CC BY
15ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2009. №4
53
11. Новичков Ю.Н. Флаттер пластин и оболочек //Механика деформируемого твердого тела. Итоги науки и техники. Т. 11. М.: ВИНИТИ, 1978. 67-122.
12. Алгазин С.Д., Кийко И.А. Флаттер пластин и оболочек. М.: Наука, 2006.
13. Кийко И.А. Постановка задачи о флаттере оболочки вращения и пологой оболочки, обтекаемой потоком газа с большой сверхзвуковой скоростью // Прикл. матем. и механ. 1999. 63, вып. 2. 305-312.
14. Кийко И.А. Постановка задачи об аэроупругих колебаниях конической оболочки малого раствора, внутри которой с сверхзвуковой скоростью протекает газ // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2004. № 3. 58-61.
15. Основы газовой динамики / Под ред. Г. Эммонса; пер. с англ. М.: ИЛ, 1963.
Поступила в редакцию 04.10.2007
УДК 539
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КОНТИНУАЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ ДЛЯ РАСЧЕТА КОЛЕБАТЕЛЬНОГО СПЕКТРА В УГЛЕРОДНОЙ НАНОТРУБКЕ
Г. Л. Бровко1, З.Г. Тунгускова2
Для расчета спектра собственных колебаний углеродной нанотрубки использованы стержневые модели продольных, крутильных и изгибных колебаний, для расчета спектра собственных радиальных колебаний — теория безмоментной цилиндрической оболочки. Коэффициенты, входящие в эти модели, подбирались путем согласования результатов, полученных на основе микромодели с потенциалом взаимодействия Китинга в длинноволновом приближении и континуальной модели. Показано, что спектры продольных, радиальных и крутильных колебаний углеродной нанотрубки — одного порядка (минимальная частота ~ 1011 Гц), а спектр собственных частот изгибных колебаний на 2 порядка ниже (минимальная частота ~ 109 Гц). Эти спектры находятся в сверхвысокочастотном диапазоне.
Ключевые слова: углеродная нанотрубка, собственные колебания, спектры собственных частот.
Rod models of longitudinal, torsional, and bending vibrations are used to find the natural vibration spectrum of a carbon nanotube. The spectrum of natural radial vibrations is found using the membrane theory of cylindrical shells. The coefficients of these models are chosen by comparing the results obtained on the basis of the micromodel with the Keating interaction potential in the framework of the long-wave approximation and the continuous model. It is shown that the spectra of longitudinal, radial, and torsional vibrations of the carbon nanotube are of the same order of magnitude (the minimum frequency is about 1011 Hz), whereas the natural frequency spectrum for the bending vibrations is of two orders of magnitude less (the minimum frequency is about 109 Hz). These spectra belong to the super-high frequency range.
Key words: carbon nanotube, natural vibrations, spectrum of natural frequencies.
Углеродная нанотрубка представляет собой структурно-неоднородную конструкцию, механическое поведение которой можно описывать разными моделями.
Первый тип моделей — это модели, явно учитывающие микроструктуру и характер взаимодействия между ее элементами. К ним относятся модели, использующие понятие микроячейки и описывающие взаимодействие между ее элементами с помощью потенциала.
Второй тип — это континуальные модели, использующие понятия перемещений, деформаций, напряжений.
1 Бровко Георгий Леонидович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. теории упругости мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
Тунгускова Зоя Георгиевна — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. теории упругости мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
54
ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2009. №4
С точки зрения моделей первого типа континуальными моделями можно пользоваться в так называемом "длинноволновом приближении". Оценим этот диапазон волн, исходя из континуальной модели структурно-неоднородного тела [1]. Пусть Л — характерная длина волны, а l — характерный размер "представительного объема". Условие (Л/1) ^ 1 определяет возможность использования континуальных моделей. Показано [2], что l ~ 10а, где a — характерный размер элемента структуры. Для углеродной нанотрубки а ~ 2 нм, т.е. Л ^ 20 нм = 2 • 10"6 см.
В работе [2] исследовался колебательный спектр углеродных нанотрубок в рамках моделей первого типа, построенных с использованием потенциала взаимодействия Китинга, учитывающего парные упругие связи и изменение угла между линиями действия этих связей. Константы этого потенциала определены путем согласования колебательного спектра одиночной графитной плоскости, полученного на его основе, с известным спектром кристалла графита. В случае длинноволнового приближения рассчитаны две скорости волн: ai = 20,7 • 105 см/с — скорость распространения вдоль связей и а2 = 14,1 • 105 см/с — скорость распространения поперек связей.
С точки зрения континуальных моделей ai можно интерпретировать как скорость продольных колебаний, а а2 — как скорость крутильных колебаний, т.е. для углеродной нанотрубки
/Е G
— = 20,7- 105 см/с, а2 = \ — = 14,1 • 105 см/с.
р V р
Учитывая, что Е = 2G(1 + v), получим v = 0,08, где Е, G, v, р — соответственно модуль Юнга, модуль сдвига, коэффициент Пуассона и плотность. В дальнейших расчетах примем l = 1,3 • 10"5 см, R = 6,7 • 10"7 см = 6,7 нм, где l — длина трубки, а R — ее радиус.
Воспользуемся стержневыми моделями для оценки спектра собственных колебаний углеродной на-нотрубки.
I. Для продольных колебаний [3, 4] имеем
д2и 2 92и
W = aid^ ( }
— уравнение движения, где u — продольное (вдоль оси x) перемещение, t — время. Граничные условия:
на свободном крае
на закрепленном крае
u = 0. (3)
Собственное решение имеет вид
u = (c1 cos px + c2 sin px)(a sin wt + b cos wt),
где p = w/ai — дисперсионное уравнение.
В случае, когда оба конца свободны или закреплены, спектр собственных частот имеет вид wn = win,
где
иг = ^у- и 5 • 10й Гц = 500 ГГц, рг и 0,24 • 106 см"1, рп = рщ. (4)
В случае, когда один конец закреплен, а другой — свободен, ип = (1 + 2и)ио, где
П ал
сс>о = — а>1 ~ 250 ГГц, рп = ( 1 + 2п)р0, ро ~ 0,12 • 106 см-1. (5)
21
II. Для крутильных колебаний имеем
д2ip _ 2
где ф — угол закручивания. Поэтому спектр собственных частот будет аналогичен (4), (5) с заменой ai на <12■ Имеем ип = и\П, где Ш\ = 3,4 • 1011 Гц = 340 ГГц, рп = p\n, р\ к- 0,24 • 106 см-1, или
wn = (1 + 2n)w0, где w0 = 170 ГГц, pn = (1 + 2n)p0, р0 ~ 0,12 • 106 см-1.
III. Для изгибных колебаний имеем
rfiw _ EJ_ rfw_
где w — прогиб, J — момент инерции сечения относительно нейтральной оси, S — площадь поперечного сечения. Считая, что поперечное сечение представляет собой кольцо, имеющее толщину h и внешний радиус R, получим
J 1 о/ h\ E J Raí h / h см
Граничные условия могут быть следующими: w = 0, w" = 0 на шарнирно опертом крае; w = 0, w' = 0 на заделанном крае; w" = 0, w''' = 0 на свободном крае. Собственное решение уравнения (7) имеет вид
w = (cí sin qx + c2 cos qx + c3 sh qx + c4 ch qx)(a sin wt + bcos wt).
Дисперсионное уравнение таково: u = aq2.
Для стержня со свободными краями при x = 0 и x = l получим С2 = С4 = 0, а для cí и С3 — систему
cí (— cos ql + chql) + c3 (— sin ql + shql) = 0,
(8)
cí (sin ql + sh ql) + c3(— cos ql + ch ql) = 0.
Отличные от нуля cí и c3 имеем при равенстве нулю определителя этой системы, что дает частотное уравнение
cos ql ■ ch ql = 1, (9)
первые корни которого [4] таковы: qol = 0, qíl = 4,73; qol = 7,85; q3l = 14,14; q4l = 17,28, следовательно,
qi = 3,6 • 105 см"1; ал = 130 • 109 yj 1 - Гц = 1,3 yj 1 - ^ ГГц w 130 ГГц. (10)
В случае, когда оба края заделаны, получим в\ = С3 = 0, а для С2 и С4 — систему (8), т.е. в этом случае частотное уравнение имеет вид (9), а спектр — вид (10).
Для случая, когда один край заделан, а другой свободен, частотное уравнение имеет вид cos ql ch ql = —1. Его первые корни таковы: q\l = 1,88, q2l = 4,69; q3l = 11; q4l = 14,14; q5l = 17,28. Отсюда
= 1,4 • 105 см"1; wi = 30 • 109 \j 1 - ^ Гц = 30\ ГГД ~ 30 ГГц. В случае, когда оба конца шарнирно оперты, С2 = С4 = С3 = 0. Частотное уравнение имеет вид
пп 10^2un h 1
sin ql = 0, qn = —, L0n= p yjl - - -, ал = 58 • 109 Гц = 58 ГГц. (11)
В работе [2] отмечается, что продольные колебания углеродной нанотрубки сопровождаются радиальными колебаниями ("дышащая" мода). Для описания этого эффекта воспользуемся моделью безмо-ментной теории цилиндрических оболочек [5]. Уравнение собственных колебаний срединной поверхности имеет вид
д2ux 1 — v д2ux 1 + v d2uw v dur 1 д2ux
ъ 7-лО о"
dx2 2R2 дф2 2R дфдх R dx c2 dt2 ' 1 + V д2их 1 — V d2uip 1 d2uip 1 диг 1 d2uip
2R дхдф 2 дх2 R2 дф2 R2 дф c2 dt2 V дих 1 дпр ur 1 д2пг ~R ~~дх + ii2 "dtp ~ 'R2 ~ с2 dt2 '
где
I E E 5 см
—-^ = \ - = 20,7 • Ю5 —,
р(1 — V2) у р с
c
их — продольное перемещение, иу — перемещение вдоль дуги окружности, иг — радиальное перемещение в сечении, перпендикулярном оси. Для этих уравнений возможно решение вида иу = В ехр(—гиЬ + грх), что приводит к задаче о крутильных колебаниях (6). Будем искать решение вида
иу = 0, их = и(х)вгшг, иг = ^(х)вгш*. Подстановка этого решения в (11) дает систему
~Н V 1 2
и---VI) = —и,
К с2
V 1 _ 1 2 ~ -и = и,,
vКc2
откуда и) = -~—~ и, а для и(х) получим уравнение
с2 — К2ш2
(1 _ у2)с2 _ К2Ш2 п ^ С2 _ Е2Ш2 11 + С2 11 -
Для углеродной нанотрубки V ~ 0,08, поэтому 1 — V 1, с й\, и для продольных колебаний получим задачу (1)—(3), т.е. для продольных колебаний спектр собственных колебаний будет таким же, как и при использовании стержневой теории. Спектр собственных частот радиальных колебаний в углеродной нанотрубке будет таким же, как спектр собственных частот продольных колебаний, а коэффициент Пуассона влияет только на амплитуду собственных колебаний.
Таким образом, показано, что спектры собственных колебаний углеродной нанотрубки (продольных, радиальных, крутильных и изгибных) находятся в сверхвысокочастотном диапазоне.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 06-01-00565а).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Тунгускова З.Г. О представительном объеме упругих структурно-неоднородных материалов // Упругость и неупругость. Часть 1. М.: Изд-во МГУ, 1993. 128-138.
2. Савинский С.С., Петровский В.Л. Дискретная и континуальная модели для расчета спектров углеродных на-нотрубок // Физ. твердого тела. 2002. 44, вып. 9. 1721-1726.
3. Прочность. Устойчивость. Колебания: Справочник. Т. 3 / Под ред. И.А. Биргера и Я.Г. Пановко. М.: Машиностроение, 1968.
4. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. М.: ГИФМЛ, 1959.
5. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: ГИФМЛ, 1963.
Поступила в редакцию 26.12.2007
УДК 531.3:681.5.01
ОЦЕНИВАНИЕ ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ ИНЕРЦИАЛЬНОЙ НАВИГАЦИОННОЙ СИСТЕМЫ В РЕЖИМЕ ЗАДАЧИ "ПЕРИОД ШУЛЕРА"
О. В. Демидов1
Контрольная задача "Период Шулера" — это специальный режим функционирования платформенной инерциальной навигационной системы ИНС-2000. Он используется для проверки соответствия калибровочных параметров чувствительных элементов ИНС их реальным значениям. В работе для указанного режима построена модель уравнений
1 Демидов Олег Викторович — асп. каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail:
