборе системы ym. Подстановка приближений (15) в уравнения (13), (14) и последующая процедура метода Ритца приводят к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) порядка 6N относительно коэффициентов разложений (15). При разработке комплекса программ, реализующих описанную схему, необходимо согласовывать возможности вычислительной техники (скорость вычислений, объем оперативной и внешней памяти, простота реализации и выполнения необходимых математических операций, в том числе на комплексной плоскости и т. п.) с требованиями, предъявляемыми к параметрам метода.

Прежде всего возникает вопрос о рациональном выборе координатной системы

Использование тригонометрических систем нерационально из-за невысокой скорости сходимости (она имеет порядок N-3/2, см. [9]) и ввиду большого порядка систем. Теоретически можно брать большие значения N, но тогда необходимо привлекать внешнюю память, что резко увеличит время выполнения программ из-за постоянного обращения к ней. В случае использования полиномиальных координатных

функций скорость сходимости зависит лишь от свойств решения (его гладкости) и может быть сколь угодно большой.

Целесообразно выбирать в качестве координатных функций многочлены Ле-жандра [9], домноженные при необходимости (для выполнения соответствующих граничных условий в решаемой задаче) на (1 — х) и (1 + х) в подходящих степенях, т. е. использовать функции вида

(1 — х)а(1+ х)вРп(х), а, в = 0, 1, п = 0, 1, ...

Многочлены Лежандра Рп (х) легко вычисляются с помощью трехчленных рекуррентных соотношений, а производные выбранных функций просто выражаются через многочлены Якоби.

При формировании матриц СЛАУ наряду со значениями координатных функций и их производных, точно определяемых описанным способом, приходится многократно вычислять интегралы вида

1

У ^ (х) ^П°(х) ¿х

для всевозможных значений параметров к, I, т, п. Теоретически эту операцию можно осуществить аналитически, так как интегрируются многочлены, к тому же относительно небольшие по абсолютной величине на отрезке интегрирования, однако этот путь неустойчив из-за большого разброса коэффициентов многочленов.

Для устойчивого вычисления указанных интегралов используем квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности [10] вида

1 п

/ /(х) ¿х Ак!(хк)

1 к=1

1

Они точны для многочленов степени не выше 2п — 1, и потому требуемые величины вычисляются практически точно при подходящем выборе п. Узлы Ак и коэффициенты хк не зависят от интегрируемой функции и могут быть вычислены заранее. Аналогичные формулы используются и для вычисления контурных интегралов (контур задается набором лежащих на нем точек, и на каждом отрезке между двумя соседними точками он считается прямолинейным).

Для решения СЛАУ реализован метод Жордана [11] с выбором главного элемента по всей матрице. Он оформлен в виде отдельной процедуры на языке С+—Ъ

При решении задачи об упругих собственных колебаниях применение метода Ритца приводит к однородной СЛАУ, в которой все элементы матрицы зависят от ш2. Эта матрица имеет вид С — ш2М, где С и М — матрица жесткости и матрица масс, не зависящие от ш. Они для экономии времени вычисляются один раз и затем используются многократно.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Необходимым условием существования нетривиальных решений однородной системы является равенство нулю ее определителя, т. е.

^(ш) = det (С — ш2М) = 0.

Это и есть уравнение для определения собственных частот колебаний. Будем их находить следующим образом: зададим некоторый диапазон [шнач, шкон], в котором, предположительно, расположена искомая частота, и пробегаем его с некоторым шагом, каждый раз вычисляя знак определителя Г(ш). Если знак меняется, соответствующий частичный интервал содержит частоту, при которой определитель равен нулю. Далее повторяем описанную процедуру для найденного частичного интервала, уменьшая шаг. Затем по найденной таким способом с требуемой точностью частоте находим какое-либо нетривиальное решение однородной системы, оно и определит соответствующую форму собственных колебаний.

В случае затухающих собственных колебаний искомые частоты суть комплексные числа, и указанный способ их нахождения неприменим.

Выберем в качестве начального приближения к искомой комплексной частоте комплексное число ш(о), вещественная часть которого равна частоте упругих собственных колебаний с модулями, равными вещественным частям соответствующих комплексных модулей, а мнимая часть — произвольное значение в пределах ожидаемого коэффициента механических потерь, после чего построим итерационную последовательность

= - Р2{ш{Т(^к)\ к = 0, 1, ...

2Г/3(и>(к)) ' ' '

Эта последовательность сходится с третьим порядком точности к искомой частоте, т. е. погрешность на следующем шаге приближенно равна кубу предыдущей погрешности [11].

Необходимые в расчетах производные точно определить невозможно, поэтому они находятся приближенно по формулам численного дифференцирования второго порядка точности

{ ' ~ 2К ' { ' ~ \ь\

при подходящем выборе шага Нг в зависимости от точки г.

Следовательно, на каждом шаге итерации требуется трижды вычислять значение определителя большого порядка, что и определяет основное время работы программы.

Отметим, что на величину определителя влияют его порядок N1 = 6Ж, значение искомой частоты ш, а также способ нормировки уравнений, позволяющий избежать промежуточных переполнений и исчезновений порядков чисел. С ростом N1 определитель быстро убывает по модулю. Простейший эффективный способ масштабирования состоит в умножении каждой строки определителя на одно и то же число а, в результате чего определитель изменится в а^ раз. Например, при а = 2 и N1 = 1000 имеем aNl « 10зо°. Следовательно, достаточно взять а € [1, 2] для того, чтобы удерживать величину определителя в разумных пределах.

Литература

1. Librescu L., Song O. Thin-Walled Composite Beams. Theory and Application. Springer, 2006. 600 p.

2. Librescu L., Song O. Free Vibration of Anisotropic Composite Thin-Walled Beams of Closed Cross-Section Contour // Journal of Sound and Vibration. 1993. Vol. 167, N 1. P. 129-147.

3. Armanios E. A., Badir A. M. Free Vibration Analysis of Anisotropic Thin-Walled Closed-Section Beams // AIAA Journal. 1995. Vol.33, N10. P. 1905-1910.

4. Lentz W. K., Armanios E. A., Badir A. M. Constrained Optimization of Thin-Walled Composite Beams with Coupling // Proceedings of the AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC 37th Structures, Structural Dynamics and Materials Conference. 1996. P. 2326-2334.

5. Suresh R., Malhotra S. K. Vibration and Damping Analysis of Thin-Walled Box Beams // Journal of Sound and Vibration. 1998. Vol.215, N2. P. 201-210.

6. Рябов В.М., Ярцев Б. А. Затухающие колебания тонкостенных стержней из полимерных композитов. I. Постановка задачи // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2001. Вып. 2, №9. С. 91-97.

7. Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела. М., 1979. 744 с.

8. Treviso A., Van Genechten B., Mundo D., Tournour M. Damping in composite materials: Properties and models // Composites. Part B. Vol.78. 2015. P. 144-152.

9. Даугавет И. К. Теория приближенных методов. Линейные уравнения. СПб., 2006. 228 с.

10. Крылов В. И. Приближенное вычисление интегралов. М., 1967. 500 с.

11. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. М., 1962. Т. 2. 640 с.

Статья поступила в редакцию 18 ноября 2015 г. Сведения об авторах

Рябов Виктор Михайлович — доктор физико-математических наук, профессор; v.ryabov@spbu.ru Ярцев Борис Александрович — доктор технических наук, начальник сектора; boris_yar@mail.ru

NATURAL DAMPED VIBRATIONS OF ANISOTROPIC COMPOSITE BOX BEAMS. 1. STATEMENT OF THE PROBLEM

Victor M. Ryabov1, Boris A. Yartsev2

1 St. Petersburg State University, Universitetskaya nab., 7-9, St. Petersburg, 199034, Russian Federation; v.ryabov@spbu.ru

2 Krylov State Research Center, Moskovskoye shosse, 44, St.Petersburg, 196158, Russian Federation; boris_yar@mail.ru

Research of natural vifrations of anisotropic composite box beams are an interesting practical problem, which previously was not discussed in detail. The authors of previously published works, as a rule, are generally limited to the consideration of the two-three lower vibrations' modes. Such a small number of modes analyzed does not allow an overall picture arising in such structures modal interactions involving multiple mutual transformations. The latter circumstance was the reason for writing this paper. Its first part contains a detailed description of the mathematical model of the problem, while the second part shows the results of calculations and their detailed discussion. Refs 11. Figs 2. Keywords: composite materials, natural vibrations, coupled vibrations.

References

1. Librescu L., Song O., Thin-Walled Composite Beams. Theory and Application (Springer, 2006).

2. Librescu L., Song O., "Free Vibration of Anisotropic Composite Thin-Walled Beams of Closed Cross-Section Contour", Journal of Sound and Vibration 167(1), 129-147 (1993).

3. Armanios E. A., Badir A. M., "Free Vibration Analysis of Anisotropic Thin-Walled Closed-Section Beams", AIAA Journal 33(10), 1905-1910 (1995).

4. Lentz W. K., Armanios E. A., Badir A. M., "Constrained Optimization of Thin-Walled Composite Beams with Coupling", Proceedings of the AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC 37th Structures, Structural Dynamics and Materials Conference 2326-2334 (1996).

5. Suresh R., Malhotra S. K., "Vibration and Damping Analysis of Thin-Walled Box Beams", Journal of Sound and Vibration 215(2), 201-210 (1998).

6. Ryabov V. M., Yartsev B. A., "Damped Vibration of Composite Thin-Walled Beams. I. Statement of the Problem", Vestnik St. Petersburg University. Ser. 1 Issue 2(9), 91-97 (2001) [in Russian].

7. Rabotnov Yu. N., Mechanics of Deformable Solids (Moscow, 1979) [in Russian].

8. Treviso A., Van Genechten B., Mundo D., Tournour M., "Damping in composite materials: Properties and models", Composites. Part B 78, 144-152 (2015).

9. Daugavet I.K., The Theory of Approximate Methods. Linear Equations (St. Petersburg, 2006) [in Russian].

10. Krylov V.I. Approximate Calculation of Integrals (Dover, 2006).

11. Berezin I.S., Zhidkov N.P. Methods of Computations 2 (Moscow, Fizmatlit, 1962) [in Russian].

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Рябов Виктор Михайлович, Ярцев Борис Александрович

Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Рябов Виктор Михайлович, Ярцев Борис Александрович

NATURAL DAMPED VIBRATIONS OF ANISOTROPIC COMPOSITE BOX BEAMS. 1. STATEMENT OF THE PROBLEM

Текст научной работы на тему «Собственные затухающие колебания анизотропных коробчатых стержней из полимерных композитных материалов. 1. Постановка задачи»