Оценивание инструментальных погрешностей инерциальной навигационной системы в режиме задачи "Период Шулера" Текст научной статьи по специальности «Физика»

их — продольное перемещение, иу — перемещение вдоль дуги окружности, иг — радиальное перемещение в сечении, перпендикулярном оси. Для этих уравнений возможно решение вида иу = В ехр(—гиЬ + грх), что приводит к задаче о крутильных колебаниях (6). Будем искать решение вида

иу = 0, их = и(х)вгшг, иг = гЬ(х)егш1. Подстановка этого решения в (11) дает систему

~Н V 1 2

и---VI) = —и,

К с2

V 1 „ 1 2 ~ -и = и,,

vКc2

откуда и) = -~—~ и, а для и(х) получим уравнение

с2 — К2ш2

(1 _ у2)с2 _ К2Ш2 п ^ С2 _ Е2Ш2 11 + С2 11 -

Для углеродной нанотрубки V ~ 0,08, поэтому 1 — V 1, с й\, и для продольных колебаний получим задачу (1)—(3), т.е. для продольных колебаний спектр собственных колебаний будет таким же, как и при использовании стержневой теории. Спектр собственных частот радиальных колебаний в углеродной нанотрубке будет таким же, как спектр собственных частот продольных колебаний, а коэффициент Пуассона влияет только на амплитуду собственных колебаний.

Таким образом, показано, что спектры собственных колебаний углеродной нанотрубки (продольных, радиальных, крутильных и изгибных) находятся в сверхвысокочастотном диапазоне.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 06-01-00565а).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Тунгускова З.Г. О представительном объеме упругих структурно-неоднородных материалов // Упругость и неупругость. Часть 1. М.: Изд-во МГУ, 1993. 128-138.

2. Савинский С.С., Петровский В.Л. Дискретная и континуальная модели для расчета спектров углеродных на-нотрубок // Физ. твердого тела. 2002. 44, вып. 9. 1721-1726.

3. Прочность. Устойчивость. Колебания: Справочник. Т. 3 / Под ред. И.А. Биргера и Я.Г. Пановко. М.: Машиностроение, 1968.

4. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. М.: ГИФМЛ, 1959.

5. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: ГИФМЛ, 1963.

Поступила в редакцию 26.12.2007

УДК 531.3:681.5.01

ОЦЕНИВАНИЕ ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ ИНЕРЦИАЛЬНОЙ НАВИГАЦИОННОЙ СИСТЕМЫ В РЕЖИМЕ ЗАДАЧИ "ПЕРИОД ШУЛЕРА"

О. В. Демидов1

Контрольная задача "Период Шулера" — это специальный режим функционирования платформенной инерциальной навигационной системы ИНС-2000. Он используется для проверки соответствия калибровочных параметров чувствительных элементов ИНС их реальным значениям. В работе для указанного режима построена модель уравнений

1 Демидов Олег Викторович — асп. каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: ovdemidiv@mail.ru.

ошибок ИНС-2000 и проверены на модельных данных возможные алгоритмы оценивания инструментальных погрешностей ИНС.

Ключевые слова: инерциальная навигационная система (ИНС), калибровка, уравнения ошибок, оценивание.

The control problem with consideration of the Schuler period is a special operation mode of the INS-2000 platform inertial navigation system. This mode is used to check the consistency between the calibration parameters of INS sensors and their actual values. Some error equations of INS-2000 are proposed for this mode. Feasible estimation algorithms for INS instrumental errors are tested on model data.

Key words: inertial navigation system (INS), calibration, error equations, estimation.

1. Введение. Контрольная задача "Период Шулера" — это специальный режим функционирования платформенной инерциальной навигационной системы ИНС-2000 Раменского приборостроительного конструкторского бюро. Режим используется для проверки соответствия калибровочных параметров чувствительных элементов ИНС — акселерометров, датчиков моментов — их реальным значениям.

Описание режима: система ИНС-2000 после начальной выставки переводится в режим навигации с большими начальными условиями (200 м/с) по линейным скоростям. В результате счисляемые скорости начинают совершать колебания с периодом Шулера Т8С^ — 84,4 мин. Теоретическую величину периода Т8Сь можно рассчитать заранее.

Наблюдая реализации счисляемых скоростей, можно найти оценку Т8Сь величины периода Т8С^. Существенное отличие Т8Сь от Т8С^ говорит о проблемном функционировании ИНС-2000, которое может быть обусловлено ошибками ее начальной выставки, несоответствием калибровочных параметров чувствительных элементов их реальным значениям.

По существующей методике выполняется пороговое сравнение величин Т8Съ и Т8С^, по результатам которого делается вывод только о том, прошла система тест или нет. Целью заметки является создание алгоритма оценивания инструментальных погрешностей чувствительных элементов ИНС-2000 для функциональной диагностики их работы.

Будем использовать следующие стандартные системы координат: инерциальную О£, гринвичскую Оп, географическую Ох0 и приборную Ох.

2. Постановка задачи. Инерциальная навигационная система устанавливается на неподвижном стенде с известными географическими координатами ф, Л, Н и абсолютным значением д ускорения силы тяжести. После штатной начальной выставки на неподвижном основании ИНС переводится в следующий специальный режим навигации.

Счисление модельных скоростей У(, У2, осуществляется путем интегрирования следующих динамических уравнений:

( v2 \

+ пЛ

J = П' + п' = П2 + U2 , П' \ 0, )

an

\—п sin ф,J

an

V(

/ —п cos ф sin A'\ U = п cos ф cos A \ п sin ф, )

(1)

где ая = 6371116,0 — средний радиус земного шара, и = 7292115,1467 • 10 11 рад/с — угловая скорость вращения Земли. То есть моделируется абсолютно свободный в азимуте модельный трехгранник.

Формируемые по формулам (1) сигналы управления гироплатформой проходят через блок компенсации инструментальных и геометрических погрешностей чувствительных элементов. Значения параметров блока компенсации определяются на этапе калибровки системы на стенде и на этапе начальной выставки.

Примем следующие модели гироскопического ухода и инструментальных погрешностей акселерометров:

/БЦ ш'Л (У{. . п.

' М ' 11 'А/Л Кп /гЛ А/?

(Л

V =

V»

)

+

D22i + 0 )

\v?

А/

А/»

+

K11 Jz1 K22 /z2

+

А/

Здесь V0 — постоянные составляющие гироскопического ухода, Бц — погрешности масштабов датчиков моментов, V? — случайные составляющие гироскопического ухода, А/0 — смещения нулей акселерометров, Кц — погрешности масштабных коэффициентов, А/ ? — случайные погрешности акселерометров.

3. Алгоритм решения задачи. Построим модель углового движения приборного трехгранника и сведем задачу оценивания инструментальных погрешностей к стандартной задаче калмановской фильтрации.

Кинематика приборного трехгранника Шх. Выпишем выражение для абсолютной угловой скорости ш"г приборного трехгранника Шх:

ш'' = «1 + ¿2 + Аг + и.

Здесь Аг — азимутальный угол между направлением на север (ось Шх2) и приборной осью Шх2; 04, а2 — угловые ошибки построения приборной вертикали.

С другой стороны, ш'' складывается из абсолютной модельной угловой скорости Ш и неконтролируемого дрейфа V: ш'' = ш' + V. В результате получаем следующую замкнутую модель углового движения приборного трехгранника Шх:

á\ = ( — — — и cos <р sin A' + vi ] cos (12 + ^з sin су,2 + и cos <р sin Az, \ aR J

Vi

CK2 =--b и COS if COS A + 1/2 + tg Oil

aR

V2 . w \ .

---U COS if Sin A + Vi Sin OL2 — v3 COS OL2

aR

u cos ф cos Az cos a1 '

• v3 cos a2 . (—V'laR — u cos ф sin A' + v1)sina2 A z =---1- и sin ф — и cos ip cos Az tg ai H--.

(2)

cos a1

V/ = —g cos a1 sin a2 + А/1, V2' = g sin ai + А/2, A = u sin ф.

cos ai

Приближенный анализ углового движения трехгранника Mz. Из системы (2) видно, что поведение скоростей и угловых ошибок определяется двумя составляющими — гармонической фракцией, порожденной большими начальными условиями по скоростям, и малыми вариациями, вызванными погрешностями Vi, А/j (i = 1, 2, 3, j = 1, 2).

Чтобы найти уравнения гармонической фракции, предположим, что угловые ошибки aio, a20 построения приборной вертикали малы и мала ошибка ААо = A'(to) — Az(to) информации о начальной азимутальной ориентации. Предположим также, что мал уровень погрешностей гироскопов Vi и акселерометров А/j. Тогда, делая замену sinaj = aj, cos aj = 1 и пренебрегая малыми величинами Vi, А/j, получим упрощенную модель углового движения приборного трехгранника Mz нулевого приближения:

ao = ак ' VVo V2 = gao

ao2 = V>° aR ' vío = —gao2

V2'0 = ga», a»(to) = 0, V2'0(to) = —200 м/с

ao(to) = 0, V/°(to) = 200 м/с

V

V

2

Интегрируя (3), получим, что реализации а0 и V-0 имеют вид гармонических колебаний с частотой Шулера ш0 = л/д/ав..

Соответственно решение полной системы (2) будем искать в виде суммы двух составляющих — решений системы нулевого приближения при нулевых инструментальных погрешностях и вариаций при малых погрешностях:

^(Ь) = V/0(О + V = а0(Ь) + ¿а-, ¿А = А - Аг, г = 1,2.

Уравнения первого приближения для вариаций ¿V, да-, дА в линейном приближении будут выглядеть следующим образом:

( óa i\ óá 2 SVi \Ы>2/

0 0 0 -

0 0

0 —g \g 0

1

an 0 0

J_\

dR 0

( óai\ óa2 óVi \0V2J

+

í vi \

V2

A/i VA/2 J

+

( —u cos p cos A'\ —u cos p sin A

0 0

óA,

óA =

( ,/ V20 w a2\

и cos сp cos A ,--h и cos p sin A , 0, —

V an an)

( óai\ óa2 óVi óV2

+ V3 +

/ v'0 \

+ ——h и cos p sin А' + и cos p cos A'a®.

(4)

Формирование вектора корректирующих измерений. Сформируем вектор измерений Z = (Z1,Z2,Z3 ,Z4 ,Z5 )T.

1-я и 2-я компоненты вектора измерений z определяются следующим образом. Навигационная система вычисляет измерения модельных скоростей Zyi. Вычтем из измерений Zyi известную часть решений уравнений нулевого приближения (3):

Zvi = Zvi - V'(to) cos Wo(t - to).

Таким образом, модель скоростных измерений будет иметь вид

zVl = 5Vi + л/айд «2(to) sinw0(t - t0) + А У/5,

zy2 = SV2 - ^/mgai(t0) sinw0(t - t0) + AF2/S,

где AV's — случайные погрешности счисления горизонтальных скоростей, вызванные квантованием по уровню.

3, 4 и 5-я компоненты вектора измерений находятся по следующему алгоритму. В каждый момент времени инерциальная навигационная система определяет приборные углы гироскопического курса , крена Yz, тангажа §z и вычисляемое значение азимутального угла A.

В нашем случае связанный трехгранник не меняет своего положения относительно географического трехгранника, поэтому истинные углы курса, крена и тангажа остаются постоянными. Отсюда можно получить измерения приборных углов Zqi , ZQ2 и Za [1]. Алгоритмически скомпенсируем известную часть этих измерений:

(5)

V2(to)

Za 1 = Za 1 + Sin W0(í - to),

л/añg

a 2

= za2 - V][to] sinw0(t - to),

л/акд

za = ZA.

Таким образом, модель измерений для óai, óa2, óA будет иметь следующий вид: Zax = óai — aio(1 — cos wo(t — to)) + AtAaf, Za2 = óa2 — a2o(1 — cos wo(t — to)) + AfAa'2, ZA =cos(AtA') óA + (cos (At A') — 1)AAo — tg (cos— — At A') — — cos фz )a2o — tg $z (sin— — At A') — sin фz )aio + AtAAs.

Здесь Atv = v(t) — v(t° ) — первая разность по времени переменной v; Да?, ДА? — случайные погрешности счисления углов карданова подвеса.

Задача оценивания инструментальных погрешностей ИНС-2000. Введем вектор состояния x:

x = (а,6а2, SVi,SV2, ¿A, v°,v°, v°, Du,D22, A/?, Д/2°, Kn,K22, aw, а20, AA°)T.

Тогда можно поставить задачу оценивания вектора состояния x линейной динамической системы с известным управлением (4) при помощи линейных измерений z (5) и (6):

X = Ax + q + w, z = Hx + r.

Данная задача решается при помощи дискретного фильтра Калмана [1].

Обработка модельных данных. Описанные алгоритмы тестировались на модельных данных. Данные моделировались с помощью полной системы уравнений (2). Сравнивались реальные значения погрешностей и их реализации из фильтра Калмана.

Точность результатов работы алгоритма приведена в таблице, где СКО — среднеквадратичное отклонение.

4. Заключение. В работе построена модель уравнений ошибок инерциальной навигационной системы ИНС-2000 в режиме контрольной задачи "Период Шулера". Предложены и проверены на модельных данных возможные алгоритмы оценивания инструментальных погрешностей ИНС в этом режиме.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Голован А.А., Парусников Н.А. Математические основы навигационных систем. 1: Математические модели инер-циальной навигации. М.: Изд-во МГУ, 2007.

Поступила в редакцию 14.01.2008

Параметры Характерное значение Ошибка оценки СКО ошибки оценки

~ 0, 2°/ч ~ 0, 01°/ч ~ 0,03°/ч

-Dil, -D22 ~ 1СГ2 ~ 1СГ3 ~ 1СГ3

A/i°, А/2° ~ 1СГ2м/с2 ~ 1СГ3м/с2 ~ 1СГ3м/с2

К il, К22 ~ 1СГ2 ~ 1СГ3 ~ 1СГ3

УДК 51-72

АЛГОРИТМЫ ТЕСТИРОВАНИЯ КАЧЕСТВА РУЧНОГО УПРАВЛЕНИЯ СПУСКОМ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА "СОЮЗ-ТМА" НА ДИНАМИЧЕСКОМ СТЕНДЕ

Е. С. Лобашов1

В статье рассмотрена задача построения третьего уровня системы управления динамическим стендом — центрифуги ЦФ-18 — на основе методики максиминного тестирования точности стабилизации управляемых объектов. Первый этап методики тестирования реализуется путем сведения исходной динамической игры к матричной игре большой размерности. В случае отсутствия седловой точки задача решается на смешанном расширении матричной игры сведением к задаче линейного программирования. Рассмотрен пример построения тестирующих возмущений, используемых на втором этапе методики тестирования.

Ключевые слова: динамический тренажер, максиминное тестирование, центрифуга, матричные игры.

The problem of developing the third level of the control system for a dynamic bench based on the CF-18 centrifuge is considered. The maximin testing method is used to check the

1 Лобашов Евгений Сергеевич — асп. каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail:

ekaekaeka@mail.ru.