CC BY
39
УДК 62-501
К ЗАДАЧЕ ВЫСТАВКИ ИНЕРЦИАЛЬНВЙ НАВИГАЦИОННОЙ СИСТЕМЫ НА НЕПОДВИЖНОМ ОСНОВАНИИ В УСЛОВИЯХ ГРАВИТАЦИОННОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
А. С. Девятисильный, К. А. Числов
Обсуждено погружение задачи пространственной гравиметрии в задачу выставки трехкомпонентной инерциальной навигационной системы. Приведены модели и результаты вычислительного эксперимента.
ВВЕДЕНИЕ
Инерциальные навигационные системы (ИНС) широко применяются для определения линейных и угловых параметров движения объектов различного назначения. Как известно [1, 2], один из источников погрешностей работы ИНС — ошибочные представления о координатах места старта объекта и ориентации системы отсчета, в которой интегрируются модельные уравнения его движения; поэтому предстартовая подготовка ИНС, или ее выставка, рассматривается как необходимый элемент технологии решения навигационной задачи [3].
В настоящей работе в рамках задачи выставки рассматривается проблема гравитационной неопределенности в месте старта объекта. Такая неопределенность, например, имеет место в районах повышенной сейсмической активности, когда в окрестностях (в радиусе до 100 км) очагов землетрясений появляются пространственные аномалии
_3 2
гравитационного поля до 10 м/с , сохраняющиеся на интервалах времени, исчисляемых месяцами и охватывающих периоды как до, так и после землетрясений [4]. Последнее означает, что оценка аномалий имеет, помимо обеспечения стартовых условий для работы ИНС, еще и конверсионное в определенном смысле значение, если рассматривать указанные аномалии в качестве предвестников землетрясений [4] и иных проявлений геофизических процессов [5].
Для определения траектории методом инерциальной навигации (ИНМ) необходимы достаточно полные представления о модели гравитационного поля. Вместе с тем, если траектория может определяться вне этого метода, например с помощью спутниковой навигационной системы (СНС — типа ГЛОНАСС, GPS и т. п.), то в условиях неопределенности представлений о гравитационном поле
в рамках метода инерциальной навигации вполне правомерна постановка задачи об идентификации поля. Именно такая, но локальная (в точке на Земле) задача и рассматривается в предлагаемой работе.
Обращаясь к фундаментальным представлениям, заметим, что речь идет об интерпретации первой (или, как в 1890 г. предложил называть ее Г.К. Суслов, — обратной [6, 7]) задачи механики [1] — определение сил по известной траектории, которая здесь решается методом инерциальной навигации с погружением в него задачи гравиметрии.
1. ОСНОВНЫЕ МОДЕЛИ
Метод инерциальной навигации предполагает моделирование в выбранной системе отсчета уравнений движения материальной точки, с которой отождествляется движущийся объект, — уравнений динамики (Ньютона)
М = :1кМк + Рр м(0) = (1)
рг = :кРк + #-(м) + ", р-(0) = р,о; и к = Гз
и уравнений эволюции системы отсчета — уравнений кинематики (Эйлера — Пуассона)
=I = :1какт, =гт(0) = аш,0’ -,т,к = ГЗ . (2)
В этих уравнениях, записанных в гамильтоновых образах, м = (мг), - = 1 З — радиус вектор текущего положения точки на траектории; р = (р.),
г = 1, З — вектор импульсов, отождествляемый в данном случае с вектором абсолютной скорости точки; : к = ~еук&], еук — оператор (тензор Леви—
Чивита); ю = (ю .), г = 1, З — абсолютная угловая скорость вращения выбранной системы отсчета (далее всюду будем иметь в виду только прямо-
угольные координатные системы); С(м) = (#(м)), г = 1, 3 — вектор напряженности гравитационного поля; " = ("), г = 1, 3 — вектор удельных сил негравитационной природы; А = (а ..), /,_/ = 1, 3 —
У
матрица преобразования векторов из инерциаль-ной системы отсчета, назовем ее о[ = о[1[2[3, в выбранную вращающуюся — от = от1т2т3, так что т = А[; точку о — начало системы отсчета — поместим в центр масс Земли, кроме того, примем, что координатный трехгранник от (с осями, параллельными осям сопровождающего трехгранника) ориентирован географически, т. е. его ось от3 направлена по вектору м, а ось от2 лежит в плоскости географического меридиана места и направлена на север; здесь и далее действует правило Эйнштейна — по повторяющимся индексам (у нас только нижним) производится суммирование. Учитывая, что рассматривается случай неподвиж-
т
ного основания, имеем ю = (ю1, ю2, ю3) , где ю1 = О, ю2 = и совф, ю3 = и втф; ф — географическая широта места объекта (пункта гравиметрии); и — значение угловой скорости вращения Земли.
При интегрировании уравнений (1) и (2) полагаются заданными начальные условия (мО, рО, АО), а также текущие значения ю и ", которые измеряются с помощью гироскопов и ньютонометров (акселерометров) — инерциальных приборов, собственно и дающих название методу. Наличие погрешностей в данных и в измерениях ведет к погрешностям интегрирования — 5м, 5р, 5А, уравнения эволюции которых в линейном приближении с учетом вида уравнений (1) и (2) можно представить следующим образом:
5м = + 5р + н(о) = (3)
5 Р = + 5#(м) + А + ,Л, 5р(О) = 5^.,о,
Р г = :г£Р£ + у г', Рг = Рг,О, Е = 1’ 3 ,
где у = (уг) и / = (/г), г = 1, 3 — векторы инструментальных погрешностей гироскопических измерителей и ньютонометров; = ^¿м,; = ЭД-;
Р = (Рг), г = 1, 3 — вектор малого угла, характеризующий погрешность интегрирования кинематических уравнений, так что 5А.* = ^¿Р; погрешность моделирования гравитационного поля 5#(м) — будет обсуждена далее.
Заметим, что инерциальные измерения и интегрирование уравнений (1) и (2) выполняются в осях приборного трехгранника оу = ои1и2и3, жестко связанного с измерительной платформой и являющегося физической моделью трехгранника от, так
что 5м = (5м1, 5м2, 5м3) .
Если доступна информация от СНС о месте объекта (платформы), то сравнение ее с аналогичной информацией, предоставляемой ИНС, приводит к следующим невязкам двух решений:
&м = gMe - -Eg + , (4)
= 5f - + hL
где Wik = Amk-mo®o; hM = (hM ) и hL = (ef ), E = Т 3 -
инструментальные погрешности СНС-измерите-ля, причем ef = :ikek, i, I, k = 1, 3 .
Вернемся теперь к обсуждению погрешности моделирования напряженности гравитационного поля 5G (м). Еще раз обращая внимание на то, что в данной статье основной акцент делается на локальной задаче пространственной гравиметрии, модель напряженности поля можно задать в виде
G.(m) = # = const, i = 1, 3 , тогда
SG;(m) = g, i = ТГ3 , (5)
где g = (gE) — аномалия — отклонение напряженности поля в точке наблюдения от известного значения G = const; примем, что и g = const, ориентируясь, таким образом на достаточно медленные по сравнению с временем наблюдения процессы.
Заметим, что при таком модельном представлении гравитационного поля из уравнений ИНМ исключается шулеровская компонента частоты, что существенно отличает их от традиционных [2, 3], описывающих эволюцию погрешностей работы ИНС. Учитывая только что изложенное и продолжая формирование модели задачи, дополним уравнения (3) уравнениями
g = 0, g(0) = g.^ (6)
Q = -V E + 72OJ v] uV, VE(0) = vi 0,
/. = - + J20' V{uf, /i(0) = До; i = й,
где первые три утверждают гипотезу о неизменности аномалии поля на временном интервале наблюдения, а последние шесть на этом же интервале — гипотезу о погрешностях инерциальных измерителей как о марковских случайных процессах первого порядка, порождаемых белошумными
V /
единичной интенсивности процессами и и и ,
i = 1, 3 ; значения величин O], о{ , v] , v{ полагаются известными. Система дифференциальных и алгебраических уравнений (3) и (4) с учетом уравнений (5) и (6) является формальным описанием обратной задачи, цель решения которой состоит в определении значений совокупности векторов {5м, 5f, E, g, v, /}, отождествляемой далее с вектором состояния т, dimT = 18. Таким образом, задача
гравиметрии погружена в более общую задачу — выставки трехкомпонентной (3D) ИНС на неподвижном основании. Отметим следующее. Если производить гравиметрическую съемку с помощью и баллистического гравиметра [8], измеряющего значение |#|, то можно ограничиться схемой 2D-jHM, сохраняя в качестве идентифицируемых только горизонтальные (^ и g2) составляющие вектора аномалии g. Соответствующие модельные представления 2"-задачи можно сформировать из уже полученных выше, если в последних исключить измерения &з и &L и уравнения эволюции значений 8m3, 5l3, g3 и /3, а в оставшихся аннулировать члены, содержащие указанные переменные. Завершение формальной постановки обратной задачи требует проверки ее, постановки, корректности, или анализа разрешимости задачи. Современная теория систем [9] отождествляет проблему разрешимости с проблемой наблюдаемости, суть которой состоит в установлении соответствия между размерностью базиса пространства образов оператора задачи и размерностью декларируемого вектора желаемого решения. Строго (если точно придерживаться представлений Ж. Адамара о корректности [10]), с учетом ориентации способа решения на современные вычислительные средства и конечную точность представления чисел в них, следует иметь в виду и необходимость процедурной поддержки указанного соответствия (т. е. обеспечения численной устойчивости решения), если принципиально таковое установлено.
Как показал анализ рассматриваемой здесь задачи (он включает в себя стандартную процедуру построения базиса пространства, порожденного оператором задачи), требуемое соответствие имеет место и нарушается только в одном случае — когда вектор угловой скорости z вращения Земли лежит на оси кт3, т. е. когда пункт наблюдения расположен на одном из географических полюсов Земли. Достаточно полное количественное представление
об обусловленности задачи может быть получено, если перейти к конечномерной форме модели задачи в виде, декларирующем ее как задачу метода наименьших квадратов (МНК), а именно:
PG
&(G) = $ф\ + Я|Ф(Р, t)v(t)@t + e(G),
0
G = 0;*, (7)
где G — номер цикла измерений, выполняемого в момент времени PG = GD, G = 0, *, D = const, так что 0 = *D и PG е [0, 0 ]; т0 — начальное значение вектора состояния (т) системы ((3) и (6)), dimx = 18; Ф(Р, т) — фундаментальная матрица решений, соответствующая системе ((3) и (6)), так что )(PG) =
= фЛ “ 1) = фЛ; у(&) — вектор случайных возмущений в правых частях уравнений (3) и (6), Шту(&) = = Штх, причем только шесть последних компонент вектора у(&) отличны от нуля; /(Л) = /(РЛ) —
вектор измерений с компонентами (РЛ) и /? (РЛ),
/ = 1, 3 ; Н — матрица коэффициентов при переменных состояния в модели измерений (4); е(Л) = = е(РЛ) — вектор инструментальных погрешностей
измерений с компонентами ем (РЛ) и е^ (РЛ), / = 1, 3 .
Вместе с тем непосредственное решение рассматриваемой в настоящей работе задачи наиболее просто реализуется в виде хорошо известной [11] калмановской оценки состояния дискретного процесса с моделью
х(& + 1) = Фх(&) + х(Л), т(0) = т0, (8)
/(Л + 1) = Нт(к + 1) + е(Л + 1),
где задействованы ранее введенные при формировании модели (7) обозначения.
2. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ
При проведении вычислительных экспериментов ставились две цели — оценка разрешимости рассматриваемой задачи в условиях конечной точности представления чисел в ЭВМ, для чего использовалась модель (7), и проверка эффективности калмановской процедуры решения (8).
Отметим, что все эксперименты проводились на ЭВМ с относительной точностью вычислений
е1 = 10-50 [12]. Для достижения первой цели выполнены сингулярные разложения матричного опера-
lg(p)
Рис. 1. Значения чисел обусловленности оператора модели (7):
1 — исходная обусловленность; 2 — обусловленность нормированного оператора
Рис. 2. Графики эволюций погрешностей Аgi, 1 = 1, 3
Рис. 3. Графики эволюций погрешностей Аqi, 1 = 1, 3
тора модели (7) при различных N (при Н = 100 с) и определены значения его числа обусловленности р(*).
График 1вр(*) приведен на рис. 1 под номером 7; ниже расположен график 2 для нормированного по столбцам матричного оператора модели (7), характеризующий практически предельные возможности улучшения обусловленности задачи методом преобразования исходных переменных состояния. Достоверность графиков обеспечивается высокой степенью точности представления в ЭВМ матрицы Ф, как матричной экспоненты, легко разлагаемой в степенной ряд требуемой для подтверждения этой
точности длины. Как видно из рис. 1 имеет место плохая обусловленность задачи, и для уверенного устойчивого ее решения в случае, например, применения обобщенного МНК (с взвешиванием измерений) обычно практикуемой в ЭВМ относительной точности вычислений е1 | 10-16 у 10-19 [12] было бы явно недостаточно и потребовалось бы ее значительное повышение. Здесь становится понятной и причина, по которой и само исследование обусловленности выполнено при повышенной относительной точности е1.
Такая обусловленность задачи указывает также на то, что для получения приемлемых по точности
дрх10 5
0 1000 2000 3000 4000 N
Рис. 4. Графики эволюций погрешностей Ар., 1 = 1, 3
Рис. 5. Графики эволюции СКП оценки параметров 1 = 1, 3
Рис. 6. Графики эволюции СКП оценки параметров 1 = 1, 3
Рис. 7. Графики эволюции СКП оценки параметров р., 1 = 1, 3
решений ее в условиях стохастических возмущений потребовалось бы значительное число (*) циклов измерений. Оба эти положения — необходимость снижения значения е1 и увеличения числа N — подтвердились и в ходе вычислительных экспериментов с участием калмановского алгоритма оценивания. Рис. 2—7 представляют один из этих экспериментов для случая, когда ф = 450, Н = 20 с, среднеквадратические значения погрешностей
(СКП) СНС-измерений аМ = 0,1 м, / = 1, 3 ; а значения величин, характеризующие инструментальные погрешности инерциальных измерителей,
суть 0 = 10 5 с 1, о{ = 10 6 с 1, а^ = 5-10 9 с 1 (или
0,00Г/ч), а{ = 10_6 м/с2. На рис. 2—4 представлены графики эволюций погрешностей (д^, "м и дрЕ,
/ = 1, 3) оценивания переменных состояния (сЕ, 8^.
и рЕ, / = 1, 3), а на рис. 5—7 графики СКП (аС, аМ,
аЕ , / = 1, 3) их оценивания; номера графиков соответствуют индексам переменных. В целом, что видно из рис. 2—7, выполненные исследования проблемы погружения задачи 3Б-гравиметрии в более общую задачу указывают на достаточную эффективность и актуальность такого подхода.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Дана интерпретация первой задачи механики, ориентированная на решение задачи 3Б-грави-метрии в рамках метода инерциальной навигации; представлены ее модели с указанием отличительных черт; выполнены теоретико-численные исследования, результаты которых указывают, несмотря на плохую обусловленность задачи, на реальность ее решения.
ЛИТЕРАТУРА
1. Сшлияский А. Классическая механика и силы инерции. — М.: Наука, 1987. — 320 с.
2. Аяд—еев Д. Д. Теория инерциальной навигации (корректируемые системы). — М.: Наука, 1967. — 648 с.
3. Сяе—^иальяая навигация. Анализ и проектирование / Под ред. К. Ф. О’Доннела. — М.: Наука, 1969. — 648 с.
4. Сваяов Д. Д. Изменение гравитационных аномалий при сильнейших землетрясениях // Морские исследования и технологии изучения природы Мирового океана. Вып. 1: Сб. ст. — Владивосток: ДВО РАН, 2005. — С. 60—68.
5. Л—имеяеяие гравиинерциальных технологий в геофизике / Сб. статей и докл. — СПб.: ГНЦ РФ — ЦНИИ «Электроприбор», 2002. — 199 с.
6. Суслов У К. О силовой функции, допускающей данные интегралы. — Киев, 1890. — 90 с.
7. Уалиуллия А. С. Обратные задачи динамики. — М.: Наука, 1981. — 143 с.
8. А—яоутов У Л. Результаты международных метрологических сравнений абсолютных лазерных баллистических гравиметров // Автометрия. — 2005. — Т. 41, — 5. — С. 126—136.
9. ^алмая Р., Фал£ М., А—£и£ М Очерки по математической теории систем. — М.: Мир, 1971. — 400 с.
10. Уихояов А. 1., А—сеяия Д. Я. Методы решения некорректных задач. — М.: Наука, 1972. — 223 с.
11. Меди^ Дж. Статистически оптимальные оценки и управление. — М.: Энергия, 1973. — 440 с.
12. Малышев А. 1. Введение в вычислительную линейную алгебру. — Новосибирск: Наука, 1991. — 229 с.
© (4252; 57-55-49
е-1шУ: @еуи=Р/о@шср.@^о.га
£ш//сНе@га1>/ег.га □
