Математическая модель теплообмена между высокотемпературной струей и пластиной из конструкционного материала Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТЕПЛООБМЕНА МЕЖДУ ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНОЙ СТРУЕЙ И ПЛАСТИНОЙ ИЗ КОНСТРУКЦИОННОГО МАТЕРИАЛА

© Корнилова К.В.* *, Торшина О.А.*

Магнитогорский государственный технический университет им. Г.И. Носова, г. Магнитогорск

Известно, что при математическом моделировании многих физических реальных явлений в таких областях, как динамика жидкости, теплопередача, электричество, магнетизм и др., возникают задачи математической физики. Для решения таких задач необходимо использовать численные методы. В работе рассматривается численное решение задачи теплообмена между высокотемпературной струей и пластиной из конструкционного материала. Используется метод Рекфорда-Писмена (метод расщепления по пространственным координатам).

Ключевые слова начально-краевая задача, метод расщепления по пространственным координатам, численные методы.

Рассмотрим задачу теплообмена между высокотемпературной струей и пластиной, внешняя поверхность которой подвергается воздействию высокотемпературной двухфазной или однофазной струи с заданными параметрами. Схема взаимодействия высокотемпературной струи с преградой представлена на рис. 1, где x, у - декартовы координаты; Lx - ширина пластины; Ly - толщина пластины; lg - протяженность области воздействия струи; Qg -высокотемпературный поток; A, B, C, D, E - граничные точки. Построим математическую модель теплообмена между высокотемпературной струей и пластиной. Осуществим численное решение поставленной задачи.

Рис. 1. Область решения задачи

* Студент.

* Доцент кафедры Прикладной математики и информатики, кандидат физико-математических наук.

Физико-математические науки

119

При решении задачи не будем учитывать:

1) возможные процессы окисления и плавления материала преграды активными компонентами газового потока;

2) радиационная составляющая в теплообмен;

3) теплофизические характеристики (X, р, с).

Математическая модель включает в себя двумерное нестационарное уравнение теплопроводности [5]

дТ

PsCs

s( x, У’<)

д

= Х.

дX (x У, t) | дТ] (х, У, t)'

дх

ду

0 -< t < tk; 0 -< х < Lx; 0 -< у < Ly

(1)

с начальным условием:

Ts (х, У) = To = const (2)

и граничными условиями:

- условие теплообмена газового потока с поверхностью конструкционного материала:

0 < х < lg, У = Ly

дТ (х,у,t) , , \\

: Л —(Tg - Ts(х, у,t))

(3)

- условие симметрии на оси 0Y:

дТ ( х, у, t)

х = 0, 0 ч у ч L : X л * ’ = 0

у s дх

- условие теплообмена с воздухом на боковой поверхности:

дТ (х, у, t) , t w

х = Lx, 0 ч у ч Ly : X s (^у ) =ае (Те - Ts (х, у, t))

(4)

(5)

- условие теплообмена с воздухом на тыльной стороне пластины:

дТ (х, у, t) , / w

0 < х < Lx , у = 0: -Xs-^ L =ae (Te - Ts (х У, t)) (6)

ду

- условие теплообмена с воздухом на нагреваемой поверхности [6]:

дТ (х, у, t) , / w

lg ч х < L,, у = L : Л------^ = 4 (Те -Т (хУ,t)), (7)

где р - плотность; T - температура; t - время; а - коэффициент теплообмена; с - коэффициент удельной теплоемкости; X - коэффициент теплопроводности.

120

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

Для численного решения задачи (1)-(7) воспользуемся методом Рекфорда-Писмена [4]. Для аппроксимации дифференциального уравнения (1) разностным методом определим пространственно - временную сетку с координатами xi = i ■ hx; yi = j ■ hy; tk = к ■ т, где т - шаг по времени; hx, hy - шаги по

пространству; i = 0, Nx , j = 0, Ny и к = 0, K. В результате вся расчетная область покрывается сеткой (рис.2).

V

0,Ny Nx N

hj+i ——►

f-1,} fj i+i.J

ij-l

6——I——-------110» .Г

0,0 N„0

Рис. 2. Разностная сетка области решения

Дискретизацию уравнения (1) осуществим с помощью локально-одномерной схемы А.А. Самарского, которая характеризуется свойством суммарной аппроксимации и является полностью устойчивой. Введем обозначения: Т (x, У,, Д ) = Тк. Суть метода [9] заключается в том, что шаг по времени изменяется в два этапа. На промежуточном временном шаге проводится дискретизация двумерного уравнения (1) по направлению оси х и получается одномерное уравнение. Затем вновь осуществляем дискретизацию уравнения (1), но уже в направлении оси у. Решая полученные одномерные уравнения определим поле температуры на шаге по времени.

Используя неявную схему на каждом полушаге по времени, представим уравнение (1) в виде:

'j-’k+l/l 'j-’k

ср-

т / 2

■ = Л

Z’ +1/2 rxгрк+1/2 . т-k+1/2 Л

Ti+1,j ~ 2Ii,.j + Т-1,.j

'J'k+l 'j1k+1/2

ср-

т/2

■ = Л

f тк+1 r)T'k+1 | тк+1 ^

Ti+1,j - 21 Lj + Ti-1,

(8)

(9)

Аппроксимируя граничных условий (2)-(7) получим

i = 0,0 A j A N :Л

7 J у

'j-’k 'j-’k

= 0

К

(10)

Физико-математические науки

121

0 < / < Nxlg, j = Ny : = ag (Tg - Tj )

hy

'j-’k j-’k

N, ч i < N , j = N : ---lj- = a (t -Tk.)

x > J y , e\ e i,j)

hy

rj-’k rj-’k

1 = Nx, 0 ч j ч Ny : xjAtL = ae (tT - Tk )

(11)

(12)

(13)

Разностные уравнения (8), (9) сводятся к стандартному трёх диагональному виду и решаются методом прогонки [3].

Приведем результаты вычислений при: Lx = 0,2 м, Ly = 0,25 м, lg=0,09 м, р, = 1600 кг/м3; Ср = 670 Дж/(кг°К); 1, = 1,2 Вт/(м°К); Т0 = 400 °К; Tg = 2000 °К; Те = 200 °К, ag = 3500 Вт/(м2°С), ае = 40 Вт/(м2°С). Результаты процесса нагрева пластины через 60 секунд приведены на рис. 3.

Рис. 3. Процесс нагрева пластины

Список литературы:

1. Торшина О.А. Регуляризованные следы дифференциальных операторов. - Магнитогорск, 2015. - 122 с.

2. Торшина О.А. Следы дискретных операторов с частными производными // Альманах современной науки и образования. Научно-теоретический тематический журнал. - Тамбов: Грамота, 2012. - № 4 (59). - С. 238. С. 220-222.

3. Торшина О.А. Численный метод вычисления поправок теории возмущений // Альманах современной науки и образования. Научно-теоретический / тематический журнал. - Тамбов: Грамота, 2013. - № 12. - С. 168-170.

122

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

4. Торшина О.А. Формула первого регуляризованного следа оператора Лапласа-Бельтрами с негладким потенциалом на проективной плоскости // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. - 2006. - № 4. - С. 32-40.

5. Торшина О.А. Оценка разности спектральных функций дискретных операторов // Альманах современной науки и образования. - 2009. - № 12-1. -С. 123-125.

6. Торшина О.А. Регуляризованные следы дифференциальных операторов. - Магнитогорск, 2015.

7. Торшина О.А. Собственные числа возмущенного оператора Лапласа-Бохнера // Наука и современность. - 2013. - № 26-2. - С. 48-52.

8. Торшина О.А. Дифференциальные операторы на проективной плоскости // Journal of Computational and Engineering Mathematics. - 2015. - Т. 2, № 4. - С. 84-92.

9. Торшина О.А. Дифференциальные операторы на проективной плоскости // Journal of Computational and Engineering Mathematics. - 2015. - Т. 2, № 4. - С. 84-92.

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ СРОКА СЛУЖБЫ СВЕТОДИОДОВ СО СТРУКТУРОЙ AlGaN/InGaN/GaN

© Маняхин Ф.И.*

Национальный исследовательский технологический университет «МИСиС»,

г. Москва

Получены экспериментальные данные по снижению светового потока светодиодов белого свечения на основе гетероструктур AlGaN/InGaN/

GaN при различных прямых токах. Установлено, что деградация светового потока происходит вследствие образования точечных дефектов в области квантовых ям, генерируемых горячими электронами. Спад светового потока подчиняется спадающей экспоненциальной зависимости, для которой выведено аналитическое выражение.

Ключевые слова: светодиоды, гетероструктуры AlGaN/InGaN/GaN, деградация светового потока, прогнозирование срока службы светодиодов.

Объекты исследования. Исследованию подвергались серийные светодиоды белого свечения фирмы Cree C503D-WAN-CCBD231 на основе кристаллов с гетероструктурой AlGaN/InGaN/GaN с квантовыми ямами.

* Заведующий научно-исследовательской и учебной лабораторией «Информационно-измерительные системы визуализации характеристик светодиодов», доктор физико-математических наук, профессор.