CC BY
14
Физико-математические науки
171
Список литературы:
1. Князьков О.М. Теория ядерных реакций. Курс лекций. - СПбГУ 19951998.
2. Князьков О.М. Взаимодействие нуклонов низких энергий с ядрами в полумикроскопическом подходе // Физика элементарных частиц и атомного ядра. - 1986. - Т 17, Вып. 2. - С. 318-357.
3. Perey C.M., Perey F.G // Atomic Date and Nucl. Date Tables. - 1976. -V 17. - P. 2-101.
4. Greenless GW., Pyle GJ., Tang Y.C. Nuclear-matter radius from a reformulated optical model // Phys. Rev. - 1968. - V 171. - P. 1115-1136.
5. Singh P.P., Schwandt P. Alpha-nucleus elastic scattering // A review. Nu-cleonika. - 1976. - V 21, N. 4. - P. 451-515.
6. Баррет P, Джексон Д. Размеры и структуры ядра. - К.: Наукова думка, 1981. - 420 с.
7. Jackson D.F., Kembhavi VK. Scattering of medium energy alpha-particles. II. Microscopic analysis of elastic scattering // Phys. Rev. - 1969. - V 178, N. 4. -P. 1626.
8. Lemer GM. et al. Energy dependence of elastic a-particle scattering: Microscopic model // Phys. Rev. C. - 1972. - V. 6, N. 4. - P. 1254-1257.
9. Bernstein A.M., Seidler W.A. An alpha-particle optical potential from the denuclear density distribution // Phys. Lett. B. - 1971. - V. 34, N. 7. - P. 569-571.
10. Feshbach H. A unified theory of nuclear reaction // Ann. of. Phys. (New York). - 1958. - V. 5, N. 2. - P. 357-390; 1962. - V. 19. - P. 2287.
11. Singh P.P., Schwandt P, Yang C.C. Folding-model analysis of elastic a-nucleus scattering // Phys. Lett. B. - 1975. - V. 59. - P. 113-117.
12. Барц Б.И., Хомяков Г.К., Шляхов Н.А. К вопросу об аномальном рассеянии a-частиц на большие углы // Изв. АН СССР Сер. физ. - 1980. -Т 44, № 5. - С. 954-956.
СОБСТВЕННЫЕ ЧИСЛА ВОЗМУЩЕННОГО ОПЕРАТОРА С ПОТЕНЦИАЛОМ НА ПРОЕКТИВНОЙ ПЛОСКОСТИ
© Торшина О.А.*
Магнитогорский государственный университет, г. Магнитогорск
В работе рассматривается оператор Лапласа-Бельтрами с потенциалом на проективной плоскости. Изучается связь между характеристи-
Доцент кафедры Прикладной математики и вычислительной техники, кандидат физико-математических наук, доцент.
172
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
ками области и спектральными свойствами оператора. Осуществляется оценка собственных чисел дифференциального оператора.
Ключевые слова спектральная теория, оператор Лапласа-Бельтра-ми, возмущенный оператор, собственные числа.
Пусть оператор
T = —Д = —
1 д
sin в дв
sin в----
дв
д
2 1
sin2 в дф2
1
дифференциальный оператор Лапласа-Бельтрами с потенциалом на проективной плоскости F, действующий в гильбертовом пространстве Н,
Хп = п(п +1) (n = 0, да) - собственные числа оператора Т, vn t (i = 0,2n) -
собственные функции оператора Т, образующие систему ортонормированных сферических функций. Обозначим через ^ собственные числа оператора T + P, взятые с учетом алгебраической кратности, такие, что | Hni— n (n +1 )| < const.
Вычисление собственных чисел оператора Лапласа-Бельтрами требует предварительного нахождения оценок числовых рядов.
Лемма 1. Справедливо соотношение порядка
Z
А/2
, к12 (к — n)2 (к + n) Доказательство. Очевидно [4], что
= oi11+Oln n
z
Л/2
;<Z
к=1,к Фп к12 (к — n)2 (к + п) к=1,к Фп к (к — п)2
/ n—•
о||
ёк
1 к (к — п )2
.,и
ёк
к (к — п)2
= Oil 1+о1Ып
п
п
1
п
п
п+1
Лемма доказана.
Лемма 2. Верна асимптотическая формула
да
z
к=1,к Фп
п
12
к12 (к — п)2 (к + п)
Доказательство. Рассмотрим цепочку неравенств
Физико-математические науки
173
Е
л2
1_
л2
Е
1 да 1
<—— Е------------
| П2 кЕФпк1/2 ^
1 ^ 1
к^йкфп к12 (k - nf (к + п) п1/2 к=шп к12 (к - nf
да
-+ Е
к=1 к12 (к - nf к~П+1 к12 (к - nf _
1_
пУ2
I n-'
О!
ёк
! к12 (к - nf2
О!-л
ёк
n+1 к12 (к - n) J
1_
Л2
О
!
dz
\ f + О
1 (z2 - nf J [vn+T (z3 - nf
!
dz
ф!2
О
!
dz
! (z2 -4n)
Л f + О
!
dz
n+1 (z2 -4n f
= О
Лемма доказана.
Лемма 3. Справедливо соотношение порядка
_ -!—,=ЛУе
к=1,кфn кЛк n v n
Е
Доказательство. Очевидно [6], что
да
Е
_j_______ 1 ^ 1
к=1,кфп к^к n | n к=1,кфп к|к n
=1О n
(
!
ёк
к\к - n
^ (
=1О n
IJ
!
tdt
. tl/11 - n2
VI
=О
ln n
Лемма доказана.
Лемма 4. Имеет место асимптотическая формула
Е
1
* = О]+о[ ^
к=1к tn Ьг(к - nf v n2 J V n
Доказательство. Воспользуемся соотношением порядка для сумм ряда [7]
Е
1
1
=1 Е
1
к =йк* n Ы(к - nf n к =y£*n к (к - nf
o|J
dk
1 к (к -n f
o|!
dk
к (к - n f
= Ojr J + of £
<
1
1
<
2
n
2
n
12
n+1
174
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
Лемма доказана.
Лемма 5. Верна асимптотическая формула
да
Z
к=1,к Фn
ri'2
к 32 \к2 - n2
Доказательство. Воспользуемся соотношением порядка для сумм ряда [8]
„V2 . _да i
Z
■ = nV2
Z
к^Фпк32|к2 -n2| к=йк*п к32|к2 -n21
1 ^ 1
= nV2
Z
V к 32 к2 - n2
+ ^ /.3/2|/ 2 ,„2|
к^+1 к к n
= nV2
= nV2
О
ёк
■1 к32|к2 -n2|
I
Л
+ О
ёк
О
Vn-1
dz
л 4 2
z z - n 1
V
Л f + О
к32 к2 - n2
V_
Л2
О
dz
V 1 I I
Л (
dz
Vn
, z \z - n
z - n
н—1 7 да 7
г dz ^ r dz
J T2 + О J
У
z - n
да d;
J ~2
\in+l ■
= О
,3/2 Y
к
J
\
да
j
Лемма доказана.
Полученные леммы позволяют доказать следующую теорему.
Теорема. Если p - четный дважды непрерывно дифференцируемый потенциал, то для собственных чисел оператора T + P верно равенство
2n ,
ZMn„ - n(n + 1)(2n + 1) = О
i=0
ln n ^
n32 J
Рассмотренная задача имеет широкую область применения [1-5, 9-11].
Список литературы:
1. Садовничий В.А., Дубровский В.В., Смирнова Л.В. О единственности решения обратных задач спектрального анализа // ДАН. - 2000. - Т. 370, № 3. - С. 319-321.
2. Смирнова Л.В. К вопросу о восстановлении потенциала в обратной задаче Робена // Известия высших учебных заведений. Математика. - 2002. -№7 (482). - С. 8-13.
Физико-математические науки
175
3. Смирнова Л.В. К вопросу о математической модели восстановления гладких потенциалов в обратной задаче Дирихле для 2-мерного и 3-мерного случаев // Математическое и программное обеспечение систем в промышленной и социальной сферах: междунар. сб. тр. - Магнитогорск: Изд-во Магнитогорск. техн. ун-та им. Г.И. Носова, 2012. - С. 57-66.
4. Торшина О.А. Дифференциальный оператор Лапласа-Бохнера на проективной плоскости // Альманах современной науки и образования. Научнотеоретический / тематический журнал. - Тамбов: Грамота, 2009. - № 6 (25). -С. 238.
5. Торшина О.А. О следе дифференциального оператора с потенциалом на проективной плоскости // Вестник Челябинского государственного университета. - 2003. - Т 3, № 3. - С. 178-191.
6. Торшина О.А. Оценка разности спектральных функций дискретных операторов // Альманах современной науки и образования. - 2009. - № 12-1. -С. 123-125.
7. Торшина О.А. Следы дискретных операторов с частными производными // Альманах современной науки и образования. - 2012. - № 4. - С. 220-222.
8. Торшина О.А. Собственные числа возмущенного оператора Лапласа-Бохнера // Наука и современность. - 2013. - № 26-2. - С. 48-52.
9. Торшина О.А. Формула регуляризованного следа дифференциального оператора со сложным вхождением спектрального параметра // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. - 2003. -Т 8, № 3. - С. 467-468.
10. Торшина О.А. Численный метод вычисления поправок теории возмущений // Альманах современной науки и образования. - 2013. -№ 12 (79). - С. 168-171.
11. Sadovnichii VA., Dubrovskii VV, Smirnova L.V Uniqueness of solutions to inverse eigenvalue problems // Doklady Mathematics. - 2000. - T. 61, № 1. - C. 67-69.
