CC BY
38
УДК 621.396.98
ОБ ИНЕРЦИАЛЬНЫХ НАВИГАЦИОННЫХ СИСТЕМАХ, КОРРЕКТИРУЕМЫХ ПО РАДИАЛЬНОЙ ИНФОРМАЦИИ1
© 2008 А.С. Девятисильный, К.А. Числов2
В представленной работе показана возможность построения асимптотически устойчивых инерциальных навигационных систем, корректируемых с использованием радиальной информации и обладающих гравиметрическим свойством. Приводятся результаты численного эксперимента.
Ключевые слова: инерциальная навигационная система, численный эксперимент, асимптотически устойчивые ИНС.
Введение
Известно, что использование информации о модуле (г) радиус-вектора места объекта при коррекции инерциальной навигационной системы (ИНС) меняет только свойства ее динамической компоненты, описываемой уравнениями Ньютона (так называемая динамическая группа уравнений — ДГУ — модели ИНС (см. [1])). При этом возможны следующие варианты: 1) исходно неустойчивая при любом движении объекта трехкомпонентная (по числу функциональных ньютонометров, или акселерометров [2]) ИНС, или 3D-ИНС, становится неасимптотически устойчивой по ДГУ, если указанная информация (далее г-информация) при движении объекта по сфере, концентрической с Землей, используется в алгоритме работы 3D-ИНС исключительно для формирования модели напряженности гравитационного поля Земли (GE-поля); 2) 3D-ИНС становится асимптотически устойчивой по ДГУ при произвольном движении объекта [3], если задача коррекции
1 Представлена доктором физико-математических наук, профессором Ю.Н. Радаевым.
2 Девятисильный Александр Сергеевич (devyatis@iacp.dvo.ru), Числов Кирилл Александрович (kirillche@rambler.ru), Институт автоматики и процессов управления, 690041, Россия, г. Владивосток, ул. Радио, 5.
ставится как обратная задача, например, в форме уравнений "состояние-измерение"; 3) SD-ИНС преобразуется в 2D^HC с горизонтируемой приборной платформой в случае r = const и использования r-инфомации для формировании модели GE-поля, при этом 2D^HC унаследует от 3D^HC только свойство неасимптотической устойчивости [1].
В настоящей работе дается дальнейшее развитие представлений о роли r-инфомации в задаче коррекции ИНС.
1. Основные модели
Обратимся к уравнениям функционирования 3D^HC в гамильтоновой форме, ограничиваясь, как и в [3], только ДГУ
где — псевдотензор Леви—Чивита, q = (д,), р = (р,), ю = (ш,), О = (О;), Р = (Е;) — соответственно векторы координат, импульсов, абсолютной угловой скорости вращения горизонтируемой приборной платформы, напряженности гравитационного поля и удельных сил негравитационной природы в проекциях на оси жестко связанного с платформой приборного трехгранника (обозначим его через оу = оуууз). Далее, не нарушая общности, примем, что оу является физической моделью географически ориентированного трехгранника, т.е. в идеальном случае его ось оух направлена на Восток, оу2 — на Север, оуз — по вектору q. Следует также обратить внимание на то, что в (1.1), как и всюду в настоящей работе, устанавливается правило суммирования по повторяющимся индексам.
Напомним [3], что модель обратной 3D-задачи (или задачи коррекции 3D-ИНС), целью решения которой является оценка шести фазовых координат системы (1.1), формируется при условии, что доступна измерению величина = дз = г, т.е. имеет место измерение
где е — инструментальная погрешность измерителя. Собственно говоря, совокупность уравнений (1.1) и (1.2) и декларирует модель этой задачи.
Формальный переход к схеме 2D^HC выполним, если объект движется по траектории, для которой r = const — известная величина, измеряемая в соответствии с (1.2). Тогда, учитывая (1.2) при формировании в (1.1) модели напряженности гравитационного поля (далее будем считать его центральным), а также полагая в (1.1) i = 1,2, получим уравнения функционирования 2D^HC, которые, как уже отмечалось выше, неасимптотически устойчивы. Соответствующие уравнения эволюции динамической груп-
qi = -eikj^kqj + Pi, qi (0) = qi,o, p i = -eikj^kPj + Gi(q) + Fi, pi (0) = pi,o,
(1.1)
J = r + е,
(1.2)
пы погрешностей 2D-ИНС принимают вид
öqi = -eikj(ükbqj + bpi - eikjvkqj, 5q;(0) = öq^, öpi = -eikjmöPj - (ü20öqi + fi - eikjVkPj, öpi(0) = öpw, '
где Шо = (M-/r3)i/2 — частота Шулера; ^ — гравитационный параметр Земли; Vk, k = 1,3 — инструментальные погрешности гироскопических измерителей; fi,i = 1,2— инструментальные погрешности ньютонометров. Дополнительно уточним, что в соответствии с вышеизложенной процедурой перехода к схеме 2D-ИНС в уравнениях (1.3) следует считать, что qi = q2 = 0, q3 = r, öq3 = e, pi = Ш2Г, p2 = -Wir, p3 = 0; заметим также, что в силу данного ранее определения трехгранника значения öq1 и öq2 связаны с компонентами вектора малого угла у = (yi, У2)Г, на который плоскость oyiy2 (платформа) уклоняется от нормального к вектору q (горизонтального) положения, следующими соотношениями: yi = öq2/r, У2 = -öqi/r.
Изложенным, по сути, исчерпывается существующий взгляд на роль радиальной информации при формировании 2D-ИНС.
Вместе с тем необходимо также отметить, что геометрическое условие на траекторию (r = const), столь важное при трансформировании 3D-ИНС в 2D-ИНС, может быть дополнено не рассматриваемым прежде физическим условием — равенством нулю суммы проекций на радиус-вектор q всех сил, действующих на объект, что формально записывается следующим образом:
W = öijqip j = 0, (i'4)
где öij — символ Кронекера.
Учет условия (1.4) —это качественно новый взгляд на 2D-ИНС. Действительно воспроизводство условия (1.4) на основе представлений о движении объекта, формируемых 2D-ИНС с учетом измерения (1.2), и представлений о подъемной силе F3 приводит к текущей невязке вида:
öW = W2öpi - wiöp2 + 2w0e + g + f3 + Wivir + W2v2r, (i.5)
которую можно интерпретировать как измерение, что дает основание рассматривать (1.3) и (1.5) в качестве модели обратной задачи для получения текущих оценок динамической группы погрешностей 2D-ИНС. Входящая в (1.5) величина f —погрешность представлений об удельной силе F3, и это может быть инструментальная погрешность ньютонометра, соосного с инструментальной осью oy3 и измеряющего F3 (полагая, что только этим и ограничивается его роль в ИНС, назовем такой ньютонометр нефункциональным), но это может быть и флюктуация значения подъемной силы F3 около некоторого априорно оцененного ее значения вдоль траектории движения объекта. Кроме того, величина g в (1.5) далее будет отождествляться с аномалией значения напряженности GE-поля.
Для завершения постановки обсуждаемой задачи необходимо принятие адекватных реальным физическим ситуациям гипотез об аномалии g и о погрешностях измерений v, f, e, так как в конечном итоге от этого зависит
вид оцениваемого вектора состояния (s), его размерность, d(s) и сложность алгоритма решения. Из возможных гипотез укажем на две следующие.
Первая гипотеза. Пусть g = 0, а погрешности v, f, е — случайные процессы типа Гауссовского белого шума. Последнее может быть принято с тем большим основанием, чем меньше времена корреляции реальных физических процессов по сравнению с шулеровским периодом To = 2л/шо. Вектор состояния такой задачи (назовем ее базовой)— s = (6qi,6pi,6q2,6p2)T — имеет минимально возможную размерность d(s) = 4. Соответствующая этому случаю ИНС является корректируемой по ДГУ 2D-ИНС с нефункциональным, третьим, ньютонометром, участвующим в формировании невязки (1.5).
Вторая гипотеза. Пусть v — вектор некоррелированных между собой гаус-совских белых шумов с интенсивностями, равными о2; g = consti, е = const2; /з—марковский процесс первого порядка со сносом и диффузией, характеризуемыми парой (X, о), так что /з = —Х/з + V2Хеш, где и — несмещенный гауссовский белый шум единичной интенсивности; fi = / = 0. Отметим, что принимаемая модель процесса /з(г) актуальна для случая, когда в качестве нефункционального ньютонометра используется традиционный гравиметр [4], для которого характерны весьма малые значения параметров X и о. В особом комментарии нуждается также модель / = /2 = 0, которая актуальна, строго говоря, в единственном физически реальном случае — неподвижного (относительно Земли) основания, когда из схемы ИНС допустимо исключение и оставшихся двух планарных ньютонометров. Обозначим такую схему, как ZD-ИНС (Z—от английского "zero"). Вводя новую переменную a = 2ш2е + g, имеем a = 0, s = (6qi, 6pi, 6q2,6p2,/3,a)T, d(s) = 6.
Следующим за математической постановкой задачи шагом является проверка ее — постановки — корректности, здесь отождествляемой с проверкой выполнения условия наблюдаемости системы (1.3), (1.5). Суть условия в невырожденности калмановской матрицы наблюдаемости [5]. Его выполнение означает возможность построения как вычислительно устойчивых точечных (например, метода наименьших квадратов — МНК), так и асимптотически устойчивых динамических алгоритмов оценивания вектора состояния (например, калмановского фильтра [5]).
Незначительно ограничивая область исследования, далее будем иметь в виду только движение объекта по произвольным географическим параллелям с постоянной относительно Земли линейной скоростью, когда ш = const. Для этого важного класса движений матрица наблюдаемости N = (Nij) для базовой модели задачи размерности d(s) = 4 представляется следующими элементами:
N11 = N13 = N14 = N22 = N23 = N31 = N34 = N42 = N43 = 0;
2 9 9
N12 = Ш2; N21 = -ш0®2; N24 = Ш2Ш3; N32 = -ш2(ш2 + ш2); N33 = -2ш0ш2ш3; N41 = -ш2шг(Шо - 3®3); N44 = -Ш2ш3(3ш2 + ш2).
Анализ калмановской матрицы высвечивает следующие случаи принципиальной неразрешимости рассматриваемой задачи: 1) = 0 — объект находится на одном из географических полюсов Земли, при этом измерения (5) не содержат информации о векторе состояния s; 2) = = 0 — объект неподвижен в инерциальной системе отсчета с началом в центре Земли; 3) СО3 = V2cooj или, что эквивалентно, v + RU cos ф = ^¡2Vi ctg ф, где v — скорость объекта относительно Земли; Vi —значение первой космической скорости; R — радиус Земли, U — значение угловой скорости собственного вращения Земли; ф — географическая широта; как видим, последний случай с учетом того, что для подавляющего большинства морских и воздушных объектов v < 1000м/с, возможен только на очень высоких широтах (ф > 85°).
Таким образом, исключая четыре указанных случая, можно говорить о том, что базовая задача размерности d(s) = 4 разрешима.
Аналогичный вывод о разрешимости имеет место и для сформированной выше задачи размерности d(s) = 6; ее весьма существенная особенность проявляется в том, что в число наблюдаемых состояний всегда входят величины и /э. В частности, это означает, что аномалия GE-поля, т.е. величина g, может быть оценена с погрешностью порядка 2ш0е, например, если е = 0.5 м, то 2о>0е ~ 1-5 ■ 10-6 м/с2.
2. Имитационное моделирование
С целью оценки возможностей ИНС, модели которых представлены выше в рамках рассмотренных двух гипотез, были выполены имитационные вычислительные эксперименты, в которых для решения соответствующих обратных задач (или, что то же самое, задач коррекции ИНС) использовался метод динамического обращения в форме калмановского алгоритма [5,6]. Эти эксперименты подтвердили теоретические ожидания относительно разрешимости (наблюдаемости) задач в связи как с определенно выраженной сходимостью (асимптотической устойчивостью), так и достаточно высокой функциональной точностью их численных решений.
В связи с очевидной методологической близостью обеих задач, но большей функциональной полнотой второй из них, представляемой моделью гравиметрической, по сути, ИНС с размерностью вектора состояния ^ъ) = = 6, ниже предложены графические материалы эксперимента (рис.1-4), относящиеся только к ней.
Эксперимент выполнен в вычислительной среде Matlab (версия 7.5) с относительной точностью представления чисел б1 ~ 10-16. Условия, для которых получен предлагаемый графический материал, характеризуются следующими данными: ф = 85° —географическая широта места ZD-ИНС; г = 6371 км; I = 0.008 с-1, о = 10-6 м/с2 [4], /3 = 10-4 м/с2; = у2 =
Ар, м/с
О 500 1000 1500
Рис. 1. Эволюция значения Ад1
-0.03
О 500 1000 1500
Рис. 2. Эволюция значения Ар1
х10 АГ3, м/с2
О 500 1000 1500
Рис. 3. Эволюция значения Аа
О 500 1000 1500
Рис. 4. Эволюция значения А/3
= у3 = 10 3 град/час; е = 1 м; g = 10 3 м/с2; 6д1(0) = бд2(0) = 100 м; 6р1(0) = 6р2(0) = 0.05 м/с.
На рисунках через Ад1, Ар1, Аа, А/З обозначены погрешности оценивания соответственно величин 6д1, 6р1, а, /3.
Как видно из рисунков, при периоде Шулера Т0 = 2п/ш0 ~ 5060 с и постоянной времени нефункционального ньютонометра (гравиметра) т = Х-1 = = 125 с установочное время ZD-ИНС Т < 1000 с, причем при г > Т имеют место следующие оценки |Адх| ^ 0.01 м (или |А^2| = |Ад1 |/г ^ 10-7), |Арх| ^ 0.001 м/с (эти оценки справедливы и для величин |Ад21 и |Ар2|), |Аа| < 10-7 м/с2, |А/з| < 10-7 м/с2.
Для сравнения приведем также оценки для случая функционирования планарных ньютонометров, когда их инструментальные погрешности являются гауссовскими белыми шумами и интенсивностями о/ = о/ = 10-4 м2/с4. Тогда |Ад11 < 2 м, |Ар11 < 5 ■ 10-3 м/с, |Аа| < 5 ■ 10-7 м/с2, |А/З| < 10-7 м/с2.
Заключение
Таким образом, в работе доказано, что при движении объекта по сфере возможно построение не только устойчивой, но и устойчивой асимптотически по ДГУ 2D^HC, дополнительно обладающей и гравиметрическим свойством; более того, на примере случая неподвижного основания показано, что при режиме движения, когда Fi = F2 = 0, для повышения точности решения целесообразно полное отключение планарных функциональных ньютонометров, т.е. преобразование 2D-ИНС в ZD-ИНС.
Литература
[1] Андреев, В.Д. Теория инерциальной навигации. Корректируемые системы / В.Д.Андреев. - М.: Наука, 1967. - 648 с.
[2] Ишлинский, А.Ю. Классическая механика и силы инерции / А.Ю.Иш-линский. - М.: Наука, 1987. - 320 с.
[3] Девятисильный, А.С., ЧисловК.А. // Изв. РАН. ТиСУ. - 2004. - №5 -С. 149-153.
[4] Справочник геофизика. Гравиразведка / ред. Е.А. Мудрецова. - М.: Недра, 1981. - 608 с.
[5] Kalman, R.E. Topics in Mathematical System Theory / R.E. Kalman, P.L.Falb, M.A.Arbib New-York; McGraw-Hill: 1969. - 400 с.
[6] Осипов, Ю.С. Задачи динамического обращения / Ю.С.Осипов, А.В.Кряжемский // Вестник РАН. - 2006. - Т. 76. - С. 615-624.
Поступила в редакцию 18/ VIII/2008; Paper received 18/IX/2008.
в окончательном варианте — 18/VIII/2008. Paper accepted 18/VIII/2008.
ON INERTIAL NAVIGATION SYSTEMS CORRECTED BY RADIAL INFORMATION3
© 2008 A.S. Devyatisil'niy, K.A.Chislov4
A capability of constructing asymptotically stable INS corrected by radial information and has gravimetrical property is shown. The results of numerical experiment are considered.
Keywords and phrases: inertial navigation system, numerical experiment, asymptotically stable INS.
3Communicated by Dr. Sci. (Phys. & Math.) Prof. Yu.N. Radayev.
4Devyatisil'niy Alexander Sergeevich (devyatis@iacp.dvo.ru), Chislov Kirill Alexan-drovich (kirillche@rambler.ru), Institute of Automation and Control Processes, Vladivostok, 690041, Russia.
