CC BY
100
Динамика конструкций и сооружений
СОБСТВЕННЫЕ ЧАСТОТЫ КОЛЕБАНИЙ СЛОИСТОГО КОМПОЗИЦИОННОГО СТЕРЖНЯ
Т.Д. КАРИМБАЕВ*, д.т.н., профессор А.У. НУРИМБЕТОВ** к.ф.-м.н., докторант * ФГУП «ЦИАМ им. П.И. Баранова», (Москва, Россия) ** МАИ - Московский авиационный институт (НИУ),
*Москва, Черноморский бульвар, 7, корпус 1, кв.13; E-mail:karimdaevt@ciam.ru **Москва, 125480, ул. Лациса Виллиса, 14; E-mail: alibek_55t@mail.ru
Рассмотрены колебания в многослойных композитных телах. Исследуются свободные колебания армированного многослойного стержня. В целях определения особенностей многослойных стержней, выяснения роли некоторых её параметров рассматривались стержень прямоугольного сечения и наиболее простые формы колебания. Результаты численных расчетов сравнивается с экспериментальными данными.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: многослойный композит, свободные колебания
1. Задача расчета собственных частот и форм колебаний стержней, балок, закрученных рабочих лопаток с точки зрения однородной теории рассматривалась в литературе неоднократно. Основы расчета и методы достаточно подробно описаны в работах Бицено К.Б. и Граммеля Р. [1], Ахенбаха Дж.Д. [2], Хро-нина Д.В.[3], Воробьева Ю.С., Шорра Б. Ф.[4], Биргера И.А. [5] и многих других исследователей. При этом выделены три основных подхода к данному вопросу: решение на основе классической теории тонких стержней [6,7], рассмотрения деформаций с точки зрения общих уравнений теории упругости [8] и решения на основе теории пластин и оболочек [9]. Различные специальные подходы к изучению вопросов колебания таких тел рассмотрены в работах [6,10, 11]. Колебания и волны в слоистых и композитных телах рассмотрены в работах Сана С.Т. [12], Бреховских Л.М. [13], Ахенбаха Дж. [2], и некоторых других; причем здесь использовались соотношения изотропной или анизотропной однородной теорий упругости. Структурный подход к волновым процессам позволяет вписать ряд их интересных особенностей. Например, в работе Карим-баева Т.Д. [14] показана возможность распространения в неограниченной армированной среде четырех типов волн. Ниже на основе этой теории [14] исследуются свободные колебания армированного многослойного стержня прямоугольного сечения. В целях определения особенностей слоистых стержней, выяснения роли некоторых её параметров рассматривались наиболее простые формы колебания. _i_— Рассматриваются поперечные свобод/ ные колебания многослойного стержня произвольного сечения, изготовленного из композиционного материала (рис. 1). 0z Считая материал тела ортотропным, для
_iif изгибных напряжений эти соотношения
у можно записать в виде [15] (10):
Рис. 1. Армированный слоистый
стержень с профилем произвольной
а' _ (С"У + c" Э' + С" Э' + С" Э' ) +
А ■ ■ (11)
формы , , Ii i , Ii 0' ч . li с' . ni rpi
^^ + (c33s33 + c13s 13) + c35s 13 + p33l ,
в которой соответствуют значениям максимальной деформации поперечного сечения, обусловленной поперечными силами Qj [16]; величины Эгк
ляют оценить влияние перемещении u , V , ^ в плоскости поперечного сечения на сдвиговые деформации и Э'к]- =0.5(и\+ иг}- к ) деформации элементов поперечного сечения. Кроме этого [15]: е'ъъ = еь « е - ¡;%2 + г]%1 + т0тг2, а2 = (г0z)2 << 1; т = 1,2,3,...,3 « т0г . Ограничивая последующее исследование формами колебании, длины волн в которых заметно превосходят характерные структурные размеры армированного слоистого тела, положим,
д2У
-33 -2_ У, (1.2)
дz
где у1^^) - поперечные смещения точек /-го слоя стержня. При этих условиях выражение принципа Гамильтона принимает вид:
п
¿J(wt _ K)dt = 0, (1.3),
t
'0
где величина
=|ЦСТ33е33 && = Ш с33е33 dsdz, К = р' (V1 )2 ¿V, V1 =-^, (1.4)
0 я 0 я V д
р{ = (рн + рм) - плотность, с33 = (Лн + 2ц")ун + (Лн + 2ц")ум своИства материала слоя ( и ун, Vм объемное содержание материла наполнителя и матрицы. После использования (1.1) и (1.2) для можно получить:
,д V
w^ = 1J ti^-)2 dz> (1.5)
o dz
где величина
Ii = JJ c33 y2 dF, (1.6),
F
является физическим моментом инерции, позволяющим вести расчет при неравномерном распределении физических свойств компонентов армированного слоистого тела в поперечных сечениях произвольной формы.
Полагая, что существуют только периодические колебания с собственной круговой частотой Q, представим V (z, t) в виде:
V (z, t) = X(z) sin at. (1.7)
Задачу будем решать методом Ритца [17,19], полагая
ад
X (z) = Х AnXn (z), (1.8)
n=1
где Xn (z) - допустимые функции, An - неопределенные параметры. В качестве допустимых функций естественно выбрать собственные функции стержня в виде [17]:
1 shk _sin k
X(z) = —= [chknx _ cos knx +--n-— (sin knx _ shknx)], (1.9)
4 i chkn + cos kn
удовлетворяющие граничным условиям консольного закрепления:
X (0) = xn (0) = 0; Xn" (1) = x;(1) = 0; (1.10)
В (1.9) x = z /1, а волновое число kn удовлетворяет характеристическому уравнению 1 + chkn cos kn = 0 и принимает значения, данные в табл. 1, Í - длина стержня.
Таблица 1. Значение волновых чисел
№ 1 2 3 п ^ю
кп 1.875 4.694 7.854 (2п -1)^/2
Балочные функции, являясь ортонормированными, удовлетворяют равенствам
'к!
| хпх^ =
п = р; п Ф р.
| х:х^=
п = р;
(111)
I4
0, п Ф р.
Варьирование интеграла (1.3) сводится к дифференцированию его по неизвестным параметрам Ап. После подстановки (1.7) в (1.4) и (1.3) с учетом (1.8), (1.10) и (1.11), дифференцирования по Ап и интегрирования по / можно получить:
I ю . , . ю
-4 2 АпкП5АП - 202р^ 2 Ап5АП = 0 , Г п=1 п= 1
где F = dF площадь поперечного сечения. После упрощения предыдущее
F
ю
выражение преобразуется к виду ^ Ап[ 11 к4 - 202р^£4]ЗЛп = 0. Так как в
п=1
этом уравнении коэффициенты Ап равны нулю и произвольны, то получим следующие выражения для круговых (й) и технических / частот свободных колебаний:
О2 = ^^
к 4
(112)
1
/п 2п\
Л к'2
р^ 12
(1.13)
рг Fl4 '
где 11 определяется выражением (1.6). По полученной формуле можно подсчитать низшие собственные частоты армированного стержня с постоянным по длине сечением произвольной формы.
Величина 11 позволяет учесть неравномерное распределение физических параметров композиции в слоистом сечении. Для авиационных профилей этот интеграл можно просчитать послойно на ЭВМ по формуле (1.1) [16]. Если материал стержня изотропный, то из выражения (1.13) следует формула Рэлея-Ритца.
Каримбаевым Т.Д. были проведены эксперименты по определению собственных частот для стержня прямоугольного сечения, изготовленный из стеклоткани, имеющий следующие физические и геометрические характеристики для наполнителя и матрицы:
X" = 0.119 • 105МПа, Xм = 0.046 • 105МПа,
рн = 1500 К-,
м
г- кг
= 542-,
м3
= 0.179 • 105 МПа, /м = 0.0307 • 105 МПа, Vн = 0.6,
р
V" = 0.4
I = 0.12 м, к = 0.003м, Ь = 0.03м.
Для сравнения собственных частот стержня с данными экспериментов проведен численный анализ формулы (1.13). Для простоты численного анализа рассматривается стержень прямоугольного сечения с равномерным распределением физических свойств. Тогда после интегрирования (6) выражение для определения собственных частот (1.13) можно представить в виде:
fn =
2я£2 "У
'33
12рг
(1.14)
Таблица 3. Значение расчетных и экспериментальных собственных частот
волновых чисел
Частота, гц 1 2 3
Экспериментальная 121 765 2100
По формуле (1.14) 125 786 2201
Как видно из табл. 2, расчетные значения частот превышает экспериментальные на 3-5%. Полученное соотношение (1.14) подтверждает экспериментально наблюдаемый эффект смещения узловой линии [18] к месту закрепления. Таким образом, использование теории слоистых армированных сред, в частности, обобщенного на принципе Гамильтона, при расчете элементов конструкций из композиционного материала позволяет получить удовлетворительное совпадение с опытными данными.
Расчетные соотношения (1.13), (1.14) устанавливают непосредственную зависимость собственных частот от упругих и динамических параметров отдельных компонентов композиции и позволяют путем их выбора управлять вибрационными характеристиками тела.
2. Влияние взаимодействия компонентов композиции на свободные колебания слоистых армированных тел. На примере стержня исследуется влияние взаимодействия компонентов композиции на свободные колебания слоистых армированных тел. При сильном взаимодействии компонентов композиционного материала, полученное уравнение частот определяет одну собственную частоту, величина которой мало отличается от частот, найденных на основе теории "эффективных" модулей. При слабом взаимодействии компонентов композиции, что реализуется при больших частотах с малой длиной волны, колебанию слоистого стержня соответствуют две собственные частоты, отличающиеся от частот двух стержней идентичных размеров, но изготовленных отдельно из материала матрицы и отдельно из материала наполнителя.
Вычисленные на основе полученных соотношений значения собственных частот низших (первых трех) форм колебания стержня прямоугольного поперечного сечения из стеклопластика удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными.
Для анализа изгибных колебаний незакрученного армированного стержня, имеющего лопаточный профиль постоянной толщины, используется обобщенный на слоистые среды принцип Гамильтона. Согласно этому принципу минимум накопленных за время 1 в теле энергии деформации we, кинетической энергии К соответствует действительному его состоянию, т.е.
ч
(w£ - Кё = 0,
(2.1).
Для слоистой ортотропной среды связь между продольными напряжениями и деформациями, записывается в виде (1.1). Если для каждого слоя стержня из композиционного материала принять гипотезу плоских сечений, то деформации определяются равенствами:
82 V*
£оо -
8г2
через перемещения v1(z, 0 . В соответствии с (2.1), (2.2) можно получить
^ - 2'
2ЯС33 (^^ К - 2Щ Р-V
V2 ёУ,
V - -
804^,0
ъ
(2.2) (2.3)
и интегрирование осуществляется по объему V стержня. Возможные смещения
ад
точек при колебаниях стержня описывается как v' (z, t) = ^ AnXn (z)sin Qt, в
n=1
которых Ап - амплитудные значения смещений, О - круговая частота. В качестве допустимых функций Хп (г) целесообразно выбрать собственные функции стержня в виде (1.9), удовлетворяющие условиям консольного закрепления (1.10) и равенствам (1.11). Минимизация интеграла (2.1) по параметрам Ап позволяет получить систему п уравнений:
ад ад
X К + Уп) Ап5"т = 0, X (Уп + Р) Ап5"т = 0, (2.4)
п=1 п=1
в которых
Ц, т = п; . .
К ^ т = 1,2,3,...,^ = а„-О2 Fp'; (Зп =-Fb2,
[0, т Ф п;
аЧс4
г
осевой момент инерции и Г - площадь поперечного сечения, Ь - размеры поперечного сечения. Система уравнений (2.4) имеет нетривиальное решение (Ап Ф0), если определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных Ап равен нулю. Это условие записывается в виде произведения
ад
^(апРп - у%) = 0, каждый сомножитель которого представляет собой урав-
п=1
нение собственной частоты колебания по п-ой гармонике. Последнее уравнение с учетом принятых обозначений удобно записать в форме:
(Д2 -д2)2 - В(Д2 -1) = 0, (Д2 - 1)(Д2 - В -1) = 0 (2.5),
ю214
Xn =-Fb4; «n = ^ + Fb2; а' = I,. I, =J c33j2dF -
и)2 i 4
относительно безразмерного параметра частоты Д2 = 4 . В (2.5) принято:
k4 До
«4
Д20 = —; В = Ь2—А2 = 1. (2.6)
0 Гр' ; Рк4Д2; 1 ГРА2 ( )
Следует иметь в виду, что коэффициент В для стержня заданной длины и состава композиции является функцией волнового числа кп и стремится к нулю с уменьшением длины волны (ростом кп). При малых значениях волнового числа кп и "сильном" взаимодействии слоев стержня из композиционного материала уравнение (2.5) определяет один корень Д2 = 1, которому соответствуют технические частоты:
к 2 к„
J п
pF
2ni2 \
Частоты, вычисленные по формуле (2.7), мало отличаются от частот
k2
(2.7).
fn =
2ni2 \
E I
Ез11 (2.8)
2p(1 -V1V3F
полученных на основе «эффективных» модулей композиционного материала,
* Г 2 7
где Е3 — модуль упругости, 11 =1 у dF. Если коэффициент В мал, что реализу-
ется при высоких частотах (порядка нескольких сот кгц) с малой длиной волны, уравнение (2.5) позволяет определить две различные собственные частоты
2А2* =Л2(С+Д)+ВД,
1 1 (29) 2Л22* =А2( Д + С) + ВС,
в которых С = 1+ Е, Д = 1- Е, Е = д/1 -4(1 -Л2)/В.
Используя естественное условие А2 < 1 < А2, легко показать, что подкоренное выражение в Е при любых значениях параметра В положительно. Если волновое число ^ так велико, то корнями уравнения (2.5) являются величины
А2;», А22», т.к. в этом случае 0^=1, Е = 1, С = 2, Д = 0.
Параметры собственных частот А2», А22», а также А2} не совпадают с па-
2 I.
раметрами А =—2—~ собственных частот двух стержней, изготовленных отдельно из материала матрицы и материала наполнителя. Тем самым устанавливается, что сплошность армированной среды, являющейся композицией двух твердых тел, обеспечивается указанным параметром. Физически одновременное сосуществование двух форм колебаний в армированной среде при высоких частотах оправдано тем, что в колебательном движении находится каждый из компонентов композиции. Однако на его свободное колебание накладывается влияние окружающего его другого материала. Этот эффект оценивается выражениями (2.9). Выражения (2.9) позволяют управлять частотами с помощью параметра В. Из уравнения (2.4) устанавливается также соотношение (Ап) амплитуд колебания матрицы и наполнителя.
Из-за ограниченности экспериментальных данных численные сравнения здесь приведены для стеклопластикового стержня прямоугольного сечения со следующими физическими и геометрическими характеристиками:
X" = 0.095 • 105МПа, Xм = 0.0173 • 105МПа, ц" = 0.1775 • 105МПа,
кг кг
¡лм = 0.0074 • 105 МПа, р" = 2500 — , рм = 1230—,
м м
V" = 0.68, V" = 0.32, I = 0.12 м, И = 0.003м, Ь = 0.03м. Результаты расчетов собственных колебаний первых трех изгибных форм колебаний, соответсвующих малым значениям ^ волнового числа (большим В), приведены в табл. 3.
Таблица 3. Зиачеиие расчетяых и эксперимеитальиых собстветых частот
воляовых чисел
Частота, гц 1 2 3
Экспериментальная 122 770 2100
По формуле (2.7) 124 775 2170
По формуле (2.8) 125 795 220
Сравнение их показывает, что стержень данных размеров из материала слоя матрицы имеет наименьшую частоту, а из материала слоя наполнителя -наибольшую. Для высоких форм колебаний будут четче проявляться колебания с частотами А"1, Л2, заключенные между частотами наполнителя Л2 и матрицы
А2м . Данный анализ позволяет путем выбора материала компонентов армированной слоистой среды управлять собственными частотами колебаний деталей без изменения их геометрических размеров и формы, что важно в технических приложениях.
Л и т е р а т у р а
1. Бищнко К.Б., Грaммeль Р. Техническая динамика. - ГТТЛ, 1952, т. 2. - 220 с.
2. AxeH6ax Дж.Д. Колебания и волны в направленно-армированных композитах// В кн. «Композиционные материалы». М.: Мир, 1978. - С. 354-4000 ил.
3. Хронин Д.В. Теория и расчет колебаний в двигателях летательных аппаратов. -М.: Машиностроение, 1970.
4. Boрoбьeв Ю.С., Шорр Б.Ф. Теория закрученных стержней. - Киев: Наук. Думка, 1983. - 188 с.
5. Биргeр ИЛ. и др. Расчет на прочность деталей машин: Справочник. - М.: Машиностроение, 1993. - 640 с.
6. Биргeр И.A. Строительная механика турбомашин: Диссертация на соиск. уч. степ. д.т.н. (01.02.04). - М., 1954. - 320 с.
7. Бuргeр И.A., Пановко Я.Г. Прочность, устойчивость, колебания: Т. 1-3. - М.: Машиностроение, 1968.
8. Риз n.M. Деформация стержней, закрученных и слабоизогнутых в ненапряженном состоянии. - Труды ЦАГИ, 1940, вып. 471. - 27 с.
9. Meeрoвич И.И. Распределение напряжений в компрессорных лопатках при колебаниях. - М.: Оборонгиз, 1961.
10. Meeрoвuч И.И. Колебания прямоугольной плоской пластинки. -Динамика авиадвигателей. - Оборонгиз, 1961.
11. Гринбeрг C.M. Вариационный метод расчета частот и форм колебаний шарнирных лопаток//Сборник «Прочность и динамика авиационных двигателей». - М.: Машиностроение, 1965, вып. 2.
12. Sun S. T., Achenbach J.D. Tim-harmonic transverse and longitudinal motions оf a laminated plate. Nordwestern Univ. Struct. Mech. Lab. T.R. № 63-1. Evenston. Illinois, 1969.
13. Брeхoвских Л.M. Волны в слоистых средах. - М.: Изд. АН СССР, 1957. - 520 с.
14. Кaримбaeв Т.Д. Вариант теории армированных сред// Известия вузов. «Машиностроение, 1975. - №8.
15. Нуримбeтoв A.y., Дудчeнкo A.A. Деформация естественно-закрученных многослойных анизотропных лопаток авиационных двигателей // Оборонный комплекс - научно-техническому прогрессу России. Москва: ФГУП «ВИМИ», 2015. - №2. - C. 46-54.
16. Нуримбeтoв A.y. Техническая теория кручения композиционного слоистого стержня произвольного сечения // Известия Самарского научного центра РАН. - 2009. -Т. 11. - №5. - C. 94-101.
17. Meeрoвич И.И. Колебания прямоугольной плоской пластины. - Динамика авиационных двигателей. - М.: Оборонгиз, 1952, вып.8. - C. 149-208.
18. Карташов Г.Г. Влияние различных факторов на вибрационные характеристики лопаток из композитов. - Механика композитных материалов, 1980, №6.
19. Soler A.J. Pretwisted Curved Beams of Thin-Walled Open Sectionоn// J. of Applied Mechanics. - 1973. - Nu 3. - P. 779-785.
R e f e r e n c e s
1. Bisenko, K.B., Grammel, R. (1952). TehcnisheskayDinamika, GTTL, vol. 2, 220 p.
2. Achenbach, J.D. (1978). Kolebaniya i volny v napravlenno-armirovannyh kompozitah, V kn. Kompozitzionnyye Materialy, Moscow: Ми; pp.354-400.
3. Hronin, D.V. (1970). Teoriya i Rastchet Kolebani v Dvigatelyah Letatel'nyh Apparatov, Moscow: Mаshinostroeniе.
4. Vorobyov, Yu.S, Shorr, B.F. (1983). Teoriya Zakruchennyh Sterzhnei, fâev: Nauk. Dumka, 188 p.
5. Birger, I.A., et al (1993). Rasschot na Proshnost Detalei Mashin: Spravochnik, Moscow: Mаshinostroeniе, 640 p.
6. Birger, I.A. (1954). Stroitel'nayaMehanika Turbomashin: Diss. DSc (01.02.04), Moscow, 320 p.
7. Birger, I.A., Panovko, Y.G. (1968). Prochnost, Ustoichivost, Kolebaniya, Moscow: Mаshinostroeniе, vol. 1-3.
8. Riz, P.M. (1940). Deformaztiya sterzhnei, zakruchennyh i slaboizognutyh v nenapryazhonnom sostoyanii, Trudi TzAGI, vyp. 471, 27 p.
9. Meerovish, I.I. (1961). Raspredelenie Napryazhenij v Kompressornyh Lopatkah pri Kolebaniyah, Moscow: Oborongiz.
10. Meerovish, I.I. (1961). Kolebaniya pryamougol'noi ploskoi plastinki, Dinamika Aviadvigatelei, Moscow: Oborongiz.
11. Grinberg, S.M. (1965).Variatzionniy metod raschota chastot I form kolebaniy sharnirnyh lopatok, Sbornik «Prochnost i Dinamika Aviatzionnyh Dvigatelei», Moscow: Mashinostroenie, vyp. 2.
12. Sun, S.T., Achenbach, J.D. (1969). Tim-harmonic transverse and longitudinal motions of a laminated plate, Nordwestern Univ. Struct. Mech. Lab. T.R., № 63-1, Evenston, Illinois.
13. Brehovskih, L.M. (1957). Volny v Sloistyh Sredah, Moscow: Izd. AN SSSR, 520 p.
14. Karimbaev, T.D. (1975). Variant teorii armirovannyh sred, Izvestiya vuzov «Mashinostroenie»,
15. Nurimbetov, A.U., Dudchenko, A. A. (2015). Deformatziya estestvenno-zakruchennyh mnogosloinyh anizotropnyh lopatok aviatzionnyh dvigatelei, Oboronniy Kompleks - Naushno-Tehnicheskomu Progressu Rossii, Moscow: FGUP «VIMI», №2, pp.46-54.
16. Nurimbetov, A.U. (2009). Tehnicheskaya teoriya krucheniya Kompozitzionnogo sloistogo sterzhnya proizvol'nogo secheniya, Izv. Samarskogo Naushnogo Tzentra RAN, vol. 11, №5, pp. 94-101.
17. Meerovish, I.I. (1952). Kolebanya pryamougol'noy ploskoy plastiny, Dinamika Aviatzionnyh Dvigateley, Moscow: Oborongiz, vyp.8, pp.149-208.
18. Kartashov, G.G. (1980). Vliyanie razlichnyh faktorov na vibratzionnie harakteristiki lopatok iz kompozitov, Mehanika Kompozitnyh Materialov, №6.
19. Soler, A.J. (1973). Pretwisted Curved Beams of Thin-Walled Open Sections, J. of Applied Mechanics, 3, p. 779-785.
THE NATURAL FREQUENCY OF THE COMPOSITE LAMINATED ROD
Karimbayev* T.D., Nurimbetov* A.U.
* «CIAM». of P.I. Baranova ", Moscow, Russia **MAI (Moscow Aviation Institute (National Research University))
Oscillations in the multi-layer composite bodies are studied. Natural vibrations of a reinforced many-layered rod are researched. For determination of the characteristics of multi-layered rods and for clarify of the role of some of their parameters, a rod of the rectangular cross section and the most simple forms of vibrations were considered. The results of numerical calculations are compared with experimental data.
KEYWORDS: multi-layer composite, free vibrations.
ЕС. ШЕПИТЬКО, аспирант
Московский Государственный Университет Путей Сообщения (МИИТ) 127994, г. Москва, ул. Образцова, д.9, стр. 9, e-mail: shepitko-es@mail.ru
Статья посвящена анализу влияния нелокального демпфирования материала на вынужденные колебания стержней, находящихся под действием периодической детерминированной и стохастической стационарной поперечной нагрузки. Исследуется связь параметров нелокального демпфирования с характеристиками колебательного процесса стержней. Для решения задачи используется метод Бубнова-Галеркина.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: колебания стержней, нелокальное демпфирование, метод Бубнова-Галеркина, детерминированная периодическая нагрузка, стохастическая нагрузка
1. Введение
Многие строительные конструкции подвержены динамическим воздействиям, к которым можно отнести нагрузки от движущегося транспорта и пешеходов, ветровые нагрузки, сейсмические воздействия и др. При расчете конструкций на динамические воздействия необходимо учитывать, что энергия колебаний постепенно рассеивается за счет внешнего и внутреннего трения, в результате чего происходит затухание колебаний.
№8.
КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ С УЧЁТОМ НЕЛОКАЛЬНОГО ДЕМПФИРОВАНИЯ
