CC BY
173
В.В. Поддубный
РЕСТРИКТИВНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ В НАВИГАЦИОННЫХ СИСТЕМАХ
На примере инерциальной навигационной системы (ИНС) полуаналитического типа, корректируемой относительным лагом, исследуется задача рестриктивной фильтрации ошибок навигационного счисления при стохастических и неопределенных, но подчиняющихся ограничениям, моделях возмущений, связанных с собственными уходами осей ИНС, ошибками акселерометров, ошибками относительного лага, изменчивостью течений, гравитационными аномалиями и пр. Компьютерным моделированием проведено сравнительное исследование адаптивного рестриктивного фильтра и минимаксного (загрубленного) фильтра Калмана, рассчитанного на максимальную дисперсию неопределенных возмущений. Показано, что скоростные компоненты вектора основных навигационных параметров лучше оценивает адаптивный рестриктивный фильтр, а позиционные компоненты и курс лучше оцениваются минимаксным фильтром Калмана.
1. Математические модели ошибок инерциального навигационного счисления и средств навигационной коррекции
1.1. Классификация навигационных систем
Навигационные системы подвижных объектов (суда, летательные аппараты) предназначены для определения в каждый данный момент текущего времени основных навигационных параметров - широты, долготы, курса, северной и восточной составляющих скорости, глубины погружения (подводные суда) или высоты полета (летательные аппараты), а также дополнительных навигационных параметров - местоположения относительно тех или иных ориентиров, берегов, кромок фарватеров, границ коридоров, других участников движения и т.д.
Подвижные объекты подразделяются на три класса -движущиеся по поверхности Земли (надводные, наземные), под водой и в воздушном или космическом пространствах. Соответственно различаются и навигационные комплексы этих объектов. Так, надводным судам не требуется измерять ни глубину погружения, ни высоту полета. Как правило, они оснащены средствами навигационного счисления. Им доступны радионавигационные и спутниковые средства навигации, возможности навигационной коррекции по гидроакустическим буйковым станциям и береговым ориентирам (при плавании вблизи берегов), средства астрономической коррекции (при благоприятных условиях) и т.д.
Суда подводного плавания ограничены в возможностях использования астрономических, спутниковых, радионавигационных и многих других видов навигационной коррекции. Зато обычно они оснащены автономными средствами навигационного счисления, способны использовать относительные лаги и гидроакустические средства, а в ряде случаев - карты рельефа морского дна.
Воздушные и космические объекты также оснащены автономными системами навигации, корректируемыми различными дополнительными средствами навигации, главными из которых являются радионавигационные, спутниковые, астрономические, а также, возможно, средства навигации по геофизическим полям.
Автономные средства навигации подразделяются на системы собственно навигационного счисления (гирокомпасы и лаги) [1, 2] и инерциальные навигационные системы (ИНС) [3-10], получающие основную навигационную информацию от измерителей ускорений (акселерометров), расположенных вдоль осей гиростаби-лизированной системы, моделирующей географический трехгранник. Автономные системы навигационного счисления в принципе позволяют определять основные навигационные параметры подвижных объектов
без использования каких-либо дополнительных средств навигации. Однако в этом случае ошибки определения основных навигационных параметров с течением времени неограниченно возрастают, что вынуждает использовать дополнительные измерительные средства -навигационные корректоры.
Средства навигационной коррекции распадаются на два класса - непрерывного действия (использования) и эпизодического.
К непрерывно действующим средствам навигационной коррекции можно отнести относительный лаг, измеряющий компоненты скорости относительно среды (хотя в системах гирокомпасного счисления относительный лаг является необходимым элементом системы), радионавигационные средства, часто спутниковые средства, иногда абсолютный лаг, средства навигации по геофизическим полям и другие средства, которые можно использовать в течение более или менее длительного времени.
Остальные средства навигации, такие как астрономические, визуальные графоаналитические (по береговым ориентирам), гидроакустические (абсолютный лаг, буйковые гидроакустические станции), допускают, как правило, возможности лишь эпизодического использования (при благоприятных условиях).
Деление навигационных измерителей на эти две группы (непрерывного и эпизодического действия) в определенном смысле условно. Так, для судов подводного плавания астрономические средства могут быть только эпизодическими - на время всплытия на поверхность, тогда как для космических объектов эти средства могут действовать непрерывно.
Задачей комплексной обработки навигационной информации является совместная обработка данных навигационного счисления и средств непрерывной и эпизодической коррекции для определения основных навигационных параметров движущегося объекта с максимальной возможной точностью. Эта точность зависит от качества навигационных измерителей (датчиков навигационной информации) и алгоритмов обработки навигационных сигналов. Качество алгоритмов определяется их структурой, характером ошибок навигационных систем, степенью адекватности моделей ошибок физической реальности, а структура - критериями оптимальности и, в конечном счете, уровнем знаний об условиях функционирования навигационных систем, характере возмущающих воздействий и ошибок измерений, степенью разработанности математического аппарата решения задач оптимизации.
Можно перечислить основные модели ошибок в навигационных системах:
- стохастические (они бывают гауссовские, по-лигауссовские и негауссовские);
- неопределенные.
При этом параметры моделей ошибок (параметры распределений) и параметры самих навигационных систем могут быть априори как известными, так и неизвестными.
Наиболее хорошо разработанным математическим аппаратом решения задач комплексной обработки навигационной информации (задач фильтрации навигационных параметров по данным навигационных наблюдений) является аппарат калмановской фильтрации, обеспечивающий получение максимально точных оценок для линейных гауссовских (марковских) процессов с известными статистическими характеристиками. Во всех остальных случаях и для всех других (не гауссовских) моделей ошибок и возмущений задачи построения алгоритмов комплексной обработки навигационной информации существенно усложняются, приводят к адаптивным алгоритмам фильтрации, банкам фильтров, перестраиваемым алгоритмам и т.п. Сложность реализации этих алгоритмов различна, а эффективность зависит от степени адекватности моделей реальности и возможности получения решения в замкнутой форме.
Математическое описание (модель) ошибок навигационной системы определяется типом и составом ее измерительных средств. Привести здесь уравнения динамики ошибок навигационного счисления и ошибок навигационных корректоров для всевозможных структур навигационных комплексов в силу ограниченности объема статьи не представляется возможным. Однако проиллюстрировать технику (методику) получения соответствующих описаний можно на таких важных примерах, как ИНС или гирокомпасная навигационная система (ГКНС) с относительным лагом (ОЛ).
Ниже достаточно подробно рассматриваются уравнения динамики ошибок ИНС полуаналитического типа и ошибки основных навигационных корректоров. Затем ставится задача комплексирования (комплексной обработки) всей доступной навигационной информации со ссылкой на наиболее хорошо разработанные в настоящее время методы фильтрации состояний динамических систем на основе фильтров Калмана. Эти фильтры составляют основу алгоритмического обеспечения навигации. Другие методы (адаптивные, для условий неопределенности и ограничений) являются сравнительно новыми.
1.2. Уравнения идеальной работы инерциальной навигационной системы
ИНС, устанавливаемые на борту подвижных объектов (судов, летательных аппаратов), являются автономными средствами определения основных навигационных параметров (широты, долготы, курса, скорости), не требующими, вообще говоря, использования каких-либо дополнительных навигационных устройств. Такие системы обеспечивают счисление навигационных параметров интегрированием показаний акселерометров, установленных по осям некоторой гироскопически стабилизируемой в пространстве системы, физически моделирующей удобную для счисления (обычно - географическую) систему координат. В зависимости от способа построения инерциальной вертикали различают ИНС аналитического, полуаналитического и геометриче-
ского типов. На судах (особенно подводного плавания) обычно используют ИНС полуаналитического типа, гиростабилизируемые в местной географической системе координат [3-9].
Выпишем уравнения идеальной работы ИНС полу-аналитического типа, точно стабилизируемой в местной географической системе координат. Начало отсчета O этой системы совмещают с центром масс судна, а оси - с осями географического трехгранника. Местоположение центра масс судна характеризуется географической широтой ф, отсчитываемой от экваториальной плоскости на север, географической долготой X, отсчитываемой от гринвичского меридиана на восток, и расстоянием R-z (или R+z) от центра Земли (R - радиус Земли, z - глубина погружения или высота полета, равная нулю только для судов надводного плавания). Ось Ox системы направлена по местному меридиану на север, ось Oy - по местной параллели на восток, ось Oz - к центру Земли.
Пусть судно движется с относительной скоростью V, составляющие которой по осям географического трехгранника выражаются следующим образом:
Vx = VN = R ф,
VY = VE = R cos фі, (1.1)
Vz = z,
где VN и VE - соответственно северная и восточная составляющие этого вектора, а точкой сверху отмечено локальное дифференцирование по времени.
Поскольку географический трехгранник перемещается по поверхности Земли вместе с судном, составляющие его (трехгранника) угловой скорости ю (а следовательно, и угловой скорости гиростаби-лизированной платформы ИНС) выражаются очевидными соотношениями:
ю X = (р + і ) cos ф, юг =-ф, (1.2)
ю2 = - (Р + іjsinф, где Q - величина угловой скорости суточного вращения Земли вокруг собственной оси.
Пусть r - радиус-вектор местоположения судна, направленный из центра Земли в центр масс судна. Скорость его изменения в местной географической системе координат, моделируемой географическим трехгранником платформы ИНС, выражается локальной (в этой географической системе) производной его по времени, равной относительной скорости движения судна:
r = V. (1.3)
Скорость изменения вектора r в неподвижной системе координат, связанной с центром Земли, выражается через его относительную скорость (во вращающейся с угловой скоростью ю местной географической системе координат) известным соотношением [11]:
dr/dt = Г +юх r , (1.4)
где x - знак векторного произведения; знак производной d/dt означает абсолютное, а точка сверху - относительное (локальное) дифференцирование по времени. Если принять неподвижную систему координат, связанную с центром Земли, за абсолютную, т.е. пренебречь поступательным движением Земли в абсолютном пространстве, то повторным применением формулы (1.4) можно получить вектор, близкий к вектору абсолютного ускорения центра масс судна:
й 2г/йї2 = й (г +шх г )/ йї = (15)
= г + юх г + О х г + о х ( +шх г)
где г - «кажущееся» (относительное) ускорение центра масс судна в местной географической системе координат. Учитывая, что абсолютное ускорение центра масс судна за вычетом гравитационного ускорения б°(г) в идеальном случае выражается вектором А показаний акселерометров, установленных по осям географического трехгранника на гироплатформе ИНС в центре масс судна, и учитывая равенство (1.3), выразим относительное ускорение центра масс судна следующим образом:
V = А + Є0(г)-ю х (со х г)- 2ю х V - со х г . (1.6)
Здесь третье слагаемое выражает центробежное ускорение, четвертое - кориолисово, а пятое - ускорение, обусловленное угловым ускорением гиро-стабилизированной платформы ИНС.
Объединяя гравитационное ускорение (второе слагаемое) и центробежное ускорение (третье слагаемое) в единое ускорение свободного падения
Є (г ) = Є0 (г )-шх(шх г ), (1.7)
получим:
V = А + Є(г)-2ш х V-ох г . (1.8)
Векторные дифференциальные уравнения (1.3) и (1.8) совместно с уравнениями (1.1), (1.2) и соответствующими начальными условиями полностью описывают идеальную работу ИНС полуаналитического типа. Все эти уравнения хорошо известны [3]. Их интегрирование позволяет по показаниям акселерометров (и, возможно, датчиков угловых скоростей, так как информация о последних в ИНС полуаналитического типа имеется) произвести счисление линейной широты х и географической широты ф судна, линейной долготы (отшествия) у и географической долготы X, северной Ух и восточной Уу компонент скорости судна и его курса К, а также (для судов подводного плавания) глубины погружения г и вертикальной скорости У2.
1.3. Уравнения ошибок счисления навигационных параметров
Счисление навигационных параметров в инерциаль-ных системах навигации сопровождается нарастанием со временем ошибок счисления, рассогласованием счисли-мых и истинных значений навигационных параметров.
Ошибки навигационного счисления возникают из-за ошибок начальной выставки навигационных параметров, из-за собственных ошибок акселерометров, рассогласования осей гиростабилизированной платформы ИНС и географического трехгранника, т.е. ошибок горизонти-рования (выставки вертикали) и азимутальной стабилизации платформы ИНС, обусловленных ошибками определения угловых скоростей и собственными уходами осей гироскопов, из-за наличия неоднородностей гравитационного поля Земли и в силу ряда других факторов. Анализ ошибок счисления в инерциальных навигационных системах содержится в [3, 5-16]. В основе его лежит предположение о малости ошибок и возмущений, что позволяет провести линеаризацию и упрощение уравнений, описывающих рассогласование счислимых и истинных значений навигационных параметров.
Линеаризируя уравнения (1.3) и (1.8), получим следующую систему уравнений для ошибок навига-204
ционного счисления (учитывая при этом, что ошибка счисления локальной производной некоторого вектора равна локальной производной ошибки счисления этого вектора):
Ar = AV,
AV = AA + AG - 2ra xAV - 2Ara x V - (1.9)
- Ara x r - ra x Ar.
Нетрудно показать, что для систем морской навигации последними тремя слагаемыми в правой части второго уравнения (1.9) можно пренебречь, а компоненты ошибок счисления вектора относительной скорости заменить локальными производными по времени от компонент вектора ошибок счисления линейных географических координат судна.
Благодаря этому и с учетом рассогласования осей платформы ИНС и истинного географического трехгранника уравнения ошибок счисления «горизонтального канала» ИНС в координатном представлении принимают вид [7, 17-19]:
Ax = AVn ,
Ay = AVe ,
aVx = 2roZ AVe - GPy + G~X + AAX ,
AVE = -2roZAVn + GPx + G~y + AAY , (1.10)
PX = EX + (raZPr - raYPZ ) - AraX ,
PY = EY + (c°XPZ -raZPX ) - AraY ,
Pz = EZ + (yPx - roxPy) - AraZ ,
где Ax, Ду - линейные ошибки счисления широты и отшествия; AVn, AVe - ошибки счисления северной и восточной составляющих вектора скорости; G -ускорение свободного падения; G~X, G~Y - северная и восточная составляющие вектора неоднородностей гравитационного ускорения, изменяющиеся при движении судна в поле силы тяжести; юх, raY, raZ
- проекции угловой скорости вращения базовой (местной географической) системы координат в инерциальном пространстве; AAX, AAY - собственные ошибки «северного» и «восточного» акселерометров; EX, EY, EZ - скорости ухода осей гироблока ИНС; Px, Py, Pz - углы рассогласования (поворота вокруг соответствующих осей) трехгранника, моделируемого платформой ИНС, относительно географического трехгранника, так что Рх и Py - ошибки горизонтирования платформы ИНС, а Pz - азимутальная ошибка, определяющая ошибку счисления курса корабля. Вывод уравнений для углов рассогласования осей гироплатформы ИНС и географического трехгранника - последние три уравнения в (1.10) - содержится, например, в [17-19].
Ошибки определения угловых скоростей легко получаются варьированием соотношения (1.2) и имеют вид: Aroх = AX cos<p + A<proZ ,
AroY = -A(p, (1.11)
AroZ = -AX sin ф - A<p roX .
Поскольку географическая широта ф и долгота X отсчитываются на поверхности Земли в неподвижной (относительно Земли) криволинейной ортогональной системе координат, а линейная широта x и от-шествие у - в подвижной (также относительно Земли) декартовой системе, локальное дифференцирование и варьирование этих переменных производятся
(1.12)
(1.17)
по правилам перехода от криволинеиных координат к декартовым. Формулы этого перехода хорошо известны [3] и приводят к следующим выражениям:
* = VX = VN = Rt&, &
y = VY = VE = R cos ф i;
Ax = R Дф, Ду = R cos фДІ; (1.13)
Ax = AVX =AVn = R Дф,
Ду = AVy =AVe = (1.14)
= Rcosф Ai - Rsinф фAi.
Из выражении (1.12) получаем дифференциальные уравнения, определяющие географические широту и долготу судна:
ф = VN /R, i = VE /( cos ф); (1.15)
из соотношении (1.13) - выражения, связывающие ошибки счисления широты и долготы с ошибками счисления линеинои широты и отшествия:
Дф = Дх / R, Ai = Ay /( cos ф); (1.16)
а из соотношении (1.14) - дифференциальные уравнения, определяющие эти ошибки:
Дф = AVn / R,
Ai = AVe /(cosф) + Діфtgф.
Используя (1.11), (1.16) и (1.17), а также (1.2), приведем систему дифференциальных уравнении для ошибок счисления основных навигационных параметров к развернутому виду:
A* = AVn ,
ДУ = AVe ,
AV&n = — 2(2 + i)inф AVe — GPy + G~x + AAx ,
AVe = 2( + i) sin фAVN + GPX + G~y + AAy PX = —( /R)a* + (cdy /R)tgфДу —
— (1/R)AVe + ($zPy — ®yPz + Ex ,
PZ = (coX /R)Ax — (coY /R)tg2фДу +
+ (1/R)tg фДVE +aYPX — roXPY + EZ , где все коэффициенты при ошибках счисления определяются либо в истиннои, либо в счислимои точке пространства координат и скоростеи.
Ошибки акселерометров АЛ содержат как медленно, так и быстро изменяющиеся (флуктуационные) компоненты. Постоянные (систематические) ошибки обычно отсутствуют (устраняются при настроике акселерометров).
Аномалии гравитационного ускорения G обычно изменяются медленно, причем характеристики этих изменении зависят и от координат места судна в океане, и от направления и скорости движения.
Скорости E собственных уходов (дреИфов) осеИ ИНС обычно медленно изменяются во времени и при этом содержат неизвестные постоянные составляющие (систематические уходы).
Начальными условиями системы (1.18) являются ошибки определения начальных значении линеинои широты, отшествия, курса, горизонтальных составляющих скорости судна относительно Земли и углов горизонтирования платформы ИНС.
Из системы (1.18) видно, что ошибки навигационного счисления определяются не только ошибками начальнои выставки навигационных параметров и углов горизонтирования платформы ИНС, но и собственными ошибками акселерометров, неоднородно-
(1.18)
стями гравитационного поля Земли и собственными уходами осей гироплатформы ИНС.
Собственные ошибки акселерометров и неоднородности гравитационного поля Земли будем называть возмущениями в скоростном канале ИНС, а угловые скорости собственных уходов осей гироплатформы - возмущениями в канале горизонтирования и в курсовом канале.
1.4. Уравнения ошибок навигационных корректоров
Для компенсации и стабилизации ошибок инерци-ального навигационного счисления применяются различные дополнительные средства внешней навигационной коррекции, используемые постоянно или эпизодически. Это измерители скорости судна относительно воды или грунта (относительные или абсолютные лаги), средства астрономической, спутниковой, радионавигационной коррекции, системы свободных гироскопов («искусственные звезды»), гидроакустические и другие средства. Совокупность ИНС и средств навигационной коррекции составляет навигационный комплекс (НК) корабля.
Пусть в составе НК в качестве непрерывно функционирующих навигационных средств, кроме ИНС полу-аналитического типа, имеется несколько свободных гироскопов (СГ), двухкомпонентный относительный лаг (ОЛ) и приемоиндикаторы радионавигационных систем (РНС), а также, может быть, абсолютный лаг (АЛ). Пусть в качестве эпизодически действующих средств используются астрономические (АНС), спутниковые (СНС), гидроакустические (ГАНС) и, возможно, абсолютный лаг (если он не используется как непрерывно действующее средство). Подробный анализ ошибок всех этих средств содержится в [4, 11, 20-25].
Выпишем здесь линеаризированные соотношения, характеризующие навигационные наблюдения (обсервации), проводимые с помощью навигационных корректоров, с точки зрения влияния на них ошибок наблюдений и основных возмущающих факторов.
Рассмотрим уравнения ошибок измерителей скорости на примере относительного лага.
Двухкомпонентный относительный лаг измеряет две компоненты скорости судна относительно среды: продольную по отношению к корпусу (вдоль продольной оси О^ корабля) и поперечную (боковую) (по поперечной оси Оп корабля). Линеаризованные соотношения, описывающие эти измерения, имеют вид:
Zcttfq = -X sin ф sin K Ax+ф tg ф sin K Ay+
+cosKAVn + sinKAVe —Vcp^ + NOM^, Z0n\ = —i 5Шф cosK Ax+ф tgф cosK Ay —
—sin K AVn + cosK AVe — VPZ —VCPn + N
(1.19)
где ф, X - географические широта и долгота; К -курс судна; V - скорость; Ах, Ду, ДУN АУЕ, Рг -ошибки счисления линейной широты, отшествия, составляющих скорости и курса; ЫОЛ^, ЫОЛп - собственные ошибки продольного и поперечного измерительных каналов ОЛ; УСр, УСРп - продольная и боковая составляющие скорости среды (течений), искажающие показания относительного лага. Последние связаны с северной УСРХ и восточной УСРу составляющими скорости течений соотношениями:
УСР^ = cos K • Vcpx + sin K • VCPY ,
VCPr| = — sin K • Vcpx + cos K • Vcpy •
(1.20)
Строго говоря, под УСР понимают изменчивые отклонения действительных переменных значений скоростей течений от указанных на картах постоянных значений. Последние могут быть включены в левую часть псевдоизмерений (1.19) как известные величины и исключены из рассмотрения. Неучтенные изменчивые части компонент скорости течений обычно являются медленно изменяющимися нерегулярными функциями времени, причем характер этих изменений зависит как от координат судна в океане, так и от направления и скорости его движения.
Свободные гироскопы используются в НК в качестве дополнительных средств пространственной памяти («искусственных звезд»). Любая «искусственная звезда» (точка на небесной сфере, в которую направлена ось свободного гироскопа) как «светило» характеризуется в экваториальной системе координат прямым восхождением g и склонением й, а в местной географической системе -высотой к и курсовым углом (азимутом) д.
При использовании СГ в качестве корректирующего средства возникает два вида ошибок. С одной стороны, это ошибки, обусловленные уходом оси гироскопа от заданного направления, что приводит к неизвестным наблюдателю изменениям ^ и Ай прямого восхождения и склонения «искусственной звезды». С другой стороны, это ошибки, связанные с измерением положения (высоты и курсового угла) оси СГ в системе координат, моделирующей географический трехгранник. При наличии ИНС в составе НК эта система координат связана с гиро-стабилизированной платформой ИНС. Измерение положения оси СГ относительно гироплатформы ИНС сопровождается ошибками, вызванными как уходом осей ИНС, так и собственными ошибками датчиков углов (высоты и курсового угла).
Изменения прямого восхождения и склонения «искусственной звезды», обусловленные уходом оси СГ, подчиняются дифференциальным уравнениям вида [10, 11, 13]:
(1.21)
- курсовая ошибка ИНС; ф - географическая широта; N^1, - ошибки измерения высоты и курсового угла
«искусственной звезды» в системе координат, связанной с гироплатформой ИНС (моделирующей географический трехгранник). Эти ошибки обычно носят флуктуационный характер и не содержат медленно меняющихся или систематических составляющих.
Радионавигационные измерения, независимо от типа РНС (разностно-дальномерные, фазовые и др.), в конечном счете описываются линиями положения, получаемыми в результате линеаризации измерений около некоторой счислимой точки, что приводит к псевдоизмерениям вида [15]:
ZPHCi= NiA* +MiAy+0~РНС+ NРНС,
(i = 1,2,...s), (1.23)
Ag = - cos P • bl + sin P • b2,
Ad = sin P • bj + cos P • b2, где P - параллактический угол гироскопа, a bj и b2 - составляющие угловой скорости ухода оси СГ. Изменения Ag и Ad характеризуют состояние оси гироскопа в каждый данный момент времени, а bj и b2 - возмущения СГ. Обычно эти возмущения (дрейфы оси СГ) являются медленно меняющимися функциями времени.
Линеаризованные соотношения, описывающие псевдоизмерения высоты и курсового угла «искусственной звезды» в системе координат, связанной с гироплатформой ИНС, имеют вид:
Zh = (l/R)cosq • Ax + (l/R)sinq • Ay + sinq • PX -
- cosq • PY + sinP •Ag + cosP •Ad + Nh,
Zq = (l/R)tgh • sinq • Ax + (l/R)(tg<p - (1.22)
-tgh • cosq)Ay + PZ + (l/cosh)cosP • Ag --(l/cosh)sin P •Ad + Nq,
где Ax, Ay - ошибки счисления линейной широты и отшествия; PX, PY - угловые рассогласования вертикали ИНС и истинной вертикали в географической системе координат (ошибки горизонтирования ИНС); PZ 206
где і - номер линии положения; 5 - число ведомых станций РНС (обычно 5=2); N Мі - коэффициенты линеаризации; ЫРНа - собственная (быстро изменяющаяся, флуктуационная) ошибка радионавигационного измерения (разности моментов прихода импульсов, разности фаз и т.д. на приемном конце); О~РнСі - медленно изменяющаяся ошибка радионавигационного наблюдения, обусловленная нестабильными условиями распространения радиоволн или нестабильностью радиоаппаратуры РНС.
Информационное описание средств эпизодической коррекции (абсолютного лага, астрономических, спутниковых, гидроакустичсеских, гравиметрических и др.) обычно сводится к линеаризованным псевдоизмерениям, получаемым в результате последовательных обсерваций в дискретные моменты времени и содержащим корректируемые навигационные параметры (поправки к навигационному счислению) и собственные ошибки измерений (обсерваций). Оно проводится аналогично описанию непрерывных средств коррекции, но не содержит некоторых медленно изменяющихся компонент, хотя может включать неизвестные систематические составляющие ошибок.
Так, абсолютный лаг описывается теми же соотношениями, что и относительный лаг, но это описание не содержит, естественно, скоростей течений (формально в описании (1.19) псевдоизмерений лага следует положить скорости течений Уср равными нулю).
Астрономические и спутниковые обсервации можно описывать так же, как и «наблюдения» за «искусственными звездами», только это описание не будет содержать «собственных уходов» светил (так как этих «уходов» нет или они заранее известны и могут быть исключены из псевдоизмерений, как, например, в спутниковых системах навигации). Таким образом, в описании астрономических псевдоизмерений ошибки Аg и Ай прямого восхождения и склонения светила равны нулю (если, конечно, эфемериды светил точны). Основными источниками ошибок астрономических и спутниковых обсерваций являются собственные флуктуационные ошибки наблюдений и «систематические» ошибки, обусловленные ошибками гиростабилизации платформы ИНС в местной географической системе координат.
Псевдоизмерения прочих средств эпизодической коррекции могут быть описаны, аналогично описанию РНС, линиями положения, получаемыми в результате соответствующих обсерваций в дискретные моменты времени. Но в отличие от РНС эти псевдоизмерения обычно не содержат медленно меняю-
щихся составляющих ошибок измерения, хотя обязательно содержат флуктуационные ошибки и могут содержать систематические ошибки. Такие эпизодические средства относятся к разряду позиционных, то есть полностью описываемых линиями положения в пространстве корректируемых навигационных параметров в моменты обсерваций.
1.5. Стохастические модели возмущений и ошибок
навигационных комплексов
Основными возмущающими факторами навигационного счисления, как видно из уравнений (1.18), являются собственные ошибки акселерометров (с медленно и быстро изменяющимися составляющими), гравитационные аномалии (обычно медленно изменяющиеся при движении судна) и собственные уходы (дрейфы) осей гироскопов ИНС, приводящие к рассогласованию осей моделируемого платформой ИНС и местного географического трехгранников. Скорости этих дрейфов обычно содержат постоянные составляющие (систематические уходы) и нерегулярные медленно изменяющиеся составляющие.
Ошибки навигационных корректоров непрерывного действия, как видно из выражений (1.19) и (1.22), вызываются различными причинами. Так, ошибки относительного лага обусловлены в первую очередь нерегулярными медленно изменяющимися при движении судна составляющими скоростей течений, а также обычно быстро изменяющимися собственными ошибками измерения продольной и поперечной составляющих скорости движения судна относительно воды. Погрешности свободных гироскопов («искусственных звезд») как средств непрерывной коррекции обусловлены главным образом собственными медленно изменяющимися уходами (дрейфами) осей гироскопов, а также обычно быстро изменяющимися флуктуационными ошибками измерения высоты и курсового угла «искусственной звезды» относительно платформы ИНС. Ошибки же радионавигационных наблюдений содержат как собственные флуктуа-ционные ошибки непосредственного измерения радионавигационных параметров (временных задержек, разностей фаз сигналов и т.п.), так и медленно изменяющиеся составляющие, обусловленные влиянием условий распространения радиоволн на морских трассах.
Ошибки навигационных корректоров эпизодического действия обусловлены, как правило, только собственными ошибками обсервационных измерений. Обычно быстро изменяющиеся (флуктуационные, шумовые) составляющие собственных ошибок навигационных измерений считают независимыми белыми гауссовскими с нулевыми средними и известными дисперсиями (спектральными плотностями мощности) [16, 26-29]. Такая чисто стохастическая модель оправдывается флук-туационной природой собственных ошибок измерений.
Что же касается нерегулярных медленно изменяющихся составляющих ошибок акселерометров и возмущений ИНС и навигационных корректоров, то наибольшее распространение получила марковская стохастическая (диффузионная) модель этих процессов [16, 26-29], выражаемая стохастическими дифференциальными уравнениями.
Так, собственные ошибки ААХ, АЛТ акселерометров представляются в виде суммы высокочастотных
(быстро изменяющихся) составляющих Л~хб, A~y6 и низкочастотных (медленно изменяющихся) составляющих Л~хм, A~ym-
АЛХ = Л~Хб + Л~Хм , AAY = A~Y6 + A~Ym , (1-24)
где как высокочастотные («быстрые»), так и низкочастотные («медленные») компоненты представляются независимыми марковскими случайными процессами, описываемыми стохастическими дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами [26-29]:
Л~х = -аЛ~Х + WЛх , Л^ = -аЛ_^ + WAY • (125)
Здесь ЖЛХ, - независимые белые гауссовские
шумы, порождающие высокочастотные (б) или низкочастотные (м) составляющие ошибок акселерометров, с нулевыми средними и спектральными плотностями мощностей Q^, QЛм (для быстрых и медленных соответственно), а а=аб и а=ам - величины, обратные постоянным времени быстрых и медленных переходных процессов в акселерометре. Заметим, что аб>>ам, т.е. ширина спектра быстрых составляющих значительно больше, чем медленных.
Медленно изменяющиеся при движении судна составляющие неоднородностей G ускорения силы тяжести (гравитационного поля) в стохастической модели также описываются независимыми марковскими случайными процессами, подчиняющимися стохастическим дифференциальным уравнениям вида:
G~ х =-(V / Re )G~х + Wa G~Y =-(V / Rg )G~y + Wgy
(1.26)
где V - величина скорости судна, Яа - радиус пространственной корреляции неоднородностей гравитационного поля (поле предполагается статистически однородным), а Шох, Шоу - независимые белые гауссовские процессы, порождающие неоднородности и имеющие равные нулю средние и одинаковые спектральные плотности мощности QG.
Составляющие Ех, Еу, Е2 скоростей собственных уходов осей ИНС в стохастической модели представляются в виде суммы постоянных случайных скоростей Е°х, Е0
У? Е°х систематических уходов осей ИНС и низкочастотных переменных составляющих скоростей Е~х, Е~у, Е~г дрейфа осей:
Ех = ЕХ + Е~х, Еу = Е + Е~у, Е^ = Е° + Е~2. (1.27) При этом вследствие постоянства Е имеем:
Ех = о, Е0 = о, Еа° = о. (1.28)
Априорно составляющие Е0х, Е0у, Е°2 предполагаются в стохастической модели неизвестными независимыми гауссовскими величинами с нулевыми средними и одинаковыми дисперсиями сЕ Переменные составляющие скоростей Е~х, Е~у, Е~2 собственных уходов осей ИНС в стохастической модели описываются независимыми марковскими случайными процессами, удовлетворяющими стохастическим дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами:
Е~Х = ~аЕЕ~Х + WEX '
E~y = —aEE~Y + WEY , Е~Z = -аЕЕ~І + WEZ ,
(1.29)
где ЖЕх, ШЕУ, ШЕ2 - независимые белые гауссовские возмущения с нулевыми средними и одинаковыми спектральными плотностями мощности QE.
Аналогичным образом стохастические модели описывают и изменчивые скорости морских течений, и уходы «искусственных звезд», и низкочастотные ошибки радионавигационных измерений. Так, поле скоростей изменчивых течений в стохастической модели рассматривается как пространственно однородное (в каждом конкретном районе местонахождения судна), а его северная и восточная составляющие описываются независимыми гауссовскими процессами с нулевыми средними и экспоненциальной функцией автокорреляции, т.е. представляются стохастическими марковскими моделями вида:
Vcpx = -(acp + V 1 Rcp )Vcpx + Wcpx , (i 30)
VCPY = —(aCP + V 1RCP )VCPY + WCPY ,
где WcPX, WcPY - независимые белые гауссовские процессы с нулевыми средними и одинаковыми спектральными плотностями мощности Qcp, порождающие изменчивое поле скоростей среды (течений); V - скорость судна; аСР
- величина, обратная времени автокорреляции изменчивой скорости течений; Rcp - радиус пространственной корреляции поля скоростей изменчивых течений.
При стохастическом описании возмущений свободного гироскопа составляющие угловой скорости ухода его оси считают независимыми гауссовскими стационарными процессами марковского типа, описываемыми стохастическими дифференциальными уравнениями вида:
b1 = —acr b1 + Wcri , b2 = — аСГ b2 + WCr2 , (131)
где Wcri, Wcr2 - независимые белые гауссовские процессы с нулевыми средними и одинаковыми спектральными плотностями мощности Qcr; аСГ - величина, обратная времени корреляции скорости ухода оси СГ.
Медленно изменяющиеся ошибки радионавигационных наблюдений O~PHCi 0=1,2,...,s), т.е. медленные дрейфы линий положения, обусловленные нестабильностью условий распространения радиоволн над морской поверхностью или нестабильностью параметров радиоаппаратуры станций РНС, в стохастической модели также описываются независимыми марковскими случайными процессами с постоянными параметрами:
O~PHCi =- aPHCO~PHCi + WPHCi ( = 1,2,..., s), (1.32)
где WPHCi - белые гауссовские процессы с нулевыми средними и спектральными плотностями мощности QPHCi, порождающие нестабильности радионавигационных наблюдений, а aPHC - величина, обратная времени корреляции нестабильностей.
1.6. Частично стохастические рестриктивные модели возмущений НК
Рассмотренные выше чисто стохастические модели, традиционно используемые при описании возмущений НК, представляются, однако, не вполне адекватными физической реальности, по крайней мере для некоторых из этих возмущений.
Конечно, нет оснований отвергать стохастическую природу собственных быстро изменяющихся флук-туационных ошибок навигационных измерений. Однако медленно изменяющиеся процессы, приводящие к уходу осей гиростабилизированной ИНС, а тем более поля гравитационных аномалий и изменчивые течения рассматривать как чисто стохастические, да еще и гауссовские, весьма проблематично.
В самом деле, гауссовские стохастические модели возмущений ИНС могут порождать теоретически как угодно большие значения возмущений. Однако на практике в режиме нормального функционирования ИНС ни низкочастотные ошибки акселерометров, ни низкочастотные же скорости собственных уходов осей ИНС не выходят за определенные, обычно довольно узкие пределы, то есть являются ограниченными величинами с неизвестными, строго говоря, распределениями. Это тем более справедливо в отношении неоднородностей гравитационного поля Земли, плавно изменяющихся от точки к точке, ограниченных по самой своей природе и, вообще говоря, неизвестно как распределенных. Точно так же адекватность чисто стохастического описания изменчивых скоростей морских течений физической реальности представляется спорной.
По-видимому, более естественным является такое описание медленно изменяющихся скоростей собственных уходов осей ИНС, поля гравитационных аномалий, поля скоростей среды и других медленно изменяющихся факторов, которое не предполагает знания законов их распределения, а исходит лишь из предположения об ограниченности этих факторов или скоростей их изменения некоторыми пределами, определяемыми из навигационной практики и результатов специальных исследований полей гравитации и скоростей течений в различных районах земного шара. Такие модели мы называем рестриктивными [30].
Простейшим типом рестриктивных моделей возмущений НК является модель, в которой роль белых гауссовских процессов, порождающих возмущения, играют ограниченные по модулю, а в остальном неопределенные факторы. Такого типа ограничения называют еще ограничениями геометрического типа [30-32]. В моделях вида (1.25), (1.26), (1.29) - (1.32), где вместо соответствующих гауссовских белых процессов фигурируют ограниченные по модулю неопределенные функции времени и, такие, что
| и |< С, (1.33)
где С - заданные постоянные, геометрические ограничения вида (1.33) обеспечивают и ограниченность самих возмущений, и ограниченность скоростей их изменения, а в остальном оставляют возмущения неопределенными.
В некоторых случаях, однако, часть возмущений можно рассматривать как марковские гауссовские (например, ошибки акселерометров или скорости уходов осей ИНС и свободных гироскопов), а другую часть - как рестриктивные (например, гравитационные аномалии или изменчивые течения). Такие смешанные модели будем называть частично стохастическими рестриктивными или, короче, рестриктивно-стохастическими. В предельных крайних случаях эти модели переходят либо в чисто стохастические, либо в чисто рестриктивные, т.е. являются более общими, чем те и другие.
1.7. Обобщенная рестриктивно-стохастическая модель ошибок и возмущений НК
Объединим в единый вектор состояния навигационного комплекса ошибки счисления пяти основных навигационных параметров судна (линейной широты, отше-
ствия, северной и восточной составляющих скорости движения, курса), ошибки горизонтирования ИНС, составляющие скоростей ухода осей ИНС, высокочастотные и низкочастотные составляющие собственных ошибок акселерометров, северную и восточную составляющие неучтенных скоростей течений, северную и восточную составляющие неоднородностей ускорения силы тяжести (пропорциональные соответствующим уклонениям отвесной линии), ошибки прямого восхождения и склонения «искусственных звезд» (свободных гироскопов), составляющие скоростей ухода осей СГ, а также, возможно, низкочастотные дрейфы радионавигационных измерений (если они имеются):
X = (Ах, Ду, А¥х, А¥г, Рх, Рг, Р2, К~х, К~г, К~2,
А~хб, А~Тб , А~Хм , А~Тм , ^СРХ , ^СРГ , С~х , С~У , (1-34) Дё, Д^, Ь1, Ь2, °~РЯС1,.", °~РИСэ ) ,
где Т - знак транспонирования, так что X - вектор-столбец.
Размерность п этого вектора может меняться в зависимости от количества ИНС в НК, количества свободных гироскопов, количества обрабатываемых линий положения РНС и пр.
Вследствие линейности (в первом приближении) дифференциальных уравнений, описывающих динамику ошибок и возмущений, входящих в вектор X, все эти уравнения можно объединить в одно линейное векторное дифференциальное уравнение для п-вектора состояния НК:
X = А(Х) Х(0+В(г)и(г) + Ш (Х), (1.35)
где А(Х) - п*п-матрица динамики ошибок и возмущений НК, легко получаемая из анализа вида уравнений (1.18), (1.29), (1.25), (1.30)-(1.32), а п*ш-матрица В(Х) имеет структуру (в частности, булеву), позволяющую выделять в соответствующих уравнениях неопределенные рестриктивные воздействия, удовлетворяющие ограничениям вида:
\иг (Х)\< С (Х) (/ = 1,2,..., ш), (1.36)
взамен стохастических белых возмущений (в этом случае соответствующие компоненты вектора белых возмущений W(t), входящего в правую часть уравнения (1.35), имеют равные нулю спектральные плотности мощности). Остальные компоненты вектора белых возмущений остаются отличными от тождественного нуля.
Формально суммарный вектор возмущений можно представить следующим образом:
ви + Ш = (0,0,0,0,0,0,0, [\¥вх, WEY ^В2 ],
[^АХб , WAYб , WAXм , WAYм ],[WcPх , WCPY], (1 37)
[WGх ],0,0,[Wcrl,Wcr 2], (1.3/)
^1,.^^ ])Т, где квадратные скобки означают, что обозначенная ими группа возмущений либо входит в вектор Ви и переобозначается (а тогда она исключается из вектора Ш, так что на соответствующих позициях его образуются нули), либо остается в составе вектора Ш (и тогда в векторе Ви на соответствующих позициях образуются нули).
Показания навигационных корректоров непрерывного действия (измерения продольной и поперечной составляющих скорости судна относительно воды, высоты и курсового угла «искусственной
звезды» относительно платформы ИНС, радионавигационных параметров и, может быть, еще какие-то непрерывные измерения) можно объединить в единый k-вектор непрерывных псевдоизмерений:
Z{t) = {2ол^,ZОЛп,Zh,Zq,ZpHCl,...,ZpHCs) .(1.38)
Размерность этого вектора также зависит от числа «искусственных звезд», количества приемоинди-каторов РНС и, может быть, наличия еще каких-то непрерывных корректоров.
Заметим, что такими дополнительными корректорами могут служить и дублирующие ИНС, вводимые в состав НК для повышения его надежности (такие НК называют многозвенными). Так, при двух ИНС в НК (в двухзвенных НК) непрерывные измерения расширяются наблюдениями рассогласования между первой и второй ИНС, а в трехзвенных - дополнительно между первой и третьей (или второй и третьей).
Эти рассогласования включают в себя углы между одноименными осями разных ИНС, разности показаний одноименных акселерометров разных ИНС, разности счисления одноименных составляющих скорости разными ИНС. Использование рассогласований ИНС в качестве дополнительных измерений позволяет не только наилучшим образом осуществлять комплексную обработку навигационной информации, но и обнаруживать и идентифицировать отказы ИНС и соответственно перестраивать алгоритм работы НК.
Поскольку псевдоизмерения в первом приближении линейно связаны с вектором состояния НК, их можно выразить линейной зависимостью вида:
Z (t) = H (t) X (t) + N (t), (1.39)
где &*п-матрица H(t) легко определяется из конкретного вида (1.19), (1.22), (1.23) зависимостей псевдоизмерений от соответствующих компонент вектора состояния НК. Вектор N(t) - k-вектор последних слагаемых в правых частях этих зависимостей (вектор собственных флуктуа-ционных ошибок измерений).
В дискретном времени td обобщенная рестриктивно-стохастическая модель НК принимает вид:
Xd(td +1) = Ad(td)Xd(td) +Bd(td)Ud(td)+Wd(td) (i 40) (td = 0,1,2,...), (140)
\Udt(td Ж Cd(td) (i = 1,2,..., m), (1.41)
Zd (td +1) = Hd (td +1)Xd (td +1) + Nd (td +1) (1 42) (td = 0,1,2,...), (. )
где Xd (td) - n-вектор состояния НК; Wd (td) - n-вектор гауссовских «белых» независимых возмущений (с частью компонент, равных нулю, так что ковариационная матрица Qd (td) этого вектора является неотрицательно определенной); Ud (td) - m-вектор ограниченных по модулю неопределенных воздействий; (Udi(td)
- i-я компонента этого вектора; Cdi(td) - i-я компонента вектора ограничений); Nd (td+1) - k-вектор флуктуа-ционных («белых» гауссовских независимых) собственных ошибок навигационных измерителей (с нулевым средним и положительно определенной ковариационной матрицей Rd(td+1)); Ad(td) - nxn-матрица динамики НК; Bd (td) - nxm-матрица влияния неопределенных воздействий; Hd(td+1) - &*п-матрица чувствительности измерений. Все эти векторы и матрицы выражаются через соответствующие структуры, определенные в непрерывном времени, следующим образом:
X, ) = Х«л Д), Ал (/л) = I + Л«" Д/)Д/,
В (Г" ) = В(/" Д), Н" (/„ ) = Н (/„ Д/), (1.43)
и, (/") = и(/" Д/), С" (/") = С (/" Д), где Д/ - шаг дискретизации по времени; /" = 0,1,2,... -дискретное время. Случайные ошибки измерений N (/"+1) и случайные возмущения ^ (/") выражаются интегралами в смысле Ито на текущем интервале длиной Д/ от соответствующих винеровских процессов "^(/) и "ф(/).
Матрицы ковариаций Qd(td) и Л"(/"+1) в предположении о независимости возмущений являются диагональными. Векторы их диагональных элементов имеют вид: diagQd (ґ") = (0,0,0,0,0,0,0,[2авбвД/,
2aEQEДґ, 2aEQEД/],[2абблбДґ, 2абблбД/],
[2амбАмД/, 2амблмД/],[2(а€Р +^1^СР)беРД/, (1 44)
2(аСР +VI Дср)ЄсрД/],[2(^ I ^ )беД/, (144)
2(У1 Дз
[2яряс6ряс1 Д/,...,2ярясбряс«Д/])Г,
авд,(/" +1 = (145)
= (^2 ^2 ^2 ^2 ^2 ^2 )Т (1.45)
_ (СТ ОЛ , СТ ОЛ ,СТ к ,ст д ,СТ рисі,...,*5 РИс* ) ,
где квадратные скобки означают, что если соответствующие компоненты вектора Ви+Ф входят в вектор стохастических воздействий ф, то скобки снимаются и обозначенные скобками элементы остаются в матрице Qd(t¡d), иначе компоненты, отмеченные скобками, обнуляются.
2. Комплексная обработка навигационной информации при рестриктивно-стохастических моделях ошибок и возмущений навигационных систем
Одной из важнейших задач обеспечения кораблевождения является определение координат судна в море, его курса, скорости и других навигационных параметров. Существуют различные способы определения навигационных параметров. Наиболее совершенные из них основаны на инерциальном навигационном счислении, позволяющем определять навигационные параметры судна непрерывно и автономно.
Счисление основных навигационных параметров (широты, долготы, курса, скорости) в ИНС полуанали-тического типа, использующих гиростабилизированные платформы, ориентированные по осям местного географического трехгранника, осуществляется на основе интегрирования показаний измерителей ускорений (акселерометров), установленных вдоль осей ИНС.
Счисление сопровождается, как известно, нарастающими ошибками, обусловленными действием различных факторов. Среди них главными являются собственные ошибки акселерометров, неточности ориентации ИНС по осям географической системы координат, обусловленные прежде всего наличием собственных уходов (дрейфов) осей гироскопов ИНС, а также, возможно, вызванные неоднородностями гравитационного поля Земли. Анализ этих ошибок содержится во многих работах по инерциальной навигации (наиболее полно, по-видимому, в монографии В. Д. Андреева [3, 4], см. также [5-16, 33]) и в сжатом виде приведен в разделе 1.
Вследствие того, что ошибки инерциального навигационного счисления со временем накапливаются, в 210
НК кораблей и летательных аппаратов используются разнообразные средства навигационной коррекции как непрерывного, так и эпизодического действия.
В морской навигации в качестве непрерывно действующих средств навигационной коррекции используются прежде всего относительный лаг, измеряющий составляющие (продольную и боковую) скорости судна относительно воды, иногда (если позволяет глубина) абсолютный гидроакустический лаг, измеряющий скорость судна относительно грунта, а также «искусственные звезды» (свободные гироскопы), являющиеся дополнительным средством пространственной памяти НК. В качестве непрерывно действующих часто используются и радионавигационные средства (РНС), и (в последнее время) средства, измеряющие различные геофизические поля (рельеф дна и др.).
Все эти средства также подвержены влиянию возмущений, к которым относятся и собственные ошибки измерителей (скоростей, углов, радионавигационных параметров, полей), и неизвестные нерегулярные скорости течений, искажающие показания ОЛ, и собственные неконтролируемые уходы (дрейфы) осей свободных гироскопов, и нестабильности радионавигационной аппаратуры и условий распространения радиоволн, приводящие к дополнительным ошибкам в радионавигационных системах. Анализ этих возмущений содержится во многих работах по навигации, в том числе во второй части упомянутой монографии В.Д. Андреева [4]. В сжатом виде он приведен и в предыдущем разделе.
Кроме непрерывных навигационных коррекций, в практике морской навигации при всяком удобном случае проводятся коррекции (обсервации) с помощью секстанов (астрономические коррекции), гидроакустических буйковых средств, всевозможных триангуляционных измерений, спутниковых средств и пр. [1]. Эпизодические обсервации производятся обычно серями при благоприятных условиях в последовательные дискретные моменты времени. Источниками ошибок эпизодических наблюдений являются, как правило, собственные ошибки измерителей.
Традиционно полагают (и для этого есть веские основания), что ошибки НК имеют случайную природу и подчиняются гауссовскому (или полигаус-совскому) закону распределения [17-19]. В обобщенном виде такая стохастическая модель ошибок НК выражается (в дискретном времени) векторным уравнением, описывающим стохастическую эволюцию состояния НК (в дискретном времени):
Х(/ +1) = А(/) Х(/) + W(ґ) (/ = 0,1,2,...), (2.1)
где Х(/) - я-вектор состояния, включающий в себя ошибки инерциального счисления широты, долготы, северной и восточной составляющих вектора скорости судна, ошибки горизонтирования платформы ИНС, ошибку курса, скорости собственных уходов осей ИНС, составляющие неучтенных скоростей течений, неоднородности ускорения силы тяжести, дрейфы осей свободных гироскопов, нестабильности радионавигационных параметров и пр., а ф(/) - я-вектор независимых «белых» гауссовских возмущений, имеющих нулевые средние и диагональную матрицу ковариаций 2(/), диагональные элементы которой имеют вид:
Q11 (/) = Q1 (/)Д/, Q(/) = 2аг(/)аг(/) (і = 1,2,...,я), (2.2)
где сі(/) - стандартное отклонение і-й компоненты вектора состояния; Ql(t) - спектральная плотность мощности соответствующего непрерывного белого возмущения (для первых семи компонент вектора состояния -ошибок широты, долготы, северной и восточной составляющих скорости, двух углов горизонтирования и ошибки курса - эти величины равны нулю); аі(/) - полуширина спектра мощности соответствующей компоненты вектора состояния (величина, обратная времени автокорреляции этой компоненты). Начальное значение X0 вектора состояния НК в стохастической модели предполагается распределенным по гауссовскому закону с ковариационной матрицей Р0
Псевдоизмерения (собственно измерения за вычетом счислимых значений) непрерывных и эпизодических средств навигационной коррекции в обобщенном виде представляются векторным соотношением:
Ц/+1) = Н(/+1)Х(/+1) + ]\(/+1) (/ = 0,1, 2,...), (2.3) где Z(/) - ^-вектор псевдоизмерений, а N(/+1) - ^-вектор собственных ошибок измерителей. Эти ошибки в стохастической модели предполагаются независимыми «белыми» гауссовскими с нулевыми средними и диагональной матрицей ковариаций Я(/+1), диагональные элементы которой - дисперсии ошибок навигационных измерений.
Матрица А(/) - я хи-матрица динамики (эволюции) вектора состояния НК, Н(/) - &хи-матрица чувствительности измерений.
Если все параметры (т.е. матрицы А(/), Q(f), Р0, Н(/+1), Я(/+1)) стохастической модели НК (2.1), (2.3) точно известны, то наилучший в смысле минимума среднеквадратичной ошибки алгоритм построения поправок X (/1 /) к инерциальному навигационному счислению (т.е. наилучший алгоритм фильтрации неизвестных ошибок инерциального навигационного счисления и возмущений в НК) также хорошо известен [28, 33] - это фильтр Калмана:
X *(/ +1| / +1) = А(/) X *(/1 /) +
+ Р(/ +1| / + 1)Нт (/ + 1)Л-1 (/ + 1)[Z(/ +1) - (2.4)
- Н(/ +1)А(/)X*(/ | /)], (/ = 0,1,2,...),
Р(/ +1| / +1) = {[А(/)Р(/1 /)Ат (/) + 2(/)]-1 +
+ Нт (/ + 1)Я-1(/ + 1)Н(/ + 1)}-1 (/ = 0,1,2,...), (2.5) с начальными условиями:
X *(0|0) = X *0, Р(0|0) = Р0, (2.6)
где X0- априорная оценка начального состояния НК.
Задача комплексной обработки навигационной информации существенно усложняется, если не все параметры стохастической модели известны заранее. В этом случае приходится прибегать к автоподстройке (адаптации) алгоритма фильтрации к неизвестным параметрам модели. Вопросам построения таких адаптивных фильтров посвящено очень много работ, из которых особо следует отметить работы Мэджилла [35], Язвинского [36-38], Дмитриева [33] как наиболее конструктивные. В этих работах предложены такие алгоритмы, как банки фильтров, пульсирующий фильтр и др.
Несмотря, однако, на широкое распространение среди исследователей стохастических моделей НК, эти модели в некоторых своих пунктах вызывают, как уже говорилось выше, серьезные сомнения.
Поскольку такие сомнения относятся к ряду медленно меняющихся (узкополосных) возмущений в НК, целесообразно расширить модель возмущений НК, допустив в ней наличие таких неопределенных возмущений, относительно которых нельзя сказать, какими статистическими характеристиками они обладают, а можно лишь утверждать, что они либо сами ограничены по модулю, либо ограничены по модулю их производные (приращения), а в остальном они произвольны (неопределенны). При этом одна часть возмущений (например, гравитационные аномалии или изменчивые течения) могут описываться рестриктивными моделями, а другая часть - стохастическими. Такие смешанные модели мы называем рестриктивно-стохастическими. Обобщенное описание такой модели НК в дискретном времени приведено в разделе 1. Выпишем его, опустив индекс дискретного времени:
X(Х +1) = А(Х) X(Х) + В(Х) и(Х) + Щ(Х) , (2.7)
\ и(Х)\< С(/),(,- = 1,2,...,ш), (2.8)
Z(t+1) = Щ+1)X(t+1)+Щ+1) (Х = 0,1,2,...), (2.9)
где X(t) - п-вектор состояния НК; Ш(Х) - п-вектор гауссовских «белых» независимых возмущений (с частью компонент, равных нулю, т.е. с неотрицательно определенной ковариационной матрицей 2(Х)); и(Х) - ш-вектор ограниченных по модулю неопределенных воздействий; N^+1) - к-вектор флуктуационных («белых» гауссовских независимых) собственных ошибок навигационных измерителей (с нулевыми средними и положительно определенной ковариационной матрицей й(Х+1)); А(Х) - пхп-матрица динамики НК; В(Х) - пхш-матрица чувствительности к неопределенным воздействиям; Н(Х+1) - кхп-матрица чувствительности измерений.
Задача построения вектора X(t | Х) (/=0,1,2,...) поправок к навигационному счислению и неизвестных медленно меняющихся возмущений в НК сводится при рестриктивно-стохастической модели вида (2.7) - (2.9) к задаче построения наилучших в некотором смысле фильтрационных оценок состояний X(Х | Х), ограниченных возмущений («псевдоуправлений») и* (Х | Х+1) и возмущений Щ (Х | Х+1), вычисляемых по данным 2(Х+1) навигационных корректоров. В каком, однако, смысле эти оценки должны быть наилучшими, - вопрос не простой, так как критерий минимума среднеквадратичной ошибки оценивания в данном случае работает весьма условно вследствие неопределенности ограниченных возмущений и отсутствия представления о законе их распределения, из-за чего их стандартные отклонения остаются неопределенными. Однако при любом предположении о законе распределения они не превышают величин С(Х). Поэтому оптимальным с точки зрения критерия минимума среднеквадратичной ошибки оценивания состояний X(t) является минимаксный фильтр Калмана, рассчитанный на максимально возможную дисперсию неопределенных возмущений, совместимую с ограничениями (2.8). Такой алгоритм при симметричных геометрических ограничениях, каковыми и являются ограничения (2.8), дает возможность находить в каждый данный момент времени центральную точку (чебышевский центр) информационного множества, совместимого с наблюдениями [31]. При этом, конечно, совершенно невозможным становится оценивание неопределенных компонент и(Х) вектора возмущений.
Если же поставить задачу нахождения поправок к навигационному счислению как задачу совместного максимально правдоподобного оценивания ошибок навигационного счисления и нестохастических неопределенных возмущений НК, то мы приходим к критерию минимизации суммы взвешенных квадратов невязок наблюдений (2.9) и начальных условий при ограничениях в виде равенств (2.7) и неравенств (2.8), т.е. к линейноквадратичной задаче экстремального статистического оценивания, сформулированной в [30] в терминах принципа максимума Л. С. Понтрягина как задача оптимального рестриктивного управления с выпуклым целевым функционалом. Необходимые и достаточные условия оптимальности решения этой задачи выражаются рестриктивной двухточечной краевой задачей (ДТКЗ) с граничными условиями, заданными частично в начальный момент времени - для линейной комбинации оценки начального вектора состояния и начального значения сопряженной к нему (по Г амильтону) переменной, а частично в текущий момент времени - для текущего значения сопряженной переменной. Задача при этом содержит подзадачу оптимизации функции Гамильтона по ограниченным возмущениям ЦТ). Эта же ДТКЗ может быть представлена в форме Куна-Таккера с соответствующими граничными условиями и условиями дополняющей нежесткости с ограничениями вида (2.8).
Полученная таким образом рестриктивная ДТКЗ, содержащая нелинейности типа насыщения, применением метода инвариантного погружения сводится к задаче Коши для рестриктивного функционального уравнения, содержащего такие же нелинейности. Используя для решения уравнения инвариантного погружения методы линейной пошаговой аппроксимации, развитые в [30], приходим к уравнениям фильтрации калмановского типа, но с соответствующей «адаптивной» (зависящей от результатов наблюдений) перестройкой матрицы ковариаций в уравнении Риккати. В случае отсутствия ограничений, т.е. при нерестриктивной стохастической модели возмущений, эти алгоритмы переходят в обычный, оптимальный для стохастической модели фильтр Калмана.
В задачах навигации редко требуется оценивать неопределенные компоненты вектора возмущений, поэтому минимаксный (загрубленный) фильтр Калма-на является вполне подходящим алгоритмом рестриктивной фильтрации состояний навигационных систем. Он описывается в дискретном времени уравнениями обычного фильтра Калмана (2.4) - (2.6), но в матрице Q(t) подматрица, соответствующая неопределенным возмущениям, заменяется на диагональную матрицу с диагональными элементами матрицы С(Т)Ст(Т).
3. Пример рестриктивной обработки навигационной информации
Проиллюстрируем применение перестраиваемых («адаптивных») рестриктивных фильтров и минимаксных фильтров Калмана, рассмотренных в разделе 2, к обработке навигационной информации.
В качестве примера рассмотрим навигационный комплекс, содержащий ИНС полуаналитического типа, корректируемую относительным лагом. Моделировалась динамика ошибок счисления основных навигационных параметров - широты хг=х (км), от-шествия Х2=у (км), северной Хз=Ух (км/ч) и восточ-212
ной Х4=Уу (км/ч) составляющих скорости, курса Х7=Рх (рад), а также ошибок х5=Рх, хб=Ру (рад) углов горизонтирования платформы ИНС, составляющих Х8=Е~х, хд=Е~у, Хю=Е~2 (рад/ч) вектора скорости ухода осей ИНС, неучтенных составляющих хп = Усрх, Хи=Усрг (км/ч) скоростей изменчивых течений, составляющих Х1з=0~х, Х14=0~7 (км/ч2) вектора гравитационных аномалий, ошибок Х15=А~х, Х16=Л~г (км/ч2) акселерометров, установленных на платформе ИНС (всего 16 навигационных параметров, составляющих вектор состояния НК).
Моделировалась также динамика ошибок ОЛ и псевдоизмерения 21 (продольная составляющая, км/ч), 22 (поперечная составляющая, км/ч), поступающих на обработку от относительного лага. При моделировании и обработке данных предполагалось, что неучтенные составляющие изменчивых течений порождаются неопределенными нестохастическими ограниченными процессами их, и (км/ч). Их «истинные» значения располагались при моделировании на одной из границ.
Остальные компоненты вектора возмущений НК и ошибок наблюдений (ОЛ) предполагались стохастическими гауссовыми (такими они и моделировались).
Обработка производилась «адаптивным» рестриктивным фильтром и минимаксным фильтром Калмана, настроенным на максимально возможную при ограничениях (2.8) дисперсию неопределенных возмущений, которые рассматриваются в фильтрации Калмана как стохастические. Частота отсчетов поступающей на обработку информации бралась равной 100 отсч./ч. Время моделирования составляло 6 ч реального плавания судна (600 отсч.).
Рис. 1
На рис. 1 представлены псевдоизмерения ОЛ (продольная 2і и поперечная 22 составляющие). Видны колебания с периодом Шулера. Время і - номер отсчета.
Рис. 2
На рис. 2 изображены рестриктивные макси-
мально правдоподобные оценки и і, и неопределенных нестохастических ограниченных возмущений и
вектора скорости течений. Видно, что оценки в основном сосредоточены вблизи истинного значения
- вблизи границы или на границе (в минимаксном фильтре они принимаются равными нулю, независимо от их истинного значения). Благодаря этим оценкам рестриктивный фильтр «адаптируется» к неопределенным ограниченным возмущениям.
ктивные оценки - 2, калмановские оценки - 3
100 200 300
Рис. 3
На рис. 3 приведены ошибки навигационного счисления линейной широты х, линейной долготы (отшествия) у, северной Ух и восточной Уу составляющих скорости У судна (изображены кривыми 1) и их рестриктивные х (жирные кривые 2) и минимаксные хк (кривые 3) фильтрационные оценки. Видно, что рестриктивный и минимаксный фильтры имеют примерно одинаковую точность при оценке широты, минимаксный точнее при оценке долготы, рестриктивный точнее при оценке скоростей. Это объясняется «адаптивными» свойствами рестриктивного фильтра: максимально правдоподобное оценивание неопределенных ограниченных возмущений и уменьшает их априорную неопределенность и благодаря этому уменьшает смещение оценок рассматриваемых компонент вектора состояния.
Рис. 5
На рис. 5 представлены восточная еу и вертикальная е2 составляющие угловой скорости е ухода осей ИНС, северная УСРх и восточная УСРУ составляющие неучтенной скорости течений УСР (кривые 1), их рестриктивные х (кривые 2) и минимаксные х (кривые
3) фильтрационные оценки. Видно, что минимаксные оценки восточной и вертикальной составляющих угловой скорости ухода осей ИНС более точны (ближе к истинным значениям), чем рестриктивные. Зато хорошо видно, что точность рестриктивных оценок составляющих неучтенных течений заметно выше точности минимаксных оценок.
100 200 300
.5 I-----------.----------.-----------.----------.----------.----------
0 100 200 300 400 500 600
Рис. 4
На рис. 4 приведены ошибки углов горизонтиро-ванияр$Х р$[у платформы ИНС, ошибка курсар$[2 и северная составляющая еХ угловой скорости е ухода осей ИНС (кривые 1), их рестриктивные х (кривые
2) и минимаксные хк (кривые 3) фильтрационные оценки. Видно, что рестриктивные и минимаксные оценки углов горизонтирования платформы ИНС примерно одинаковы, но минимаксные оценки курса более точны (ближе к истинным значениям), чем рестриктивные. В оценке северной составляющей угловой скорости ухода осей ИНС преимущество оказывается на стороне минимаксной фильтрации.
Рис. 6
На рис. 6 представлены аномалии северной gx и восточной gy составляющих ускорения силы тяжести (аномалии гравитационного поля) и ошибки ах, ау «северного» и «восточного» акселерометров (кривые 1), их рестриктивные хг (кривые 2) и минимаксные х (кривые 3) фильтрационные оценки. Видно, что сравнительно медленно изменяющиеся гравитационные аномалии лучше оцениваются минимаксным фильтром. Быстро изменяющиеся ошибки акселерометров просто усредняются обоими фильтрами (не оцениваются).
Рис. 7
На рис. 7 приведены абсолютные значения ошибок фильтрации широты, отшествия, северной и восточной составляющих скорости судна при обработке навигационной информации (показаний ОЛ) рестриктивным (кривые 1) и минимаксным фильтром (кривые 2). Кривые соответствуют рис. 3. Видно, что оба фильтра хорошо демпфируют шулеров-ские колебания, но точность рестриктивного фильтра несколько выше при оценке широты и заметно ниже при оценке долготы. Зато скорость рестриктивный фильтр оценивает значительно точнее, чем минимаксный.
Ошибки фильтрации рестриктивный фильтр • 1, фильтр Калмана • 2
100 200 300 400 500 600
Рис. 8
На рис. 8 приведены абсолютные значения ошибок фильтрации углов горизонтирования платформы ИНС, курса и северной составляющей угловой скорости ухода осей ИНС при обработке показаний ОЛ рестриктивным (кривые 1) и минимаксным фильтром (кривые 2). Кривые соответствуют рис. 4. Видно, что углы горизонтиро-вания платформы ИНС лучше оцениваются рестриктивным фильтром (ошибки оценок этих углов ниже у рестриктивного фильтра), но ошибки оценивания курса меньше у минимаксного фильтра. Шулеровские колебания оба фильтра демпфируют хорошо. В оценке северной составляющей угловой скорости ухода осей ИНС преимугцество имеет минимаксный фильтр.
Ошибки фильтрации: рестриктивный фильтр -1, фильтр Калмана - 2
Рис. 9
На рис. 9 приведены абсолютные значения ошибок фильтрации восточной и вертикальной составляющих угловой скорости ухода осей ИНС, северной и восточной составляющих скоростей течений при обработке показаний относительного лага рестриктивным (кривые 1) и минимаксным фильтром (кривые 2). Кривые соответствуют рис. 5. Видно, что указанные составляющие угловой скорости ухода платформы ИНС существенно лучше оцени-214
ваются минимаксным фильтром. Скорости же течений значительно лучше оценивает рестриктивный фильтр, чем минимаксный (поскольку рестриктивный фильтр оценивает неопределенные ограниченные ускорения течений, пропорциональные и, а минимаксный фильтр их не оценивает).
Рис. 10
На рис. 10 приведены абсолютные значения ошибок фильтрации горизонтальных составляющих гравитационных аномалий и ошибок акселерометров при обработке показаний относительного лага рестрик-тивньгм (кривые 1) и минимаксньгм фильтром (кривые 2). Кривые соответствуют рис. 6. Видно, что гравитационные аномалии несколько лучше оцениваются минимаксным фильтром. Ошибки фильтрации ошибок акселерометров одинаковы и равны самим ошибкам акселерометров (показаний относительного лага недостаточно для их оценивания).
Моделирование проводилось при следующих исходных данных: географическая широта точки старта фо=п/3; курс К=п/2 (движение по параллели); скорость судна У=30 км/ч; радиус пространственной корреляции гравитационного поля Яо=10 км; стандартное отклонение неоднородностей гравитационного поля Оо=10-50; радиус пространственной корреляции скоростей течений Яс.р=10 км; постоянная времени скоростей изменчивых течений 1/аср=1 ч; стандартное отклонение скоростей течений Оср=0,3 км/ч; постоянная времени ухода осей ИНС 1/аЕ=5 ч; стандартное отклонение скоростей ухода осей ИНС Ое=10- рад/ч; время корреляции шума акселерометров 1/04=0,05 ч; стандартное отклонение шума акселерометров (в единицах ускорения силы тяжести) оА=10~60; стандартное отклонение ошибок относительного лага Оот=0,05 км/ч. Начальная выставка всех параметров НК - точная.
Приведенные выше результаты обработки показывают, что оба фильтра (и рестриктивный фильтр, и минимаксный фильтр Калмана) достаточно хорошо демпфируют шулеровские колебания ошибок счисления, оба фильтра почти одинаково хорошо оценивают широту, но рестриктивный фильтр чаще правильно оценивает вектор и нестохастических возмущений (оценки сосредоточены вблизи истинных значений, а в 70-80 % случаев совпадают с ними) и в связи с этим значительно точнее (в 2-3 раза) оценивает скоростные компоненты вектора основных навигационных параметров. Минимаксный фильтр Калмана зато лучше оценивает такие позиционные параметры, как долгота и курс.
Все приведенные рисунки взяты непосредственно с экрана компьютера.
1. Попеко Г.Н., Саломатин Е.П. Навигация. Курс кораблевождения. Т. 1. Л.: Изд-во УГС ВМФ СССР, 1961. 680 с.
2. ЮщенкоА.П., ЛесковМ.М. Навигация. М.: Транспорт, 1965. 410 с.
3. Андреев В.Д. Теория инерциальной навигации. Автономные системы. М.: Наука, 1966. 580 с.
4. Андреев В.Д. Теория инерциальной навигации. Корректируемые системы. М.: Наука, 1967. 648 с.
5. Броксмейер Ч.Ф. Системы инерциальной навигации. Л.: Судостроение, 1967.
6. Горенштейн Н.А., Шульман И.А. Инерциальные навигационные системы. М.: Машиностроение, 1970.
7. Инерциальная навигация. Анализ и проектирование / Под ред. К.Ф. О'Доннела. М.: Наука, 1969.
8. Инерциальные системы управления / Под ред. Д. Питтмана. М.: Воениздат, 1968.
9. Развитие механики гироскопических и инерциальных систем. М.: Наука, 1973.
10. Климов Д.М. Инерциальная навигация на море. М.: Наука, 1984. 116 с.
11. Фролов В.С. Самолетовождение с помощью приборов инерциальной навигации. М.: Транспорт, 1976.
12. Ривкин С.С. Теория гироскопических устройств. Ч. 1. Л.: Судпромгиз, 1962.
13. Ривкин С.С. Теория гироскопических устройств. Ч. 2. Л.: Судостроение, 1964.
14. Селезнев В.П. Навигационные устройства. М.: Машиностроение, 1974.
15. РойтенбергЯ.Н. Гироскопы. М.: Наука, 1966.
16. Свешников А.А., Ривкин С.С. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов. М.: Наука, 1974.
17. Fagin S.Z. A unified approach to the error analysis of augmented dynamically exact inertial navigation systems // IEEE Trans. 1964. ANE-11. № 4. P. 234—248.
18. BonaB.E., SmayR.T. Optimum reset of ship's inertial navigation systems // IEEE Trans. 1966. AES-2. № 4. P.409-414.
19. Ferraro A., Zucifredi A. Due esempi di applicazione del filtro di Kalman ad equiggiamenti integrati di navigazione // Tecnica Italiana. 1971. Vol. 36. № 5. P. 163-168.
20. Лукьянов Д.П. и др. Инерциальные навигационные системы морских объектов. Л.: Судостроение, 1989. 182 с.
21. Челпанов И.Б. Оптимальная обработка сигналов в навигационных системах. М.: Наука, 1967. 392 с.
22. Беляев Б.Н., Болдырев В.С. Применение теории случайных функций к изучению морских течений // Океанология. 1963. Вып. 6. С. 953-961.
23. Игнатова А.А., Тюменцева Г.В., Якушенков А.А. Оптимальная обработка с помощью фильтров Калмана показаний гирокомпаса // Труды ЦНИИМФ. Судовождение и связь. 1973. Вып. 173. С. 22-27.
24. Квазиус Г., Маккэнлесс Ф. Проектирование систем астронавигации. М.: Мир, 1970.
25. Якушенков А.А. и др. Автоматизация судовождения. М.: Транспорт, 1967. 363 с.
26. Ривкин С.С., Ивановский Р.И., Костров А.В. Статистическая оптимизация навигационных систем. Л.: Судостроение, 1976. 280 с.
27. Ривкин С.С. Статистический анализ гироскопических устройств. Л.: Судостроение, 1970.
28. Ривкин С.С. Метод оптимальной фильтрации Калмана и его применение в инерциальных навигационных системах (Обзор отечественной и зарубежной литературы). Ч. 1. Л.: Судостроение, 1973. 144 с.
29. Ривкин С. С. Метод оптимальной фильтрации Калмана и его применение в инерциальных навигационных системах (Обзор отечественной и зарубежной литературы). Ч. 2. Л.: Судостроение, 1974. 154 с.
30. Поддубный В. В. Методы инвариантного погружения и аппроксимации в рестриктивных задачах управления и фильтрации. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1993. 276 с.
31. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977. 392 с.
32. Пропой А.И. Элементы теории оптимальных дискретных процессов. М.: Наука, 1973. 256 с.
33. Дмитриев С.П. Высокоточная морская навигация. СПб.: Судостроение, 1991. 224 с.
34.Медич Дж. Статистически оптимальные линейные оценки и управление. М.: Энергия, 1973. 440 с.
35.MagillD.T. Optimal adaptive estimation of sampled stochastic processes // IEEE Trans. 1965. Vol. AC-10. №. 4. P. 434^39.
36. Jazwinski A.H. Adaptive filtering //Automatica. 1969. Vol. 5. № 4. P. 475-485.
37. Jazwinski A.H. Stochastic Processes and Filtering Theory. New York: Academic Press, 1970. P. 518.
38. Язвинский А.Г. Метод адаптивного оценивания // Управление в пространстве. Т. 2. М.: Наука, 1975. С. 38^2.
Статья поступила в научную редакцию номера 3 декабря 2001 г.
