Связанные затухающие колебания композитных конструкций Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 534.833.5:620.22-419.8

Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2012. Вып. 4

СВЯЗАННЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ КОМПОЗИТНЫХ КОНСТРУКЦИЙ

В. М. Рябов1, Б. А. Ярцев2

1. С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, riabov@VR1871.spb.edu

2. ФГУП «ЦНИИ им. акад. А. Н. Крылова»,

д-р техн. наук, вед. науч. сотр., boris_yar@mail.ru

Первый опыт системного подхода к проблеме создания слоистых конструкций из полимерных композиционных материалов (ПКМ) с повышенным уровнем демпфирования был предложен в работах Адамса [1, 2]. Несмотря на то, что это направление достаточно интенсивно развивалось как за рубежом, так и в нашей стране [3], до сих пор существует множество неопределенностей, не позволяющих даже в первом приближении считать вопрос закрытым. Один из возможных подходов к созданию расчетно-экспериментального комплекса проектирования диссипативно-жесткостных характеристик слоистых ПКМ и вибропоглощающих конструкций из них, содержащий всю последовательность этапов проектирования изделия, начиная с определения свойств материала и заканчивая расчетом слоистых структур, предлагается в настоящей работе.

1. В настоящее время наиболее достоверным способом экспериментального определения упругих и диссипативных характеристик ПКМ считается резонансный метод, основанный на нахождении собственных частот колебаний и коэффициентов механических потерь призматических безопорных образцов. Поскольку эти образцы могут быть произвольно ориентированы относительно осей симметрии материала, их колебания являются связанными изгибно-крутильными. Поэтому, прежде чем приступить к разработке метода определения вещественных и мнимых частей комплексных модулей упругости и сдвига слоев ПКМ, необходимо отчетливо представлять картину динамического поведения призматического стержня, вырезанного из орто-тропной пластины под произвольным углом в к направлению одной из осей упругой симметрии.

Математическая модель затухающих изгибно-крутильных колебаний монотроп-ного призматического стержня из ПКМ строится на основе теории изгиба балки Тимошенко, теории обобщенного кручения Фойгта—Лехницкого [4] и принципа упруго-вязкоупругого соответствия в линейной теории вязкоупругости:

■,хххх + аит,ххи + 0-12^« + а^и^да + амФ ,хи = 0, (1)

Ф,хх + 021 ф,и + 022и,хИ + а2зи,ххх =0. ( )

где и, Ф — поперечное смещение и относительный угол закручивания; а^ —коэффициенты уравнений движения; (.. .),в — символ частной производной по пространственной (в = х) или временной (в = ^ переменным.

Для решения системы дифференциальных уравнений (2) используется преобразование Лапласа и метод прямого поиска глобального минимума.

© В.М.Рябов, Б.А.Ярцев, 2012

Численные исследования колебаний призматического композитного безопорного стержня, произвольным образом ориентированного относительно осей упругой симметрии материала, выявили необходимость учета изгибно-крутильного взаимодействия при обработке экспериментальных данных с целью определении упруго-диссипативных характеристик ПКМ (рис. 1) и показали, что:

• в области трансформации квазиизгибных и квазикрутильных мод колебаний значения собственных частот и коэффициентов механических потерь определяются только на основе связанной системы дифференциальных уравнений движения (черные линии на рис. 1);

• вне области трансформации мод колебаний собственные частоты и коэффициенты механических потерь хорошо описываются приближенным решением, построенным на предложенной Фойгтом идеологии «чистых» и «свободных» модулей (серые линии на рис. 1).

о." в.

Рис. 1. Зависимость собственных частот и коэффициентов механических потерь при колебаниях безопорного стержня от угла в (г — номер тона колебаний).

2. Анализ полученных результатов позволил предложить и обосновать экспериментально-аналитический итерационный метод определения упруго-дисси-пативных характеристик ПКМ. К достоинствам этого метода следует отнести возможность нахождения не только комплексных модулей упругости Екк = Ие Еии + г1т Екк (к = 1, 2), но и комплексных модулей сдвига Gkj = Ие Gkj + г 1тGkj (к, з = 1, 2, 3).

Последнее особо актуально, поскольку экспериментальное определение комплексных модулей сдвига сопряжено со значительными трудностями. Эти трудности вызваны необходимостью разделения вещественных и мнимых частей комплексного модуля сдвига в плоскости армирования Ие Gl2, 1т Gl2 и комплексных модулей межслойного сдвига Ие Gaз, 1т Gaз (а =1, 2), входящих в выражение комплексной крутильной жесткости С (в) = Ие С (в) + г 1т С (в).

К исходной экспериментальной информации предложенного метода относятся значения низших собственных частот /' и коэффициентов механических потерь пг изгибных/квазиизгибных и крутильных колебаний стержневых образцов из ПКМ, ориентированных под углами в = 00, 450, 900 к направлению армирования. Коэф-

фициент Пуассона ^ определяется по результатам статических испытаний и принимается вещественным.

Начальные значения Ие Е (0) = Ие Е° (0) и 1т Е (0) = 1т Е° (0) в направлениях 0 = 00, 450, 900 вычисляются по величинам первых собственных частот изгиб-ных/квазиизгибных колебаний стержневых образцов и соответствующих им коэффициентов механических потерь. По величинам Ие Ео (0), 1тЕо (0), ^12 из соотношения

Е (0°) • Е (45°) • Е (90°)

Е (0°) [4Е (90°) - Е (45°)] - (1 - 2^) • Е (45°) • Е (90°)

определяются начальные значения Ие (С^) = Ие (^12)° и 1т (^12) = 1т (^12)°. Начальные значения Ие (Саз) = Ие (Саз)°, 1т (Саз) = 1т (Саз)° (а = 1, 2) находятся по экспериментальным величинам Ие С (0), 1т С (0) (0 = 0°, 90°) и известным начальным значениям Ие (^12)°, 1т (С^)°. В дальнейшем полученные результаты уточняются итерационной процедурой, основанной на теории колебаний балки Тимошенко. Для этого используются величины собственных частот двух тонов из-гибных/квазиизгибных колебаний и соответствующих им коэффициентов механических потерь. По известным начальным значениям Ие Е° (0), 1тЕ° (0) и Ие (Саз 1т (Саз)° находятся уточненные значения Ие Е (0), 1тЕ (0), которым соответствуют новые величины Ие 1т и Ие Саз, 1т Саз. Затем процедура повторяется до тех пор, пока следующие друг за другом последовательности вещественных и мнимых частей комплексных модулей упругости и сдвига не станут практически неизменными. Подробное описание изложенного экспериментально-аналитического итерационного метода приведено в работе [5].

3. Для получения уравнений затухающих колебаний конструкций из ПКМ используется вариационный принцип Гамильтона

«2 * /

Ьг

2' V дг ) 2 ууу гзЫ С)Х1 дХ1

IV V

Л = 0, (2)

где р — плотность материала, Е^; —тензор комплексных модулей, элементы которого в общем случае являются функциями частоты колебаний и температуры: Е^ы = Е^ы (/, Т).

Сведение трехмерных соотношений (2) к двумерным уравнениям пластин и одномерным уравнениям стержней выполняется введением кинематических гипотез. Элементы вектора перемещений слоистых анизотропных пластин представляются разложениями вида

т т

и (ж, у, М) = 2 иы (ж, у,4) V (ж, у, г, 4) = ^ ^ (ж, у, 4)

ы=° п ы=° (3)

^(ж, у, г, 4) = ^ ады (ж, у, 4) гы.

ы=°

Число удерживаемых членов разложений (3) определяется степенью неоднородности пластины по толщине. Если неоднородность пластины невелика, то при описании ее деформирования достаточно ограничиться значениями т =1, п = 0 (теория Рейсснера) [6]. При исследовании трехслойной пластины, образованной жесткими наружными и мягким средним слоями, используется уточненная теория В. В. Болотина.

Для жестких слоев в (3) удерживаются слагаемые т = 1, п = 0, а необходимость учета обжатия мягкого слоя требует удержания слагаемых при т = п =1 [7].

Для тонкостенных стержней замкнутого контура поперечного сечения элементы вектора перемещений таковы [8, 9]:

¿вх(х,Ь)

и(х, у, г, ¿) = и(х,Ь) + фу(в,п) ву(х,Ь) + фг(в,п) вг(х,Ь) + фх(в, п) ——, V(х, у, г, Ь) = у(х,Ь) — г вх(х, Ь), Ш(х, у, г,Ь) = 1л(х,Ь) + у вх(х, Ь).

(4)

Подстановка разложений (3), (3) с учетом гармонического характера колебаний в функционал (2) и его последующая минимизация сводит задачу о затухающих колебаниях конструкции к алгебраической проблеме комплексных собственных значений. Для ее формирования применяется метод Ритца с использованием многочленов Ле-жандра в качестве координатных функций. В итоге приходим к системе

([С] — ш2 [И]) {X} = 0. (5)

Сначала находим вещественное решение.

Для нахождения комплексных собственных частот системы (5) используем в качестве их начальных значений найденные вещественные собственные частоты, а затем вычисляем комплексные собственные частоты из уравнения

det ([С] — [И]) = 0,

для решения которого используется метод итераций третьего порядка [6, 7, 9].

Показано, что распространенный в инженерной практике метод потенциальной энергии собственных форм (МПЭСФ) является частным случаем предложенного метода, основанного на решении комплексной задачи на собственные значения. Положенное в основу МПЭСФ допущение позволяет достаточно достоверно прогнозировать лишь низкие уровни диссипации энергии. При более высоких значениях точность определения коэффициента механических потерь по МПЭСФ падает. Поэтому необходимо установить границу применимости приближенного метода. Оценка этой границы, выполненная путем сравнения результатов, получаемых по точной и приближенной теориям, показала, что использование МПЭСФ позволяет достаточно достоверно прогнозировать диссипативные свойства конструкции до величин П = 0,02 — 0,03. Дальнейшее увеличение демпфирующей способности системы приводит к лавинообразному завышению значений п [10].

4. Исследовано влияние состава и структуры армирования композитных пластин и тонкостенных стержней на параметры их динамического отклика. Установлено, что варьирование указанными показателями позволяет изменять величины резонансных частот в 2-3 раза и коэффициентов механических потерь в 6-11 раз (рис. 2-6).

Показано, что в зависимости от структуры армирования в конструкциях из ПКМ могут возникать различные виды связанности мод собственных колебаний:

• в несимметричных конструкциях возникает взаимодействие между продольными, сдвиговыми, изгибными и крутильными модами колебаний;

• в симметричных конструкциях взаимодействуют продольно-сдвиговые и изгиб-но-крутильные моды колебаний (рис. 2, 4, 6);

• в антисимметричных конструкциях взаимодействуют продольно-крутильные и изгибно-сдвиговые моды колебаний (рис. 3, 5).

Рис. 2. Зависимость собственных частот и коэффициентов механических потерь симметричной прямоугольной трехслойной пластины от угла армирования в.

Рис. 3. Зависимость собственных частот и коэффициентов механических потерь антисимметричной прямоугольной трехслойной пластины от угла армирования в.

кГц ___ф-10'2

\Л

\&

Ук7

6/ „ ¿^ _ Ло А9

ь/^

ы

0,4

—

ГЪ

15 30 45 60 75 90 0 15 30 45 60 75 90

о; о;

Рис. 4. Зависимость собственных частот и коэффициентов механических потерь симметричного квазиоднородного коробчатого стержня от угла армирования в.

Выявлено, что уровень диссипативных свойств композитных конструкций зависит от степени неоднородности структуры по толщине:

• для квазиоднородных слоистых пластин и стержней целесообразно применение антисимметричных относительно срединной плоскости структур армирования, значения коэффициентов механических потерь которых в 1,5 — 2,5 раза превышают аналогичные показатели симметричных структур;

1,2

'¡Г'О2

ъ ъ

75 е;90

Рис. 5. Зависимость собственных частот и коэффициентов механических потерь антисимметричного квазиоднородного коробчатого стержня от угла армирования 0.

Ч.-нг

ъ_

(I 15 30 45 60 75 90

о;

Рис. 6. Зависимость собственных частот и коэффициентов механических потерь симметричного двухслойного коробчатого стержня от угла армирования 0.

• величины коэффициентов механических потерь существенно неоднородных симметричных трехслойных пластин в 1,5 — 6,0 раз превышают аналогичные показатели их антисимметричных аналогов (рис. 2, 3).

Предложен эффективный способ существенного (до 10 раз) повышения диссипа-тивных характеристик всех форм колебаний квазиоднородных слоистых пластин и тонкостенных стержней из ПКМ, основанный на введении в состав слоистой структуры слоя жесткого вибропоглощающего полимера (рис. 6).

5. Результаты представленных исследований внедрены при разработке и изготовлении ряда композитных конструкций, к которым относятся вибропоглощающая промежуточная рама под судовое энергетическое оборудование и виброизолирующая соединительная муфта [11].

Вибропоглощающая промежуточная рама и виброизолирующая соединительная муфта представляют собой монолитные конструкции из ПКМ, характеризующиеся повышенными диссипативными свойствами. Сравнительная оценка эффективности стальной и композитной промежуточных рам равной массы показала, что применение композитной конструкции обеспечивает получение дополнительного виброакустического эффекта ДЬ = 6 — 19 дБ по сравнению с традиционным прототипом. Разрабо-

танный типоряд композитных виброизолирующих соединительных муфт позволяет обеспечить передачу номинального крутящего момента МНом G [25, 400] кНм и компенсацию расцентровок соединяемых валов Amax = 15 мм. В настоящее время такими конструкциями комплектуются корабли отечественного флота.

Литература

1. Ni R. G., Adams R. D. The damping and dynamic moduli of symmetric laminated composite beams. Theoretical and experimental results // J. of Composite Materials. 1984. Vol. 18. N 3. P. 104-121.

2. Lin D. X., Ni R. G., Adams R. D. Prediction and measurement of the vibrational damping parameters of carbon and glass fibre-reinforced plastics plates // J. of Composite Materials. 1984. Vol. 18. N3. P. 132-152.

3. Зиновьев П. А., Ермаков Ю.Н. Анизотропия диссипативных свойств волокнистых композитов // Механика композитных материалов. 1985. №5. С. 816-825.

4. Лехницкий С. Г. Теория упругости анизотропного тела. М., 1977. 416 с.

5. Рябов В. М., Ярцев Б. А. Итерационный метод определения упругих и диссипативных характеристик полимерных композиционных материалов // Вопросы материаловедения. 2000. №2(22). С. 55-76.

6. Иванцова О.Н., Рябов В.М., Ярцев Б. А. Собственные колебания анизотропных пластин из полимерных композитов. I. Слоистые квазиоднородные пластины // Вестн. С.-Петерб. ун-та. 1999. Сер. 1. Вып. 2 (№8). С. 28-34.

7. Иванцова О. Н., Рябов В. М., Ярцев Б. А. Собственные колебания анизотропных пластин из полимерных композитов. II. Макронеоднородные трехслойные пластины // Вестн. С.-Петерб. ун-та. 1999. Сер. 1. Вып. 3 (№15). С. 14-19.

8. Librescu L., Song O. Thin-walled composite beams. Theory and application. Springer. 2006. 600 p.

9. Рябов В. М., Ярцев Б. А. Затухающие колебания тонкостенных стержней из полимерных композитов. I. Постановка задачи // Вестн. С.-Петерб. ун-та. 2001. Сер. 1. Вып. 2 (№9). С. 91-97.

10. Рябов В. М., Ярцев Б. А. О методах вычисления коэффициентов механических потерь конструкций из полимерных композиционных материалов // Методы вычислений. Вып. 19. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2001. С. 180-188.

11. Федонюк Н.Н., Ярцев Б. А. Опыт использования компьютерных технологий при создании композитных конструкций судовых энергетических комплексов // Рациональное управление предприятием. 2011. №3. С. 64-67.

Статья поступила в редакцию 26 июня 2012 г.