CC BY
29
УДК 621.396.98
ОБ ИНЕРЦИАЛЬНЫХ НАВИГАЦИОННЫХ СИСТЕМАХ, КОРРЕКТИРУЕМЫХ ПО РАДИАЛЬНОЙ ИНФОРМАЦИИ1
© 2008 А.С. Девятисильный, К.А. Числов2
В представленной работе показана возможность построения асимптотически устойчивых инерциальных навигационных систем, корректируемых с использованием радиальной информации и обладающих гравиметрическим свойством. Приводятся результаты численного эксперимента.
Ключевые слова: инерциальная навигационная система, численный эксперимент, асимптотически устойчивые ИНС.
Введение
Известно, что использование информации о модуле (г) радиус-вектора места объекта при коррекции инерциальной навигационной системы (ИНС) меняет только свойства ее динамической компоненты, описываемой уравнениями Ньютона (так называемая динамическая группа уравнений — ДГУ — модели ИНС (см. [1])). При этом возможны следующие варианты: 1) исходно неустойчивая при любом движении объекта трехкомпонентная (по числу функциональных ньютонометров, или акселерометров [2]) ИНС, или 3D-ИНС, становится неасимптотически устойчивой по ДГУ, если указанная информация (далее г-информация) при движении объекта по сфере, концентрической с Землей, используется в алгоритме работы 3D-ИНС исключительно для формирования модели напряженности гравитационного поля Земли (GE-поля); 2) 3D-ИНС становится асимптотически устойчивой по ДГУ при произвольном движении объекта [3], если задача коррекции
1 Представлена доктором физико-математических наук, профессором Ю.Н. Радаевым.
2 Девятисильный Александр Сергеевич (devyatis@iacp.dvo.ru), Числов Кирилл Александрович (kirillche@rambler.ru), Институт автоматики и процессов управления, 690041, Россия, г. Владивосток, ул. Радио, 5.
ставится как обратная задача, например, в форме уравнений ’’состояние-измерение”; 3) 3D^HC преобразуется в 2D^HC с горизонтируемой приборной платформой в случае r = const и использования r-инфомации для формировании модели GE-поля, при этом 2D^HC унаследует от 3D^HC только свойство неасимптотической устойчивости [1].
В настоящей работе дается дальнейшее развитие представлений о роли r-инфомации в задаче коррекции ИНС.
1. Основные модели
Обратимся к уравнениям функционирования 3D^HC в гамильтоновой форме, ограничиваясь, как и в [3], только ДГУ
где Єік}- — псевдотензор Леви—Чивита, q = (д,), р = (р,), ю = (ш,), О = (О-), Р = (¥і ) — соответственно векторы координат, импульсов, абсолютной угловой скорости вращения горизонтируемой приборной платформы, напряженности гравитационного поля и удельных сил негравитационной природы в проекциях на оси жестко связанного с платформой приборного трехгранника (обозначим его через оу = оу\У2Уъ)• Далее, не нарушая общности, примем, что оу является физической моделью географически ориентированного трехгранника, т.е. в идеальном случае его ось оуі направлена на Восток, оу2 — на Север, оуз — по вектору q. Следует также обратить внимание на то, что в (1.1), как и всюду в настоящей работе, устанавливается правило суммирования по повторяющимся индексам.
Напомним [3], что модель обратной 3D-задачи (или задачи коррекции 3D-ИНС), целью решения которой является оценка шести фазовых координат системы (1.1), формируется при условии, что доступна измерению величина ^| = дз = г, т.е. имеет место измерение
где е — инструментальная погрешность измерителя. Собственно говоря, совокупность уравнений (1.1) и (1.2) и декларирует модель этой задачи.
Формальный переход к схеме 2D^HC выполним, если объект движется по траектории, для которой r = const — известная величина, измеряемая в соответствии с (1.2). Тогда, учитывая (1.2) при формировании в (1.1) модели напряженности гравитационного поля (далее будем считать его центральным), а также полагая в (1.1) i = 1,2, получим уравнения функционирования 2D^HC, которые, как уже отмечалось выше, неасимптотически устойчивы. Соответствующие уравнения эволюции динамической груп-
q i = eikj^kq j + pi, qi(0) = qi,0,
pi = -e,kj(ükpj + Gi(q) + Fi, p, (0) = p,,0,
(1.1)
J = r + є,
(1.2)
пы погрешностей 2D^HC принимают вид
bqi = -eikjmkbqj + bpi - eikjvkqj, bqi(0) = bqi,o, bpi = -eikj^kbpj - №2bqi + fi - eikjVkPj, bpi(0) = bpi,o,
(1.з)
где Шо = (^/r3)1/2 — частота Шулера; ^ — гравитационный параметр Земли; Vk, к = 1,3 — инструментальные погрешности гироскопических измерителей; fi,i = 1,2 — инструментальные погрешности ньютонометров. Дополнительно уточним, что в соответствии с вышеизложенной процедурой перехода к схеме 2D^HC в уравнениях (1.3) следует считать, что qi = q2 = 0, дз = r, бдз = е, pi = №2r, Р2 = —Ш1 r, рз = 0; заметим также, что в силу данного ранее определения трехгранника значения 6qi и 6q2 связаны с компонентами вектора малого угла у = (yi, У2)Т, на который плоскость o_yi_y2 (платформа) уклоняется от нормального к вектору q (горизонтального) положения, следующими соотношениями: yi = 6q2/r, y2 = — Sqi/r.
Изложенным, по сути, исчерпывается существующий взгляд на роль радиальной информации при формировании 2D-ИНС.
Вместе с тем необходимо также отметить, что геометрическое условие на траекторию (r = const), столь важное при трансформировании 3D^HC в 2D^HC, может быть дополнено не рассматриваемым прежде физическим условием — равенством нулю суммы проекций на радиус-вектор q всех сил, действующих на объект, что формально записывается следующим образом:
где bij — символ Кронекера.
Учет условия (1.4) —это качественно новый взгляд на 2D-ИНС. Действительно воспроизводство условия (1.4) на основе представлений о движении объекта, формируемых 2D-ИНС с учетом измерения (1.2), и представлений о подъемной силе Fз приводит к текущей невязке вида:
которую можно интерпретировать как измерение, что дает основание рассматривать (1.3) и (1.5) в качестве модели обратной задачи для получения текущих оценок динамической группы погрешностей 2D-ИНС. Входящая в (1.5) величина /3 — погрешность представлений об удельной силе Fз, и это может быть инструментальная погрешность ньютонометра, соосного с инструментальной осью о_уз и измеряющего Fз (полагая, что только этим и ограничивается его роль в ИНС, назовем такой ньютонометр нефункциональным), но это может быть и флюктуация значения подъемной силы Fз около некоторого априорно оцененного ее значения вдоль траектории движения объекта. Кроме того, величина g в (1.5) далее будет отождествляться с аномалией значения напряженности GE-поля.
Для завершения постановки обсуждаемой задачи необходимо принятие адекватных реальным физическим ситуациям гипотез об аномалии g и о погрешностях измерений V, Г, е, так как в конечном итоге от этого зависит
W = bijqip j = 0,
(1.4)
bW = ш2Ьpi - ш1bp2 + 2œ0є + g + /з + œ^r + œ2v2r, (1.5)
вид оцениваемого вектора состояния (s), его размерность, d(s) и сложность алгоритма решения. Из возможных гипотез укажем на две следующие.
Первая гипотеза. Пусть g = 0, а погрешности v, f, е — случайные процессы типа Гауссовского белого шума. Последнее может быть принято с тем большим основанием, чем меньше времена корреляции реальных физических процессов по сравнению с шулеровским периодом То = 2п/шо. Вектор состояния такой задачи (назовем ее базовой)— s = (6qi,6pi,6q2,6p2)T — имеет минимально возможную размерность d(s) = 4. Соответствующая этому случаю ИНС является корректируемой по ДГУ 2D-ИНС с нефункциональным, третьим, ньютонометром, участвующим в формировании невязки (1.5).
Вторая гипотеза. Пусть v — вектор некоррелированных между собой гауссовских белых шумов с интенсивностями, равными о2; g = consti, е = const2; /з—марковский процесс первого порядка со сносом и диффузией, характеризуемыми парой (X, о), так что /3 = —Х/з + ^¡2Хои, где и — несмещенный гауссовский белый шум единичной интенсивности; fi = f = 0. Отметим, что принимаемая модель процесса f3(t) актуальна для случая, когда в качестве нефункционального ньютонометра используется традиционный гравиметр [4], для которого характерны весьма малые значения параметров X и о. В особом комментарии нуждается также модель fi = f2 = 0, которая актуальна, строго говоря, в единственном физически реальном случае — неподвижного (относительно Земли) основания, когда из схемы ИНС допустимо исключение и оставшихся двух планарных ньютонометров. Обозначим такую схему, как ZD-ИНС (Z—от английского ”zero”). Вводя новую переменную a = 2шЗе + g, имеем a = 0, s = (6qi,6pi,6q2,6p2,f3,a)T, d(s) = 6.
Следующим за математической постановкой задачи шагом является проверка ее — постановки — корректности, здесь отождествляемой с проверкой выполнения условия наблюдаемости системы (1.3), (1.5). Суть условия в невырожденности калмановской матрицы наблюдаемости [5]. Его выполнение означает возможность построения как вычислительно устойчивых точечных (например, метода наименьших квадратов — МНК), так и асимптотически устойчивых динамических алгоритмов оценивания вектора состояния (например, калмановского фильтра [5]).
Незначительно ограничивая область исследования, далее будем иметь в виду только движение объекта по произвольным географическим параллелям с постоянной относительно Земли линейной скоростью, когда Ш = const. Для этого важного класса движений матрица наблюдаемости N = (Nij) для базовой модели задачи размерности d(s) = 4 представляется следующими элементами:
Nii = Ni3 = N i4 = N22 = N23 = N3i = N34 = N42 = N43 = 0;
0 0 0 N i2 = Ш2; N2i = —Ш0Ш2; N24 = Ш2Ш3; N32 = — Ш2(Ш0 + ш3);
2 0 0 0 0 0 N33 = —2ш0ш2ш3; N4i = — ш3ш2(ш3 — 3ш3); N44 = —ш2ш3(3ш2 + ш2).
Анализ калмановской матрицы высвечивает следующие случаи принципиальной неразрешимости рассматриваемой задачи: 1) = 0 — объект на-
ходится на одном из географических полюсов Земли, при этом измерения
(5) не содержат информации о векторе состояния 8; 2) ш2 = щз = 0 — объект неподвижен в инерциальной системе отсчета с началом в центре Земли; 3) шз = У2со0, или, что эквивалентно, V + Ш] сое ф = л/2У1^<$>, где V — скорость объекта относительно Земли; VI —значение первой космической скорости; R — радиус Земли, U — значение угловой скорости собственного вращения Земли; ф — географическая широта; как видим, последний случай с учетом того, что для подавляющего большинства морских и воздушных объектов v < 1000м/с, возможен только на очень высоких широтах (ф > 85°).
Таким образом, исключая четыре указанных случая, можно говорить о том, что базовая задача размерности d(s) = 4 разрешима.
Аналогичный вывод о разрешимости имеет место и для сформированной выше задачи размерности d(s) = 6; ее весьма существенная особенность проявляется в том, что в число наблюдаемых состояний всегда входят величины и /з. В частности, это означает, что аномалия GE-поля, т.е. величина g, может быть оценена с погрешностью порядка 2ш0е, например, если е = 0.5 м, то 2о>0е ~ 1.5 ■ 10-6 м/с2.
2. Имитационное моделирование
С целью оценки возможностей ИНС, модели которых представлены выше в рамках рассмотренных двух гипотез, были выполены имитационные вычислительные эксперименты, в которых для решения соответствующих обратных задач (или, что то же самое, задач коррекции ИНС) использовался метод динамического обращения в форме калмановского алгоритма [5,6]. Эти эксперименты подтвердили теоретические ожидания относительно разрешимости (наблюдаемости) задач в связи как с определенно выраженной сходимостью (асимптотической устойчивостью), так и достаточно высокой функциональной точностью их численных решений.
В связи с очевидной методологической близостью обеих задач, но большей функциональной полнотой второй из них, представляемой моделью гравиметрической, по сути, ИНС с размерностью вектора состояния d(s) = = 6, ниже предложены графические материалы эксперимента (рис.1-4), относящиеся только к ней.
Эксперимент выполнен в вычислительной среде МаШЬ (версия 7.5) с относительной точностью представления чисел е1 ~ 10-16. Условия, для которых получен предлагаемый графический материал, характеризуются следующими данными: ф = 85° —географическая широта места ZD-ИНС; г = бз71 км; X = 0.008 с-1, о = 10-6 м/с2 [4], /з = 10-4 м/с2; у1 = у2 =
Рис. 1. Эволюция значения Ад1
Рис. 3. Эволюция значения А а
Рис. 2. Эволюция значения Др1
х10 6 А/з, м/с2
Рис. 4. Эволюция значения А/3
= уз = 10 з град/час; е = 1 м; g = 10 з м/с2; 6^(0) = 6д2(0) = 100 м;
6рх(0) = 6р2(0) = 0.05 м/с.
На рисунках через Дд\, Др1, Да, Д/з обозначены погрешности оценивания соответственно величин 6дх, 6рх, а, /з.
Как видно из рисунков, при периоде Шулера 7о = 2л/ш0 ~ 5060 с и постоянной времени нефункционального ньютонометра (гравиметра) т = X-1 = = 125 с установочное время ZD-ИНС Т < 1000 с, причем при г > Т имеют место следующие оценки |Дд1| ^ 0.01 м (или |Д^2| = |Д^11/г ^ 10-7),
|Д Р1| ^ 0.001 м/с (эти оценки справедливы и для величин |Дq2І и |ДР2|), |Да| ^ 10-7 м/с2, |Д/з| ^ 10-7 м/с2.
Для сравнения приведем также оценки для случая функционирования планарных ньютонометров, когда их инструментальные погрешности являются гауссовскими белыми шумами и интенсивностями о/ = о/ = 10-4 м2/с4. Тогда |Дд1 ^ 2 м, |Др11 ^ 5 ■ 10-3 м/с, |Да| ^ 5 ■ 10-7 м/с2, |Д/з| ^ 10-7 м/с2.
Заключение
Таким образом, в работе доказано, что при движении объекта по сфере возможно построение не только устойчивой, но и устойчивой асимптотически по ДГУ 2D-ИНС, дополнительно обладающей и гравиметрическим свойством; более того, на примере случая неподвижного основания показано, что при режиме движения, когда Fi = Fo = 0, для повышения точности решения целесообразно полное отключение планарных функциональных ньютонометров, т.е. преобразование 2D-ИНС в ZD-ИНС.
Литература
[1] Андреев, В.Д. Теория инерциальной навигации. Корректируемые системы / В.Д. Андреев. - М.: Наука, 1967. - 648 с.
[2] Ишлинский, А.Ю. Классическая механика и силы инерции / А.Ю.Иш-линский. - М.: Наука, 1987. - 320 с.
[3] Девятисильный, А.С., ЧисловК.А. // Изв. РАН. ТиСУ. - 2004. - №5 -С. 149-153.
[4] Справочник геофизика. Гравиразведка / ред. Е.А. Мудрецова. - М.: Недра, 1981. - 608 с.
[5] Kalman, R.E. Topics in Mathematical System Theory / R.E. Kalman, P.L.Falb, M.A.Arbib New-York; McGraw-Hill: 1969. - 400 с.
[6] Осипов, Ю.С. Задачи динамического обращения / Ю.С. Осипов, А.В. Кряжемский // Вестник РАН. - 2006. - Т. 76. - С. 615-624.
Поступила в редакцию 18/VIII/2008; Paper received 18/IX/2008.
в окончательном варианте — 18/ VIII/2008. Paper accepted 18/ VIII/2008.
ON INERTIAL NAVIGATION SYSTEMS CORRECTED BY RADIAL INFORMATION3
© 2008 A.S. Devyatisil’niy, K.A. Chislov4
A capability of constructing asymptotically stable INS corrected by radial information and has gravimetrical property is shown. The results of numerical experiment are considered.
Keywords and phrases: inertial navigation system, numerical experiment, asymptotically stable INS.
3Communicated by Dr. Sci. (Phys. & Math.) Prof. Yu.N. Radayev.
4Devyatisil’niy Alexander Sergeevich (devyatis@iacp.dvo.ru), Chislov Kirill Alexandrovich (kirillche@rambler.ru), Institute of Automation and Control Processes, Vladivostok, 690041, Russia.
